2024-2025學年高中數(shù)學模塊綜合測評課后習題含解析新人教B版選擇性必修第三冊

模塊綜合測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024江蘇揚州中學高二月考)函數(shù)f(x)=x(ex-1)+lnx的圖像在點(1,f(1))處的切線方程是()A.y=2ex-e-1 B.y=2ex-e+1C.y=2ex+e-1 D.y=2ex+e+1解析由函數(shù)f(x)=x(ex-1)+lnx,知f(1)=e-1,f'(x)=ex-1+xex+1x,所以k=f'(1)=2e,在點(1,f(1))處的切線方程是y-(e-1)=2e(x-1),化簡得y=2ex-e-1答案A2.(2024武邑宏達學校高一月考)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a6a5=911,A.1 B.-1 C.2 D.1解析在等差數(shù)列{an}中,由a6a5=911,得答案A3.(2024濟南高三模擬)《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月日織九匹三丈.”其意思為:現(xiàn)有一擅長織布的女子,從第2天起先,每天比前一天多織相同量的布,第1天織了5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計算)共織390尺布.此問題中若記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)為an,則a14+a17的值為()A.56 B.52 C.28 D.26解析等差數(shù)列的首項a1=5,設公差為d,故S30=30a1+30×292d=390,解得d=1629,故a14+a17=2a1+29d=26答案D4.(2024元氏第一中學高一期中)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2=2,S7=28,則數(shù)列1anan+1的前A.20202021 B.C.20182019 D.解析由題意,設等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+∴數(shù)列{an}的通項公式為an=1+(n-1)×1=n,n∈N+.∴1a設數(shù)列1anan+1的前n項和為Tn,則Tn=1a1a2+1a2a3+…+1an∴T2024=20202021.故選A答案A5.(2024四川北大附中成都為明學校高二月考)已知函數(shù)f(x)=x2-alnx+1在(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是()A.(2,18) B.[2,18]C.(-∞,2]∪[18,+∞) D.[2,18)解析∵f'(x)=2x-ax,f(x)=x2-alnx+1在(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),故2x-ax=0在(1,3)存在變號零點,即a=2x2在(1,3)內(nèi)存在零點,∴2<a<答案A6.(2024江西石城中學高二月考)已知函數(shù)f(x)=x+sinx,x∈R,若a=f(log123),b=f(log132),c=f(2-2),則a,b,cA.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.b>a>c解析f'(x)=1+cosx≥0,所以f(x)是R上的增函數(shù).∵log123=-log23<-log22=-1,0>log132=-log32>-log33=-1,2所以c=f(2-2)>b=f(log132)>a=f(log12答案C7.數(shù)列{an}滿意a1=1,a1+2a2+…+2n-1an=2n+1an+1(n∈N+),若a1+a2+…+an<m恒成立,則m的最小值為()A.4 B.2 C.53 D.解析由a1+2a2+…+2n-1an=2n+1an+1(n∈N+),可得當n≥2時,由a1+2a2+…+2n-2an-1=2nan,兩式相減可得:an+1an=34,n≥2.又a1=1,得a2=14,所以數(shù)列{所以當n≥2時,a1+a2+a3+…+an=1+141-(34)

