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文檔簡介
專題01銳角三角函數(shù)之正弦重難點專練(原卷版)第I卷(選擇題)一、單選題1.(2023·上海崇明區(qū)·九年級一模)在中,,如果,,那么的正弦值為()A. B. C. D.2.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖所示,△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點,則sin∠A的值為()A. B. C. D.3.(2023·上海市川沙中學(xué)南校九年級期中)在中,分別是的對邊,如果,那么下列等式中正確的是()A. B. C. D.第II卷(非選擇題)二、解答題4.(2023·上海青浦區(qū)·九年級二模)已知:如圖,在正方形ABCD中,聯(lián)結(jié)BD,E是邊AB上一點,BF⊥DE,垂足為點F,且EF?BD=BE?BF.(1)求證:∠ADE=∠BDE;(2)延長DF與CB的延長線交于點G,求證:BG=BC+AE.5.(2023·上海九年級專題練習(xí))已知∠MAN是銳角,點B、C在邊AM上,點D在邊AN上,∠EBD=∠MAN,且CE∥BD,sin∠MAN=,AB=5,AC=9.(1)如圖1,當(dāng)CE與邊AN相交于點F時,求證:DF·CE=BC·BE;(2)當(dāng)點E在邊AN上時,求AD的長;(3)當(dāng)點E在∠MAN外部時,設(shè)AD=x,△BCE的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出定義域.6.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖,在△中,,,是邊的中點,于.(1)試求的值;(2)求證:;(3)若是邊上的點,且使△為等腰三角形,請求的長.7.(2023·上海)已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣2,與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,A(﹣2,0)(1)直接寫出:a=(2)如圖1,點P在第一象限內(nèi)拋物線上的一點,過點P作x軸的垂線交CB的延長線于點D,交AC的延長線于點Q,當(dāng)△QAP與△QCD相似時,求P點的坐標(biāo);(3)如圖2,拋物線的對稱軸交x軸于點M,N為第二象限內(nèi)拋物線上的一點,直線NA,NB分別交y軸于D,E兩點,分別交拋物線的對稱軸于F,G兩點.①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值;②若,求N點的坐標(biāo).8.(2023·上海九年級專題練習(xí))已知:如圖,在半徑為2的扇形中,°,點C在半徑OB上,AC的垂直平分線交OA于點D,交弧AB于點E,聯(lián)結(jié).(1)若C是半徑OB中點,求的正弦值;(2)若E是弧AB的中點,求證:;(3)聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時,求CD的長.9.(2023·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級期中)如圖,直線圖像與y軸、x軸分別交于A、B兩點(1)求點A、B坐標(biāo)和∠BAO度數(shù)(2)點C、D分別是線段OA、AB上一動點(不與端點重合),且CD=DA,設(shè)線段OC的長度為x,,請求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及定義域(3)點C、D分別是射線OA、射線BA上一動點,且CD=DA,當(dāng)ΔODB為等腰三角形時,求C的坐標(biāo)(第(3)小題直接寫出分類情況和答案,不用過程)10.(2023·上海市民辦新竹園中學(xué))如圖①,點P為∠MON的平分線上一點,以P點為頂點的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點,如果∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足OA·OB=OP2,我們就把∠APB叫作∠MON的智慧角.(1)如圖②,已知∠MON=90°,點P為∠MON的平分線上一點,以點P為頂點的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點,且∠APB=135°,求證:∠APB是∠MON的智慧角;(2)如圖①,已知∠MON=α(0°<α<90°),OP=2,若∠APB是∠MON的智慧角,連接AB,用含α的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積.11.(2017·上海嘉定區(qū)·九年級一模)如圖在平面直角坐標(biāo)系中,已知點的坐標(biāo)為(,),點的坐標(biāo)為(,),點的坐標(biāo)為(,);某二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、點與點.(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)假如點在該函數(shù)圖像的對稱軸上,且△ACQ是等腰三角形,直接寫出點的坐標(biāo);(3)如果第一象限內(nèi)的點在(1)中求出的二次函數(shù)的圖像上,且,求的正弦值.12.