2.3函數的奇偶性周期性對稱性

2.3函數的奇偶性、周期性、對稱性課標要求精細考點素養(yǎng)達成1.結合具體函數,了解函數奇偶性的含義2.會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性3.了解函數周期性、最小正周期的含義,會判斷、應用簡單函數的周期性函數的奇偶性通過函數的奇偶性的判斷及其應用,培養(yǎng)數學抽象和邏輯推理的素養(yǎng)函數的周期性通過函數的周期性及其應用,培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)雙對稱函數的周期性通過函數性質的綜合應用,培養(yǎng)數學運算和邏輯推理的素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結論正確的有().A.定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件B.若函數f(x)為奇函數,則一定有f(0)=0C.若T是函數的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數的周期D.若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱2.(對接教材)若函數f(x)是奇函數,且當x>0時,f(x)=x3+x+1,則當x<0時,f(x)的解析式為().A.f(x)=x3+x1 B.f(x)=x3x1C.f(x)=x3x+1 D.f(x)=x3x+13.(對接教材)設m為實數,若函數f(x)=x2mx+m+2(x∈R)是偶函數,則m的值為.

4.(易錯自糾)函數f(x)=lg(1?x2)|x+3|?3是5.(真題演練)(2023·全國乙卷)已知f(x)=xexeax-1是偶函數,則實數A.2 B.1 C.1 D.2函數的奇偶性典例1試判斷下列函數的奇偶性:f(x)=xlgx+x2+1;(2)f(x)=(1(3)f(x)=-x2+2x+1,x>0,x2+2x-1,x<0;(4判斷函數奇偶性的三種常用方法(1)定義法:確定函數的奇偶性時,必須先判定函數定義域是否關于原點對稱.若對稱,再化簡解析式后驗證f(x)=±f(x)或其等價形式f(x)±f(x)=0是否成立.(2)圖象法:(3)性質法:設f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.訓練1設函數f(x)=ex+ex,g(x)=exex,f(x),g(x)的定義域均為R,下列結論錯誤的是().A.|g(x)|是偶函數B.f(x)g(x)是奇函數C.f(x)|g(x)|是偶函數D.f(x)+g(x)是奇函數典例2(1)已知f(x)是定義在[m5,12m]上的奇函數,當滿足x>0時,f(x)=2x1,則f(m)的值為().A.15 B.7C.3 D.15(2)已知函數f(x)=x3(a·2x2x)是偶函數,則實數a=.

函數奇偶性相關問題及解題策略(1)求函數的值:利用奇偶性將待求值轉化為已知區(qū)間上的函數值求解.(2)求函數解析式:先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.(3)求解析式中的參數值:在定義域關于原點對稱的前提下,利用f(x)為奇函數?f(x)=f(x),f(x)為偶函數?f(x)=f(x),列式求解,也可利用特殊值法求解;對于在x=0處有定義的奇函數f(x),可考慮列等式f(0)=0求解.訓練2(1)已知函數f(x)=ax3+bx5+2.若f(x)在區(qū)間[t,t]上的最大值為M,最小值為m,則M+m=.

(2)已知函數f(x)=2x2x-1+a為奇函數,函數的周期性典例3(1)設f(x)是定義在R上的奇函數,且對任意實數x,恒有f(x+2)=f(x),則函數的周期為;當x∈[0,2]時,f(x)=2xx2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=.

(2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數,且當0≤x<2時,f(x)=x3x,則函數y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數為().A.6 B.7 C.8 D.9函數周期性相關問題及求解策略(1)求解與函數的周期性有關的問題,應根據函數特征及周期性的定義,求出函數的周期.(2)周期函數的圖象具有周期性,如果發(fā)現一個函數的圖象具有兩個對稱性(注意:對稱中心在垂直于y軸的直線上,對稱軸垂直于x軸),那么這個函數一定具有周期性.訓練3(1)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,對任意的實數x,f(x2)=f(x+2),當x∈(0,2)時,f(x)=x2,則f132=()A.94 B.14C.14(2)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數,當x∈[1,1)時,f(x)=-4x2+2,?1≤x<0,x,0≤x函數的對稱性典例4(1)已知函數f(x)的定義域為R,且f(x)為奇函數,其圖象關于直線x=2對稱.當x∈[0,2]時,f(x)=x24x,則f(2025)=.

