2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第七章 第一節(jié) 數(shù)列的概念含答案

11版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第七章第一節(jié)數(shù)列的概念第七章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).3.能夠利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.4.能根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求數(shù)列的項或通項公式.【考情分析】考點考法:高考題常以數(shù)列的概念為載體,考查數(shù)列項、前n項和及其與通項公式的關(guān)系.Sn和an的關(guān)系是高考熱點,在各種題型中都會有所體現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列{an}的第n項an通項公式數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系式前n項和數(shù)列{an}中,Sn=a1+a2+…+an2.數(shù)列的表示法列表法列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點(n,an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項公式把數(shù)列的通項使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an與an+1的關(guān)系式或a1,a2和an-1,an,an+1的關(guān)系式等表示數(shù)列的方法函數(shù)法an=f(n),n∈N*【微點撥】(1)并不是所有的數(shù)列都有通項公式;(2)數(shù)列的通項公式不唯一;(3)歸納與猜想是研究數(shù)列的重要方法.3.數(shù)列的分類單調(diào)性遞增數(shù)列?n∈N*,an+1>an遞減數(shù)列?n∈N*,an+1<an常數(shù)列?n∈N*,an+1=an擺動數(shù)列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列周期性?n∈N*,存在正整數(shù)k,an+k=an【微點撥】(1)數(shù)列的單調(diào)性可以類比數(shù)列的通項公式對應(yīng)的函數(shù)解析式在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;(2)可以把數(shù)列函數(shù)化,利用函數(shù)方法研究數(shù)列的單調(diào)性.4.數(shù)列的前n項和數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,則a【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編題號12,3,41.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論不正確的是 ()A.數(shù)列5,2,0與2,0,5是同一個數(shù)列B.根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個C.任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列,就是遞減數(shù)列D.如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則對?n∈N*,都有an=Sn-Sn-1【解析】選ACD.A中兩個數(shù)列項的順序不同,不是同一個數(shù)列;B正確;C中數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列或擺動數(shù)列;D中當(dāng)n=1時,a1=S1-S0無意義.2.(選擇性必修第二冊P5例2·變形式)數(shù)列0,23,45,67,…的一個通項公式為 A.an=n-1n+1 BC.an=2(n-1)2n-【解析】選C.將0寫成01,觀察數(shù)列中每一項的分子、分母可知,分子為偶數(shù)列,可表示為2(n-1),n∈N*;分母為奇數(shù)列,可表示為2n-1,n∈N*3.(選擇性必修第二冊P6例5·變形式)數(shù)列1,3,6,10,15,…的遞推公式可以是()A.an+1=an+n,n∈N*B.an=an-1+n,n≥2,n∈N*C.an+1=an+(n+1),n≥2,n∈N*D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2【解析】選B.設(shè)數(shù)列1,3,6,10,15,…為an,則a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3a5-a4=5,…,n=2時,A,D不合題意;而C中不包含a2-a1=2,由此可得數(shù)列an滿足an-an-1=n,n≥2,n∈N*4.(選擇性必修第二冊P4例1·變形式)已知數(shù)列{an}滿足an=n(n+1)2,則【解析】數(shù)列{an}滿足an=n(n+1)2,可得a1=1,a所以S3=1+3+6=10.答案:10【巧記結(jié)論·速算】在數(shù)列{an}中,若an最大,則an≥an-1,an≥an+1【即時練】已知數(shù)列an中,an=n2-5n+4,則數(shù)列an的最小項是 (A.第1項 B.第3項、第4項C.第4項 D.第2項、第3項【解析】選D.根據(jù)題意,數(shù)列an中,an=n2-5nan+1-an=(n+1)2-5(n+1)+4-n2+5n-4=2n-4,當(dāng)n<2時,有an+1-an<0,則有a1>a2,當(dāng)n=2時,有an+1-an=0,則有a2=a3,當(dāng)n>2時,有an+1-an>0,則有a3<a4<……故數(shù)列an的最小項是第2項、第3項【核心考點·分類突破】考點一通項公式的探索及應(yīng)用[例1](1)(多選題)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=9+12n,則在下列各數(shù)中,是{an}的項的是 ()A.21 B.33 C.152 D.153【解析】選ABD.由數(shù)列的通項公式得,a1=21,a2=33,a12=153.