(2023·上海奉賢區(qū)·九年級三模)如圖,在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中,一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點A、B、C.(1)請完成如下操作:①以點O為原點、網(wǎng)格邊長為單位長,建立平面直角坐標(biāo)系;②根據(jù)圖形提供的信息,標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D,并連接AD、CD.(2)請在(1)的基礎(chǔ)上,完成下列填空:①寫出點的坐標(biāo):C、D;②⊙D的半徑=;(3)求∠ACO的正弦值.13.(2023·上海崇明區(qū)·九年級二模)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB=5,BC=8,sinB=.(1)求邊AC的長;(2)求⊙O的半徑長.14.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖,在菱形中,于,且∶3∶2.(1)試求的值;(2)若菱形的面積為100,試求其兩條對角線與的長.15.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖,直線與軸交于點,與軸交于點,把△沿著過點的某條直線折疊,使點落在軸負半軸上的點處,折痕與軸交于點.(1)試求點、、的坐標(biāo);(2)求的值.16.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖,已知的半徑為,在中,、都是圓的半徑,且.點在錢段的延長錢上,且.(1)求線段的長;(2)求的正弦值.17.(2023·上海市育才初級中學(xué)九年級月考)已知:如圖所示,中,CD⊥AB,,BD=1,AD=4,求AC的長.18.(2023·上海浦東新區(qū)·九年級二模)已知:如圖,在中,,,,點為斜邊的中點,以為圓心,5為半徑的圓與相交于、兩點,連結(jié)、.(1)求的長;(2)求的正弦值.三、填空題19.(2023·上海金山區(qū)·九年級一模)在中,,,,那么______.20.(2023·上海徐匯區(qū)·)如圖,已知是邊長為的等邊三角形,正方形的頂點分別在邊上,點在邊上,那么的長是_____.21.(2023·上海九年級一模)如圖,、、是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長相同,那么的正弦值為_________________.22.(2023·上海松江區(qū)·九年級一模)如圖,在邊長為1個單位的方格紙中,的頂點在小正方形頂點位置,那么的正弦值為_____.23.(2023·上海交大附中九年級期中)如圖,已知在梯形中,平行于,,延長到點,使,垂直于,垂足為,且平分,,______.24.(2023·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí))在Rt△ABC中,∠C=60°,斜邊BC=14cm,則BC邊上的高為__________cm;答案:25.(2023·上海市位育初級中學(xué)九年級期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,如果tan∠A=,那么cos∠B=_____.專題01銳角三角函數(shù)之正弦重難點專練(解析版)第I卷(選擇題)一、單選題1.(2023·上海崇明區(qū)·九年級一模)在中,,如果,,那么的正弦值為()A. B. C. D.答案:A分析:利用勾股定理可求出AB的長,根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得答案.【詳解】∵,,,∴AB==10,∴sinA==,故選:A.【點睛】本題考查解直角三角形,解題的關(guān)鍵是熟練掌握各三角函數(shù)的定義,屬于中考??碱}型.2.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖所示,△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點,則sin∠A的值為()A. B. C. D.答案:C分析:連接格點CD,設(shè)1個網(wǎng)格的邊長為x,根據(jù)格點的長度求出BD,CD邊的長度,根據(jù)勾股定理證明∠BDC=∠ADC=90°,再計算sin∠A=計算即可.【詳解】解:如圖,連接格點CD,設(shè)1個網(wǎng)格的邊長為x,則,∴∴∠BDC=∠ADC=90°,∴sin∠A=又∴sin∠A==故選:C【點睛】本題考查了網(wǎng)格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、銳角的三角函數(shù),根據(jù)網(wǎng)格特點構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.3.(2023·上海市川沙中學(xué)南校九年級期中)在中,分別是的對邊,如果,那么下列等式中正確的是()A. B. C. D.答案:D分析:分別算出∠A的各個三角函數(shù)值即可得到正確選項.【詳解】解:由題意可得:,∴∴正確答案應(yīng)該是D,故選D.【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義,正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.