教案：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊(cè) 集合及其表示方法

第一章集合與常用邏輯用語

1.1.1集合及其表示方法

第2課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握用列舉法和描述法表示集合；

2.能夠用區(qū)間表示集合.

3.在理解集合表示方法的過程中，列舉法的理解，以及區(qū)間可以用數(shù)軸形象地表示，

提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；對(duì)描述法的理解，提

升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).對(duì)給出的集合進(jìn)行化簡運(yùn)算后用區(qū)間表示，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)

算素養(yǎng).

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：集合的表示、區(qū)間.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)集合的特征性質(zhì)的理解及運(yùn)用特征性質(zhì)描述法來表示集合.

教學(xué)過程

【新課導(dǎo)入】

前面提到的集合都是用自然語言描述的，但在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常要使用符號(hào)來表示

集合.

設(shè)計(jì)意圖：承上啟下，自然過渡到本節(jié)課的內(nèi)容.

【探究新知】

知識(shí)點(diǎn)1列舉法

問題1：（1）由兩個(gè)元素0,1組成的集合如何用符號(hào)語言表示？

（2）24的所有正因數(shù)1,2,3,4,6,8,12,24組成的集合如何用符號(hào)語言表示？

（3）中國古典長篇小說四大名著組成的集合如何用符號(hào)語言表示？

師生活動(dòng)：閱讀教科書第5頁，給出列舉法的定義：把集合中的元素一一列舉出來（相

鄰元素之間用逗號(hào)要隔），并寫在大括號(hào)內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法.根據(jù)

列舉法的定義，學(xué)生回答，教師分析指導(dǎo).

預(yù)設(shè)的答案：（1）｛0,1｝；（2）｛1,2,3,4,6,8,12,24｝；（3）｛《紅樓夢》，《三

國演義》，《水滸傳》，《西游記》｝.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的具體實(shí)例出發(fā)，說明可用列舉法表示一類集合.

追問1：用列舉法表示集合時(shí)，要考慮元素的順序嗎？（一般不考慮元素的順序）

追問2：如何用列舉法表示:“不大于100的自然數(shù)組成的集合”?（｛0,1,2,3,...,

100））

教師點(diǎn)評(píng)：口，2｝與｛2,1｝表示同一個(gè)集合.但是，如果一個(gè)集合的元素較多，且能

夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)元素作

為代表，其他元素用省略號(hào)表示.例如，不大于100的自然數(shù)組成的集合，可表示為｛0,

1,2,3,...,100｝.

追問3：是不是只有有限集才可以用列舉法表示呢？（不是）

教師點(diǎn)評(píng):無限集有時(shí)也可用列舉法表示.例如，自然數(shù)集N可表示為｛0,1,2,3,,

n,...｝.

追問4：｛a｝與a相同嗎？（不同）

教師點(diǎn)評(píng)：｛目是只含一個(gè)元素的集合，這一個(gè)元素是a,要將｛a｝與它的元素a加以

區(qū)別，事實(shí)上，ae｛a｝.

知識(shí)點(diǎn)2描述法

問題2：以下集合用列舉法表示方便嗎？如果不萬便，你覺得可以怎樣表示？

(1)滿足x>3的所有數(shù)組成的集合外

(2)所有有理數(shù)組成的集合。.

師生活動(dòng)：與學(xué)生一起探討：顯然，用列舉法表示上述集合并不方便，但因?yàn)榧螻

中的元素x都具有性質(zhì)“x是大于3的數(shù)”，而不屬于集合N的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，

因此可以把集合A表示為U|x是大于3的數(shù)｝或k1x>3),

即A=U|x是大于3的數(shù)｝或A=k|x>3｝.類似地，Q中的每一個(gè)元素都具有性質(zhì)“是兩

個(gè)整數(shù)的商”，而不屬于0的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，因此可以把。表示為?｛x|x是兩

個(gè)整數(shù)的商｝或。=｛x|x=一,neZ,meZ,n0).

一n

教師總結(jié)：上述表示集合的方法中，大括號(hào)內(nèi)豎線的左邊是元素的形式，豎線的右邊

是只有這個(gè)集合中的元素才滿足的性質(zhì).

一般地，如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元

素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合/的一個(gè)特征性質(zhì).此時(shí)，集合/可以用

它的特征性質(zhì)p(x)表示為｛x10(x)｝.這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，

簡稱為描述法.

設(shè)計(jì)意圖：以問題為切入口，通過解決問題來引入新知，有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

提高分析問題解決問題的能力.

追問1：集合｛x>3｝與｛x|x〉3｝是相同的集合嗎？(不是)

教師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)集合的表示方法，集合｛x>3｝與｛x|x〉3｝是有區(qū)別的：前者表示的

是由不等式x>3組成的集合，其只包含一個(gè)元素，它是有限集；后者是滿足不等式X〉

3的所有數(shù)組成的集合，包含無窮多個(gè)元素，它是無限集.