(2)寫出數(shù)列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數(shù).①23,45,87②-12,23,-34③3,4,3,4;④6,66,666,6666.【解析】①4個項都是分?jǐn)?shù),它們的分子依次為2,22,23,24,分母是正奇數(shù),依次為2×1+1,2×2+1,2×3+1,2×4+1,所以給定4項都滿足的一個通項公式為an=2n②4個項按先負(fù)數(shù),后正數(shù),正負(fù)相間排列,其絕對值的分子依次為1,2,3,4,分母比對應(yīng)分子多1,所以給定4項都滿足的一個通項公式為an=(-1)nnn③4個項是第1,3項均為3,第2,4項均為4,所以給定4項都滿足的一個通項公式為an=3,n=2k-14④4個項,所有項都是由數(shù)字6組成的正整數(shù),其中6的個數(shù)與對應(yīng)項數(shù)一致,依次可寫為6=23(10-1),66=23(102-1),666=23(103-1),6666=23(104-1),所以給定4項都滿足的一個通項公式為an=2【解題技法】由數(shù)列的前幾項求通項公式的方法(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時,需仔細(xì)觀察分析,抓住其幾方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相鄰項的聯(lián)系特征;拆項后的各部分特征;符號特征.應(yīng)多進(jìn)行對比、分析,從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.(2)對于正負(fù)符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.【對點訓(xùn)練】1.若一數(shù)列為1,37,314,321,…,則398是這個數(shù)列的 ()A.不在此數(shù)列中 B.第13項C.第14項 D.第15項【解析】選D.因為1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合題意的一個通項公式為an=37(n-1),由37(n-1)=398解得n=15,所以398是這個數(shù)列的第15項.2.根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值,寫出數(shù)列的一個通項公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)-11×2,12×3,-13×4,1(3)23,415,635,863,(4)9,99,999,9999,….【解析】(1)偶數(shù)項為正,奇數(shù)項為負(fù),故通項公式必含有因式(-1)n;觀察各項的絕對值,后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6,故數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n(6n-5).(2)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的乘積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負(fù),偶數(shù)項為正,故它的一個通項公式為an=(-1)n·1n(3)這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列,其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列,而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積,故所求數(shù)列的一個通項公式為an=2n(4)這個數(shù)列的前4項可以寫成10-1,100-1,1000-1,10000-1,故所求數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1.考點二已知Sn或Sn與an的關(guān)系求an[例2]金榜原創(chuàng)·易錯對對碰①若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1,則數(shù)列的通項公式為an=________.

②若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則數(shù)列的通項公式為an=________.

【解析】①當(dāng)n=1時,a1=S1=21+1=3;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.綜上有an=3答案:3②當(dāng)n=1時,a1=S1=21-1=1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.綜上有an=2n-1.答案:2n-1【解題技法】1.已知Sn求an的三個步驟(1)利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的解析式.(3)對n=1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗,看是否符合n≥2時an的解析式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.2.已知Sn與an的關(guān)系求an的兩個方法(1)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,轉(zhuǎn)化為an與an-1的關(guān)系求an;(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去an,轉(zhuǎn)化為Sn與Sn-1的關(guān)系,求出Sn后再求an.提醒:當(dāng)n≥2時推出的關(guān)系不包含n=1的情況,因此需要驗證n=1時是否成立,如果成立,則合并表示,如果不成立,則分段表示.【對點訓(xùn)練】1.已知正項數(shù)列{an}中,a1+a2+…+an=n(n+1A.an=n B.an=n2C.an=n2 D.an=【解析】選B.因為a1+a2+…+an=n(n+1)2,所以a1+a兩式相減得an=n(n+1)2-所以an=n2(n≥2),①又當(dāng)n=1時,a1=1×22=1,a1=1,適合所以an=n2,n∈N*.2.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若Sn=2an+1,則Sn=________.