(2)已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,則f(1)=.

由函數圖象的對稱中心和對稱軸可以推出函數的周期,結合已知條件解題.訓練4(1)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(2x)=f(x),且當1≤x<0時,f(x)=2x,則f92=()A.22 B.22C.12(2)(多選)設y=f(x)是定義在R上的偶函數,滿足f(x+1)=f(x),且在[1,0]上是增函數,下列關于函數y=f(x)的判斷正確的是().A.y=f(x)是周期為2的函數B.y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱C.y=f(x)在[0,1]上是增函數D.f12=抽象函數的性質及應用典例若函數f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y),f(1)=1,則∑k=122f(k)等于(3 B.2C.0 D.11.已知f(x)是周期函數且為偶(奇)函數,求函數值,常利用奇偶性及周期性進行轉換,將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內,把未知區(qū)間上的函數性質轉化為已知區(qū)間上的函數性質求解.2.函數的奇偶性、對稱性、周期性和單調性是函數的四大性質,在高考中常將它們綜合命題,解題時,往往需要借助函數的奇偶性、對稱性和周期性來實現區(qū)間的轉換,再解決相關問題.訓練(多選)已知f(x)是定義在R上的奇函數,若f(x+4)=f(x)且f(1)=2,則f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*)的值可能為().A.2 B.0 C.2 D.4一、單選題1.下列函數中既是奇函數又是減函數的是().A.f(x)=3x B.f(x)=x3C.f(x)=log3x D.f(x)=3x2.已知f(x)=x5+ax3+bx8(a,b是常數),且f(3)=5,則f(3)=().A.21 B.21C.26 D.263.已知定義在R上的偶函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,若不等式f(m+2)≥f(12m)恒成立,則實數m的取值范圍是().A.-∞,-13∪[3,+∞)B.-∞,-13C.[3,+∞)D.(∞,4.(2024·江蘇淮安模擬)“a=1”是“函數f(x)=log2ax+1x-1是奇函數”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、多選題5.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+1)=f(x),且當x∈(2,3)時,f(x)=|2x5|,則下列結論正確的有().A.函數f(x)的周期為2B.函數f(x)在區(qū)間(1,0)上單調遞增C.f(2.5)=0D.f(2023.2)=0.66.(2024·江蘇南通模擬)已知函數f(x)為R上的奇函數,f(1+x)為偶函數,則().A.f(2x)+f(x)=0 B.f(1x)=f(1+x)C.f(x+2)=f(x2) D.f(2023)=0三、填空題7.若定義在R上的偶函數f(x)和奇函數g(x)滿足f(x)+g(x)=ex,則g(x)=.

8.(原創(chuàng))已知函數f(x)的定義域為R,滿足f34+x=f34-x,f32+x+f32-x=0,當x∈[1,1]時,f(x)=2+2-四、解答題9.已知函數f(x)=x2+(2a)x+4在定義域[b1,b+1]上為偶函數,函數g(x)=x+(1)判斷g(x)的奇偶性,并證明你的結論;(2)若f(3t2)>f(1t),求t的取值范圍.10.已知定義域為R的單調函數f(x)是奇函數,當x>0時,f(x)=x32x(1)求f(x)的解析式;(2)若對任意的t∈R,不等式f(t22t)+f(2t2k)<0恒成立,求實數k的取值范圍.11.若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(2x)=f(x),且當1≤x≤2時,f(x)=x1,則f72的值為()A.52 B.32 C.12 D.12.(2024·江蘇揚州模擬)(多選)定義:若存在非零常數k,T,使得函數f(x)滿足f(x+T)=f(x)+k對定義域內的任意實數x恒成立,則稱