2022-2023學(xué)年人教中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型分類必刷題 04 軸對(duì)稱重難點(diǎn)題型分類(含詳解)

高分必刷題-《軸對(duì)稱》重難點(diǎn)題型分類（原卷版）

題型一軸對(duì)稱圖形

1.已知M（a,3）和N（4,b）關(guān)于），軸對(duì)稱，則（”+6）20°8的值為.

2.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）

3.如圖，是小亮在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘，此時(shí)時(shí)鐘的實(shí)際時(shí)刻是（）

A.3：55B.8：053：05D.8：55

題型二角平分線的性質(zhì)

1.角平分線的定義

就是將角平分的射線。

2.角平分線的性質(zhì)

角平分線線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

3.角平分線的判定

到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上。

4.如圖，為△ABC中，ZC=90°，AO平分ZBAC,交BC于點(diǎn)￡>,48=10,

SAABD=15,則CD的長(zhǎng)為

BDC5.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（）A.三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三條

高所在直線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三條中線的交點(diǎn)

6.如圖，DC//AB,/BAD和NADC的角平分線相交于￡,過E的直線分別交DC,AB于CB兩點(diǎn).

（1）判斷AE與QE的位置關(guān)系.并說明理由:

（2）求證：AD^AB+DC

D

AB題型三垂直平分線的性質(zhì)與判定

1.垂直平分線的定義

經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線).

2.垂直平分線的性質(zhì)

垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等..

3.垂直平分線的判定

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

A.MemB.18cmC.19cmD.20cm

8.如圖，/8AC=110°,若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則/必。的度數(shù)是()

C.50°D.60°

9.如圖，已知在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)力，連接

(1)若乙4=40°,求NOBC的度數(shù)；

(2)若AB=10,QC=3,求線段的長(zhǎng)度.

Q

10.如圖，△ABC的外角NZMC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PDLAB

于。，PEIAC-fE.

(1)求證：BD=CE；

(2)若A8=6c〃z,AC=Wcm,求4力的長(zhǎng).

11.已知在△ABC中，/CAB的平分線AD與BC的垂直平分線Z)交于點(diǎn)￡>,

OM_LAB于M,￡W_LAC的延長(zhǎng)線于N.

(1)證明：BM=CN；

(2)當(dāng)NBAC=70°時(shí)，求/OCB的度數(shù).

12.如圖，點(diǎn)￡是NAOB的平分線上一點(diǎn)，ECLOA,EDLOB,垂足分別是C,D.

(1)NEC。和NEDC相等嗎？

(2)OC和。。相等嗎？(3)OE是線段CD的垂直平分線嗎？

題型四尺規(guī)作圖

13.人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第36頁(yè)告訴我們一種作一個(gè)角等于已知角的方法:

已知：ZAOB

求作：ZA'O'B',使NA'OB=/AOB.

作法：（1）如圖，以點(diǎn)、。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA,OB于點(diǎn)C、D：

<2）畫一條射線?；?，以點(diǎn)。為圓心，0C長(zhǎng)為半徑畫弧，交。女于點(diǎn)5

<3）以點(diǎn)、C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點(diǎn)D）

（4）過點(diǎn)D'畫射線00,則NA'OB=/AOB.

請(qǐng)你根據(jù)提供的材料完成

下列問題.

（1）這種作一個(gè)角等于已知角的方法的依據(jù)是（）

A.SASB.AASC.ASAD.SSS

(2)請(qǐng)你證明/40'8'=NA0&

14.已知“兩點(diǎn)之間，線段最短”，我們經(jīng)常利用它來(lái)解決兩線段和最小值問題.

(1)實(shí)踐運(yùn)用

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有

趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題：如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到

河邊飲馬后，再到B點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？畫出最短路徑并說明理由.

(2)拓展延伸

如圖2,點(diǎn)P,。是△ABC的邊A8、AC上的兩個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)贐C上找一點(diǎn)R,使得的周

長(zhǎng)最短(要求：尺規(guī)作圖，不寫作圖過程保留作圖痕跡).

?營(yíng)地3

?山峰4

15.按要求完成下列作圖，不要求寫作法，只

保留作圖痕跡.

