高中數(shù)學(xué)：崇仁中學(xué)高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)十四答案

第14練三角恒等變換

W--積累運(yùn)用

【知識(shí)梳理】

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式

兩角和的余弦公式：cos(a+/?)=cosacos4一sinasinfi

兩角差的余弦公式：cos(a一夕)=cosacos夕+sinasin夕

兩角和的正弦公式：sin(a+/?)=sinacos尸+cosasinp

兩角差的正弦公式：sin(a一夕)=sinacosy?—cosccsin[i

FA-,八tana+tani?

兩角和的正切公式：tan(a+￡)=~~;7

x1—tanatanp

f-axeff八j八tana-Imp

兩角差的正切公式：tan(a—￡)7—7

f1+tanatanp

2.二倍角公式

三角函數(shù)公式簡(jiǎn)記

正弦sin2a=2sinacosaS2?

余弦cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2aC2a

八2tana

正切tan2a—.,T2a

1—tam9

二倍角公式的變形

(1)升基公式：1+cos2a=2cos2a；

1—cos2a=2sin2a.

mb，、4c1+cos2a_1-cos2a

⑵降慕公式：cos2a=2；sin2a=3.

(3)用正切來表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“萬能公式”，公式如下:

2sinacosa2tana

l)sin2a=2sinacosa二即sin2a="j，n.

sin2a+cos2a1+tan2a'1十tan2a

.cos2a-sin2a1—tan2a1—tan2a

2)cos2a—cos2asin2a——~\——T~~\T-,即cos2a=T+^-

sinza十cos2a1十tan2a

3.半角公式

.a1—cosa

sin2=2~

1-cosasina1—cosa

1+cosa1+cosasina

4.輔助角公式

asinx+/?cosx=\a?+b2sin(x+其中tan

5.積化和差與和差化積公式

（1）積化和差公式

sinacos或=g[sin（a+尸）+sin（a一尸）[.

cosasinS=][sin(cc+夕)-sin(a-p)].

cosacos/?=][cos(a+A)+cos(a一夕)J.

sinasin/J=-2[cos(cc+^)-cos(a-^)].

⑵和差化積公式

sina+sin^=2sincos-

sina-sin尸=2cos-^~sin—3

a+Ba-,

cosa+cos/?=2cos?cos].

cosa—cos￡=_2sin2廣sin?廠.

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】

1.求角時(shí)忽視角的范圍.

2.求值或求角時(shí)忽視角的范圍.

3.公式中加減符號(hào)易記錯(cuò).

4.半角公式符號(hào)的判斷，實(shí)際問題中的定義域.

基礎(chǔ)過關(guān)練

JT3

1.（2021?山西?呂梁學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)高三期中（文））若cos（：-a）==,則sin2?=（）

247

C.D.

2525

【答案】B

【解析】

3372

=>cosa+s\na=-----

55

n1+sin2a=—=>sin2a=--

2525

故選：B.

2.（2021.河南許昌.高二期末（文））函數(shù)F（x）=s嗚+cos郛最小正周期和最小值分別是（

A.兀和B.2兀和一2C.4兀和一夜D.4兀和-2

【答案】C

【解析】

/（x）=sin]+cos]=V2sin^+-^j

2n_

所以f（x）的最小正周期為丁=4無

2

的最小值為-五,

故選：C.

TT

3.（2021?江蘇連云港?高一期末）sin方的值是（）

A瓜+?D顯-?-^6+5/2-76-V2

rD.

4444

【答案】B

4.（2021?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）已知cosa-cos夕=g,sina-sin/=g,則cos（a-/7）=

【答案】|59|

【解析】

]1\2121

由cosa—cos/?=—,sina-sin尸=§得至U：(cosa-cosp)~=—,(sina-sinpy=-,

13

所以cos2a+cos2y?4-sin2a+sin2/?-2(cosacos夕+sinasin/)=不，

1359

即2—2cos(a—￡)=w=cos(a-/)二石.

,59

故答案為：—.

72

5.(2021?新疆?新和縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末)若方程d+3"+3〃+]=o的兩個(gè)根為tanA,tanB,則

tan(A+B)=.

【答案】1

【解析】

因?yàn)榉匠蘹2+3ax+3a+\=0的兩個(gè)根為tanA,tanB,

所以tanA+tanB=-3a,tanAtan5=3a+1,

z,tanA+tan8-3a.