【解析】因為Sn=2an+1,所以Sn+1=2an+1+1,所以an+1=2an+1-2an,所以an+1=2an,當(dāng)n=1時,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,所以數(shù)列{an}是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以Sn=-(1-2答案:1-2n【加練備選】1.已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,則an=________.【解析】當(dāng)n=1時,a1=21=2,因為a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1,所以an=2n-1n所以an=2答案:22.已知數(shù)列an的前n項和Sn=3n+b,求an【解析】當(dāng)n=1時,a1=S1=3+b.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2·3n-1,因此,當(dāng)b=-1時,a1=2適合an=2·3n-1,所以an=2·3n-1.當(dāng)b≠-1時,a1=3+b不適合an=2·3n-1,所以an=3+綜上可知,當(dāng)b=-1時,an=2·3n-1;當(dāng)b≠-1時,an=

3+考點三數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用【考情提示】數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),除考查求通項公式、求和等之外,還考查數(shù)列的單調(diào)性,項的最值,周期性等,解題時要類比函數(shù)的研究方法,結(jié)合數(shù)列的特性.角度1數(shù)列的單調(diào)性及項的最值[例3]已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-23n+1(n∈N*)A.這個數(shù)列的第10項為27B.98101C.數(shù)列中的各項都在區(qū)間[14,1)D.數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列【解析】選C.令n=10,得a10=2831.故選項A不正確,令3n-23n+1=98101,得9n=300,此方程無正整數(shù)解,故98101不是該數(shù)列中的項.因為又n∈N*,所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,所以14≤an<1,所以數(shù)列中的各項都在區(qū)間[14,1)【解題技法】關(guān)于數(shù)列的單調(diào)性及項的最值(1)求數(shù)列項的最值需要先研究數(shù)列的單調(diào)性,一是通過列舉項找規(guī)律;二是利用數(shù)列遞增(減)的等價條件,求出遞增、遞減項的分界點處的n值.(2)利用函數(shù)方法,令n∈(0,+∞),研究對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、圖象確定最值,再回歸到數(shù)列問題.【對點訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+k2n,若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,則實數(shù)kA.(3,+∞) B.(2,+∞)C.(1,+∞) D.(0,+∞)【解析】選D.因為an+1-an=3n+3+k2n+1-3n+k2n=3-3n-k2n+1,由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知,對任意n∈N*,an+1角度2數(shù)列的周期性[例4]已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2029的值為 ()A.2029n-m B.n-2029mC.m D.n【解析】選C.根據(jù)題意計算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2029=S338×6+1=a1=m.【解題技法】關(guān)于數(shù)列的周期性在求數(shù)列的某一項的值,且該項的序號較大時,應(yīng)該考慮該數(shù)列是否具有周期性,一般地,求出數(shù)列的前幾項,確定周期,然后利用數(shù)列的周期性即可求出所求項.【對點訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}中,a1=12,an+1=1+an1-an,則A.-2 B.12 C.-13 D【解析】選B.因為a1=12,所以a2=1+a11-a1=3,a3=1+aa5=1+a41-a4=12,…,所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列且周期T=4,所以a第七章數(shù)列【高考研究·備考導(dǎo)航】【三年考情】角度考查內(nèi)容課程標(biāo)準(zhǔn)高考真題考題統(tǒng)計數(shù)列的概念1.了解數(shù)列的概念、表示方法,數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系;2.能夠利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.2023年:新高考Ⅰ卷·T72022年:新高考Ⅰ卷·T17(1)2021年:新高考Ⅱ卷·T17等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念并掌握其通項公式與前n項和公式.2.能利用等差數(shù)列知識解決實際問題.2022年:新高考Ⅱ卷·T3等比數(shù)列1.理解等比數(shù)列的概念并掌握其通項公式與前n項和公式.2.能利用等比數(shù)列知識解決實際問題.2023年:新高考Ⅱ卷·T82021年:新高考Ⅰ卷·T16數(shù)列的綜合應(yīng)用1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.2.能解決等差與等比數(shù)列之間、數(shù)列與函數(shù)、不等式之間的綜合問題.2023年:新高考Ⅰ卷·T202023年:新高考Ⅱ卷·T182022年:新高考Ⅰ卷·T17(2)2022年:新高考Ⅱ卷·T172021年:新高考Ⅰ卷·T17命題趨勢1.題型設(shè)置:常以一個小題和一個大題的形式呈現(xiàn);2.內(nèi)容考查:本章高考考查頻率非常高.?？疾榈炔睢⒌缺葦?shù)列的判定、基本量的運算、求和,或與實際生活、不等式的交匯點設(shè)題;3.能力考查:高考題凸顯對數(shù)學(xué)抽象能力、模型建構(gòu)能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力的考查.【備考策略】根據(jù)近三年新高考卷命題特點和規(guī)律,復(fù)習(xí)本章時,要注意以下幾個方面:1.全面系統(tǒng)復(fù)習(xí),深刻理解知識本質(zhì)(1)重視數(shù)列概念的理解:深刻把握數(shù)列的項、項數(shù)、前n項和等概念.同時注意數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).(2)重視兩類特殊數(shù)列:等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式和前n項和公式的理解與記憶.復(fù)習(xí)時要注意基礎(chǔ),強化落實,切實提高運算能力.(3)重視Sn與an關(guān)系的理解與應(yīng)用.2.熟練掌握解決以下問題的方法規(guī)律(1)常用的簡單遞推式的變換技巧.(2)根據(jù)遞推關(guān)系證明等差、等比數(shù)列.(3)常用的求和的基本方法:分組法、錯位相減法、倒序相加法、裂項法等.(4)利用函數(shù)思想研究數(shù)列的最值問題.(5)數(shù)列與不等式相結(jié)合的綜合問題.3.重視思想方法的應(yīng)用(1)函數(shù)與方程思想:數(shù)列本身就是函數(shù),函數(shù)方法可以用來研究數(shù)列問題;在數(shù)列的計算中,方程思想的應(yīng)用極為廣泛,如等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計算中,幾乎處處使用方程思想.