(1)已知：線段48,作出線段AB的垂直平分線

(2)已知：ZAOB,作出乙408的平分線0C.

(1)題型五最短路徑問題

16.如圖，在△A8C中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，尸是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段

的長(zhǎng)度等于3P+EP最小值的是()

A.BCB.CEC.ADD.AC

17.已知NMON=40°,P為NMON內(nèi)一定點(diǎn)、,0M上有一點(diǎn)A,ON上有一點(diǎn)B,當(dāng)△以B的周長(zhǎng)取

最小值時(shí)，/AP8的度數(shù)是()A.40°B.100°C.140°D.50°

18.閱讀下列一段文字：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P](xi,yi)、P2(%2>”)，其兩點(diǎn)間的距離PiP2=

J（x「X2）2+（y]-y2）2問題解決:已知人口5),B(7,3)

（1）試求A、B兩點(diǎn)的距離;

（2）在x軸上找一點(diǎn)P（不求坐標(biāo)，畫出圖形即可），使以+PB的長(zhǎng)度最短，求出M+P8的最短長(zhǎng)度.

（3）在x軸上有一點(diǎn)M,在y軸上有一點(diǎn)N,連接A、N、M、8得四邊形ANM8,若四邊形AMW8的

周長(zhǎng)最短，請(qǐng)找到點(diǎn)M、N（不求坐標(biāo)，畫出圖形即可），求出四邊形AMWB的最小周長(zhǎng).

題型六等腰三角形的性質(zhì)與判定

1.定義：兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

2.等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高重合。（簡(jiǎn)稱：三線合一）

19.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4和6,則它的周長(zhǎng)是（）

A.14B.16C.18D.14或16

20.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=100°,AB的垂直平分線OE分別交AB、BC于點(diǎn)。、E,則

NBAE=（）

21.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°,則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是

22.下列說法中正確的是（）

①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；

②等腰三角形兩腰上的高相等；③等腰三角形的中線也是它的高；

④線段垂直平分線上的點(diǎn)（不在這條線段上）與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形

A.①@③④B.①②③C.①@④D.②③④

23.如圖，點(diǎn)C在線段48上，AD//EB,AC=BE,AD=BC,DE與BC交于點(diǎn)G,C尸平分NOCE.

（1）求證：為等腰三角形；

（2）試判斷CF、Z）E的位置關(guān)系，并說明理由.

D

在等腰Rt^ABC中，N4CB=90°,。為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作

CG_L4D于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作FBLCB于點(diǎn)B,交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接力尸交A8于點(diǎn)E.

(1)求證：△ACO絲△CBF；

(2)求證：AB垂直平分。F；

(3)連接AF,試判斷△ACF的形狀，并說明理由.

25.已知：如圖，ZXABC中，NABC=45°,CDJ_AB于力，BE平分NABC,且BE_LAC于E,與CD

相交于點(diǎn)F,”是BC邊的中點(diǎn)，連接?！迸cBE相交于點(diǎn)G.

(1)求證：BF—AC-,

(2)求證：CE=LF；

2

1、等邊三角形的性質(zhì)：①三邊相等；②三個(gè)角都等于60。；③30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。

2、等邊三角形的判定：①三條邊相等；②兩個(gè)角等于60。；③兩邊相等+一個(gè)60。的角。

26.下面給出幾種三角形：（1）有兩個(gè)角為60°的三角形；（2）三個(gè)外角都相等的三角形；（3）一邊上的

高也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個(gè)角為60°的等腰三角形，其中是等邊三角形的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

27.如圖，在△4BC中，AB=AC,ZBAC=120°,。為BC中點(diǎn)，DELABTE,AD=4,求線段BE的

MNA.BC于點(diǎn)M,PNJ_4C于點(diǎn)N.

（1）求證：△PMN是等邊三角形;

（2）若AB=18CH,求CM的長(zhǎng).

29.如圖，ZXABC是等邊三角形，BDLAC,AELBC,垂足分別為。、E,AE.BD

相交于點(diǎn)O,連接。E.

（1）判斷△8E的形狀，并說明理由.