n-11-34=2-34n-1所以實數(shù)m的取值范圍是[2,+∞),即m的最小值為2.答案B8.(2024四川成都高二期末)已知函數(shù)f(x)=lnxx-x2+2ex-a(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))至少存在一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(A.-∞,eC.e2-1解析令f(x)=lnxx-x2+2ex-a=0,即lnxx=x2-2ex+a.令g(x)=lnxx,h(x)則原問題等價于函數(shù)g(x)=lnxx與函數(shù)h(x)=x2-2ex+a易知,函數(shù)h(x)=x2-2ex+a表示開口向上,對稱軸為x=e的二次函數(shù),g'(x)=1x由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e.∴函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)max=g(e)=1e作出函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)的草圖,如圖所示.由圖可知,要使得函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)的圖像至少有一個交點,只需h(x)min≤g(x)max,即e2-2e2+a≤1e,解得a≤e2+1答案B二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.(2024南京江寧高級中學高二期中)已知函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)f'(x)的圖像如圖所示,則下列推斷正確的是()A.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3B.當x=-2時,函數(shù)y=f(x)取得微小值C.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)單調(diào)遞增D.當x=3時,函數(shù)y=f(x)有微小值解析對于A,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3,-12內(nèi)有增有減,對于B,當x=-2時,函數(shù)y=f(x)取得微小值,故B正確;對于C,當x∈(-2,2)時,恒有f'(x)>0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,故C正確;對于D,當x=3時,f'(x)≠0,故D不正確.答案BC10.(2024山東高三一模)已知數(shù)列{an}的前n項和為S,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1,數(shù)列2nan·an+1的前n項和為Tn,n∈A.數(shù)列{an+1}是等差數(shù)列B.數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列C.數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1D.Tn<1解析由Sn+1=Sn+2an+1,得an+1=Sn+1-Sn=2an+1,可化為an+1+1=2(an+1),由S1=a1=1,可得數(shù)列{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,則an+1=2n,即an=2n-1.又2nanan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12答案BCD11.(2024遼寧省遼寧試驗中學高二期中)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=1,且a2,a4,a8是一個等比數(shù)列中的相鄰三項,記bn=anqan(q≠0,1),則{bn}的前n項和可以是(A.n B.nqC.q+nq解析設等差數(shù)列{an}的公差為d,又a1=1,且a2,a4,a8是一個等比數(shù)列中的相鄰三項,∴a42=a2·a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),化簡得d(d-1)=0,所以d=0故an=1或an=n,所以bn=q或bn=n·qn.設{bn}的前n項和為Sn,①當bn=q時,Sn=nq;②當bn=n·qn時,Sn=1×q+2×q2+3×q3+…+n×qn,qSn=1×q2+2×q3+3×q4+…+n×qn+1,兩式相減,得(1-q)Sn=q+q2+q3+…+qn-n×qn+1=q(1-qn)1-q-n×qn+1,答案BD12.(2024蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高二月考)已知函數(shù)f(x)=ex+alnx,其中正確結(jié)論的是()A.當a=0時,函數(shù)f(x)有最大值B.對于隨意的a<0,函數(shù)f(x)肯定存在最小值C.對于隨意的a>0,函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù)D.對于隨意的a>0,都有函數(shù)f(x)>0解析對于A,當a=0時,函數(shù)f(x)=ex,依據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知,此時f(x)是單調(diào)增函數(shù),故無最大值,故A錯誤.對于B,對于隨意的a<0,∵f(x)=ex+alnx,∴f'(x)=ex+ax,易知f'(x)是在(0,+∞)上的單調(diào)增函數(shù)當x→+∞時,f(x)→+∞,當x→0時,f(x)→-∞,∴存在f'(x0)=0,∴當0<x<x0時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x0<x<+∞時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.∴f(x)min=f(x0),故B正確.對于C,對于隨意的a>0,∵函數(shù)f(x)=ex+alnx,∴f'(x)=ex+ax,又a>0,x>0可得:f'(x)>0,故函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù).故C正確.對于D,對于隨意的a>0,∵函數(shù)f(x)=ex+alnx是(0,+∞)上的增函數(shù),當x→0時,ex→1,lnx→-∞,可得f(x)→-∞,故D錯誤.故選BC.答案BC三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024河南鄭州高二期中)已知b為正實數(shù),直線y=x+a與曲線y=ex+b相切,則a2b的取值范圍是解析因為y=ex+b,則y'=ex+b.由ex+b=1,得x=-b.當x=-b時,y=1,故切點為(-b,1),將切點代入直線得到1=-b+a,a2b=(1+b)2b=b+1b+2≥2答案[4,+∞)14.(2024紹興高級中學高一月考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a3=5,a10=-9,則使Sn取得最大值時的n=.

解析∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a3=5,a10=-9,∴數(shù)列{an}的公差d=a10-∴a1=a3-2d=9,∴Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+10n=-∴當n=5時,Sn取最大值.答案515.(2024宜賓敘州區(qū)高二期中)已知等比數(shù)列{an},a2,a6是函數(shù)f(x)=x3+9x2+12x+3的兩個極值點,則a4=.

解析因為f'(x)=3x2+18x+12,又a2,a6是函數(shù)f(x)的兩個極值點,則a2,a6是方程3x2+18x+12=0的根,所以a2a6=4=a42,所以解得a4=-2或答案-2或216.(2024黃岡中學第五師分校高二期中)已知函數(shù)y=f(x)在R上的圖像是連綿不斷的一條曲線,并且關于原點對稱,其導函數(shù)為f'(x),當x>0時,有不等式x2f'(x)>-2xf(x)成立.若對隨意x∈R,不等式e2xf(ex)-a2x2f(ax)>0恒成立,則正整數(shù)a的最大值為.