(2)化歸與轉(zhuǎn)化思想:把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列加以解決,把一般數(shù)列的求和通過分組、分拆、重組化為基本數(shù)列求和等.(3)分類與整合思想:套用等比數(shù)列求和公式時,要分公比等于1和不等于1兩種情形;根據(jù)an,Sn關(guān)系解決問題時,分n=1,n≥2討論;在含有(-1)n的數(shù)列問題中,分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論等.(4)數(shù)形結(jié)合思想:因為數(shù)列是特殊的函數(shù),所以數(shù)列問題?？山Y(jié)合函數(shù)圖象來解決,如等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d與前n項和公式Sn=na1+n(n-1)第二節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)第1課時函數(shù)的單調(diào)性與最值課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值,理解它們的作用和實際意義.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最值的實際意義,掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用.考情分析考點考法:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,高考對單調(diào)性與最值的考查常常與其他知識相結(jié)合,小題和大題均有考查,小題的考查與對數(shù)函數(shù)結(jié)合,考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值;大題的考查與導(dǎo)數(shù)結(jié)合,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)與減函數(shù)項目增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.【微點撥】有多個單調(diào)區(qū)間時應(yīng)分開寫,不能用符號“∪”連接,也不能用“或”連接,只能用“,”或“和”連接.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足條件?x∈D,都有f(x)≤M;?x0∈D,使得f(x0)=M?x∈D,都有f(x)≥M;?x0∈D,使得f(x0)=M結(jié)論M為最大值M為最小值【微點撥】(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到;(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯誤的是 ()A.對于函數(shù)y=f(x),若f(1)<f(3),則f(x)為增函數(shù)B.函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞)C.函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪D.對于函數(shù)f(x),x∈D,若對任意的x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)【解析】選ABC.A應(yīng)對任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立才可以×B反例:f(x)=x在[1,+∞)上為增函數(shù),但f(x)=x的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞)×C單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接,故單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞)×D根據(jù)增函數(shù)的定義判斷√2.(必修第一冊P81練習(xí)T3·變條件)已知函數(shù)f(x)=2x+1,x∈[0,2],則f(x)的最大值為________,【解析】因為函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(2)=23答案:223.(2023·北京高考)下列函數(shù)中在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是 ()A.f(x)=-lnx B.f(x)=1C.f(x)=-1x D.f(x)=3|x【解析】選C.對A選項,y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,A選項錯誤;對B選項,y=2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=12x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,B對C選項,y=1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)=-1x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,C對D選項,f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不是單調(diào)的,D選項錯誤.4.(忽視函數(shù)的定義域)已知函數(shù)y=f(x)是定義在[-2,2]上的減函數(shù),且f(a+1)<f(2a),則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】依題意得-2≤a+1≤2,-2≤2a≤2,答案:[-1,1)【巧記結(jié)論·速算】1.若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性,則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì):(1)當(dāng)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)是增(減)函數(shù);(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反;(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=1f((4)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性有關(guān),簡記:同增異減.2.增函數(shù)(減函數(shù))的等價變形:?x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,則:(1)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x1)-f(x2)x1-x2(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x1)-f(x2)x1-x2【即時練】1.下列函數(shù)中,滿足“?x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是 ()A.y=1x-x B.y=x2-C.y=lnx-x D.y=ex【解析】選A.由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.對于選項A,y=1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,y=x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則y=1x-x在(0,+∞)上單調(diào)遞減;B,C選項中的函數(shù)在(0,+∞)上均不單調(diào);選項D中,y=ex在(0,+∞)2.函數(shù)f(x)=log2(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為________.