所以的解+小匚氤^=匚函而=1，

故答案為：1.

6.(2021?黑龍江?哈爾濱市第三十二中學(xué)校高三期中(理))化簡(jiǎn)：

sin(e+105)cos('-15)-cos(6+105,in(e_15)=

【答案】B

2

【解析】

根據(jù)兩角差的正弦公式，可知

sin(0+105)cos(0-15)-cos(0+105)sin(^-15)=sin[(0+lO5)-(0-15)]=sinl20=^.

故答案為：B

2

7.(2021?江西?南昌縣蓮塘第二中學(xué)高一期末)已知函數(shù)〃x)=sin(dsin?x-gcos(x),則

/(1)+/(2)+-+/(2020)=.

【答案】1010.

【解析】

解：/(x)=sin-^A-^sin-^x--73cos-^-x^

=sin2—x-sin—xcos—x

444

1-cos-XV3.71

2------sin-x

22--2

nTT17V\Iy/3

/（l）=-sin—+—4--=-COS—+—=---------，

2626222

.TC1

/（2）=-sin兀+C+,=sin—+—=1,

6262

37r7i

/（3）=-sin一+一

26

1.乃1八

/（4）=-sin（2^+^+—=-sin—+—=0.

262

?，,〃l）+/X2）+/（3）+〃4）=g-^+l+g+^+0=2.

又〃X）的周期為4.

.1./（l）+/（2）+-+/（2020）=500[/（l）+/（2）+/（3）+/（4）]=505x2=1010.

故答案為：1010.

8.（2022安徽合肥?高一期末）已知cosa+sina=亞，。6小，》

242

（1）求tan2a；

（2）若tan（1一/）=一^^,求tan（2a+/?）.

【答案】（1）（2）—

159

【解析】

（I）因?yàn)閏osa+sina=^^,

2

2251

所以cosa+sin2a+sina=1+sin2a=-,即sin2a=—.

44

因?yàn)槎螅ǎ?1],所以2aw（],;rj,所以cos2a=-[^,

故tan2a=2=_姮.

cos2a15

（2）因?yàn)閠an（T一夕）=一/^,所以tan,=

_V15V15

所以tan(2a+0=tan2a+tan￡=一5叵.

1-tan2atanP>/15>/159

1+---x---

155

9.(2021?黑龍江?鶴崗一中高一期末)已知函數(shù)/OOusin'+Ksinxsinlx+^l

(1)求/(X)的最小正周期；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)求函數(shù)/&)在區(qū)間。，耳燈上的取值范圍.

TTTT3

【答案】(1)T=7r；(2)+k7r,—+k7r，4eZ；(3)fMG0,—

【解析】

(1)/(X)=sin2x+^sinxsin^x+y^=^|^+*sin2x=sin(2x-f+g

所以T=T.

(2)由---F2k1W2.x---?—F2&7,得---Fk.7rWxW—FATT,kcZ、

26263

jr7T

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是一二+k小工+k兀/wZ.

63

(3)由xe0,^^得2x-Jw~~Z,~271，所以sin(2x———>1,

_3J6|_66JI67L2_

所以f(x)e0,|.

10.(2021.云南?鶴慶縣第一中學(xué)高一期末)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同

一個(gè)常數(shù).

(1)sin213°+cos2l70-sin13°cos17°

(2)sin215°+cos2150-sin150cos15°

(3)sin218°+cos2120-sin18°cos12°

(4)sin2(-18°)+cos2480-sin(-18°)cos48°

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin(-25°)cos55°

I試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)

II根據(jù)(I)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論

【答案】見解析

【解析】(1)選擇(2),計(jì)算如下：sin215o+cos215O-sinl5%osl5o=l-；sin30o=2,

故這個(gè)常數(shù)為;3.

4

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式

r3

sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°-a)=-

4

證明：sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°-a)=sin2a+(孝cosa+；sina)2-sina(cos30°cosa+sin30°sina)

?2321.2-1.23.2,323

=sirra+—cosza+—sin-a+——sinacosa-——sinacosa--sinza=-sirra+—cosza="

44222444

11.（2021?四川達(dá)州?高一期末（理））如圖，某人身高1.73m,他站的地點(diǎn)A和云南大理文筆塔塔底。在同

水平線上，他直立時(shí)，測(cè)得塔頂M的仰角/MCE=22.8。（點(diǎn)E在線段上，忽略眼睛到頭頂之間的距離，

下同）.他沿線段AO向塔前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)8,在點(diǎn)5直立時(shí)，測(cè)得塔頂〃的仰角NMDE=48.3。：塔尖MN

的視角NATON=3.3°（N是塔尖底，在線段上）.