解析因為當x>0時,有不等式x2f'(x)>-2xf(x)成立,所以x2f'(x)+2xf(x)>0,∴[x2f(x)]'>0.令g(x)=x2f(x),所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由題意得g(-x)=x2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù),所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.因為對隨意x∈R,不等式e2xf(ex)-a2x2f(ax)>0恒成立,所以e2xf(ex)>a2x2f(ax),∴g(ex)>g(ax),∴ex>ax,因為a>0,所以當x≤0時,明顯成立.當x>0時,a<exx,令h(x)=ex所以h'(x)=(x-1)exx2,所以函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減所以h(x)min=h(1)=e,所以a<e,所以正整數(shù)a的最大值為2.答案2四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)(2024全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通項公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍.解(1)設{an}的公差為d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通項公式為an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(由a1>0知d<0,故Sn≥an等價于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}.18.(本小題滿分12分)(2024天津南開中學濱海生態(tài)城學校高二期中)已知函數(shù)f(x)=x3+32ax2-x+1(a∈R)(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.(2)當a<0時,設g(x)=f(x)+x.①求函數(shù)g(x)的極值;②若函數(shù)g(x)在[1,2]上的最小值是-9,求實數(shù)a的值.解(1)當a=2時,f(x)=x3+3x2-x+1,f'(x)=3x2+6x-1,∴k=f'(1)=8,f(1)=4,故切線方程為y-4=8(x-1),即8x-y-4=0.(2)①g(x)=f(x)+x=x3+32ax2+1,a<∴令g'(x)=3x2+3ax=3x(x+a)=0,得x1=0,x2=-a>x1.隨著x的改變,g(x)和g'(x)的改變?nèi)缦?x(-∞,0)0(0,-a)-a(-a,+∞)g'(x)+0-0+g(x)↗極大值↘微小值↗所以g(x)的極大值是g(0)=1;微小值為g(-a)=a3②g'(x)=3x2+3ax=3x(x+a),(ⅰ)當-1≤a<0時,g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,g(x)min=g(1)=32a+2=-9,a=-223<-1(舍去(ⅱ)當-2<a<-1時,則x,g'(x),g(x)的改變?nèi)缦?x(1,-a)-a(-a,2)g'(x)-0+g(x)↘微小值↗g(x)min=g(-a)=12a3+1=-9,a=-320<-2(舍(ⅲ)當a≤-2時,g(x)在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞減,g(x)min=g(2)=6a+9=-9,a=-3.綜上可知,a=-3.19.(本小題滿分12分)(2024宜賓敘州區(qū)其次中學校高一月考)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于隨意的正整數(shù)n,都有Sn=2an-3n.(1)設bn=an+3,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項公式.(2)求數(shù)列{nan}的前n項和.解(1)由題意,數(shù)列{an}滿意Sn=2an-3n,當n=1時,則a1=2a1-3,解得a1=3.當n≥2時,則an=Sn-Sn-1=2an-3n-[2an-1-3(n-1)],整理得an=2an-1+3,所以an+3=2(an-1+3),即bn=2bn-1,即bnbn又由b1=a1+3=6,所以數(shù)列{bn}是首項為6,公比為2的等比數(shù)列,所以bn=6×2n-1,即an+3=6×2n-1,解得an=6×2n-1-3=3×2n-3,即數(shù)列{an}的通項公式為an=3×2n-3.(2)由(1),可得nan=n(3×2n-3)=3n×2n-3n,設An=2+2×22+3×23+…+n·2n,2An=22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,所以-An=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2(1-2n)1-2-n·2n+1=又由Bn=3+6+9+…+3n=n(所以數(shù)列{nan}的前n項和為:Tn=3An-Bn=(3n-3)·2n+1+6-3n(n+1)2=(3n-3)·2n+20.(本小題滿分12分)(2024山東濟南高三三模)在①Sn=n2+n,②a3+a5=16,S3+S5=42,③an+1an=n+1n,設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,,b1=a1,b2=a1a求數(shù)列1Sn+bn的前注:假如選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.解選①當n=1時,a1=S1=2.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n.又n=1滿意an=2n,所以an=2n,Sn=n(2+2n)2=n2+n(n選②設公差為d,由a3+a5=16,S3+S5=42,得2a1所以an=2n,Sn=n(2+2n)2=n2+n(n選③由an+1an所以ann=a11,即an=a1n,S7=7a4=28a1=56,所以a1=2,所以an=2n,Sn=n(2+2n)①②③均可求得an=2n,Sn=n(2+2n)2=n2+n(n設{bn}的公比為q,又因為a1=2,a2=4,由b1=a1=2,b2=a1a得b1=2,q=2,所以bn=2n(n∈N+),所以數(shù)列{bn}的前n項和為2-2n+11-2因為1S數(shù)列1Sn的前n項和為1-12+12-13故Tn=2n+1-2+1-1n+1=2n+1-1n21.(本小題滿分12分)(2024全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.(1)探討f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;(2)證明:|f(x)|≤33(3)設n∈N+,證明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n(1)解f'(x)=cosx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2x)'=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sinxsin3x.當x∈0,π3∪2π3,π時,f'(x)>0;當x∈π3,2π3時,f'(x)<0.所以(2)證明因為f(0)=f(π)=0