2025版 數(shù)學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版第六章 第五節(jié) 第1課時 余弦定理、正弦定理含答案

13版數(shù)學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版第六章第五節(jié)第1課時余弦定理、正弦定理第五節(jié)解三角形第1課時余弦定理、正弦定理【課程標準】借助向量的運算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理.【考情分析】考點考法:本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,考查正、余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,同時也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點進行綜合考查.核心素養(yǎng):數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.正弦定理條件在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC的外接圓半徑內(nèi)容asinA=bsinB變形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=【微點撥】已知兩邊及一邊的對角,利用正弦定理解三角形時,注意解的個數(shù)討論,可能有一解、兩解或無解.2.余弦定理條件在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c內(nèi)容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC變形cosA=b2cosB=c2cosC=a3.三角形常用面積公式(1)S=12a·ha(ha表示a邊上的高)(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA(3)S=12r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑)【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號13241.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.在三角形中,已知兩邊及其一邊的對角,不能用余弦定理求解三角形B.余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系,因此它適用于任何三角形C.利用余弦定理,可以解決已知三角形三邊求角的問題D.在三角形中,勾股定理是余弦定理的特例【解析】選BCD.在三角形中,已知兩邊及其一邊的對角,可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的方程,解方程得第三邊,故A錯誤;余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系,它適用于任意三角形,故B正確;余弦定理可以直接解決已知三邊求角,已知兩邊及其夾角求第三邊的問題,故C正確;當夾角為90°時,余弦定理就變成了勾股定理,故D正確.2.(應(yīng)用正弦定理求角時漏解)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,則B等于 ()A.30° B.45°C.30°或150° D.45°或135°【解析】選D.由正弦定理asinA=bsinB得1sin30°=2sinB,sinB=22又因為0°<B<150°,所以B=45°或135°.3.(必修第二冊P48練習T2·變條件)在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,則最長邊c=________.

【解析】在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,36=108+c2-123×32c,化簡得c2-18c+72=0,解得c=6或c因為c是最長的邊,所以c=12.答案:124.(2023·上海高考)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊a=4,b=5,c=6,則sinA=__________.

【解析】a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cosA=b2+c2-又因為A∈(0,π),所以sinA>0,所以sinA=1-cos2A答案:7【核心考點·分類突破】考點一利用正、余弦定理解三角形[例1](1)(2023·北京高考)在△ABC中,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則C=()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】選B.由正弦定理知,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)可化為(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若A=2π3,bc=3,且b+c=52a,則a=(A.23 B.33 C.22 D.32【解析】選A.因為A=2π3,bc=3,且b+c=52cosA=b2+c2-a22bc=(b+c)(3)(多選題)(2023·蚌埠模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列各組條件中使得△ABC有兩個解的是 ()A.a=23,b=4,A=πB.a=23,b=4,cosA=3C.a=23,b=4,C=πD.a=23,b=4,B=π【解析】選AB.A選項,bsinA=4×sinπ6=2,bsinA<a<b,所以△ABC有兩個解,A選項正確.B選項,a<b,cosA>0,A為銳角,sinA=1-cos2A=45,bsinbsinA<a<b,所以△ABC有兩個解,B選項正確.C選項,由余弦定理得c=a2+b2-D選項,asinB=23×12=3,asinB<a<b,所以△ABC有唯一解【解題技法】應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧(1)求邊:利用正弦定理變形公式a=bsinAsinB等或余弦定理a2=b2+c2-2bc(2)求角:利用正弦定理變形公式sinA=asinBb等或余弦定理變形公式cosA=(3)利用式子的特點轉(zhuǎn)化:如出現(xiàn)a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.【對點訓練】1.(2023·全國乙卷)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,則∠B= (A.π10 B.π5 C.3π10 D【解析】選C.由題意結(jié)合正弦定理可得sinA·cosB-sinBcosA=sinC,即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,整理可得sinBcosA=0,由于B∈(0,π),故sinB>0,據(jù)此可得cosA=0,A=π2,則B=π-A-C=π-π2-π52.(2023·全國甲卷)在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=6,D為BC上一點,AD為∠BAC的平分線,則AD=________.