第II卷(非選擇題)二、解答題4.(2023·上海青浦區(qū)·九年級二模)已知:如圖,在正方形ABCD中,聯(lián)結(jié)BD,E是邊AB上一點,BF⊥DE,垂足為點F,且EF?BD=BE?BF.(1)求證:∠ADE=∠BDE;(2)延長DF與CB的延長線交于點G,求證:BG=BC+AE.答案:(1)見解析;(2)見解析分析:(1)先根據(jù)三角函數(shù)定義得出sin∠EBF=,sin∠BDE=,再由EF?BD=BE?BF,可得=,即可得∠EBF=∠BDE,再根據(jù)正方形性質(zhì)即可證明結(jié)論;(2)延長BF交DA的延長線于H,先證明△DFH≌△DFB,再結(jié)合正方形性質(zhì)證明△GBF≌△DHF,可得BG=DH=AD+AH=BC+AH,再證明△DAE≌△BAH,可得AH=AE,結(jié)論得證.【詳解】(1)∵BF⊥DE,∴∠BFD=90°,在Rt△BEF中,sin∠EBF=,在Rt△DBF中,sin∠BDE=,∵EF?BD=BE?BF,∴=,∴sin∠EBF=sin∠BDE,∴∠EBF=∠BDE,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠DAE=90°=∠BFD,∴∠EBF+∠BEF=∠ADE+∠AED=90°,∵∠BEF=∠AED,∴∠EBF=∠ADE,∴∠ADE=∠BDE;(2)如圖,延長BF交DA的延長線于H,∵∠ADE=∠BDE,∠DFH=∠DFB=90°,DF=DF,∴△DFH≌△DFB(ASA),∴HF=BF,∵四邊形ABCD為正方形,∴AD∥BC,AD=AB=BC,∴∠G=∠ADE,∠GBF=∠H,在△GBF和△DHF中,,∴△GBF≌△DHF(AAS),∴BG=DH=AD+AH=BC+AH,在△DAE和△BAH中,,∴△DAE≌△BAH(ASA),∴AH=AE,∴BG=BC+AE.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義,關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形.5.(2023·上海九年級專題練習(xí))已知∠MAN是銳角,點B、C在邊AM上,點D在邊AN上,∠EBD=∠MAN,且CE∥BD,sin∠MAN=,AB=5,AC=9.(1)如圖1,當(dāng)CE與邊AN相交于點F時,求證:DF·CE=BC·BE;(2)當(dāng)點E在邊AN上時,求AD的長;(3)當(dāng)點E在∠MAN外部時,設(shè)AD=x,△BCE的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出定義域.答案:(1)證明見解析;(2)AD=;(3).定義域為:.分析:(1)根據(jù)CE∥BD,得出∠CEB=∠DBE,∠DBA=∠BCE結(jié)合題干證明出△ABD∽△ECB,進而得到,再等量代換即可得到DF·CE=BC·BE.(2)過點B作BH⊥AN,垂足為H.根據(jù)條件先證明出△CEB∽△CAE,得到,代入求出CE,再根據(jù)求出BD,利用三角函數(shù)求出BH,根據(jù)勾股定理即可求出AD.(3)過點B作BH⊥AN,垂足為H.BH=4,AH=3,DH=根據(jù)△ECB∽△ABD得到,代入化簡為即可求解.【詳解】解:(1)∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,∠DBA=∠BCE.∵∠A=∠DBE,∴∠A=∠BEC.∴△ABD∽△ECB,∴.∵,∴,∴DF·CE=BC·BE.(2)過點B作BH⊥AN,垂足為H.∵CE∥BD,∴∠CEB=∠EBD=∠A,又∵∠BCE=∠ECA,∴△CEB∽△CAE,∴,∴.∵AB=5,AC=9,∴BC=4,∴,∴CE=6.∵,∴.在Rt△ABH中,,∴AH=.DH=.AD=.(3)過點B作BH⊥AN,垂足為H.BH=4,AH=3,DH=..∵△ECB∽△ABD,∴.∵,∴,∴.定義域為.【點睛】此題屬于平面幾何的綜合應(yīng)用,主要利用三角形相似,找到相似比,根據(jù)相似比求值,計算量較大,有一定難度.6.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖,在△中,,,是邊的中點,于.(1)試求的值;(2)求證:;(3)若是邊上的點,且使△為等腰三角形,請求的長.答案:(1);(2)詳見解析;(3)的長為或或分析:(1)先根據(jù)勾股定理求出MB的長度,然后通過等量代換得出∠MCH=∠MBC,進而利用求解即可;(2)通過,得出,進而有,從而可證△AMH∽△BMA,則結(jié)論可證;(3)當(dāng)△為等腰三角形時,分三個情況討論:①當(dāng)時,過點作于點E,利用求解;②當(dāng)時,可直接得的長;③當(dāng)時,過點作于點Q,利用求解.【詳解】(1)在△MBC中,∠MCB=,BC=2,又∵M是邊AC的中點,∴AM=MC=AC=1,∴MB=.又CH⊥BM于H,則∠MHC=,,∴∠MCH=∠MBC,∴;(2)∵,∴,∴AM2=MC2=,即,又∵∠AMH=∠BMA,∴△AMH∽△BMA,∴∠ABM=∠CAH;(3)在△MHC中,.,.∵,∴,∴.∵,∴.當(dāng)△為等腰三角形時,分以下三個情況討論:①當(dāng)時,過點作于點E,∵,,∴,∴;∴,即,∴;②當(dāng)時,;③當(dāng)時,過點作于點Q,∵,,∴,∴,∴,即,∴;綜上所述,當(dāng)△為等腰三角形時,的長為或或.