（2）若40=12,求OE的長(zhǎng).

A

-30.已知，如圖，ZVIBC為等邊三角形，AE=CD,AO、BE相交于點(diǎn)P,BQ

_LA￡)于Q,PQ=3,PE=\.

(1)求證：△ABEg^CA。；

(2)求NBPQ的度數(shù)；

J

K

c

(3)求AC的長(zhǎng)./)

高分必刷題-《軸對(duì)稱》重難點(diǎn)題型分類(解析版)

題型一軸對(duì)稱圖形

1.已知M(a,3)和N(4,b)關(guān)于)，軸對(duì)稱，則(a+b)20°8的值為

【解答】解：VM(a,3)和N(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，-4,h=3,

：.(a+b)2008=(-4+3)2008=1.故答案為：1.

2.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是()

C.D.

【解答】解：選項(xiàng)A、8、D均能找到這樣的一條直線，使這個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)C不能找到這樣的一條直線，使這個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故選：C.

3.如圖，是小亮在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘，此時(shí)時(shí)鐘的實(shí)際時(shí)刻是()

B.8：05C.3：05D.8：55

【解答】解：根據(jù)平面鏡成像原理可知，鏡中的像與原圖象之間實(shí)際上只是進(jìn)行了左右對(duì)換，由軸對(duì)稱知

識(shí)可知，只要將其進(jìn)行左可翻折，即可得到原圖象，實(shí)際時(shí)間為8點(diǎn)的時(shí)針關(guān)于過12時(shí)、6時(shí)的直線的對(duì)

稱點(diǎn)是4點(diǎn)，分針指向II實(shí)際對(duì)應(yīng)點(diǎn)為1,故此時(shí)的實(shí)際時(shí)刻是：8點(diǎn)5分.

故選：B.

題型二角平分線的性質(zhì)

2.角平分線的定義

就是將角平分的射線。

2.角平分線的性質(zhì)

角平分線線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

4.角平分線的判定

到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上。

4.如圖，RtZ\ABC中，ZC=90°,平分NBAC,交BC于點(diǎn)。，AB=10,SAABD=15,則C￡)的長(zhǎng)

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作QEJ_A8于點(diǎn)E；：/C=90°,AO平分N8AC,

：.CD=DE；^.,且AB=10,.?.OE=3,CD=DE=3.

VSAABD0￡=15

故答案為3.

5.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是()

A.三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三條高所在直線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三條中線的交點(diǎn)

【解答】解：VOGLAB,OF±AC,OG=OF,在NA的平分線上，同理。在N8的平分線上,

。在/C的平分線上，即。是三條角平分線的交點(diǎn)，故選：C.

。6.如圖，DC//AB,/BAQ和/AOC的角平分線相交于E,過E的直線分別交OC,A8于

C8兩點(diǎn).

(1)判斷AE與QE的位置關(guān)系.并說明理由:

(2)求證：AD^AB+DC

B

【解答】解：（1）理由：'JDC//AB,：.ZBAD+ZADC=\SQ°,；/84。和NADC的角平分

線相交于E,N3=」/ADC,Z1=AZ^D,.*.ZH-Z3=A(ZBAD+ZADC)=_L><180°=90°,

2222

/.ZAED=90°,：.AE±DE；

<AB=AF

(2)在A￡>上截取AF=A8,連接EF,如圖所示：在△ABE和△AFE中，，/2=/1，

AE=AE

.,.△ABE^AAFE(SAS),:.NAFE=NB,'：AB//DC,：.ZB+ZC=180°,VZ/4FE+ZDFE=180°,

"ZDFE=ZC

:.NDFE=NC,在AOE尸和△DEC中，?/3=/4,A△DfF^ADEC(AAS),：.DF=DC,

DE=DE

：.AB+DC^AF+DF=AD,即AD=AB+DC.

DC

A5題型三垂直平分線的性質(zhì)與判定

1.垂直平分線的定義

經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）.

2.垂直平分線的性質(zhì)

垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等..