【解析】由x2-4>0得x<-2或x>2.又u=x2-4在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,y=log2u為增函數(shù),故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).答案:(2,+∞)【核心考點·分類突破】考點一函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例1](1)(多選題)下列是函數(shù)f(x)=|x2-6x+8|的單調(diào)遞減區(qū)間的是 ()A.(-∞,2) B.(-∞,3)C.[3,4] D.(2,3)【解析】選AC.因為f(x)=|x2-6x+8|=x2-6x+8,x≥4,-x2+6x-8,2<(2)下列函數(shù)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增的是 ()A.y=(x-2)2 B.y=1C.y=sin(x-2) D.y=cos(x-2)【解析】選D.對于A選項,y=(x-2)2開口向上,對稱軸為直線x=2,所以在(-∞,2)上單調(diào)遞減,故不符合題意.對于B選項,y=1x-2是y=1x向右平移了兩個單位長度,所以在(-∞,2)上單調(diào)遞減,故不符合題意.對于C選項,y=sin(x-2)是y=sinx向右平移了兩個單位長度,所以y=sin(x-2)在(-3π2+2,-π2+2)上單調(diào)遞減,在(-π2+2,π2+2)上單調(diào)遞增對于D選項,y=cos(x-2)是y=cosx向右平移了兩個單位長度,所以y=cos(x-2)在(-π+2,2)上單調(diào)遞增,則在(0,2)上單調(diào)遞增,符合題意.(3)函數(shù)y=log5(x2+2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.

【解析】由題意,令x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,因為t=x2+2x-3在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=log5(x2+2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).答案:(1,+∞)【解題技法】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法(1)圖象法:如果f(x)是以圖象給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由函數(shù)圖象直觀地寫出它的單調(diào)區(qū)間.(2)復(fù)合函數(shù)法:①求函數(shù)的定義域;②求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,依據(jù)是“同增異減”.【對點訓(xùn)練】1.(多選題)下列函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是 ()A.y=ex-e-x B.y=|x2-2x|C.y=x+cosx D.y=x【解析】選AC.因為y=ex與y=-e-x為R上的增函數(shù),所以y=ex-e-x為R上的增函數(shù),故A正確;由y=|x2-2x|的圖象(圖略)知,B不正確;y'=1-sinx≥0,所以y=x+cosx在R上為增函數(shù),故C正確;y=x2+x-2的定義域為(-∞,-2]∪[1,+∞),2.函數(shù)y=x2+x-6的單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】令u=x2+x-6,則y=x2+x-6可以看作是由y=u與u=x2+x-6復(fù)合而成的函數(shù).令u=x2+x-6≥0,解得x≤-3或x≥2.易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,而y=u在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以y=x2答案:[2,+∞)(-∞,-3]3.(創(chuàng)新題)設(shè)函數(shù)f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x【解析】由題意知g(x)=x該函數(shù)圖象如圖所示,其單調(diào)遞減區(qū)間是[0,1).答案:[0,1)考點二函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明[例2](1)(2021·全國甲卷)下列函數(shù)是增函數(shù)的為 ()A.f(x)=-x B.f(x)=2C.f(x)=x2 D.f(x)=3【解析】選D.因為f(x)=-x在其定義域上為減函數(shù),所以選項A錯誤;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)=23x在其定義域上為減函數(shù),所以選項B錯誤;由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)=x2在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以選項C錯誤;由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)=3x在其定義域上為增函數(shù),所以選項(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+1-2x,證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)【證明】方法一(定義法):?x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x12+1-x22+1-2x1+2x2=x1=(x1-x2)(x1因為0≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1所以(x1-x2)(x1所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減.方法二(導(dǎo)數(shù)法):對f(x)=x2+1-2x得f'(x)=12·2xx因為x≥0,所以xx所以f'(x)<0,故f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.