【解析】如圖所示,記AB=c,AC=b,BC=a,方法一:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos60°=6,因為b>0,所以b=1+3.由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得,12×2×b×sin60°=12×2×AD×sin30°+12×AD解得AD=3b1+b2方法二:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos60°=6,因為b>0,所以b=1+3.由正弦定理可得,6sin60°=bsinB=2sinC,解得sin因為1+3>6>2,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°,又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2.答案:23.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=39,b=2,A=120°.(1)求sinB的值;(2)求c的值;(3)求sin(B-C)的值.【解析】(1)a=39,b=2,A=120°,則sinB=bsinAa=2×(2)a=39,b=2,A=120°,則a2=b2+c2-2bc·cosA=4+c2+2c=39,化簡整理可得,(c+7)(c-5)=0,解得c=5(負值舍去);(3)因為a>c>b,所以B,C為銳角,所以cosB=1-sinc=5,a=39,A=120°,則sinC=csinAa=5×3239=513所以sin(B-C)=sinBcosC-sinCcosB=1313×33926-51326【加練備選】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3,sinB=32,C=π6,則c= (A.3 B.3或3C.32或3 D.【解析】選B.由正弦定理知asinA=csinC,則c=asinCsinA=32sinA,sin因為sinB=32,所以cosB=±1-sin2B=±12,故B=π3或2π3.又C=π6,故均滿足題設(shè).當B=π3時,sinA=1,此時c=32;當B考點二利用正、余弦定理判斷三角形形狀[例2](1)(2023·綏化模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acosA=bcosB=ccosC,則△ABC的形狀是 ()A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.三邊比為1∶2∶3的三角形【解析】選B.因為acosA=bcosB,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因為A,B為三角形的內(nèi)角,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2同理可得B=C或B+C=π2.當A=B時,B+C=π2不可能成立(三角形內(nèi)角和不等于π);當B=C時,A+B=π2不可能成立;當A+B=π2時,B+所以只有A=B=C,即△ABC為等邊三角形.(2)(2023·重慶模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a-b+①求A;②若b-c=33a,證明:△ABC是直角三角形【解析】①由a-b+cc=ba+b-c整理可得,bc由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc②由b-c=33a及正弦定理可得,sinB-sinC=33sinA=所以sinB-sin(2π3-B)=sinB-32cosB-12sinB=12sinB-32cosB=sin(B-因為B∈(0,2π3),所以B-π3∈(-π3,π3),所以B-π3=π6,所以B=【解題技法】三角形形狀的判定方法(1)通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,如a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC等,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷.此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系,如sinA=sinB?A=B;sin(A-B)=0?A=B;sin2A=sin2B?A=B或A+B=π2等(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊,如sinA=a2R,cosA=b提醒:1.注意無論是化邊還是化角,在化簡過程中是否出現(xiàn)公因式;2.在判斷三角形形狀時一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隱含條件.另外,在變形過程中要注意角A,B,C的范圍對三角函數(shù)值的影響.【對點訓練】1.在△ABC中,sinA=45,cosB=413,則該三角形是 (A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.無法判斷【解析】選A.根據(jù)題意,sinB=31713>45于是B>A,從而A,B為銳角.又sinA=45>22=sinπ4,于是A+B>2A因此C為銳角,所以△ABC為銳角三角形.2.(多選題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足c2-a2+b2=(4ac-2bc)cosA,則 ()A.△ABC一定為直角三角形B.△ABC可能為等腰三角形C.角A可能為直角D.角A可能為鈍角【解析】選BC.由余弦定理可得2bccosA=(4ac-2bc)cosA,化簡可得bcosA=(2a-b)cosA.當cosA=0時,A=90°,此時△ABC為直角三角形;當cosA≠0時,可得b=2a-b,即a=b,此時△ABC為等腰三角形,cosA=b2+c2考點三正、余弦定理的綜合應(yīng)用【考情提示】正、余弦定理在高考中一般綜合考查,主要考查三角形的面積、周長、與邊有關(guān)或與角有關(guān)的最值范圍問題.角度1三角形面積問題[例3](一題多法)(2023·泉州模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足ccosB+(b+2a)cosC=0.(1)求C;(2)若CD平分∠ACB,且AD=2DB,CD=2,求△ABC的面積.【解析】(1)方法一:因為ccosB+(b+2a)cosC=0,所以由正弦定理可得,sinCcosB+(sinB+2sinA)cosC=0,即sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0,sin(B+C)+2sinAcosC=0,所以sinA+2sinAcosC=0,又sinA>0,所以cosC=-12.