3.垂直平分線的判定

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

7.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，已知AC=10tro,BC=lcm,

則△8CD的周長(zhǎng)為（

A.HernB.18cwC.19（TOD.20cm【解答】解：的垂直平分線交4c于點(diǎn)￡>,二

AD=BD,：.f\BCD^J^=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,'：AC=10cm,BC=1cm,.,.△BC。的

周長(zhǎng)=10+7=17"〃.

故選：A.

8.如圖，/B4C=110°,若MP和NQ分別垂直平分AB和4C,則/%。的度數(shù)是()

20°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：VZBAC=110°,：.ZB+ZC^10Q,又MP,NQ為AB,AC的垂直平分線,

:2BAP=NB,NQAC=NC,二NB4P+/CAQ=70°,

：.ZPAQ^ZBAC-ZBAP-ZCA0=110°-70°=40°故選：B.

9.如圖，已知在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)￡),連接80.

(1)若/A=40°,求NO8C的度數(shù)；

(2)若AB=10,DC=3,求線段BD的長(zhǎng)度.

【解答】解：（I）在△ABC中，AB^AC,NA=40。NA3C=NC=-1(180°

2

-N4)=70°,

是A8的垂直平分線，：.AD=BD,：.ZABD=ZA=40°,

；./DBC=NABC-NABD=70°-40°=30°；

(2)'：AB=AC,AB=10,DC=3,.*.BO=A￡>=10-3=7.

10.如圖，△ABC的外角ND4C的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PO_LAB于。，PEJ_AC于E.

(1)求證：BD=CE；

(2)若A8=6cro,AC=10“〃，求AO的長(zhǎng).

QC【解答】(1)證明：連接BP、CP,?點(diǎn)P在8c的垂直平分線上，；.8P=CP,

,.FP是/ZMC的平分線，.*.CP=EP,在RtZSBZ?尸和RlZ\CEP中，［BP=CP,.?.Rt^BDP絲Rt/\CEP(HL),

|DP=EP

:.BD=CE；

(2)解：在RtZWOP和RtZMEP中，1ApMP,.-.Rt^DP^RtAAEP(HL),：.AD=AE,

lDP=EP

'：AB=6cm,AC=10cm,；.6+AO=10-AE,即6+AD=10-AD,解得AD=2crn.

D

11.已知在△ABC中，/CAB的平分線A￡＞與BC的垂直平分線。交于

點(diǎn)。，于M,ON_LAC的延長(zhǎng)線于N.

(1)證明：BM=CN；

(2)當(dāng)NBAC=70°時(shí)，求/。C8的度數(shù).

【解答】(1)證明：連接8。，如圖所示：；是NCA8的平分線，DM1.AB,

DNLAC,:.DM=DN,

垂直平分線BC,:.DB=DC,在RtZ\OMB和RtZ\￡WC中，

(DB=DC,咨RtADNC(HL),:.BM=CN；

lDM=DN

(2)解：由(1)得：NBDM=NCDN,：AZ)是/C4B的平分線，DM1AB,DN1AC,：.DM=DN,

在和RtZXONA中，1DA=DA,,\Rt/^DMA^Rt/^DNA(HL),：.ZADM=ZADN,；NBAC

lDM=DN

=70°,AZMDN=\\0a,ZADM=ZADN=55°,?:NBDM=4CDN,：.ZBDC=ZMDN=110°,

YOE是8c的垂直平分線，.?.OBuCC,.?.NEOC=/N8DC=55°,AZDCB=9Q°-ZEDC=35°,

：./DCB=35"

12.如圖，點(diǎn)E是/AOB的平分線上一點(diǎn)，EC1OA,ED1.OB,垂足分別是C,D.

(1)NECO和NEDC相等嗎？

(2)OC和。。相等嗎？

(3)OE是線段CD的垂直平分線嗎？

【解答】解：(1)NEQC與NECD相等，丁。七是NA08的平分線，ECVOA,

EDA.OB,

：.EC=ED,.?.△CEQ是等腰三角形，AZEDC=ZECD；

(2)0c與。。相等，".'ECIOA,EDLOB,：.Z0DE=ZOCE^90°,在RtAOOE和RtZ\OCE中,

OE=OE(公共邊)，DE=CE,.,?RtAODE^RlAOCE(HL),：.OD=OC

(3)Of是線段CD的垂直平分線，；EC=E。，點(diǎn)在線段CO的垂直平分線上，?：0C=。。，

二。點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上，...0E是線段CD的垂直平分線.