【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義,相似三角形的判定及性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用,掌握等腰三角形的定義,相似三角形的判定及性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義并分情況討論是解題的關(guān)鍵.7.(2023·上海)已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣2,與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,A(﹣2,0)(1)直接寫出:a=(2)如圖1,點P在第一象限內(nèi)拋物線上的一點,過點P作x軸的垂線交CB的延長線于點D,交AC的延長線于點Q,當(dāng)△QAP與△QCD相似時,求P點的坐標(biāo);(3)如圖2,拋物線的對稱軸交x軸于點M,N為第二象限內(nèi)拋物線上的一點,直線NA,NB分別交y軸于D,E兩點,分別交拋物線的對稱軸于F,G兩點.①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值;②若,求N點的坐標(biāo).答案:(1);(2)點P的坐標(biāo)為(6,4)或(,);(3)①tan∠FAM﹣tan∠GAM=;②點N的坐標(biāo)為(﹣4,4).分析:(1)將點A代入拋物線即可.(2)相似分兩種情況,一種是AP∥CD,根據(jù)兩直線平行k相等,再代入點A就可以求出此時直線AP的解析式,和拋物線聯(lián)立就可以求出點P的坐標(biāo);另一種根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例,列方程求解即可.(3)①設(shè)點N的坐標(biāo),表示線段長度,列比值算出數(shù)值即可.②轉(zhuǎn)換題干中的比值,把斜線的比值轉(zhuǎn)換為水平線的比值,表示線段長度,列式求解即可.【詳解】解:(1)將A(﹣2,0)代入拋物線中,得0=4a+4a﹣2,解得.故答案為.(2)拋物線的解析式為,令y=0,解得x1=﹣2,x2=4,∴B(4,0),令x=0,y=﹣2,∴C(0,﹣2),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,代入點A、C,得:解得∴y=﹣x﹣2,設(shè)直線BC的解析式為y=k1x+b1,代入點點B、C,得:解得∴y=x﹣2,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,則縱坐標(biāo)為,則點D(m,m﹣2),Q(m,﹣m﹣2),PQ=,DQ=,AQ=,CQ=,①當(dāng)AP∥CD時,△APQ∽△CDQ,設(shè)直線AP的解析式為y=x+b3,代入點A,0=×(﹣2)+b3,解得b3=1,∴y=x+1,令x+1=x2﹣﹣2,解得x1=﹣2,x2=6,當(dāng)x=6時,y=4,∴P(6,4).②當(dāng)∠APQ=∠QCD時,△APQ∽△DCQ,∴,∴=解得m1=﹣2(舍),m2=,當(dāng)x=時,y=,∴P(,).綜上所述,點P的坐標(biāo)為(6,4)或(,).(3)①過點N作NK垂直x軸于點K,設(shè)點N的坐標(biāo)為(n,n2﹣n﹣2),則NK=n2﹣n﹣2,AK=﹣2﹣n,BK=4﹣n,tan∠FAM=tan∠NAK==,tan∠GAM=tan∠GBK==,∴tan∠FAM﹣tan∠GAM=-=.②∵,△NED∽△NGF,∴,過點N向拋物線的對稱軸作垂線,分別交y軸和對稱軸于點J、H,∴△NJE∽△NHG,∴,NJ=﹣n,NH=1﹣n,∴4(1﹣n)=﹣5n,解得n=﹣4,當(dāng)x=﹣4時,y=4,∴點N的坐標(biāo)為(﹣4,4).【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題,比較考查邏輯分析能力以及計算能力,需對知識熟練掌握.8.(2023·上海九年級專題練習(xí))已知:如圖,在半徑為2的扇形中,°,點C在半徑OB上,AC的垂直平分線交OA于點D,交弧AB于點E,聯(lián)結(jié).(1)若C是半徑OB中點,求的正弦值;(2)若E是弧AB的中點,求證:;(3)聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時,求CD的長.答案:(1);(2)詳見解析;(2)當(dāng)是以CD為腰的等腰三角形時,CD的長為2或.分析:(1)先求出OCOB=1,設(shè)OD=x,得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x,根據(jù)勾股定理得:(2﹣x)2﹣x2=1求出x,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出,進而得出∠CBE=∠BCE,再判斷出△OBE∽△EBC,即可得出結(jié)論;(3)分兩種情況:①當(dāng)CD=CE時,判斷出四邊形ADCE是菱形,得出∠OCE=90°.在Rt△OCE中,OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2.