因為C∈(0,π),所以C=23方法二:在△ABC中,由余弦定理得cosB=a2+c2-又因為ccosB+(b+2a)cosC=0,所以a2+c2-b22a+a2+b2-所以cosC=a2+b2-c22ab=-12(2)方法一:因為AD=2DB,所以CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=2兩邊平方得,CD2=49CB2+19CA2+49CB·CA,即4a又因為CD平分∠ACB,所以ba=ADDB=2,即b=2a由①②,解得a=3,b=6,所以S△ABC=12absin∠ACB=9sin23π=方法二:在△ABC中,AD=2DB,所以ADDB=2.又因為CD平分∠ACB,所以ba=即b=2a①.在△ACD中,由余弦定理,得CA2+CD2-AD2=2CA·CDcos∠ACD,即b2+4-49c2=2b②在△BCD中,由余弦定理,得CD2+CB2-BD2=2CD·CBcos∠DCB,即4+a2-19c2=2a③由①②③解得a=3,b=6,所以S△ABC=12absin∠ACB=9sin23π=方法三:過D點作DE∥AC交CB于點E,因為∠ACB=120°,且CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠CDE=∠DCE=60°,所以△CDE為等邊三角形,所以CD=CE=DE=2.又因為DEAC=BEBC=BDBA所以BC=3,AC=6,所以S△ABC=12absin∠ACB=9sin23π=【解題技法】求解三角形面積問題的方法技巧(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值),結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積,代入公式求面積.(2)若已知三角形的三邊,可先求其中一個角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面積.【加練備選】(2022·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面積.【解析】(1)由于cosC=35,sinC>0,則sinC=4由正弦定理知4sinA=5sinC,則sinA=55(2)因為a=54c,cosC=35>0,所以C>A,C<π2,則A<C故b=acosC+ccosA=35a+255c=115a=11,則a=5,S△ABC=12角度2三角形中的最值與范圍問題[例4]金榜原創(chuàng)·易錯對對碰(1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(2a-b)cosC=ccosB,①求角C;②若c=2,求△ABC面積的最大值.(2)設(shè)△ABC內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosC+12c=①求角A的大小;②若a=2,求銳角△ABC面積的取值范圍.【解析】(1)①因為(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB,所以2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.因為A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosC=12,因為C∈(0,π),所以C=π②因為c2=a2+b2-2abcosC,所以4=a2+b2-ab≥ab,當且僅當a=b=2時取等號,所以S△ABC=12absinC=34ab≤當a=b=2時,S△ABC取最大值3.(2)①因為acosC+12c=b,所以由正弦定理,得sinAcosC+12sinC又在△ABC中,sinB=sin(π-B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC+12sinC=sinAcosC+cosAsinC,則12sinC=cosAsin又0<C<π,則sinC>0,所以cosA=12,又0<A<π,所以A=π②因為a=2,則bsinB=csinC=asinA=2×23=43,所以b=43S△ABC=12bcsinA=12×43sinB×43sinC×32=433sinBsinC=43=433sinB(32cosB+12sinB)=2sinBcosB+=sin2B+33(1-cos2B)=233(32sin2B-12cos2B)+33=233sin(因為△ABC為銳角三角形,所以0<B<π2π3+B>π2,解得B∈(π6所以12<sin(2B-π6)≤1,故233<233sin(2B-π6)+33≤3,則S△【解題技法】解三角形中的最值或范圍問題的兩種解法(1)將問題表示為邊的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;(2)將問題用三角形某一個角的三角函數(shù)表示,利用三角函數(shù)的有界性,單調(diào)性再結(jié)合角的范圍確定最值或范圍.【對點訓練】(2023·牡丹江模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a+2c=bcosC+3bsinC.(1)求角B;(2)若b=3,求△ABC周長的取值范圍.【解析】(1)因為a+2c=bcosC+3bsinC,整理得,sinA+2sinC=sinBcosC+3sinBsinC,sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+3sinBsinC,cosBsinC+2sinC=3sinBsinC,因為sinC≠0,所以3sinB-cosB=2,sin(B-π6)=1,B-π6=π2,可得,B(2)因為asinA=csinC=bsinB=3sin2π3=23,所以a=2所以周長=a+b+c=23sinA+23sinC+3=23(sinA+sin(A+2π3))=23(12sinA+32cosA)+3=23sin(A+π3)+3,因為0<A<π3,所以π3<A32<sin(A+π3)≤1,所以△ABC周長的取值范圍為(6,3+23【加練備選】(2023·合肥模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2a-c(1)求角B的大小;(2)若BC的中點為D且AD=3,求a+2c的最大值.【解析】(1)因為2a-ccosC=b所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB,所以2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,又0<A<π,所以sinA≠0,所以cosB=12,又0<B<π,所以B=π(2)設(shè)∠BAD=θ,則在△ABD中,由B=π3知0<θ<2π由正弦定理得BDsinθ=ABsin(2π3-θ)=ADsinπ又BD=a2,所以a=4sinθ,c=2sin(2π3-θ),所以a+2c=4sinθ+4sin(2π3=6sinθ+23cosθ=43sin(θ+π6).