離散數學習題集

精品文檔.離散數學課外習題集編者：金鵬時間：2008-5-6目錄：第一章選擇題由n個命題變元組成不等值的命題公式的個數為（）A.2n B.2n C.n2 D.設P：我將去鎮(zhèn)上，Q：我有時間。命題“我將去鎮(zhèn)上，僅當我有時間時”符號化為（）A.P?Q B.Q?P C.P?Q D.?Qú?P下列各組公式中，哪組是互為對偶的？（）A.P,P B.P,?P C.A,(A*)* D.A,A（其中P為單獨的命題變元，A為含有聯結詞的命題變元）設P：我們劃船，Q：我們跑步。命題“我們不能即劃船又跑步”符號化為（）A.?pù?Q B.?Pú?Q C.?(P?Q) D.P??Q下面哪一個命題是命題“2是偶數或-3是負數”的否定？（）A.2是偶數或-3不是負數 C.2是奇數或-3不是負數C．2不是偶數且-3不是負數 D.2是奇數且-3不是負數設P：張三可以作這件事，Q：李四可以作這件事。命題“張三或李四可以做這件事”符號化為（）A.PúQ B.Pú?Q C.P?Q D.?(?Pú?Q)下列語句中哪個是真命題？（）A.我正在說謊。 B.嚴禁吸煙。C.如果1+2=3，那么雪是黑的。 D.如果1+2=5，那么雪是黑的。下面哪個聯結詞運算不可交換？（）A.ù B.? C.ú D.?命題公式(Pù(P?Q))?Q是（）。A.矛盾式 B.蘊含式 C.重言式 D.等值式下面哪個命題公式是重言式？（）A.(P?Q)ù(Q?P) B.(PùQ)?PC.(?PúQ)ù?(?Pù?Q) D.?(PúQ)下列哪一組命題公式是等值的？（）A.?Pù?Q,PúQ B.A?(B?A),?A?(A??B)C.Q?(PúQ),?Qù(PúQ) D.?Aú(AùB),BP?Q的逆反式是（）A.Q??P B.P??Q C.?Q?P D.?Q??P?P?Q的逆反式是（）A.Q??P B.P??Q C.Q??P D.P??Q下列命題聯結詞集合中，哪一個是最小聯結詞組？（）A.{?,?} B.{?,ú,ù} C.{-} D.{ù,?}下列聯結詞集合中，哪一個不是最小聯結詞組？（）A.{?,ù} B.{?,?} C.{?,ù,ú} D.{-}已知A是B的充分條件，B是C的必要條件，D是B的必要條件，則A是D的（）A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.A、B、C都不對?P?Q的反換式是（）A.Q??P B.?P??Q C.?Q??P D.P??Q下面哪一個命題公式是重言式？（）A.P?(QúR) B.(PúR)ù(P?Q)C.(PúQ)?(QúR) D.(P?(Q?R))?((P?Q)?(P?R))下列哪個命題公式不是重言式？（）A.Q?(PúQ) B.(PùQ)?PC.?(Pù?Q)ù(?PúQ) D.(P?Q)?(?PúQ)重言式的否定式是（）A.重言式 B.矛盾式 C.可滿足式 D.蘊含式21. 下面哪一個命題是假命題？（）A.如果2是偶數，那么一個公式的析取范式惟一B.如果2是偶數，那么一個公式的析取范式不惟一C.如果2是奇數，那么一個公式的析取范式惟一D.如果2是奇數，那么一個公式的析取范式不惟一22. 下面哪一組命題公式不是等值的？（）A.?(A?B),Aù?B B.?(A?B),(Aù?B)ú(?AùB)C.A?(BúC),?Aù(BúC) D.A?(BúC),(Aù?B)?C命題公式P?QùR的對偶式為（）A.P?(QúR) B.Pú(QúR)C.?Pú(QùR) D.?Pù(QúR) 命題公式P?(QˉR)是（）A.重言式 B.可滿足式 C.矛盾式 D.等值式P??Q?（）A.?P?(P??Q) B.(?PúQ)ú(?QúP)C.(?Pú?Q)ù(?QúP) D.(?Pú?Q)ù(QúP)命題公式?(PùQ)?R的主析取范式中含極小項的個數為（）A.8 B.3 C.5 D.0命題公式?(PùQ)?R的主析取范式中含極大項的個數為（）A.0 B.3 C.5 D.8命題公式?(PùQ)?R的成真賦值為（）A.000,001,110 B.001,011,101,110,111C.全體賦值 D.無如果ATB成立，則以下各種蘊含關系哪一個成立？（）A.BTA B.?AT?B C.?BT?A D.?ATB填空題下列句子中，是命題的有(1).我是教師。(2).禁止吸煙！(3).蚊子是鳥類動物。(4).上課去！(5).月亮比地球大。設P：我生病，Q：我去學校(1).命題“我雖然生病但我仍去學校”符號化為。(2).命題“只有在生病的時候，我才不去學校”符號化為。(3).命題“如果我生病，那么我不去學?！狈柣癁?。設P：我有錢，Q：我去看電影。(1).命題“如果我有錢，那么我就去看電影”符號化為。(2).命題“雖然我有錢，但我不去看電影”符號化為。(3).命題“當且僅當我有錢時，我才去看電影”符號化為。 4. 對于下列各式，是永真式的有。(1).(Pù(P?Q))?Q(2).P?(PúQ)(3).Q?(PùQ)(4).(?Pù(PúQ))?Q(5).(P?Q)?Q 5. (Pù(PúQ))?R?。 6. P?(P?Q)。對于下列各式(1).(?PùQ)ú(?Pù?Q)可化簡為。(2).Q?(Pú(PùQ))可化簡為。(3).(?PúQ)?(?Q??P)ùP可化簡為。 8. 命題公式Pú(Qù?R)的成真賦值為，成假賦值為。 9. 若且則稱X是公式A的子公式。寫出表中各列所定義的命題聯結詞。PQP①QP②Q1110100101010001 11. 由n個命題變元可組成個不等值的命題公式。 12. 用兩種形式寫出P-Q的對偶式①，②。 13. 兩個重言式的析取是①，一個重言式與一個矛盾式的析取是②。 14. A、B為兩個命題公式，A?B當且僅當①，ATB當且僅當②。 15. 設P、Q為兩個命題公式，德●摩根律可表示為①，吸收率可表示為②。 16. 設命題公式A中僅含有聯結詞?，ù，ú，若得到公式A*，則A*稱為A的對偶式。 17. 公式(PúQ)?R的只含聯結詞?，ù，ú的等值式為①，它的對偶式為②。 18. 命題公式A?(PùQùR)-0，則其對偶式A*?。 19. 在命題演算中，一個蘊含式與它的①式是等值的，它的②式與它的③是不等值的。 20. 公式?P?Q的反換式為①，逆反式為②。 21. 任意兩個不同極小項的合取為①式，全體極小項的析取式必為②。 22. 命題公式?(P?Q)的主析取范式為①，主合取范式的編碼表示為②。 23. 已知公式A(P,Q,R)的主合取范式為M0ùM3ùM5，它的主析取范式為（寫成編碼形式）。 24. 命題公式?(P?Q)的主析取范式為①，其編碼表示為②，主合取范式的編碼表示為③。 25. 對于前提：S??Q，SúR，?R,?P?Q，其有效結論為。 26. 對于前提：(PùQ)?R，?RúS,?S，其有效結論為。判斷題“王蘭和王英是姐妹”是復合命題，因為該命題中出現了聯結詞“和”。