在Rt△COD中,OC2=CD2﹣OD2=a2﹣(2﹣a)2,建立方程求解即可;②當(dāng)CD=DE時,判斷出∠DAE=∠DEA,再判斷出∠OAE=OEA,進而得出∠DEA=∠OEA,即:點D和點O重合,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)∵C是半徑OB中點,∴OCOB=1.∵DE是AC的垂直平分線,∴AD=CD.設(shè)OD=x,∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x.在Rt△OCD中,根據(jù)勾股定理得:(2﹣x)2﹣x2=1,∴x,∴CD,∴sin∠OCD;(2)如圖1,連接AE,CE.∵DE是AC垂直平分線,∴AE=CE.∵E是弧AB的中點,∴,∴AE=BE,∴BE=CE,∴∠CBE=∠BCE.連接OE,∴OE=OB,∴∠OBE=∠OEB,∴∠CBE=∠BCE=∠OEB.∵∠B=∠B,∴△OBE∽△EBC,∴,∴BE2=BO?BC;(3)△DCE是以CD為腰的等腰三角形,分兩種情況討論:①當(dāng)CD=CE時.∵DE是AC的垂直平分線,∴AD=CD,AE=CE,∴AD=CD=CE=AE,∴四邊形ADCE是菱形,∴CE∥AD,∴∠OCE=90°,設(shè)菱形的邊長為a,∴OD=OA﹣AD=2﹣a.在Rt△OCE中,OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2.在Rt△COD中,OC2=CD2﹣OD2=a2﹣(2﹣a)2,∴4﹣a2=a2﹣(2﹣a)2,∴a=﹣22(舍)或a=;∴CD=;②當(dāng)CD=DE時.∵DE是AC垂直平分線,∴AD=CD,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA.連接OE,∴OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠DEA=∠OEA,∴點D和點O重合,此時,點C和點B重合,∴CD=2.綜上所述:當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時,CD的長為2或.【點睛】本題是圓的綜合題,主要考查了勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù),作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.9.(2023·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級期中)如圖,直線圖像與y軸、x軸分別交于A、B兩點(1)求點A、B坐標(biāo)和∠BAO度數(shù)(2)點C、D分別是線段OA、AB上一動點(不與端點重合),且CD=DA,設(shè)線段OC的長度為x,,請求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及定義域(3)點C、D分別是射線OA、射線BA上一動點,且CD=DA,當(dāng)ΔODB為等腰三角形時,求C的坐標(biāo)(第(3)小題直接寫出分類情況和答案,不用過程)答案:(1)A(0,3),B(),60°(2)(0<x<3)(3)(0,0),,(0,6)分析:(1)對于一次函數(shù)解析式,分別令x與y為0求出對應(yīng)的y與x的值,得到A、B兩點坐標(biāo),然后再根據(jù)三角函數(shù)求出∠BAO的度數(shù)即可;(2)先證明△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD=AC=3-x,作DH⊥y軸于點H,用含x的式子表示出DH的長,然后根據(jù)三角形面積公式進行求解即可;(3)當(dāng)△ODB為等腰三角形時,分三種情況討論:當(dāng)OD=DB時;當(dāng)BD=BO時;當(dāng)OD=OB時,利用等邊三角形的性質(zhì)分別求出C點坐標(biāo)即可.【詳解】(1)一次函數(shù),令,則有,解得:,,令,得,,,在,,∵sin∠ABO=,,;(2)過點D作DH⊥y軸,垂足為點H,,,,∴ΔADC是等邊三角形,,,==,∵S△OCD=,;(3)由(1)知,在Rt△OAB中,OA=3,OB=3,∠BAO=60°,AB=6,∠ABO=30°,當(dāng)△ODB為等腰三角形時,分三種情況進行討論:①如圖1,當(dāng)OD=DB時,D在OB的垂直平分線上,則D為AB的中點,AD=AB=3,∵CD=DA,∠CAD=60°,∴△ACD是等邊三角形,∴AC=AD=3,∴C與原點重合,∴C點坐標(biāo)為(0,0);②如圖2,當(dāng)BD=BO=3時,AD=AB-BD=6-3,∵CD=DA,∠CAD=60°,∴△ACD是等邊三角形,∴AC=AD=6-3,∴OC=OA-AC=3-(6-3)=3-3,∴C點坐標(biāo)為(0,3-3);③如圖3,當(dāng)OD=OB=3時,∠ODB=∠OBD=30°,∵∠AOD=∠BAO-∠ODB=60°-30°,∴∠ODB=∠AOD=30°,∴AD=OA=3,∵CD=DA,∠CAD=60°,∴△ACD是等邊三角形,∴AC=AD=3,∴OC=OA+AC=3+3=6,∴C點坐標(biāo)為(0,6),綜上,點C的坐標(biāo)為(0,0),,(0,6).【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,涉及了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,銳角三角函數(shù)定義,三角形的面積,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)等,有一定的難度,利用分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.10.