【解題技法】判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法定義法一般步驟:設(shè)元→作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論圖象法若f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性【對點訓(xùn)練】討論函數(shù)f(x)=axx2-1(a>0)在【解析】?x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=ax1=a=a(因為-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,(x12-1)(x當(dāng)a<x1<x2<1時,x1x2>0,則x1x2+1>0;當(dāng)-1<x1<0<x2<1時,-1<x1x2<0,則x1x2+1>0;當(dāng)0<x1<x2<a時,0<x1x2<1,則x1x2+1>0,綜上,x1x2+1>0,又a>0,所以f(x1)-f(x2)>0,故函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1利用單調(diào)性比較大小[例3]設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上,它的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且當(dāng)x≥1時,f(x)=3x-1,則 ()A.f(13)<f(32)<f(B.f(23)<f(32)<f(C.f(23)<f(13)<f(D.f(32)<f(23)<f(【解析】選B.由題設(shè)知,當(dāng)x<1時,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x≥1時,f(x)單調(diào)遞增,而x=1為對稱軸,所以f(32)=f(1+12)=f(1-12)=f(12),又13<12<23<1,所以f(13)>即f(23)<f(32)<f(1角度2解不等式[例4](1)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的函數(shù),且在該區(qū)間上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)<f(13)的x的取值范圍是 (A.(13,23) B.[13C.(12,23) D.[12【解析】選D.因為函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的增函數(shù),滿足f(2x-1)<f(13所以0≤2x-1<13,解得12≤x<(2)已知函數(shù)f(x)=13x-log2(x+2),若f(a-2)>3,則a【解析】因為y=13x在R上單調(diào)遞減,y=log2(x+2)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=13x-log2(x+2)在定義域(-2,+∞)上單調(diào)遞減由f(a-2)>3,得f(a-2)>f(-1),所以a-2<-1a-2>-2,解得0<答案:(0,1)角度3利用單調(diào)性求最值問題[例5](1)函數(shù)f(x)=3x+log2(x+2)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為________.

【解析】由于y=3x在R上是增函數(shù),y=log2(x+2)在[-1,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞增,故f(x)在[-1,2]上的最大值為f(2)=32+log24=11.答案:11(2)函數(shù)y=x2+4【解析】令x2+4=t,則t≥2,所以x2=t2-4,所以y=tt2+1=1t+1t,則h(t)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(t)min=h(2)=52所以y≤152=25(x即y的最大值為25答案:2角度4利用單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)問題[例6](1)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰①函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],則實數(shù)a的值為________.

②函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍為________.

【解析】①函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=1-a,由1-a=4,得a=-3.答案:-3②函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=1-a,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,所以1-a≥4,解得a≤-3.實數(shù)a的取值范圍為-∞,-3.答案:-∞,-3(2)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是 ()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)【解析】選D.函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則有函數(shù)y=x(x-a)=(x-a2)2-a24在區(qū)間(0,1)所以a的取值范圍是[2,+∞).【解題技法】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用策略(1)比較大小:利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,需將各自變量的值化到同一單調(diào)區(qū)間上.(2)解不等式:關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時,應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.(3)求最值:利用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法,特別是當(dāng)函數(shù)圖象不易作出時.(4)求參數(shù):利用單調(diào)性求參數(shù)時,通常要把參數(shù)視為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).【對點訓(xùn)練】1.(2023·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,當(dāng)x1≠x2且x1,x2∈(1,+∞)時,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f(-12),b=f(2),c=f(e),則a,b,c的大小關(guān)系為(A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c【解析】選D.依題意f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(-∞,1)上單調(diào)遞增,且f(x)關(guān)于x=1對稱,所以a=f(-12)=f(5所以f(e)<f(52)<f(2),即c<a<2.已知函數(shù)f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,則實數(shù)x的取值范圍是__________.