（）凡陳述句都是命題。（）語句3x+5y=0是一個命題。（）命題“兩個角相等當且僅當它們是對頂角“的值為1。（）語句“x+y=4”是個命題。（）命題“十減四等于五”是一個原子命題。（）命題“如果1+2=3，那么雪是黑的”是真命題。（）(P?(QùR))是一個命題演算的命題公式，其中P、Q、R是命題變元。（）(P?(QùR??Q))是一個命題公式，其中P、Q、R是命題變元。（）若A：張明和李紅都是三好學生，則?A：張明和李紅都不是三好學生。（）若A：張明和李紅都是運動員，則?A：張明和李紅不都是運動員。（）若P：每一個自然數都是偶數，則?P：每一個自然數都不是偶數。（）若P：每個自然數都是偶數，則?P：每個自然數不都是偶數。（）如果A?B，則AùC?BùC，AúC?BúC。（）如果AùC?BùC，則A?B。（）聯結詞“ˉ”是可結合的。（）聯結詞“-”是可結合的。（）聯結詞“ˉ”是可交換的。（）聯結詞“-”是可交換的。（）聯結詞“?”是滿足交換律。（）“學習有如逆水行舟，不進則退”。設P：學習如逆水行舟，Q：學習進步，R：學習退步。則命題符號化為Pù(?Q?R)。（）P、Q、R定義同上，則“學習有如逆水行舟，不進則退”形式化為：P?(?Q?R)。（）設P、Q是兩個命題，當且僅當P、Q的真值均為1時，P?Q的值為1。（）命題公式(Pù(P?Q))?Q是矛盾式。（）命題公式(Pù(P?Q))?Q是重言式。（）聯結詞ù與ú不是相互可分配的。（）在命題的演算中，每個最小聯結詞組至少有兩個聯結詞。（）命題聯結詞集{?,?}是最小聯結詞集。（）命題聯結詞集{?,ù,ú}是最小聯結詞集。（）命題聯結詞集{ù,?}是最小聯結詞集。（）命題聯結詞集{-}和{ˉ}是最小聯結詞集。（）A是命題公式，A與(A*)*互為對偶式。（）A是命題公式，A?(A*)*。（）P是命題變元，P與P互為對偶式。（）任一命題公式的主析取范式和它的主合取范式互為對偶式。（）任一命題公式都可以表示成與其等值的若干極小項的析取式。（）綜合題使用命題：P：這個材料有趣。Q：這些習題很難。R：這門課程讓人喜歡。 將下列句子用符號形式寫出： (1).這個材料有趣，并且這些習題很難。 (2).這個材料無趣，習題也不難，而且這門課程也不讓人喜歡。 (3).如果這個材料無趣，習題也不難，那么這門課程就不會讓人喜歡。 (4).這個材料有趣，意味著這些習題很難，并且反之亦然。 (5).或者這個材料有趣，或者這些習題很難，并且兩者恰具其一。用符號形式寫出下列命題：(1).假如上午不下雨，我去看電影，否則就在家里讀書或者看報；(2).我今天進城，除非下雨；(3).僅當你走，我將留下；(4).一個數是素數當且僅當它只能被1和它自身整除。判斷下列語句是否為命題，若是命題請指出是簡單命題還是復合命題。(1).是無理數。(2).5能被2整除。(3).現在開會嗎？(4).x+5>0。(5).這朵花真好看呀！(6).2是素數當且僅當三角形有三條邊。(7).雪是黑色的當且僅當太陽從東方升起。(8).2000年10月1日天氣晴好。(9).太陽系以外的星球上有生物。(10).小李在宿舍。(11).全體起立！(12).4是2的倍數或是3的倍數。(13).4是偶數且是奇數。(14).李明與王華是同學。(15).藍色和黃色可以調配成綠色。確定下列命題的真值：(1).“如果太陽從西邊出來，那么地球自轉”；(2).“如果太陽從東邊出來，那么地球自轉停止”；(3).“如果8+9>30，那么三角形有三條邊”；(4).“如果疑問句是命題，那么地球將停止轉動”。判斷下面語句是否是命題，若是，確定其真值：(1).喜馬拉雅山比華山高；(2).如果時間靜止不動，你就可以長生不老；(3).如果時間流失不止，你就可以長生不老；(4).倫敦是英國首都；(5).這盆茉莉花好香阿！給命題變元P、Q、R、S分別指派真值為1、1、0、0，求下列命題公式的真值：(1).(?(PùQ)ú?R)ú(((?PùQ)ú?R)ùS)(2).(Pú(Q?(Rù?P)))?(Qú?S)設A*、B*分別是命題公式A和B的對偶式，判斷下列各式是否成立，若不成立，請舉例說明：(1).A*?A(2).A?B則A*?B*(3).ATB則A*TB*(4).(A*)*?A命題聯結詞“ˉ”定義為PˉQ??(PúQ)(1).構造PˉQ的真值表；(2).證明ú、ù、?可以用僅含聯結詞ˉ的等值公式表示?；喯铝忻}公式：(1).Aú(?Aú(Bù?B))(2).(AùBùC)ú(?AùBùC)(3).((P?Q)?(?Q??P))ùR(4).((A?B)?(?B??A)úC如果有AùC?BùC，是否一定有A?B?如果有AúC?BúC，是否一定有A?B?如果?A??B是否有A?B？用真值表判斷下列各式是否為重言式：(1).((?PúQ)ù(Q?R))??(Pù?R)(2).(PùQ?R)?(Pù?RùQ)設命題公式A的真值表如表所示，試求出A的主析取范式和主合取范式（用編碼表示和公式表示）：PQA111101010001用等值演算法證明Pù(P?Q)?Q是重言式。證明下列命題的等值關系：(1).(P?Q)ù(R?Q)?(PúR)?Q(2).(PùQùA?C)ù(A?PúQúC)?(Aù(P?Q))?C(3).P?(Q?P)?Q?(P?R)(4).(P?Q)ù(P?R)?P?(QùR)(5).(PúQ)ù?(PùQ)??(P?Q)求證下面命題的蘊含關系：(1).PùQTP?Q(2).(P?(Q?R))T(P?Q)?(P?R)求下面各式的主析取范式與主合取范式，并寫出相應的為真賦值。(1).?(P?Q)?(P??Q)(2).(?Rú(Q?P))?(P?QúR))(3).((P?Q)?Q)?((Q?P)?P)(4).(P?(Q?R))?(R?(Q?P))(5).?((P?Q)ù(R?P))ú?((R??Q)??P聯結詞f1，f2由表所示真值表定義，證明{f1，f2}是最小聯結詞組。PQf1PPf1Q110110010110001120. 設計一種簡單的表決器，表決者每人座位旁邊有一按鈕，若同意則按下按鈕，否則不按按鈕，當表決結果超過半數時，會場電鈴就會響，否則鈴不響。試以表決人數為3人的情況設計表決器電路的邏輯關系。證明{-}時最小聯結詞組。設計一加法器，實現兩自然數相加的功能。某勘探隊有3名隊員。有一天取得一塊礦樣，3人的判斷如下：甲說：這不是鐵，也不是銅；乙說：這不是鐵，是錫；丙說：這不是錫，時鐵。經實驗室鑒定后發(fā)現，其中一人兩個判斷都正確，一個人判對一半，另一個全錯了。根據以上情況判斷礦樣的種類。觀察下列推理過程，是否正確，結論是否有效，說明理由。(1).①PùQ?R P(2).②P?R T①I(3).③P P(4).④R T②③I所以PùQ?R，PTR。下列證明過程是否正確，若正確補足每一步推理依據，否則指出錯誤。(1).①?DúA(2).②D(3).