(2023·上海市民辦新竹園中學(xué))如圖①,點P為∠MON的平分線上一點,以P點為頂點的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點,如果∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足OA·OB=OP2,我們就把∠APB叫作∠MON的智慧角.(1)如圖②,已知∠MON=90°,點P為∠MON的平分線上一點,以點P為頂點的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點,且∠APB=135°,求證:∠APB是∠MON的智慧角;(2)如圖①,已知∠MON=α(0°<α<90°),OP=2,若∠APB是∠MON的智慧角,連接AB,用含α的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積.答案:(1)詳見解析;(2)∠APB=180°-,S△AOB=2sinα..解析:試題分析:(1)在△OAP中利用三角形內(nèi)角和可以求得∠OAP+∠APO為135°,再根據(jù)已知條件容易得到∠OAP=∠OPB.由“兩組內(nèi)角對應(yīng)相等”不難證明△AOP∽△POB.利用相似三角形的性質(zhì)可以證明OA·OB=OP2.由于上述證明過程中所用到的幾何關(guān)系不隨旋轉(zhuǎn)而改變,所以可以證明本小題的結(jié)論.(2)利用已知條件不難通過“兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等”證明△AOP∽△POB.通過∠OAP=∠OPB可以將∠APB轉(zhuǎn)化為△OAP的兩個內(nèi)角之和,從而利用三角形內(nèi)角和獲得∠APB與α的關(guān)系.至于△AOB的面積,可以作出OB邊上的高,利用銳角三角函數(shù)將這條高的長度用含有OA和α的式子表示出來.通過三角形面積公式和OA·OB=OP2的關(guān)系可以得到△AOB的面積與α的關(guān)系.試題解析:(1)證明:∵∠MON=90°,點P為∠MON平分線上的一點,∴,∵在△OAP中,∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=180°-45°=135°.∵∠APB=135°,∴∠APO+∠OPB=135°,∴∠OAP=∠OPB,∵∠OAP=∠OPB,∠AOP=∠POB=45°,∴△AOP∽△POB,∴,∴OP2=OA·OB,∴∠APB是∠MON的智慧角.(2)下面求解∠APB的度數(shù).∵∠APB是∠MON的智慧角,∴OA·OB=OP2,∴,∵點P為∠MON平分線上的一點,∠MON=α(0°<α<90°),∴.∵,∠AOP=∠POB,∴△AOP∽△POB,∴∠OAP=∠OPB,∵在△OAP中,∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=,∵∠APB=∠OPB+∠APO=∠OAP+∠APO,∴.下面求解△AOB的面積.如圖,過點A作AH⊥OB,垂足為H.(以下用符號S△AOB代指△AOB的面積)∵∠MON=α(0°<α<90°),即∠AOH=α,∴在Rt△OHA中,,∴,∵∠APB是∠MON的智慧角,∴OA·OB=OP2,∴,∵OP=2,∴,即△AOB的面積為.點睛:本題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識.正確理解題意,充分利用所謂“智慧角”所包含的條件是解決該題的重要前提;避免對條件中“旋轉(zhuǎn)”之類字眼的過分解讀也是在解決本題的過程中需要特別注意的.另外,利用“兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等”判定三角形相似的方法容易被忽略,從而造成不必要的困難.11.(2017·上海嘉定區(qū)·九年級一模)如圖在平面直角坐標(biāo)系中,已知點的坐標(biāo)為(,),點的坐標(biāo)為(,),點的坐標(biāo)為(,);某二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、點與點.(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)假如點在該函數(shù)圖像的對稱軸上,且△ACQ是等腰三角形,直接寫出點的坐標(biāo);(3)如果第一象限內(nèi)的點在(1)中求出的二次函數(shù)的圖像上,且,求的正弦值.答案:(1)二次函數(shù)的解析式為.;(2),,,;(3).解析:分析:(1)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為將已知三點坐標(biāo)代入即可解決問題;(2)由點在該函數(shù)圖像的對稱軸上,且△ACQ是等腰三角形,可得出點Q的坐標(biāo);(3)利用三角函數(shù)和勾股定理即求的正弦值.【詳解】解:(1)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為,將(,)、(,)、(,)代入,得解得,,.所以,這個二次函數(shù)的解析式為.