【解析】因為函數(shù)f(x)=lnx+2x在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=ln1+2=2,所以由f(x2-4)<2得,f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-5<x<-2或2<x<5.答案:{x|-5<x<-2或2<x<5}3.函數(shù)f(x)=2-x·2x【解析】f(x)=1x-2由于y=1x,y=-2x-1在[1,2]上均單調(diào)遞減故f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(2)=12-2=-3答案:-34.已知函數(shù)y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】設(shè)u=2-ax,因為a>0,且a≠1,所以函數(shù)u在[0,1]上單調(diào)遞減.由題意可知函數(shù)y=logau在[0,1]上單調(diào)遞減,所以a>1.又因為u=2-ax在[0,1]上要滿足u>0,所以2-a>0,得a<2.綜上得1<a<2.答案:(1,2)考點四對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)教考銜接類題串串聯(lián)題號類題說明(1)源自教材第86頁綜合運用·T8(2).此題為“對勾函數(shù)”的基本模型(2)源自教材第86頁綜合運用·T8(3).此題為“對勾函數(shù)”的常見模型(3)源自教材第101頁拓廣探索·T12.此題為“飄帶函數(shù)”的基本模型[例7](1)討論函數(shù)y=x+9x在區(qū)間0,+∞上的單調(diào)性(2)討論函數(shù)y=x+kx(k>0)在區(qū)間0,+∞上的單調(diào)性(3)討論函數(shù)y=x-1x的單調(diào)性【解析】(1)設(shè)y=f(x),x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1-9①任取x1,x2∈3,+∞,且x1<x2,則x1-x2<0,x1·x2>9,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以y=f(x)在區(qū)間3,+∞上單調(diào)遞增;②任取x1,x2∈0,3,且x1<x2,則x1-x2<0,0<x1·x2<9,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在區(qū)間0,3上單調(diào)遞減;故函數(shù)y=x+9x在區(qū)間0,3上單調(diào)遞減,在區(qū)間3,+∞上單調(diào)遞增(2)設(shè)y=f(x),x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1-k①任取x1,x2∈k,+∞,且x1<x2,則x1-x2<0,x1·x2>k,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以y=f(x)在區(qū)間k,+∞②任取x1,x2∈0,k,且x1<x2,則x1-x20<x1·x2<k,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在區(qū)間0,k上單調(diào)遞減故函數(shù)y=x+kx在區(qū)間0,k上單調(diào)遞減,在區(qū)間k(3)設(shè)y=f(x),定義域D=-∞,0∪(0,+∞),設(shè)x1<x2,則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1+1①當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)時,x1x2>0,因為x1<x2,所以f(x1)<f(x2),根據(jù)單調(diào)性定義可得,y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;②當(dāng)x1,x2∈(-∞,0)時,x1x2>0,因為x1<x2,所以f(x1)<f(x2),根據(jù)單調(diào)性定義可得,y=f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.因此y=f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都單調(diào)遞增.【解題技法】形如f(x)=ax+bx(ab≠0)(1)當(dāng)ab>0時,常把f(x)稱為“對勾函數(shù)”.項目a>0,b>0a<0,b<0圖象定義域(-∞,0)∪(0,+∞)值域-∞,-2ab∪奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間:(-∞,-ba)和(b減區(qū)間:(-ba,0)和(0,b增區(qū)間:(-ba,0)和(0,b減區(qū)間:(-∞,-ba)和(b漸近線一條是直線y=ax,另一條是x=0(2)當(dāng)ab<0時,常把f(x)稱為“飄帶函數(shù)”.項目a>0,b<0a<0,b>0圖象定義域(-∞,0)∪(0,+∞)值域(-∞,+∞)奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間:(-∞,0)和(0,+∞)減區(qū)間:(-∞,0)和(0,+∞)漸近線一條是直線y=ax,另一條是x=0【對點訓(xùn)練】1.已知x∈12,2,則①函數(shù)f(x)=25x+9x的值域為__________;②函數(shù)g(x)=25x-【解析】①易知函數(shù)f(x)=25x+9x在12,2上為“對勾函數(shù)”的一部分,解方程25x=9x得x=35(負(fù)根舍去),所以f(x)在12,35上單調(diào)遞減,在35,2上單調(diào)遞增,f(2)=1092,所以f(x)min=f(3f(x)max=f(2)=1092②易知函數(shù)g(x)=25x-9x在12,2上為“飄帶函數(shù)”的一部分,且g(x)在12,2上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(12)=-112,g(x答案:①30,10922.函數(shù)f(x)=x2-ax+1≥0在-3,12內(nèi)恒成立,則實數(shù)a【解析】當(dāng)x∈-3,0時,由x2-ax+1≥0,得a≥x+1x,所以a≥x當(dāng)x=0時,f(0)=1≥0成立,a∈R;當(dāng)x∈0,12時,a≤x+綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是-2,5答案:-2,3.方程x2-mx+1=0的兩根為α,β,且α>0,1<β<2,則實數(shù)m的取值范圍是__________.