題型四尺規(guī)作圖

13.人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第36頁(yè)告訴我們一種作一個(gè)角等于已知角的方法:

已知：ZAOB

求作：ZA'0'B',使/A'OB=/AOB.

作法：(D如圖，以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA,0B于點(diǎn)C、D;

(2)畫一條射線0女，以點(diǎn)0為圓區(qū)0C長(zhǎng)為半徑畫弧，交0次于點(diǎn)U;

(3)以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點(diǎn)D)

(4)過點(diǎn)D，畫射線0B,則NA'OB=/AOB.

請(qǐng)你根據(jù)提

供的材料完成下列問題.

(1)這種作一個(gè)角等于已知角的方法的依據(jù)是()

A.SASB.A4SC.ASAD.SSS

(2)請(qǐng)你證明NA'Ob=NAOB.

【解答】解：(1)這種作一個(gè)角等于己知角的方法的依據(jù)是SSS；故選D

(2)證明：根據(jù)作圖過程可知：OD=OC=O'D1=0'C',CD=C'D',

'0D=0'D'

在△OOC和△(?'O'C'中，，0C=0'C'，.?.△OOCgZX。'D'C'(SSS),

CD=CyD'

:./DOC=ND'O'C,ZA'O'B'^ZAOB.

14.已知“兩點(diǎn)之間，線段最短”，我們經(jīng)常利用它來(lái)解決兩線段和最小值問題.

(1)實(shí)踐運(yùn)用

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河詩(shī)中隱含著一個(gè)有

趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題：如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到

河邊飲馬后，再到8點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？畫出最短路徑并說明理由.

(2)拓展延伸如圖2,點(diǎn)P,Q是△ABC的邊A3、AC上的兩個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)贐C上找一點(diǎn)R,使

得的周長(zhǎng)最短(要求：尺規(guī)作圖，不寫作圖過程保留作圖痕跡).

Q

?山峰x/P\

C乙--、B

圖？【解答】解：(1)如圖1,從點(diǎn)A出發(fā)向

河岸引垂線，垂足為Q,在A。的延長(zhǎng)線上，取A'使得A'D=AD,連接4'B,與河岸相交y于C,

則C點(diǎn)就是飲馬的地方；

/營(yíng)地8

?七河流

圖］

A'證明：如圖1,如果將軍在河邊的另外任意點(diǎn)C'飲馬，所走的路程就是AC'+C'

B,因?yàn)锳C'+CB>A'B^AC+BC,所以在C點(diǎn)外任意一點(diǎn)飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)些；

(2)尺規(guī)作圖，如圖2：

圖2

15.按要求完成下列作圖，不要求寫作法，只保留作圖痕跡.

（1）已知：線段AB,作出線段AB的垂直平分線

（2）已知：/A03,作出NA08的平分線0C.

(1)Q)【解答】解：（1）如圖（1）,MN為所作;

題型五最短路徑問題

16.（青竹湖）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD.CE是△ABC的兩條中線，尸是4。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則下列線段的長(zhǎng)度等于利+EP最小值的是（)

A.BCB.CEC.ADD.AC

【解答】解：B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,再連接E,C,故選：B.

17.已知NMON=40°,P為NMON內(nèi)一定點(diǎn)，0M上有一點(diǎn)A,ON上有一點(diǎn)B,當(dāng)△B4B的周長(zhǎng)取最

小值時(shí)，NAPB的度數(shù)是（）

B.100°C.140°D.50°

【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于。M、ON的對(duì)稱點(diǎn)P、P",連接OP、OP",P'P",P'P"交

OM、ON干點(diǎn)、A、B,連接相、PB,此時(shí)△川8周長(zhǎng)的最小值等于P'P".