③A(4).④A?(C?B)(5).⑤C?B(6).⑥C(7).⑦B(8).⑧D?B證明A?(B?C)，B?(C?D)TA?(B?D)。27. 用CP規(guī)則證明?Pú(?QúR)，Q?(R?S)，PTQ?S。用推理規(guī)則說明A?B,?(BúC)，AùC是否能同時為真。用推理規(guī)則說明(PúQ)?R，?SúU，?RúS，U?W，?WT?Pù?Q。用推理規(guī)則證明下列推理的正確性：如果A努力工作，那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工作；如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，則D不愉快。用等值演算法證明?Pù?(P?Q)是矛盾式。用CP規(guī)則證明A?(BùC)，(E??F)??C，B?(Aù?S)TB?E。用反證法證明(A?B)ù(C?D)，(B?E)ù(D?F)，?(EùF)，A?CT?A。用反證法證明A?B，(?BúC)ù?C，?(?AùD)T?D。第二章選擇題謂詞公式"x(P(x)ú$yR(y))?Q(x)中量詞"x的作用域是（）A."x(P(x)ú$yR(y)) B.P(x)C.(P(x)ú$yR(y)) D.P(x)，Q(x)謂詞公式"x(P(x)ú$yR(y))?Q(x)中變元x是（）A.自由變量 B.約束變量C.既不是自由變量也不是約束變量D.既是自由變量也是約束變量若個體域為整體域，下列公式中哪個值為真？（）A."x$y(x+y=0) B.$y"x(x+y=0)C."x"y(x+y=0) D.?$x$y(x+y=0)設謂詞P(x)：x是奇數，Q(x)：x是偶數，謂詞公式$x(P(x)ùQ(x))在下面哪個論域中是可滿足的？（）A.自然數集 B.整數集 C.實數集 D.以上均不成立設C(x)：x是運動員，G(x)：x是強壯的。命題“沒有一個運動員不是強壯的”可符號化為（）A.?"x(C(x)ù?G(x)) B.?"x(C(x)??G(x))C.?$x(C(x)ù?G(x)) D.?$x(C(x)??G(x))設A(x)：x是人，B(x)：x犯錯誤，命題“沒有不犯錯誤的人”符號化為（）A."x(A(x)ùB(x)) B.?$x(A(x)??B(x))C.?$x(A(x)ùB(x)) D.?$x(A(x)ù?B(x))設Z(x)：x是整數，N(x)：x是負數，S(x,y)：y是x的平方，則“任何整數的平方非負”可表示為下述謂詞公式（）A."x"y(Z(x)ùS(x,y)??N(y))B."x$y(Z(x)ùS(x,y)??N(y))C."x"y(Z(x)?S(x,y)ù?N(y))D."x(Z(x)ùS(x,y)??N(y))令F(x)：x是火車，G(y)：y是汽車，H(x,y)：x比y快。則語句“某些汽車比所有的火車慢”可表示為（）A.$y(G(y)?"x(F(x)ùH(x,y)))B.$y(G(y)ù"x(F(x)?H(x,y)))C."x$y(G(y)?(F(x)ùH(x,y)))D.$y(G(y)?"x(F(x)?H(x,y)))設個體域A={a,b}，公式"xP(x)ù$xS(x)在A中消去量詞后應為（）A.P(x)ùS(x)B.P(a)ùP(b)ù(S(a)úS(b))C.P(a)ùS(b)D.P(a)ùP(b)ùS(a)ùS(b)在謂詞演算中，下列各式哪個是正確的？（）A.$x"yA(x,y)?"y$xA(x,y)B.$x$yA(x,y)?$y$xA(x,y)C.$x"yA(x,y)?"x$yA(x,y)D."x"yA(x,y)?"y"xA(x,y)下列各式哪個不正確？（）A."x(P(x)úQ(x))?"xP(x)ú"xQ(x)B."x(P(x)ùQ(x))ü"xP(x)ù"xQ(x)C.$x(P(x)úQ(x))?$xP(x)ú$xQ(x)D."xP(x)ùQ)?"xP(x)ùQ下面謂詞公式哪個是前束范式？（）A."x"y$z(B(x,y)?A(z))B.?"x$yB(x,y)C.$x"y"x(A(x,y)ùB(x,y))D."x(A(x,y)?$yB(y))在謂詞演算中：P(a)是"xP(x)的有效結論，其理論根據是（）A.全稱規(guī)定規(guī)則(US) B.全稱推廣規(guī)則(UG)C.存在規(guī)定規(guī)則(ES) D.存在推廣規(guī)則(EG)填空題令R(x)：x是實數，Q(x)：x是有理數。命題“并非每個實數都是有理數”。其符號化為①。命題“雖然有些實數是有理數，但并非一切實數都是有理數”。則其符號化可表示為②。2. 設G(x)：x是金子，F(x)：x是閃光的，則命題“金子是閃光的，但閃光的不一定是金子”符號化為。3. 設C(x)：x是計算機，P(x,y)：x能做y，I(x)：x是智能工作，則命題“并非所有智能工作都能由計算機來做”符號化為。設Q(x)：x是偶數，P(x)：x是素數，則命題“存在惟一一個偶素數”可符號化為①，“至多存在一個偶素數”可符號化為②。5. 設Q(x)：x是奇數，Z(x)：x是整數，則語句“不是所有整數都是奇數”所對應的謂詞公式為。6. 設個體域為自然數集，P(x)：x是奇數，Q(x)：x是偶數，則命題“不存在既是奇數又是偶數的自然數”可符號化為。7. 設個體域為全總個體域，R(x)：x是實數，Q(x)：x是有理數，Z(x)：x是整數，則命題“所有的有理數是實數”，“有些有理數是整數”，“有些有理數是實數擔不是整數”符號化分別為①，②，③。8. "x"y(P(x,y)ùQ(y,z))ù$xP(x,y)中"x的作用域為①，"y的作用域為②，$x的作用域為③。公式"x(P(x)?Q(x,y)ú$R(y,z))?S(x)中自由變量為①，約束變量為②。取個體域為整數集，給定下列公式：(1)."x$y(x·y=0) (2)."x$y(x·y=1)(3)$x$y(x·y=2) (4)"x"y$z(x-y=z)(5).x-y=-y+x (5)."x"y(x·y=y)(7)"x(x·y=x) (8).$x"y(x+y=2y)上面公式中，真命題的有①，假命題的有②。*11. 下列謂詞公式 (1).?($xA(x))與"x?A(x) (2)."x(A(x)úB(x))與"xA(x)ú"xB(x) (3)."x(A(x)ùB(x))與"xA(x)ù"xB(x) (4).$x"yD(x,y)與"y$xD(x,y)中是等值的。對公式"x(P(x)úQ(x))，其中P(x):x=1，Q(x):x=2，當論域為{1,2}時，其真值為①，當論域為{0,1,2}時，其真值為②。13. 設個體域為A={a,b,c}，消去公式"xP(x)ù$xQ(x)中的量詞，可得。下列各式(1)."x(P(x)úQ(x))?("xP(x)ú$xQ(x))(2).("x(A(x)?B(x))ùA(c))?A(c)(3).