（1）求塔高M(jìn)O；

（2）此人在線段A。上離點(diǎn)。多遠(yuǎn)時(shí)，他直立看塔尖MN的視角最大？說明理由.

sin??R°qin4R3°

參考數(shù)據(jù)：g.一°3,1皿22.8。=。42.，63.5^=67.4x60,

【答案】（1）69.13m；（2）63.59m,理由見解析.

【解析】

解：(1)vZA/CE=22.8°,ZA/DE=48.3°,

ZDMC=25.5°.

CDsinACDM

在VCDW中，由正弦定理得,CM=

sinZDMC

又CD=1(XM?,

CM=100sin(180。-48.3。)_100sin48.3。

sin25.5°sin25.5°

IQOsin48.3^^22.8。

ME=CMsinZMCE==67.4m,

sin25.5°

所以，MO=ME+EO=67.4m+l.73m=69.13m.

ME67.4_67.4

(2)由(1)知,CE==160(m).

tanZ.MCEtan22.8°~0.42125

/.DE=CE-CD=60m.

???ZNDE=ZMDE-ZMDN=45°，

:.NE=DE=60m.

設(shè)此人應(yīng)在線段AO上的尸處，F(xiàn)O=xm,直立時(shí)，眼睛處于G點(diǎn),

則tan/MGE=絲，tanZNGE=—

x

tanZ.MGE-tanZ.NGE

tanZ.MGN=tan(ZMGE-/NGE)=

1+tanNMGE-tan/NGE

67.460

xx7.4<7.47.4

,67.46067.4x60-I67.4x602j67.4x60

尤+2Jx------------

xxXYX

當(dāng)且僅當(dāng)》=也生史，即x=63.59時(shí)，等號(hào)成立.

X

所以，他站在線段AO上到點(diǎn)。的距離為為63.59相處時(shí)，看塔尖MN的視角最大.

12.(2021?北京八中高一期中)對(duì)于定義域分別是修，七的函數(shù)y=f(x),y=g(x)規(guī)定：函數(shù)

/(X)?g(x),X€￡>/且XGD&

h(x)="f(x),xe?且x走Dg,

g(x),x任。/且XG%.

(I)若函數(shù)f(x)=」^,g(x)=sinx,xeR,寫出函數(shù)以外的解析式并求函數(shù)〃(x)值域；

sinx-1

(II)若g(x)=/(x+c),其中a是常數(shù)，且。€[0,加，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=/(x)及一個(gè)a的

值，使得"x)=cos4x,并予以證明.

sinx7rzi)

------,X。F2K7r,keZ

sinx-12力(X)值域?yàn)?8,-gu{l},

【答案】(I)〃(x)=，

.71

sinx,x=—+24萬,keZ

2

rr

(ID/(x)=sin2x+cos2x,?=—,證明見解析.

【解析】

(I)若函數(shù)/(此=.1-^(x)=sinX,XGR

sinx-1

則O/=(x|xw+2k兀、k￡Z1,D&=R,

當(dāng)了工生+24匹AcZ時(shí)，h(x)=s,n”.

2sinx-1

TT

當(dāng)x=5+2后),keZ時(shí),/z(x)=sinx；

sinx冗z)

------,xw—+2%1,4eZ

所以力(力=?sinx-1---2

s\nx,x=—+2k兀、keZ

當(dāng)了工￡+2攵江次￡2時(shí)，sinxe[-l,l),sinx-1G[-2,0),——-——G[-oo,——

2sinx-1I2

,,,sinx.1(1

此時(shí)hf(zx)x=-----=1+------e-oo,-,

sinx-1sinx-112_

IT

當(dāng)尤=—+2k冗,AwZ時(shí)，h(x)=sinx=1；

2

所以函數(shù)〃(幻值域?yàn)?-8,-g□{1},

冗

(II)/(x)=sin2x+cos2x,?,

貝1Jg(x)=f(x+a)=/[x+2)=sin2(x+q)+cos21x+?

=sin2x+—4-cos2x+—=cos2x-sin2x,

{2{2

所以〃(x)=/(x)-/(x+a)=(sin2x+cos2x)(co