【做一做】試用描述法表示下列集合：

（1）所有平行四邊形組成的集合（｛x1x是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形｝）

（2）所有能被3整除的整數(shù)組成的集合（｛X1A=3〃，77EZ｝）

（3）所有被3除余1的自然數(shù)組成的集合（｛x1尸3加1,77EN｝）

【想一想】集合｛X?N1A=3加1,77EZ）是不是表示“所有被3除余1的自然數(shù)組成的

集合”？

教師點(diǎn)評(píng)：集合｛x）（x）｝中所有在另一個(gè)集合/中的元素組成的集合，可以表示為

1/p（x）｝.

知識(shí)點(diǎn)3區(qū)間及其表示

閱讀教科書第7、8頁：區(qū)間及其表示

師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀后總結(jié)用區(qū)間表示集合：如果a〈6,則集合可簡寫為

［a,b\,并稱為閉區(qū)間；集合｛x1a〈x〈6｝可簡寫為（a,b）,并稱為開區(qū)間；集合｛x|a

可簡寫為［a,b）,集合｛x|a〈xW6｝可簡寫為（a,b\,并都稱為半開半閉區(qū)間.

【想一想】我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，那么區(qū)間可以用數(shù)軸形象地

表示嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生探討，教師總結(jié)：區(qū)間中，a,8分別稱為區(qū)間的左、右端點(diǎn)，從a稱

為區(qū)間的長度.區(qū)間可以用數(shù)軸形象地表示.例如，區(qū)間［-2,1）可用下圖表示，注意圖

中一2處的點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)，而1處的點(diǎn)是空心點(diǎn).在用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，實(shí)心點(diǎn)代表取得

到，空心點(diǎn)代表取不到.

-3-2-1O123x

【做一做】如果用“+8”表示“正無窮大”，用“一8”表示“負(fù)無窮大”，則:

實(shí)數(shù)集R可表示為區(qū)間；

集合k|xNa｝可表示為區(qū)間；

集合｛x|x>a｝可表示為區(qū)間；集合｛x|xWa｝可表示為區(qū)間；

集合｛x|x〈a｝可表示為區(qū)間；將區(qū)間［7,+8)用數(shù)軸表示為

預(yù)設(shè)的答案：(-8,+8)+8)(&+8)(—8,司(—8,己)

?，一

7x

【鞏固練習(xí)】

例1用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出它是有限集還是無限集.

(1)方程x(x—l)=0的所有解組成的集合A；

(2)平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合B.

(3)由直線尸-x+4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點(diǎn)組成的集合.

(4)不等式3x+4Nx的解集.

師生活動(dòng)：學(xué)生完成，教師點(diǎn)評(píng)，并思考選用哪種表示方法合適.

預(yù)設(shè)的答案：(1)因?yàn)椤：?是方程x(x-1)=0的解，而且這個(gè)方程只有兩個(gè)解，所

A={0,1).

(2)因?yàn)榧?的特征性質(zhì)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都大于零，因此

B={(x,y)|x>0,y>0}.

(3)用描述法表示該集合為滬{(x,y)|尸-x+4,x?N,4},或用列舉法表示該集合

為{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.有限集.

(4)由3x+4>x得2x>-4,所以x>-2,所以不等式3x+4>為的解集是［-2,+8).無

限集.

設(shè)計(jì)意圖：鍛煉學(xué)生分析問題、解決問題的能力.在這里可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和歸納集

合的兩種不同的表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)。事實(shí)上，列舉法表示的集合，其所包含的元素大多

都是能直接看出來的；描述法雖然更加簡潔，但是判斷一個(gè)對(duì)象是否是個(gè)集合的元素，

有時(shí)候并不容易。

例2用區(qū)間表示不等式的所有解組成的集合4

2

師生活動(dòng)：學(xué)生完成，教師點(diǎn)評(píng).

預(yù)設(shè)的答案：由2x-L>x可知,所以力=d,+oo).

222

設(shè)計(jì)意圖：本題是為了讓學(xué)生熟悉區(qū)間的記號(hào)而設(shè)置的.教學(xué)過程中可以讓學(xué)生畫出

對(duì)應(yīng)解集的數(shù)軸表示，這樣可以讓學(xué)生鞏固區(qū)間與數(shù)軸的關(guān)系。另外，本例的講解也是

為后續(xù)不等式解集的呈現(xiàn)做好鋪墊.

【課堂小結(jié)】

1.板書設(shè)計(jì)：

LL1集合及其表示方法(2)

「列舉法

(1)集合的表示方法(2)區(qū)間及其表示

描述法

例1例2

如果a〈兒則

隹入

果口區(qū)間名稱

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

隹A

果口區(qū)間數(shù)軸

{x\x>a}

{x\x>a}

{x\x<b}

{x\x<b]

練習(xí)：教科書第9頁練習(xí)A3,4,5題.

作業(yè)：

1.（2020?章丘區(qū)校級(jí)模擬）用列舉法可表示集合A={xeZ|-3<2x-l<3},則人=

2.教科書第9頁