(2)如圖1,∵點B與點C為拋物線上的對應(yīng)點,∴拋物線的對稱軸為直線x=3,點A為拋物線的頂點,∵C(0,5),A(3,1),∴AC==5,當(dāng)AQ=AC=5時,點Q的坐標(biāo)為(3,6)或(3,?4);當(dāng)CQ=CA=5時,點Q與點A關(guān)于直線BC對稱,則Q點的坐標(biāo)為(3,9);當(dāng)QA=QC時,設(shè)Q(3,t),則(t?1)2=32+(t?5)2,解得t=,則Q點坐標(biāo)為(3,);綜上所述,滿足條件的Q點的坐標(biāo)為(3,6)或(3,?4)或(3,9)或(3,);(3)由題意得,該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線.聯(lián)結(jié)交直線于點,過點作,垂足為(圖2).將直線與的交點記為,易得,,.∴故可設(shè),則,.又∵,則.由題意得方程:.解得,,∴.∴.“點睛”本題考查二次函數(shù)與x軸的交點、待定系數(shù)法、三角函數(shù)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識,學(xué)會利用三角函數(shù)解決問題,屬于中考??碱}型.12.(2023·上海奉賢區(qū)·九年級三模)如圖,在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中,一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點A、B、C.(1)請完成如下操作:①以點O為原點、網(wǎng)格邊長為單位長,建立平面直角坐標(biāo)系;②根據(jù)圖形提供的信息,標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D,并連接AD、CD.(2)請在(1)的基礎(chǔ)上,完成下列填空:①寫出點的坐標(biāo):C、D;②⊙D的半徑=;(3)求∠ACO的正弦值.答案:(1)答案見解析;(2)①,,②;(3).分析:(1)根據(jù)點的坐標(biāo)表示,C的坐標(biāo)即可得到,首先作出弦AB與BC的中垂線,中垂線的交點就是D,即可確定點D的坐標(biāo);(2)①根據(jù)(1)中的平面直角坐標(biāo)系直接填空;②在直角中,利用勾股定理即可求解;(3)連接AC、OC.過C作CH⊥AO于點H,過點A作AM⊥CO于點M,利用的面積等積轉(zhuǎn)換求得AM的長度,然后在中利用正弦函數(shù)的定義求得的正弦值.【詳解】解:(1)作弦AB與BC的中垂線,中垂線的交點就是D,在直角坐標(biāo)系中,點D的在該坐標(biāo)系中的位置如圖所示:(2)解:①根據(jù)圖示知,C(6,2),D(2,0),故答案為:(6,2),(2,0);②解:在直角△AOD中,根據(jù)勾股定理知⊙D的半徑AD=,故答案為:;(3)解:連接AC、OC.過C作CH⊥AO于點H,過點A作AM⊥CO于點M.則OA?CH=OC?AM,即×4×6=×?AM,解得,AM=;在Rt△AMC中,sin∠ACO=.【點睛】本題考查了圓的綜合題,涉及的知識點有:坐標(biāo)與圖形性質(zhì),垂徑定理,勾股定理,三角函數(shù);利用了數(shù)形結(jié)合的思想,根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵.13.(2023·上海崇明區(qū)·九年級二模)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB=5,BC=8,sinB=.(1)求邊AC的長;(2)求⊙O的半徑長.答案:(1)AC=5;(2)分析:(1)過點A作AH⊥BC于H,由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求BH的長,由勾股定理可求AC的長;(2)利用勾股定理列出方程,可求解.【詳解】解:(1)如圖,過點A作AH⊥BC于H,∵sinB==,AB=5,∴AH=3,∴BH===4,∵CH=BC﹣BH,∴CH=4,∴AC===5;(2)如圖2,連接OB,OC,AO,AO交BC于點E,∵AB=AC=5,OC=OB,∴AO是BC的垂直平分線,∴BE=EC=4,∴AE===3,∵BO2=BE2+OE2,∴BO2=16+(OB﹣3)2,∴BO=.【點睛】本題考查了三角形外接圓和外心,圓的有關(guān)知識,勾股定理,銳角三角函數(shù),利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵.14.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖,在菱形中,于,且∶3∶2.(1)試求的值;(2)若菱形的面積為100,試求其兩條對角線與的長.答案:(1);(2),分析:(1)令A(yù)H=3k,DH=2k,根據(jù)勾股定理求得BH的值,再根據(jù)三角函數(shù)公式求得sin∠BAD的值;(2)根據(jù)面積公式求得k的值,再根據(jù)勾股定理求得BD的值,最后根據(jù)面積公式求得AC的值.【詳解】解:(1)令,,由四邊形為菱形得.在△中,,,.∴,∴.(2)∵,又∵,∴,解得.又在△中,,,,∴,∵,又∵,∴,∴.【點睛】本題考查了綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì),進行邏輯推理能力和運算能力.15.