【解析】由題意可知,α+β=mαβ=1,所以m=β+1β,β∈1,2,形如函數(shù)f(x)=x+1x在1,2上是增函數(shù),所以可直接得到m∈f(1),f(2),答案:2,4.設(shè)函數(shù)f(x)=x-1x,對任意的x∈1,+∞,f(mx)+mf(x)<0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是【解析】顯然m≠0,由于函數(shù)f(x)=x-1x在1,+∞上是增函數(shù),則當(dāng)m>0時,f(mx)+mf(x)=2mx-1+m2mx,是形如f(x)=ax+bx(a>0,b<0)的函數(shù).在1,+∞上單調(diào)遞增,則f(mx)+mf(x)<0不恒成立,當(dāng)m<0時,f(mx)+mf(x)=2mx-1+m2mx,是形如f(x)=ax+bx(a<0,b>0)的函數(shù).因此,當(dāng)x=1時,f(mx)+mf(x)的最大值為m-1m,于是f(mx)+mf(x)<0恒成立等價于f(mx)+mf(x),x∈1,+∞的最大值小于0,即解得m<-1,所以實數(shù)m的取值范圍是-∞,-1.答案:-∞,-1【重難突破】求函數(shù)的值域基本初等函數(shù)的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當(dāng)a>0時,值域為[4ac-b24a,+∞);當(dāng)a<0時(3)y=kx(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞)(4)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0,且a≠1)的值域是R.類型一直接法(觀察法)對于較簡單的函數(shù),直接觀察即可確定函數(shù)的值域.[例1](1)(多選題)下列函數(shù)中,值域為[1,+∞)的是 ()A.y=x-1 B.y=|xC.y=x2+1 D.y【解析】選BC.對于A,函數(shù)的值域為[0,+∞),所以該選項不符合題意;對于B,因為|x|≥0,所以|x|+1≥1,所以函數(shù)的值域為[1,+∞),所以該選項符合題意;對于C,因為x2≥0,所以x2+1≥1,所以x2+1≥1,所以函數(shù)的值域為[1,+∞),對于D,函數(shù)的值域為(0,+∞),所以該選項不符合題意.(2)函數(shù)f(x)=(x+1)2,-2≤【解析】當(dāng)-2≤x<1時,f(x)=(x+1)2,為開口向上,對稱軸為x=-1的拋物線,所以f(x)∈[0,4);當(dāng)1≤x≤3時,f(x)=-x+5,為單調(diào)遞減函數(shù),所以f(x)∈[2,4],綜上,f(x)∈[0,4],即f(x)的值域為[0,4].答案:[0,4]【對點訓(xùn)練】1.函數(shù)y=16-2x【解析】因為16-2x≥0,即2x≤16,所以x≤4,所以2x∈(0,16],所以16-2x∈[0,16).y=16-2x∈答案:[0,4)2.函數(shù)f(x)=23x+1【解析】易得3x+1∈(1,+∞).得f(x)=23x+1故函數(shù)f(x)=23x+1+1答案:(1,3)類型二配方法形如函數(shù)y=a[f(x)]2+bf(x)+c的最值問題,可以考慮用配方法.[例2]函數(shù)y=-x2【解析】因為函數(shù)y=-x2+所以0≤y≤32,所以函數(shù)的值域為