("x(?A(x)?B(x))ù"x?B(x))?$xA(x)(4).($x(P(x)ùQ(x)))?$xP(x)??Q(x))其中是永真式。下列各式(1).$y"xA(x,y) (2).$x"yA(x,y)(3)."x$yA(x,y) (4).$x$yA(x,y)它們之間存在著的推理關系?？晒┻x擇的項有：A.(1)T(2)；(2)T(3) B.(2)T(1)；(3)T(4)C.(1)T(3)；(4)T(3) D.(4)T(1)；(1)T(3)E.(1)T(3)；(2)T(4)16. 填上聯結詞："xP(x)ú"xQ(x)"x(P(x)úQ(x))*17. 只用聯結詞?，"，?，表示以下的公式。 (1).$x(P(x)ùQ(x))=①；(2).$x(P(x)?"yQ(y))=②；(3)."y("xP(x)ú?Q(y))=③。給定下面謂詞公式：(1)."x(?F(x)??F(x))(2)."xF(x)?$xF(x)(3).?(F(x)?("yG(x,y)?F(x)))(4)."x$yF(x,y)?$x"yF(x,y)(5).?"xF(x)?$x?F(x)(6)."x(F(x)ùG(x))?("xF(x)ú"xG(x))(7).$x$yF(x,y)?"x"yF(x,y)(8)."x(F(x)úG(x))?("xF(x)ú"xG(x))(9).("xF(x)ú"xG(x))?"x(F(x)úG(x))(10)."x"yF(x,y)?"y"xF(x,y)(11).?("xF(x)?"yG(y))ù"yG(y)上面11個公式中，為重言式的有①，為矛盾式的有②。給定下列各公式：(1).(?$xF(x)ú"yG(y))ù(F(u)?"zH(z))(2).$xF(y,x)?"yG(y)(3)."x(F(x,y)?"yG(x,y))則①是(1)的前束范式，②是(2)的前束范式，③是(3)的前束范式。供選擇的答案有①$x"y"z((?F(x)úG(y))ù(F(u)?H(z)))②"x"y"z((?F(x)úG(y))ù(F(u)?H(z)))③$x"y(F(y,x)?G(y))④"x"y(F(z,x)?G(y))⑤"x"y(?F(z,x)úG(y))⑥"x$y(F(x,z)?G(x,y))⑦"x"y(F(x,z)?G(x,y))⑧"y"x(F(x,z)?G(x,y))⑨"y"x(?F(x,z)"G(y))20. 謂詞公式"xP(x)?"xQ(x)ú$yR(y)的前束范式為。21. 謂詞公式"x(P(x)?Q(x,y)ú$zR(y,z))?S(x)的前束范式為。*22. 謂詞公式?$x(?"yG(y,b)?H(x))的前束范式為。在謂詞邏輯中給出四個推理：(1).前提："x(F(x)?G(x))，$yF(y)； 結論：$yG(y)(2).前提：$x(F(x)ùG(x))； 結論："yF(y)(3).前提：$xF(x)，$xG(x)； 結論：$y(F(y)ùG(y))(4).前提："x(F(x)?H(x))，?H(y)； 結論："x(?F(x))以上四個推理中正確的有。在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：每個喜歡步行的人都不喜歡坐汽車，每個人或者喜歡坐汽車或者喜歡騎自行車。有的人不喜歡騎自行車，因而有的人不喜歡步行。命題符號化：F(x)：x喜歡步行；G(x)：x喜歡坐汽車；H(x)：x喜歡騎自行車。前提："x(F(x)??G(x))，"x(G(x)úH(x))，$x(?H(x))；結論：$x(?F(x))。判斷題1. 在謂詞公式中，一個變量只能是自由變量或約束變量中的一種。（）2. 公式"x(P(x)?Q(x))úR(y)中"x的作用域為P(x)。（）3. 同一謂詞公式，指定不同的論域，其真值不一定相同。（）4. 謂詞公式"xP(x)ù$y(?P(y))是矛盾式。（）*5. "x(P(x)?Q(x))?($xP(x)?$xQ(x))為真。（）6. 對公式$z(P(z)ùQ(x,z)ùM(z,y))úR(z)中自由變量代入后，有$z(P(z)ùQ(a,z)ùM(z,b))úR(z)（）7. "x"y(P(x)?Q(y))?$xP(x)?"yQ(y)（）*8. P(x)，Q(x)表示謂詞，P表示命題，有"x(P(x)?P)?$xP(x)?P（）*9. "x(A(x)ùB(x))?"xA(x)ù"xB(x)（）*10. "x(A(x)?B(x))T$xA(x)ù$xB(x)（）11. 任意一個謂詞公式都與一個前束范式等價。（）12. 公式"xP(x)?$yQ(x,y)前束范式"x"y(P(x)?Q(x,y))為（）13. 公式$x(?$yP(x,y)?($zQ(z)?R(x)))的前束范式為$x$y$z(P(x,y)ú?Q(z)úR(x))（）下面的推理：條件："x(P(x)úQ(x))，根據全稱規(guī)定（US）有：P(a)úQ(b)是正確的。（）對公式$z(P(z)ùQ(x,z)ùM(z,y))úR(z)中約束變量z改名后，得到的等價公式為：$t(P9t)ùQ(x,t)ùM(t,y))úR(t)（）綜合題用謂詞和量詞將下列命題符號化：(1).沒有不犯錯誤的人；(2).盡管有人聰明，但未必一切人都很聰明；(3).每個計算機系的學生都學離散數學；(4).所有的人都學習和工作；(5).并非一切推理都能用計算機完成；(6).任何自然數都有惟一的一個后繼數。*2. 令S(x,y,z)表示“x+y=z”，G(x,y)表示“x=y”，L(x,y)表示“x<y”，其中個體域為自然數集，用以上符號表示下列命題： (1).沒有x<0，且若x>0當且僅當有這樣的y，使得x≥y。 (2).并非對一切x，都存在y，使得x≤y。 (3).對任意的x，若x+y=x，當且僅當y=0。3. 用謂詞公式表示命題“”，并寫出該命題的否定命題。*4. 設P(x)：x是外語學的好的學生，Q(x)：x是三好學生，對下述自然語言用謂詞符號化： (1).并不是外語學的好的都是三好學生。 (2).有這樣的學生，外語學的好而不是三好學生，但外語學不好的學生一定不是三好學生。指出下列公式中量詞每次出現的作用域，并指出個體變量是約束變量還是自由變量。(1)."x"y(R(x,y)úL(y,z))ù$xH(x,y)(2)."x(P(x)ù$xQ(x))ú("xP(x)?Q(x))設f,g,h是二元運算符號，E，L是二元謂詞符號，考查的個體域為有理數集。給出解釋如下：f(x,y)=x·y； g(x,y)=x+y； h(x,y)=x2-y2； a=0； b=1；E(x,y):x=y； L(x,y):x<y根據上面的解釋，以下公式中哪些為真，哪些為假？(1).E(f(x,y),g(x,y))(2).E(f(x,x),h(x,a))(3).L(x,y)?L(y,x)(4).