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖,直線與軸交于點,與軸交于點,把△沿著過點的某條直線折疊,使點落在軸負半軸上的點處,折痕與軸交于點.(1)試求點、、的坐標(biāo);(2)求的值.答案:(1)(4,0),(0,3),(,0);(2)=.分析:(1)由直線解析式及可得出A、B點坐標(biāo),根據(jù)題意翻折后能求出D點坐標(biāo),設(shè)出C點坐標(biāo),在Rt△DCO中可通過解直角三角形得出C點坐標(biāo).(2)由題意得∠ABC=∠DBC,根據(jù)點C和點B的坐標(biāo),通過Rt△BOC可得出sin∠ABC的值.【詳解】解:(1)∵直線與軸交于點,與軸交于點當(dāng)x=0時,y=3;當(dāng)y=0時,,解得:x=4∴(4,0),(0,3).∴,,.由翻折得:,,.∴(0,-2)設(shè)點(,0),則.則在△中,,,.∴,解得.∴(,0).(2)∵∴==.∵∴.∴=.【點睛】本題考查一次函數(shù)的知識,結(jié)合了幾何圖形,綜合性較強,考查的知識點也較多,同學(xué)們要注意掌握此類問題的解法.16.(2023·上海九年級專題練習(xí))如圖,已知的半徑為,在中,、都是圓的半徑,且.點在錢段的延長錢上,且.(1)求線段的長;(2)求的正弦值.答案:(1);(2)分析:(1)過點作交于點,先利用勾股定理求解,從而可得,再利用勾股定理求解,從而可得答案;(2)過點作交于點,由,求解的長,再利用,從而可得答案.【詳解】解:(1)過點作交于點,∵,,,,∴,,∵在中,∴,∴,∴.(2)過點作交于點,,,∴【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì),垂徑定理,含的直角三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用,掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.17.(2023·上海市育才初級中學(xué)九年級月考)已知:如圖所示,中,CD⊥AB,,BD=1,AD=4,求AC的長.答案:分析:根據(jù)題意由銳角三角函數(shù)可求∠A=∠BCD,可證△ACD∽△CBD,即可求CD的長,由勾股定理即可求出AC的長.【詳解】解:∵CD⊥AB,∴且,∴sin∠A=sin∠BCD,∴∠A=∠BCD,且∠ADC=∠BDC=90°,∴△ACD∽△CBD∴,∴CD2=BD?AD=4∴CD=2,∴.【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義,根據(jù)題意求出CD的長是解答本題的關(guān)鍵.18.(2023·上海浦東新區(qū)·九年級二模)已知:如圖,在中,,,,點為斜邊的中點,以為圓心,5為半徑的圓與相交于、兩點,連結(jié)、.(1)求的長;(2)求的正弦值.答案:(1)6;(2).分析:(1)過點O作OG⊥EF于點G,根據(jù)垂徑定理得出EG=FG,然后由O為AB的中點,OG∥AC可推出OG為△ABC的中位線,從而可求出OG的長,在Rt△OEG中,由勾股定理可求出EG的長,從而可得出EF的長;(2)首先由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得出CO=BO,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CG=BG,由(1)中EG=3可得,CE=5=OE,所以∠COE=∠OCE,在Rt△OCG中,求出sin∠OCG的值即可得出結(jié)果.【詳解】解:(1)過點O作OG⊥EF于點G,∴EG=FG,OG∥AC,又O為AB的中點,∴G為BC的中點,即OG為△ABC的中位線,∴OG=AC=4,在Rt△OEG中,由勾股定理得,EG=,∴EF=2EG=6;(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB=,又O為AB的中點,∴CO=BO=4,又OG⊥BC,∴CG=BG=BC=8,∴CE=CG-EG=8-3=5,∴CE=EO,∴∠COE=∠OCE,∴sin∠OCE=.∴∠COE的正弦值為.【點睛】本題是圓的綜合題,考查了垂徑定理,中位線的性質(zhì),直角三角形斜邊中線的性質(zhì),三角函數(shù),等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識,作出輔助線,綜合運算基本性質(zhì)進行推理是解題的關(guān)鍵.三、填空題19.(2023·上海金山區(qū)·九年級一模)在中,,,,那么______.答案:分析:直接利用正弦的定義列式求解即可.【詳解】解:∵,,∴∵∴,解得:BC=12.故填:12.【點睛】本題主要考查了正弦的定義,正確理解正弦的定義是解答本題的關(guān)鍵.20.(2023·上海徐匯區(qū)·)如圖,已知是邊長為的等邊三角形,正方形的頂點分別在邊上,點在邊上,那么的長是_____.答案:分析:根據(jù)等邊三角形以及正方形的性質(zhì),在Rt△CDG中運用正弦的定義建立方程求解即可.【詳解】根據(jù)題可知,△ADE為等邊三角形,即:AD=DE,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知DE=DG,DG⊥BC,∠C=60°,設(shè)AD=x,則DG=x,DC=AC-AD=2-x,∴在Rt△CDG中,,即:,解得:,經(jīng)檢驗是
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