因為0<θ<2π3,所以π6<θ+π所以12<sin(θ+π6)≤1,所以23<a+2c≤43,所以a+2c的最大值為4第2課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【課程標準】能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.【考情分析】考點考法:正、余弦定理的應(yīng)用主要解決與距離、高度、角度等有關(guān)的實際問題,主要以選擇、填空題的形式考查.核心素養(yǎng):數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖①).2.方位角從正北方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角.如點B的方位角為α(如圖②).【微點撥】仰角與俯角是相對水平線而言的,而方位角是相對正北方向而言的.3.方向角相對某一正方向的水平角,即從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏東α,南偏西α.特別地,若目標方向線與指北或指南方向線成45°角,則稱為東北方向、西南方向等.(1)北偏東α,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③);(2)北偏西α,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向;(3)南偏西等其他方向角類似.4.坡角與坡度(1)坡角:坡面與水平面所成的二面角(如圖④,角θ為坡角).(2)坡度:坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④,i為坡度),坡度又稱為坡比.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號13241.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.東南方向就是指南偏東45°的方向B.若從A處看B處的仰角為α,從B處看A處的俯角為β,則α+β=180°C.點A在B的南偏西20°方向上,若以點B為基點,則點A的方位角為200°D.俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為[0,π2【解析】選AC.根據(jù)方向角與方位角的定義知A,C正確.根據(jù)仰角、俯角的定義可知B,D錯誤.2.(弄錯方向角的含義)如圖所示,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站的南偏西40°方向上,燈塔B在觀察站的南偏東60°方向上,則燈塔A在燈塔B的 ()A.北偏東10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏東80°方向上D.南偏西80°方向上【解析】選D.由條件及題圖可知,△ABC為等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°方向上.3.(必修第二冊P49例9·變條件)如圖所示,為測量河對岸一點C與岸邊一點A之間的距離,已經(jīng)測得岸邊的A,B兩點間的距離為m,∠CAB=α,∠CBA=β,則C,A間的距離為 ()A.msinβsinαC.msinβsin(α【解析】選C.因為ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以AC=4.(2021·全國甲卷)2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖,現(xiàn)有A,B,C三點,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C點測得B點的仰角為15°,BB'與CC'的差為100;由B點測得A點的仰角為45°,則A,C兩點到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'約為(3≈1.732) ()A.346 B.373 C.446 D.473【解析】選B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q為相應(yīng)的垂足(圖略),由題意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100tan15°·sin45°sin75°=100cos15°sin45°sin15°sin75°=502sin【核心考點·分類突破】考點一測量距離問題[例1](1)(2023·龍巖模擬)如圖所示,為了測量A,B兩處島嶼的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°,北偏東45°方向,再往正東方向行駛20海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為 ()A.206海里 B.106海里C.20(1+3)海里 D.10(1+3)海里【解析】選B.在三角形ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得CDsin45°=ACsin105°=20×(sin60°cos45°+cos60°sin45°)sin45°=10(3+1).在三角形BCD中,∠BDCAB=AC2+B(2)蕭縣的蕭窯、淮南的壽州窯和蕪湖的繁昌窯是安徽三大名窯.如圖為蕭窯出土的一塊三角形瓷器片,其一角已破損.為了復原該三角形瓷器片,現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù):AB=34.64cm,AD=10cm,BE=14cm,A=B=π6,則D,E兩點間的距離為__________cm.(參考數(shù)據(jù):3≈1.【解析】如圖,延長AD,BE交于點C,因為A=B=π6,所以C=2π故ACsinB=BCsinA=ABsinC,所以AC=BC=34由題意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=2π3,故DE==14(cm),故D,E兩點間的距離為14cm.答案:14【解題技法】距離問題的類型及解法(1)類型:①兩點間既不可達也不可視,②兩點間可視但不可達,③兩點都不可達.(2)解法:選擇合適的輔助測量點,構(gòu)造三角形,將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.【對點訓練】1.(2023·青島模擬)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,若要測量如圖所示某藍洞洞口邊緣A,B兩點間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則A,B兩點的距離為__________海里.