$xE(f(x,y),b)(5).?E(x,a)ùE(g(y,x),y)在謂詞邏輯中將命題(1)(2)(3)符號化，并指出各命題的真值。對應的個體域分別為①②③：①非負整數集N；②實數集R；③整數集Z。(1).對于任意的x，均有(x+1)2=x2+2x+1(2).存在x，使得x+1=0(3).存在x，使得5x=1*8. 假設論域為自然數集N={1,2,3,……}，a為2，P為命題“2>1”；A(x)表示“x>1”；B(x)表示“x是某個自然數的平方”。請在此基礎上，求下面公式的真值： "x(A(x)?(A(a)?B(x))?((P?"xA(x))?B(a))下列各式翻譯成自然語言，然后在不同的個體域中確定它們的真值：(1)."x$y(x·y=0)(2).$x"y(x·y=0)(3)."x$y(x·y=1)(4).$x"y(x·y=1)(5)."x$y(x·y=x)(6).$x"y(x·y=x)(7)."x"y$z(x-y=z)個體域分別為：①實數集②整數集③正整數集④非負實數集設解釋T如下：個體域為實數集R，元素a=0，函數f(x,y)=x-y，特定謂詞F(x,y)為x<y。根據解釋T，下列哪些公式為真？哪些為假？(1)."xF(f(a,x),a)(2)."x"y(?F(f(x,y),x))(3)."x"y"z(F(x,y)?F(f(x,z),f(y,z)))(4)."x$yF(x,f(f(x,y),y))求下面謂詞公式$x(X(x)ù"y(X(y)?((Y(x,z)ùY(y,z)ùp)?"t(X(t)?(Y(x,t)?Y(y,t))))))在賦值(z;p;X(x);Y(x,y))=(2;1;x是自然數;x<y)下的值。設解釋T為：個體域為D＝{-2,3,6}，謂詞F(x)：x≤3，G(x)：x>5，R(x)：x≤7。根據解釋T，求下列各式的真值：(1)."x(F(x)ùG(x))(2)."x(R(x)?F(x))úG(5)(3).$x(F(x)úG(x))設A(x)是一個含有個體變量x的謂詞公式，證明下面等值式成立：?"xA(x)?$x(?A(x))設A(x)，B(x)均為含有自由變量x的任意謂詞公式，證明："x(A(x)?B(x))T"xA(x)?"xB(x)15. 證明："x"y(G(x)?H(y))T"xG(x)?"xH(x)。16. 設G(x)，H(x)分別是謂詞公式，試證明"xG(x)?$xH(x)?$x(G(x)?H(x))17. 下列公式是否成立，成立則證明，不成立，則舉例說明之。 (1)."x$yA(x,y)T$x$yA(x,y) (2).$xA(x)ù$xB(x)T$x(A(x)ùB(x))18. 下面公式是否是永真式？說明理由。 (1).(A?$xB(x))?$x(A?B(x)) (2).$x(A(x)?B(x))?("xA(x)?$xB(x))19. 下面的公式是否是永真式？是則證明之，不是，請舉出反例： (1).$x"yA(x,y)?"y$xA(x,y) (2).($xA(x)?$xB(x))?$x(A(x)?B(x))20. 下面公式是否有效，對有效的公式加以證明，對無效的公式加以反駁。 (1)."x(P(x)úQ(x))?("xP(x)ú"xQ(x)) (2).("xP(x)ú"xQ(x))?"x(P(x)úQ(x))21. 航海家都教育自己的孩子成為航海家，有一個人教育他的孩子去做飛行員，證明：這個人一定不是航海家。22．指出下列推理中的錯誤：(1). ①"xF(x)?G(x) 前提引入②F(y)?G(y) ①US(2). ①"x(F(x)úG(x)) 前提引入②F(a)úG(b) ①US(3). ①F(x)?G(x) 前提引入②$y(F(y)?G(y)) ①EG(4). ①F(x)?G(c) 前提引入②$x(F(x)?G(x)) ①EG(5). ①F(a)?G(b) 前提引入②$x(F(x)?G(x)) ①EG(6). ①$x(F(x)ùG(x)) 前提引入②$y(H(y)ùR(y)) 前提引入③F(c)ùG(c) ①ES④F(c) ③化簡⑤H(c)ùR(c) ②ES⑥H(c) ⑤化簡⑦F(c)ùH(c) ④⑥合?、?x(F(x)ùH(x)) ⑦EG23. 試找出下列推理過程中的錯誤，寫出正確的推導過程，說明理由： ①"x(P(x)?Q(x)) 條件②P(y)?Q(y) 全稱規(guī)定(US)③$xP(x) 條件④P(y) 存在規(guī)定(ES)⑤Q(y) 由條件②④⑥$xQ(x) 存在推廣(EG)24. 下面推理是否是一個有效的推理，為什么？ ①"x$yQ(x,y) 條件②$yQ(a,y) 全稱規(guī)定(US)③Q(a,b) 存在規(guī)定(ES)④"xQ(x,b) 全稱推廣(UG)⑤$y"xQ(x,y) 存在推廣(EG)25. 下面推廣是否正確，若有錯，請指出： "x(A(x)?B(x)) ?"x(?A(x)úB(x)) ①?"X?(A(x)ù?B(x)) ②??$x(A(x)ù?B(x)) ③??($xA(x)ù$x?B(x)) ④??$xA(x)ú?$x(?B(x)) ⑤??$xA(x)ú"xB(x) ⑥?$xA(x)?"xB(x) ⑦26. 用謂詞演算推理規(guī)則證明： "x(P(x)?(Q(y)ùR(x)))，"xP(x)TQ(y)ù$x(P(x)ùR(x))27．改正下面證明中的錯誤：前提："x($y(S(x,y)ùM(y))?$z(P(z)ùR(x,z)))；結論：?$zP(z)?"x"y(S(x,y)??M(y))。證明過程：①"x($y(S(x,y)ùM(y))?$z(P(z)ùR(x,z)))； P②$y(S(b,y)ùM(y))?$z(P(z)ùR(b,z)) ①US③?$zP(z) P(附加前提)④"z(?P(z)) ③T,E⑤?P(a) ④US⑥?P(a)ú?R(b,a) T,⑤I⑦"z(?P(z)ú?R(b,z)) ⑥UG⑧?$z(P(z)ùR(b,z)) ⑦T,E⑨?$y(S(b,y)ùM(y)) ②,⑧T,L⑩"y(?S(b,y)ú?M(y)) ⑨T,E⑾"y(S(b,y)??M(y)) ⑩T,E⑿"x"y(S(x,y)??M(y)) ⑾UG⒀?$zP(z)?"x"y(S(x,y)??M(y)) CP第三章選擇題對任意集合A、B、C，下述論斷正確的是（）A.若A?B，BíC，則A?CB.若A?B，BíC，則AíCC.若AíB，B?C，則A?CD.若AíB，B?C，則AíC設A-B=?，則有（）A.B=? B.B1? C.AíB D.AêB設P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x}，則下列選項正確的是（）A.PéQ B.PêQ C.QéP D.Q=P設A={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，下列選項正確的是（）A.1?A B.{1,2,3}?A C.