由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，OP'=0P"=OP,NPOA^ZPOA,ZP"OB=NPOB,

:.NP'OP"=2NMCW=2X40°=80°,:.NOP'P"=NOP"P'=(180°-80°)+2=50°,

又：/8PO=NOP"8=50°,NAPO=/4P'0=50°,二NA尸B=/APO+/BPO=100".

故選:B.

p,

馥

\、

??/

p-18.閱讀下列一段文字：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)尸i（xi,yi）、尸2（X2、＞2）,其兩點(diǎn)間的距離

PlP2=(x-x)2+(y-y)2問題解決：已知A(1,5),B(7,3)

V1212

（1）試求A、8兩點(diǎn)的距離；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P（不求坐標(biāo)，畫出圖形即可），使以+P8的長(zhǎng)度最短，求出%+P8的最短長(zhǎng)度.

（3）在x軸上有一點(diǎn)M,在）'軸上有一點(diǎn)N,連接4、N、M、8得四邊形ANMB,若四邊形ANMB的

周長(zhǎng)最短，請(qǐng)找到點(diǎn)M、N（不求坐標(biāo)，畫出圖形即可），求出四邊形ANMB的最小周長(zhǎng).

即a、8兩點(diǎn)的距離為：2a5；

（2）如右圖1所示，

/PX

圖1作點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A',VA(1,5)、B(7,3),.,.A'(1,-5),

=

.??A'B7(I-7)2+(-5-3)2=10,即以+P8的最短長(zhǎng)度是1°；

(3)作點(diǎn)A關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)A',作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8',連接A'B1于y軸交于點(diǎn)N,與

x軸交于點(diǎn)M,如圖2所示，

VA(1,5)、B(7,3),(-I,5),B'(7,-3),：.AB=2yflQ,

A'B'=4(_]_?)2+(5+3)2=8加,四邊形4VM8的最小周長(zhǎng)是8加+2師.

題型六等腰三角形的性質(zhì)與判定

1.定義：兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

2.等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角)

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高重合。(簡(jiǎn)稱：三線合一)

19.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4和6,則它的周長(zhǎng)是()

A.14B.16C.18D.14或16

【解答】解：(1)當(dāng)4是腰時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，周長(zhǎng)=4+4+5=14；

(2)當(dāng)6是腰時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，周長(zhǎng)=4+6+6=16.故選：D.

20.如圖，在△4BC中，AB=AC,NB4C=100°,AB的垂直平分線OE分別交AB、BC于點(diǎn)。、E,

則NBAE=(

A.80°B.60°C.50°D.40°

【解答】解：：4B=4C,ZBAC=100°,:.NB=NC=(180°-100°)+2=40°,

?.?DE是48的垂直平分線，...AEnBE,.../BAE=/8=40°,故選：D.

21.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°,則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是

【解答】解：在等腰△A8C中，AB=AC,8。為腰AC上的高，NA8O=40°,

當(dāng)8。在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖1,YBD為高,：,ZADB=90°,AZBAD=90Q-40°=50°,

'：AB^AC,：.ZABC^ZACB=1.(180°-50°)=65°；當(dāng)8。在△48C外部時(shí)，如圖2,

2

■:BD為高,：.ZADB=90°,;./BAD=90°-40°=50°,"：AB=AC,：.ZABC=ZACH,

而/8AO=/ABC+NAC8,AZACB=^ZBAD=25a,

2

綜上所述，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為65°或25°.A

故答案為：65°或25°.口

22.下列說法中正確的是()/xX

①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；BC/一

圖1圖2

②等腰三角形兩腰上的高相等；

③等腰三角形的中線也是它的高；

④線段垂直平分線上的點(diǎn)(不在這條線段上)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形

A.③④B.①②③C.①②④D.②③④

【解答】解：①角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等是正確的.

②根據(jù)三角形面積公式即可得到等腰三角形兩腰上的高相等，說法是正確；

③等腰三角形的中線不一定是它的高，說法是錯(cuò)誤；

④線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，說法正確.

故選：C.

23.如圖，點(diǎn)C在線段A3上，AD//EB,AC=BE,AD=BC,DE與BC交于點(diǎn)、G,CF平■分乙DCE.

