2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版拓展拔高8　數(shù)列中的奇偶項問題含答案

1版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版拓展拔高8數(shù)列中的奇偶項問題拓展拔高8數(shù)列中的奇偶項問題【高考考情】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一個知識點,也是高考必考的內(nèi)容.與數(shù)列有關(guān)的題目類型較多,其中,分奇偶項求和問題比較常見.此類問題中奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式一般會有所不同,要解答此類問題,我們需要靈活運用分類討論思想和分組求和方法.【解題思路】解答此類問題的基本思路:(1)結(jié)合題意尋找數(shù)列中奇數(shù)項和偶數(shù)項的規(guī)律,分別求出它們的通項公式.在求通項公式時,要注意把數(shù)列的項數(shù)間隔開.(2)將數(shù)列分成奇數(shù)項和偶數(shù)項兩組,分組進行求和.(3)將所得的結(jié)果匯總、化簡,便可求得數(shù)列的和.視角一含有(-1)n的遞推公式[例1](2023·衡水模擬)(多選題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,記{an}的前n項和為Sn,則()A.a48+a50=100 B.a50-a46=4C.S48=600 D.S49=601【解析】選BCD.因為a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,所以當(dāng)n為奇數(shù)時,an+2=an=a1=1;當(dāng)n為偶數(shù)時,an+an+2=2n.對于A,由an+an+2=2n,所以a48+a50=96,A錯誤;對于B,因為a46+a48=92,a48+a50=96,兩式相減可得a50-a46=4,B正確;對于C,S48=a1+a3+a5+…+a47+[(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a46+a48)]=24×1+2×(2+6+…+46)=24+2×(2+46對于D,S49=S48+a49=600+1=601,D正確.【思維升華】含有(-1)n類型問題的解法(1)通項公式中含有(-1)n:①等差數(shù)列的通項公式乘(-1)n,可用并項求和法求數(shù)列前n項的和;②等比數(shù)列的通項公式中含有(-1)n,其前n項和可寫成分段的形式,考查最值問題,如等比數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n-1·32n,則其前n項和為Sn,求Tn=Sn-1S③裂項相消法求和如an=(-1)n·4n(2n-1)(2n+1)(2)遞推公式中有(-1)n:尋找間隔兩項之間的關(guān)系,如an+1+(-1)nan=2n→n為奇數(shù)時,an+1-an=2nan+2an+1+an=2nan+2-【遷移應(yīng)用】數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,數(shù)列{bn}滿足bn=an+1+(-1)nan,n∈N*.(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前100項和S100;(2)若數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.【解析】(1)因為{an}為等差數(shù)列,且a1=1,a2=2,所以公差d=1,所以an=n.所以bn=a即bn=1所以bn的前100項和S100=(b1+b3+…+b99)+(b2+b4+…+b100)=50+(5+9+13+…+201)=50+50×5+50×(50(2)由題意得,b1=a2-a1=1,公差d=2,所以bn=2n-1.所以b由②-①得,a2n+1所以a2n+1又因為a1=1,所以a1=a3=a5=…=1,所以a2n-1=1,所以綜上所述,an=1視角二已知條件明確的奇偶項問題[例2]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an=n,n為奇數(shù),(【解析】方法一:當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)=(1+3+…+n-1)+[(12)1+…+(12)