{{4,5}}?A D.??A下列個選項錯誤的是（）A.?í? B.??? C.?í{?} D.??{?}設A={x|x3-x=0}，B={x|x2-4<0,x?Z}，C={x|y=2x-1}，D={x|x+y=5,xy=6}，則有（）A.A=B B.A=C C.C=D D.C=A7. 在0?之間填上正確的符號。 A.= B.? C.í D.?設M={x|f1(x)=0}，N={x|f2(x)=0}，則方程f1(x)·f2(x)=0的解為（）A.M∩N B.M∪N C.M⊕N D.M-N設A={a,{a}}，下列選項錯誤的是（）A.{a}?P(A) B.{a}íP(A) C.{{a}}?P(A) D.{{a}}íP(A)設A={?}，B=P(P(A))，下列選項錯誤的是（）A.??B B.{?}?B C.{{?}}?B D.{?,{?}}?P(A)冪集P(P(P(?)))為（）A.{{?},{?,{?}}} B.{?,{?,{?}},{?}}C.{?,{?,{?}},{{?}},{?}} D.{?,{?,{?}}}*12.空集?的冪集P(?)的基數是（） A.0 B.1 C.3 D.413. 集合A={1,2,…,10}上的關系R={<x,y>|x+y=10,x?A,y?A}，則R的性質為（）A.自反的 B.對稱的 C.傳遞的，對稱的 D.反自反的，傳遞的14.設A={a,b,c}上的關系如下，有傳遞性的有（） A.ρ1={<a,c>,<c,a>,<a,b>,<b,a>} B.ρ2={<a,c>,<c,a>} C.ρ3={<a,b>,<c,c>,<b,a>,<b,c>} D.ρ4={<a,a>}15.設R和S是集合A上的任意關系，則下列命題為真的是（） A.若R和S是自反的，則R°S也是自反的 B.若R和S是反自反的，則R°S也是反自反的 C.若R和S是對稱的，則R°S也是對稱的 D.若R和S是傳遞的，則R°S也是傳遞的16.若R和S是集合A上的兩個關系，則下述結論正確的是（） A.若R和S是自反的，則R∩S也是自反的 B.若R和S是對稱的，則R°S也是對稱的 C.若R和S是反對稱的，則R°S也是反對稱的 D.若R和S是傳遞的，則R∪S也是傳遞的17.設A={1,2,3,4,5}，ρ={<i,j>|i<j,i,j?A}，則的性質是（） A.對稱的 B.自反的 C.反對稱的 D.反自反、反對稱、傳遞的18.設集合A={a,b,c}，R是A上的二元關系，R={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<c,a>}，那么R是（） A.反自反的 B.反對稱的 C.可傳遞的 D.不可傳遞的19.設R和S是集合A上的等價關系，則R∪S的對稱性（） A.一定成立 B.一定不成立 C.不一定成立 D.不可能成立20.設R和S是非空集合A上的等價關系，下述各式是等價關系的為（） A.(A×A)-R B.R2 C.R-S D.r(R-S)21.集合A上的關系R是相容關系的必要條件是（） A.自反、反對稱的 B.反自反、對稱的 C.傳遞、自反的 D.自反、對稱的22.設R是集合A上的偏序關系，是R的逆關系，則R∪是（） A.偏序關系 B.等價關系 C.相容關系 D.都不是23.設集合A中有4個元素，則A上的不同的等價關系的個數為（） A.11個 B.14個 C.15個 D.17個填空題1. 設M={1≤x≤12，x被2整除，x∈Z}，N={x|1≤x≤12，x被3整除，x∈Z}，則M∪N=①，M∩N②。設全集U={1,2,…,7}的子集為A={偶數}，B={奇數}，C={3的倍數}，則A∩B=①，∩=②，=③,B∩C=④。設集合A={x|<3，x?Z}，B={x|x=2k，k?Z}，C={1,2,3,4,5}。(1).A?C=①(2).(A?B)∩C=②(3).B?B=③(4).A?(C-B)=④設I為整數集合，A={x|x2<30，x?I}，B={x|x是素數，x<20}，C={1,3,5}。(1).(A∩B)∪C=①(2).(B-A)∪C=②(3).(C-A)∩(B-A)=③(4).(B∩C)-A=④設全集U={1,2,3,…,20}，A、B、C是其子集，且A={x|<4}，B={x|x2-6x-7=0}，C={x|x2<100}。(1).(A-B)∩=①(2).∩∩C=②(3).(A∩)-C=③設A、B是集合，求A與B之間的關系。(1).如果A={1}，B={1,{1,2}}，則①(2).如果A=?，B={?}，則②(3).如果A={a}，B={?,a,{?}}，則③(4).如果A={?}，B={?,{?}}，則④供選擇項：A?B且AíB B.A?B且A?BC. A?B但AíB D.A?B且A?B7. 設A={{x,y},?,x,y}，求下列各式的結果： A-{x,y}=①；A-{?}=②；{{x,y}}-A=③；?-A=④；A的冪集P(A)=⑤。8. 集合A={?,{a}}的冪集P(A)=。9. 集合A={{1,2},{3}},B={{1},{2},{3}}，試寫出 A∪B=①，A∩B=②，P(A)=③。10. 設A={x|100<x<200,x=7n+3,n?Z,x?Z}，則|A|=。11. 若集合A的基數|A|=10，則其冪集的基數|P(A)|=。確定以下各式：(!).?∩{?}=①(2).{?,{?}}-?=②(3).{?,{?}}-{?}=③13. 某班有學生50人，有26人在第一次考試中得優(yōu)，有21人在第二次考試中得優(yōu)，有17人兩次考試都沒有得優(yōu)，那么兩次考試都得優(yōu)的學生人數是。14. 某學校有足球隊員38人，籃球隊員15人，排球隊員20人，三隊隊員總數為58人，且其中只有3人同時參加3種球隊，那么僅僅參加兩種球隊得隊員人數是。15. 設A={a,b,c}，則集合S1={{a,b},{b,c}}，S2={{a},{a,b},{a,c}}，S3={{a},{b,c}}，S4={{a,b,c}}，S5={{a},,{c}}和S6={{a},{a,c}}中是A的完全覆蓋的有①，是A的劃分的有②。16. 設D為同一平面上直線的集合，并且∥表示兩直線間的平行關系，⊥表示兩直線間的垂直關系，則∥2=①，⊥2=②，⊥3=③。17. 關系R是反自反的，當且僅當在關系矩陣中①，在關系圖上②。18. 關系R是對稱的，當且僅當關系矩陣是①，在關系圖上②。19. 關系R是反對稱的，當且僅當關系矩陣是①，在關系圖上②。20. 設A={1,2,3}上的關系R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}，則關系R具備①性，不具備②性。21. 設A={1,2,3,4}上關系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>}，則r(R)=①，s(R)=②。