【解析】在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,∠CAD=180°-150°-15°=15°,所以AD=CD=8,所以AC=64+64-2×8×8×cos150°在三角形BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°-15°-135°=30°,由正弦定理得8sin30°=BC=8·sin15°sin30°=16×sin(45°-30°)=16×(22×32-22×12在三角形ABC中,∠ACB=120°,所以AB=A=256+64×2+3×2-3答案:852.(2023·吉安模擬)如圖,洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù),現(xiàn)準備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺P,已知射線AB,AC為濕地兩邊夾角為120°的公路(長度均超過2千米),在兩條公路AB,AC上分別設(shè)立游客接送點M,N,從觀景臺P到M,N建造兩條觀光線路PM,PN,測得AM=2千米,AN=2千米.(1)求線段MN的長度;(2)若∠MPN=60°,求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值.【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN,即MN2=22+22-2×2×2×(-12)=12,可得MN=23,所以線段MN的長度為23千米(2)設(shè)∠PMN=α∈(0,2π3),因為∠MPN=π3,所以∠PNM=2π3在△PMN中,由正弦定理得MNsin∠MPN=PMsin∠PNM=PNsin∠所以PM=4sin∠PNM=4sin(2π3-α),PN=4sin∠PMN=4sinα因此PM+PN=4sin(2π3-α)+4sinα=4(32cosα+12sinα=6sinα+23cosα=43sin(α+π6),因為0<α<2π3,所以π6<α+π6<5π6,所以當α+π6=π2,即α=π3考點二測量高度問題[例2](1)如圖,某同學為測量鸛雀樓的高度MN,在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB,高約為37m,在地面上點C處(B,C,N三點共線)測得建筑物頂部A,鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°,在A處測得鸛雀樓頂部M的仰角為15°,則鸛雀樓的高度約為 ()A.91m B.74m C.64m D.52m【解析】選B.在Rt△ABC中,AC=2AB=74,在△MCA中,∠MCA=105°,∠MAC=45°,則∠AMC=180°-∠MCA-∠MAC=30°,由正弦定理得MCsin∠MAC=即MCsin45°=74sin30°,解得MC=742,在Rt△MNC(2)一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛,在A,B,C三處測得道路一側(cè)山頂P的仰角分別為30°,45°,60°,其中AB=a,BC=b(0<a<3b),則此山的高度為 ()A.122ab(aC.125ab(a【解析】選D.如圖,設(shè)點P在地面上的投影為點O,則∠PAO=30°,∠PBO=45°,∠PCO=60°,設(shè)山高PO=h,則AO=3h,BO=h,CO=3h在△AOC中,cos∠ABO=-cos∠CBO,由余弦定理可得:a2+h整理得h2=3ab(a+b【解題技法】測量高度問題的求解策略(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是關(guān)鍵.(2)在實際問題中,若遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.【對點訓練】1.(2023·廣州模擬)赤崗塔是廣州市級文物保護單位,是廣州市明代建筑中較具特色的古塔之一,與琶洲塔、蓮花塔并稱為廣州明代三塔.如圖,在A點測得塔底位于A點北偏東60°方向上的點D處,塔頂C的仰角為30°,在A的正東方向且距D點61m的B點測得塔底位于B點北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),則塔的高度CD約為(參考數(shù)據(jù):6≈2.45) ()A.40m B.45m C.50m D.55m【解析】選C.由題意,BD=61,∠DAB=30°,∠DBA=45°,所以ADsin45°=61sin30°,則AD=612m,又∠DAC所以CD=13AD=13×6122.(2023·江門模擬)某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C處進行該儀器的垂直彈射,觀測點A,B兩地相距100米,∠BAC=60°,BC的距離比AC短40米.A地測得該儀器彈至最高點H時的仰角為30°.(1)求