(1)求證：△8E為等腰三角形；

(2)試判斷CF、QE的位置關(guān)系，并說明理由.』

fAC=BE

【解答】(1)證明：：AQ〃EB,；.NA=NB,在△AC。和中，｛/A=/B，?,?△AC。2/XBEClSAS),

IAD=BC

：.CD=EC,.?.△CDE是等腰三角形.

(2)解：結(jié)論：CFLDE,理由如下：?.,△(?￡)￡是等腰三角形，CF平分/QCE

由“三線合一”可知，CF_LOE.

24.如圖，在等腰Rt/XABC中，NACB=90°,D為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG1AD于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作

FBLCB于點(diǎn)B,交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接力尸交48于點(diǎn)E.

(1)求證：/XAC。絲△CBF；

(2)求證：AB垂直平分。F；

(3)連接4巴試判斷AAC尸的形狀，并說明理由.

【解答】證明：(1)'：CG±AD,.?.NAGC=90°,：.ZGCA+ZCAD=^90°,,：

NGCA+NFCB=90°,

：.4CAD=4FCB,'：FB±BC,：.ZCBF=90°,?.,RtZ\A8C是等腰三角形，ZACB=90Q,：.AC=

，ZCAD=ZFCB

BC,ZCBF^ZACB,在△&《￡)和△CBF中<AC=BC，.-.AACD^ACBF

ZACB=ZCBF

(2),:△ACD9XCBF,：.CD=BF,?。為BC的中點(diǎn)，：.CD=BD,：.BD=BF,:△ABC是等腰

直角三角形，ZACB=90°,；.NDBE=45°,:NCBF=90°,；.NDBE=NFBE=45°,

<BD=BF

在△D8E和△F8E中，/DBE=/FBE，(5AS),：.DE=FE,NDEB=NFEB=90°,

BE=BE

：.AB垂直平分DF-.

(3)Z\4C尸是等腰三角形，理由為：連接AF,如圖所示，由(1)知：△CBFgZsACD,.?.CF=AD,

由(2)知：AB垂直平分DF,：.AF^AD,VCF^AD,：.CF^AF,二△AC尸是等腰三角

25.已知：如圖，ZXABC中，/ABC=45°,CC_LAB于0,BE平分/ABC,且BE_LAC于E,與C￡>相

交于點(diǎn)F,"是8c邊的中點(diǎn)，連接?！ㄅcBE相交于點(diǎn)G.

(1)求證：BF=AC;

(2)求證：CE=LBF；

2

(3)求證：DG=AD.

【解答】證明：(1)???NA8C=45°,CO_LAB于D,???NOBC=NOC3=45°

:.DB=DC,

VBE1AC,，NAE8=NAOC=90°,NA+NABE=9()°,NA+AC￡>=90°,ZDBF=ZACD,

，ZACD=ZDBF

在△AOC和△FOB中，<DC=BD，:.△ADC94FDB,：.AC=BF.

ZADC=ZBDF=90°

(2)；NABE=NCBE,NABE+NA=90°,ZCBE+ZBCA=90°,AZA=ZBCA,：.BA=BC,

VBELAC,：.AE^CE,'：AC^BF,：.CE^^BF.

2

(3)'：DB=DC,/8OC=90°,BH=CH,：.DHLBC,：.DH=BH=HC,：.NHDB=NHBD=NBCD

=45°,,:NFBD=NFBC=225°,AZDGF=ZDBG+ZBDG=61.5°,NDFG=NFBC+NBCF=

67.5°,:"DGF=NDFG,C.DG^DF,由(1)知，叢ADC馬叢FDB,J.AD^DF,：.DG^=AD.

題型七等邊三角形的性質(zhì)與判定

1、等邊三角形的性質(zhì)：①三邊相等；②三個(gè)角都等于60。；③30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。

2、等邊三角形的判定：①三條邊相等；②兩個(gè)角等于60。；③兩邊相等+一個(gè)60。的角。

26.下面給出幾種三角形：（1）有兩個(gè)角為60°的三角形；（2）三個(gè)外角都相等的三角形；（3）一邊上的

高也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個(gè)角為60°的等腰三角形，其中是等邊三角形的個(gè)數(shù)是（）

A.4