設集合A僅含有3個元素，那么(1).在A上可定義.種不同的二元關系。(2).在A上可定義種不同的自反關系。(3).在A上可定義種不同的反自反關系。(4).在A上可定義種不同的對稱關系。(5).在A上可定義種不同的反對稱關系。如果R1和R2是A上的對稱關系，有下列觀點：(1).R1∪R2是對稱的(2).R1∩R2是對稱的(3).R1°R2是對稱的其中是正確的。如果R1和R2是A上的反對稱關系，有下列觀點：(1).R1∪R2是反對稱的(2).R1∩R2是反對稱的(3).R1°R2是反對稱的其中是正確的。如果R1和R2是A上的傳遞關系，有下列觀點：(1).R1∪R2是傳遞關系(2).R1∩R2是傳遞關系(3).R1°R2是傳遞關系(4).R12是傳遞關系其中是正確的。R是A的二元關系，那么有下列觀點：(1).當R是自反關系時，R的傳遞閉包也是自反關系(2).當R是反自反關系時，R的傳遞閉包也是反自反關系其中是正確的。R是A的二元關系，那么有下列觀點：(1).當R是對稱關系時，R的傳遞閉包也是對稱關系(2).當R是反對稱關系時，R的傳遞閉包也是反對稱關系 其中是正確的。 28. 集合A={a,b,c,d,e,f,g}，A上的一個劃分π={{a,b},{c,d,e},{f,g}}，那么π所對應的等價關系R應有個有序對。29. 設R是集合{1,2,…,10}上的模7同余關系，則[2]R=。30. 設R1和R2是A的相容關系，那么對于下列觀點：(1).R1∪R2是相容關系(2).R1∩R2是相容關系(3).R1°R2是相容關系 其中是正確的。*31. 整數集上的小于關系“<”具有①，②和③關系。32. 設A={a,b,c}上偏序關系(P(A),í)，則P(A)的子集B={?,{a},,{a,b},{b,c}}的極大元是①，最大元是②，上界是③，下確界是④。33. A={2,3,4,5,6,8,10,12,24}，R是A上的整除關系。那么A的極大元是①，極小元是②。34. A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，R是A上的整除關系。子集B={2,4,6}，那么B的最大元是①，B的最小元是②，B的上界是③，B的下界是④。35. A={1,2,3,4,5,6,8,10,24,36}，R是A上的整除關系。子集B={1,2,3,4}，那么B的上界是①，B的下界是②，B的上確界是③，B的下確界是④。判斷題1. 若A?B=A?C，則B=C。（）2. 若P∪Q=Q，P∩Q=?，則P=?。（）3. {?}?{?,{?}}且{?}í{?,{?}}。（）4. 設A={?}，B=P(P(A))，則有{?}?B，且{?}íB。（）5. A，B是集合，則命題AíB和A?B可能同時成立。（）6. 設A，B為任意集合，則P(A-B)=P(A)-P(B)。（）7. 若A-BíB，則BíA。（）8. 對每個集合A，有{A}íP(A)。（）9. 設A與B是任意兩個集合，若{A∩B,B-A}是A∪B的一個劃分，則有A-B=?。（）10. 若{A-B,B-A}是集合A∪B的一個劃分，則有A∩B=?，其中A1?，B1?。（）11. 設A，B是兩個任意的集合，若{A∩B,A-B,B-A}是A∪B的一個劃分，則有A∩B=?，A-B=?，B-A=?。（）12. 若{A∩B}是A∪B的一個劃分，則有A-B=B-A=?。（）13. 若R是集合A上的傳遞關系，則R2也是集合A上的傳遞關系。（）14. 若集合A上的關系R是對稱的，則也是對稱的。（）15. 一個不是自反的關系，一定是反自反的。（）16. 集合A={1,2,3}的任何關系R都不可能既是對稱的，又是反對稱的。（）17. 集合A={a,b,c}上的關系R={<a,b>,<a,c>}是不可傳遞的。（）18. 若R和S是集合A上的任意兩個自反關系，則R°S也是自反的。（）19. 若R和S是集合A上的任意兩個反自反關系，則R°S也是反自反的。（）20. 若R和S是集合A上的任意兩個對稱關系，則R°S也是對稱的。（）21. 若R和S是集合A上的任意兩個傳遞關系，則R°S也是傳遞的。（）22. 若R為集合A上的反對稱關系，則t(R)一定是反對稱的。（）設R和S是集合A上的關系，則有：r(R∪S)=r(R)∪r(S)；（）s(R∪S)=s(R)∪s(S)；（）t(R∪S)ít(R)∪t(S)；（）24. 設R和S是集合A上的等價關系，則R∪S一定是等價的。（）25. 設R和S是集合A上的兩個相容關系，則R°S和R∩S都是相容關系。（）26. 平面上直線間的平行關系是等價關系。（）27. 設人的集合A上的朋友關系為R，則R是A上的相容關系。（）綜合題舉出集合A，B，C的例子，使其滿足A?B，B?C，但A?C。判斷以下命題的真假：(1).a?{{a}}(2).{a}?{{a}}(3).x?{x}-{{x}}(4).{x}í{x}-{{x}}(5).A-B=A?B=?(6).A-B=??A=B(7).A?A=A(8).A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(9).如果A∩B=B，則A=B(10).A={x}∪x，則x?A且xíA設A，B，C，D是Z的子集，其中：A={1,2,7,8} B={x2|x2<50且x?Z}C={x|x?Z且0≤x≤30且x可以被3整除}D={x|x=2k且k?Z且0≤k≤6}用描述法表示下面集合并計算：(1).A∪B∪C∪D(2).A∩B∩C∩D(3).B-(A∪C)(4).(A∩B)∪D設全集U={1,2,…,12}，A={1,3,5,7,9,11}，B={2,3,5,7,11}，C={2,3,6,12}，D={2,4,8}。確定下面的集合：(1)A∪B (2)A∩C (3)(A∪B)∩(4)A-B (5)C-D (6)B?DA={{?},{?,1},{1,1,?}}，B={{?,1},{1}}。計算A∪B，A∩B，A-B，P(A)?；?(A∪(B-C))∩A)∪(B-(B-A))。第四章第五章選擇題*1. 設S={a,b}，則S上總共可定義的二元運算的個數是（） A.4 B.8 C.16 D.32設集合A={1,2,3,…,10}，下面定義的哪種運算關于集合A是不封閉的？（）x*y=max{x,y}x*y=min{x,y}x*y=GCD(x,y)，即x，y的最大公約數x*y=LCM(x,y)，即x，y的最小公倍數在自然數集N上，下列哪種運算是可結合的？（）A.a*b=a-b B.a*b=max{a,b} C.a*b=a+2b D.a*b=|a-b|對自然數集N，下列哪種運算不是可結合的？（）A.a*b=a+b+3 B.a*b=min{a,b} C.a*b=a+2b D.a*b=a×b(mod3)下列運算中，哪種運算關于整數集不能構成半群？