n2]=[1+(當(dāng)n為奇數(shù)時,n-1是偶數(shù),Sn=Sn-1+an=(n-1)24綜上,Sn=(方法二:因為an=n所以a2n-1=2n-1,a2所以S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2=(1+3+…+2n-1)+[(12)1+(12)2+…+(12)n]==n2+1-(12)nS2n-1=S2n-a2n=n2+1-(12)n-(12)綜上所述,Sn=(【思維升華】形如an=f(n),n為奇數(shù)g(n),n為偶數(shù)的結(jié)構(gòu),可分為兩種情況:(1)鄰項等差、等比數(shù)列,如已知a1=1,an+1=aa2k=a2k-1+1;當(dāng)n=2k時,a2k+1=2a2k=2(a2k-1+1)?a2k+1+2=2(a2k-1+2)?構(gòu)造出以a1+2為首項、2為公比的等比數(shù)列,先求出a2k-1的通項公式,再求出a2k的通項公式.(2)數(shù)列{an}與其他數(shù)列的關(guān)系,如an=bn,n為奇數(shù),lo【遷移應(yīng)用】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,它的前n(n∈N*)項和為Sn,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,bn>0,a1=3,b1=1,b3+S2=12,a5-2b2=a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;(2)若cn=2Sn,n為奇數(shù)bn,n為偶數(shù),設(shè)數(shù)列{cn【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,則由b3+解得d=2,q所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(2)由a1=3,an=2n+1,得Sn=n(n+2),則cn=2即cn=1n所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=[(1-13)+(13-15)+…+(12+(2+23+…+22n-1)=1-12n=1+22n視角三數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題(an+an+1=f(n)或an·an+1=[例3]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1+an(1)求數(shù)列{an}的前100項和S100;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.【解析】(1)因為a1=1,an+1+an=4所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=4×1+4×3+…+4×99=4×(1+3+5+…+99)=4×502=10000.(2)由題意,an+1+an=4nan+2+an+1由②-①得,an+2-a由a1=1,a1+a2=4,得a2=3.當(dāng)n為奇數(shù)時,an=a1+(n+12-1)×4=2當(dāng)n為偶數(shù)時,an=a2+(n2-1)×4=2n-1綜上所述,an=2n-1.【思維升華】遞推公式為an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)的形式,求通項公式或數(shù)列求和的方法(1)求通項公式:由an+2+an+1=f(n+1)與上式作差可得隔項遞推公式an+2-an=f(n+1)-f(n),對于后一種可由an+2·an+1=f(n+1)與上式作商可得隔項遞推公式an+2an(2)求前n項和Sn:求出通項公式,則Sn=S奇+S偶;或者利用an+1+an=f(n),可直接并項求和.【遷移應(yīng)用】在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an·an+1=(12)n,記Sn為{an}的前n項和,bn=a2n+a2(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并寫出其通項公式;(2)求數(shù)列{an}的通項公式;(3)求Sn.【解析】(1)因為an·an+1=(12)n,所以an+1·an+2=(12)n+1,所以an+2an=12因為bn=a2n+a2n-1,所以bn+1bn=所以數(shù)列{bn}是公比為12的等比數(shù)列因為a1=1,a1·a2=12所以a2=12,b1=a1+a2=3所以bn=32×(12)n-1=32n,n(2)由(1)可知an+2=12an,所以a1,a3,a5,…是以a1=1為首項,12為公比的等比數(shù)列;a2,a4,a6,…是以a2=12所以a2n-1=(12)n-1,a2n=(12)所以an=((3)因為S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2又S2n-1=S2n-a2所以Sn=3課堂鞏固,階段測評,請使用“拓展拔高練八”“階段滾動檢測(三)”拓展拔高9阿波羅尼斯圓【背景】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.【考情】動點的軌跡問題是高考中的一個熱點和重點,尤其是阿波羅尼斯圓在高考中頻頻出現(xiàn).處理此類問題的關(guān)鍵是通過建立直角坐標(biāo)系,尋找動點滿足的條件,得出動點的軌跡是一個定圓,從而把問題轉(zhuǎn)化為直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系問題,并在解決問題的過程中感悟轉(zhuǎn)化與化歸、化繁為簡的數(shù)學(xué)思想方法.一、阿波羅尼斯圓定義一般地,平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)的點的軌跡是圓,此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”.特殊地,設(shè)定點為A,B,動點為P,則當(dāng)λ=1時,點P的軌跡是線段AB的垂直平分線.【探究】以直線AB為x軸,以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)|AB|=2a(a>0),則A點的坐標(biāo)為(-a,0),B點的坐標(biāo)為(a,0),P點的坐標(biāo)為P(x,y).根據(jù)題意有P∈P|PA||PB|整理得,(λ2-1)x2+(λ2-1)y2-2a(λ2+1)x=a2(1-λ2),①當(dāng)λ≠1時,方程可化為(x-λ2+1λ即點P的軌跡是以(λ2+1|2λaλ2-1|為半徑的圓.(注:r②當(dāng)λ=1時,方程可化為x=0,即點P的軌跡為y軸(即線段AB的垂直平分線).二、阿波羅尼斯圓的應(yīng)用視角一求軌跡方程及軌跡的有關(guān)問題[例1](1)設(shè)A,B是平面上兩點,則滿足PAPB=k(其中k為常數(shù),k≠0且k≠1)的點P的軌跡是一個圓,已知A(6,0),B(62,0),且k=2,則點P所在圓M的方程為x2+y2【解析】設(shè)P(x,y),由題意可得,PAPB=2,即PA=2則(x-6)2+y2=2[(整理得x2+y2=3.(2)如圖,在等腰△ABC中,已知AB=AC,B(-1,0),AC邊的中點為D(2,0),則點C的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π.

【解析】因為AB=2AD,所以點A的軌跡是阿波羅尼斯圓,易知其方程為(x-3)2+y2=4(y≠0).設(shè)C(x,y),由AC邊的中點為D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的軌跡方程為(4-x-3)2+(-y)2=4(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),故所求的面積為4π.(3)正方形ABCD的邊長為3,P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點,且PB=2PA,則動點P的軌跡長度為__________.

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),設(shè)P(x,y),又因為PB=2PA,所以(x-3)2+y2=2x2+y2,化簡為x2+y2+2x-3=0,即(又因為P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點,所以動點P與y軸正半軸的交點為M(0,3),動點P與x軸正半軸的交點為N(1,0),則動點P的軌跡長度為圓弧MN,在△QMA中,AM=3,QM=2,所以sin∠MQA=MAMQ=32,∠MQA=π3,所以圓弧MN=π答案:2π視角二求三角形面積的最值問題[例2](1)滿足條件AB=2,AC=2BC的△ABC的面積的最大值為__________.

【解析】方法一(直解法):建立如圖的直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)C點的坐標(biāo)為(x,y),因為|AC|=2|BC|,所以(x+1)2+整理得(x-3)2+y2=8,所以點C的軌跡是以(3,0)為圓心,22為半徑的圓(除去與x軸的交點).設(shè)圓心為M,當(dāng)CM⊥x軸時,△ABC的面積最大,此時CM=22,(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×22=2方法二(秒解法):由題意可知,動點C的軌跡是圓M,且半徑r=ABλ-1λ=22-12=22(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×22=2答案:22