（）A.aοb=max{a,b} B.aοb=bC.aοb=2ab D.aοb=|a-b|6.*運算如下表所示，哪個能使({a,b},*)成為獨異點？（）Q是有理數，(Q,*)（其中*為普通乘法）不能構成（）A.群 B.獨異點 C.半群 D.交換半群R為實數集，運算*定義為：a,b?R，a*b=a×|b|，則代數系統(tǒng)(R,*)是（）A.半群 B.獨異點 C.群 D.阿貝爾群*9. 下列代數系統(tǒng)(S,*)中，哪個是群？（）S={0,1,3,5}，*是模7的加法S=Q(有理數集合)，*是一般乘法S=Z(整數集合)，*是一般乘法S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法10. 具有如下定義的代數系統(tǒng)(G,*)，哪個不夠成群？（）G={1,10}，*是模11的乘法G={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法G=Q，*是普通加法G=Q，*是普通乘法*11. 設x，y是群（G,*）的任意兩個元素，n是大于0的整數，xn表示n個x進行乘法運算，則下述等式中哪個不成立？（） A.(x*y)n=xn*yn B.(x*y)n+1=x*(y*x)n*y C.y*(x*y)n*y=(y*x)n*y D.(x*y)n*x=x*(y*x)n*12. 任何一個有限群在同構的意義下可以看作是（） A.循環(huán)群 B.置換群 C.交換群 D.阿貝爾群13. 設H，K是群(G,ο)的子群，下面哪個代數系統(tǒng)仍是(G,ο)的子群？（） A.(HK,ο) B.(H∩K,ο) C.(K-H,ο) D.(H-K,ο)14. 任意一個具有多個等冪元的半群，它（）。 A.不能構成群 B.不一定能構成群 C.必能構成群 D.能構成交換群*15. 設Z是整數集合，+是一般加法，則下述函數中哪一個不是群(Z,+)的自同態(tài)？（） A.f(x)=2x B.f(x)=1000x C.f(x)=|x| D.f(x)=016. 群(R,+)與(R-{0},×)之間的關系是（） A.同態(tài) B.同構 C.后者是前者的子群 D.B，C均正確17. 若(H,*)是(G,*)的真子群，且|H|=n，|G|=m，則有（） A.n整除m B.m整除n C.n整除m且m整除n D.n不整除m且m不整除n*18. 6階群的任何非平凡子群一定不是（） A.2階 B.3階 C.4階 D.6階19. 設Z是整數集，+，×，分別是普通加法和乘法，則(Z,+,×)是（） A.域 B.整環(huán)和域 C.整環(huán) D.含零因子環(huán)20. 下面哪個集合關于指定的運算構成環(huán)？（） A.{a+b|a,b?Z}，關于數的加法和乘法 B.{n階實數矩陣}，關于矩陣的加法和乘法 C.{a+b|a,b?Z}，關于數的加法和乘法 D.{|a,b?Z}，關于矩陣的加法和乘法*21.+,×為一般的加法和乘法，則下述代數系統(tǒng)<S,+,×>中哪一個是整環(huán)？（）S={x|x=a+b，a,b?Q}S={x|x?Z且|x|有非1因子}∪{1}S={x|x=2n,n?Z}S={x|x=2n+1,n?Z}22. 在代數系統(tǒng)中，整環(huán)和域的關系為（） A.整環(huán)一定是域 B.域不一定是整環(huán) C.域一定是整環(huán) D.域一定不是整環(huán)填空題*1. 集合A={a,b,c}上總共可定義的二元運算的個數為。設S是非空有限集，代數系統(tǒng)(P(A),∪,∩)中，P(S)對∪運算的單位元是*abcaabcbbaaccaa①，零元是②，P(S)對∩運算的單位元是③。設(S,*)是代數系統(tǒng)，其中S={a,b,c},*定義如表所示，則(S,*)①半群，(S,*)②獨異點，因為③。οabca①a②babcc③c④在運算表中空白處填入適當符號，使({a,b,c},ο)成為群。(G,*)是群，BíG，且B是有限集，(B,*)是G的子群當且僅當。6. 設(G,*)是非零實數乘法群，f：G?G是同態(tài)映射，f(x)=，則f(G)=①，Ker(f)=②。7. 設H={0,4,8}，(H,+12)是群(N12,+12)的子群，其中N12={0,1,2,…,11}，+12是模12加法，則(N12,+12)有①個真子群，H的左陪集3H=②，4H=③。8. 任意一個無限群有個子群。9. 設G={1,5,7,11}，(G,*)為群，其中*為模12乘法，則5的階（周期）為①，(G,*)有②個真子群。判斷題1. 設(N,*)是代數系統(tǒng)，其中N為自然數集，*為二元運算，定義為：對任何的a,b?N，有a*b=a，則*是可結合的。（）2. 在一個代數系統(tǒng)中，若一個元素的逆元是惟一的，則運算必定是可結合的。（）3. 設*是S上的可結合運算，若a?S是可逆的，則a也是可約的。（）4. 設*是S上的可結合運算，若a?S是可約的，則a也是可逆的。（）5. 設(A,ο,*)是一個代數系統(tǒng)，對于任意的a,b?A，有aοb=a，而*是A上的任意二元運算，則*對ο不一定是可分配的。（）*6. 若半群有左單位元，則左單位元惟一。（）7. (S,*)是獨異點，a,b?S，且a,b均有逆元，則(a*b)-1=a-1*b-1。（）8. (S,*)是可交換獨異點，T={x|x?S,x*x=x}，則T也是獨異點。（）9. 有單位元且適合消去律的有限半群一定是群。（）10. (G,*)是獨異點，e是單位元，若對任意的a?G，有a*a=e，則(G,*)是Abel群。（）11. 設(G,*)是一個半群，若存在單位元且每個元素都有右逆元，則(G,*)是群。（）12. 一個群可以有多個等冪元。（）13. 任何一個Abel群不一定是循環(huán)群。（）14. 設G={2m3n|m,n?Z},×是普通乘法，則(G,×)不一定是群。（）15. 設G是循環(huán)群，G同構于H，則H也是循環(huán)群。（）*16. 非循環(huán)群的每一個子群必是非循環(huán)群。（）*17. 4階群中必有4階元。（）*18. 若H，K是群G的子群，則H∪K也是G的子群。（）19. 設(G,+)是一個交換群，E是G的全體自同態(tài)構成的集合，對f,g?E，令(f+g)(x)=f(x)+g(x)，"x?G，則(E,+)不是一個交換群。（）20. 任一群都同構于變換群。（）21. 設G是一群，令f(x)=x-1，對任一x?G，f是G的自同構當且僅當G是交換群。（）*22. f是群G到群H的同態(tài)映射，若G是交換群，則H也是交換群。（）23. 在代數系統(tǒng)中域一定是整環(huán)。（）24. 設A= a,b?Z ，則A關于矩陣的加法和乘法構成一整