高中數(shù)學(xué) 3.3.2函數(shù)的極大值和極小值活頁(yè)訓(xùn)練 湘教版選修1-1

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.3.2函數(shù)的極大值和極小值活頁(yè)訓(xùn)練湘教版選修1-1eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1．對(duì)于函數(shù)y＝1＋3x－x3來(lái)說(shuō)，有 ()．A．極小值－1，極大值1B．極小值－2，極大值3C．極小值為－2，極大值2D．極小值為－1，極大值3解析y′＝3－3x2，由y′>0得－1<x<1，由y′<0得x>1或x<－1，所以y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上遞減，(－1,1)上遞增，(1，＋∞)上遞減．所以x＝－1時(shí)，y取得極小值1＋3×(－1)－(－1)3＝－1，x＝1時(shí)，y取得極大值1＋3×1－13＝3.答案D2．若f(x)的定義域?yàn)?a，b)，f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則f(x)在(a，b)內(nèi)極小值的個(gè)數(shù)為 ()．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析由f′(x)的圖象可知，f(x)在(a，b)內(nèi)的增減情況為先增再減再增再減再增再減，所以f(x)在(a，b)內(nèi)有2個(gè)極小值．答案B3．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋(c－3a－2b)x＋d過(guò)點(diǎn)(0,3)，且函數(shù)在x＝1處有極值，則c，d的值分別為 A．0,2 B．0,3C．1,2 D．1,3解析由已知得函數(shù)f(x)的圖象過(guò)(0,3)且f′(1)＝0得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3，,3a＋2b＋c－3a－2b＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3，,c＝0.))答案B4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝________.解析f′(x)＝eq\f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)，由f′(1)＝eq\f(3－a,4)＝0得a＝3.答案35．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則a的范圍為_(kāi)_______．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．由題意知f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴36a2－12×3(a＋2)>0，∴a>2或a答案a>2或a<－1.6．(·安徽高考)設(shè)f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)，其中a為正實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)a＝eq\f(4,3)時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)．(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．解對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝exeq\f(1＋ax2－2ax,1＋ax22).①(1)當(dāng)a＝eq\f(4,3)時(shí)，令f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0，解得x1＝eq\f(3,2)，x2＝eq\f(1,2).結(jié)合①，可知xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以，x1＝eq\f(3,2)是極小值點(diǎn)，x2＝eq\f(1,2)是極大值點(diǎn)．(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上符號(hào)不變，結(jié)合①式與條件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立)．∴Δ＝4a2－4a≤0，∴0<aeq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為y＝f(x)的圖象是()．解析設(shè)F(x)＝f(x)·ex，則F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]．因?yàn)閤＝－1是F(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以F′(－1)＝0，得出f′(－1)＋f(－1)＝0，在選項(xiàng)D中，由圖象觀察得到f(－1)>0，f′(－1)>0，所以f(－1)＋f′(－1)>0與f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．選D.答案D8．(·福建高考)若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于 ()．A．2 B．3C．6 D．9解析f′(x)＝12x2－2ax－2b.由題意知f′(1)＝12－2a－2b∴a＋b＝6≥2eq\r(ab)，∴ab≤9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．答案D9．函數(shù)f(x)＝x＋2cosx(－π<x<π)的單調(diào)遞減區(qū)間是________；單調(diào)遞增區(qū)間________；極小值點(diǎn)是________；極大值點(diǎn)是________．解析令f′(x)＝1－2sinx＝0，又－π<x<π，得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6).f(x)，f′(x)的變化情況如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,6)))x＝eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))x＝eq\f(5π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,6)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))eq\f(5π,6)eq\f(π,6)10．若函數(shù)f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b僅在x＝0處存在極值，則a的取值范圍為_(kāi)_______．解析f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)，由已知得4x2＋3ax＋4＝0無(wú)解或有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝9a2－64≤∴－eq\f(8,3)≤a≤eq\f(8,3).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，\f(8,3)))11．(·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈(1)證明：曲線y＝f(x)在x＝0處的切線過(guò)點(diǎn)(2,2)；(2)若f(x)在x＝x0處取得極小值，x0∈(1,3)，求a的取值范圍．(1)證明f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a得曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y＝(3－6a)x由此知曲線y＝f(x)在x＝0處的切線過(guò)點(diǎn)(2,2)．(2)解由f′(x)＝0得x2＋2ax＋1－2a①當(dāng)－eq\r(2)－1≤a≤eq\r(2)－1時(shí)，f(x)沒(méi)有極小值；②當(dāng)a>eq\r(2)－1或a<－eq\r(2)－1時(shí)，由f′(x)＝0得x1＝－a－eq\r(a2＋2a－1)，x2＝－a＋eq\r(a2＋2a－1)，故x0＝x2.由題設(shè)知1<－a＋eq\r(a2＋2a－1)<3.當(dāng)a>eq\r(2)－1時(shí)，不等式1<－a＋eq\r(a2＋2a－1)<3無(wú)解；當(dāng)a<－eq\r(2)－1時(shí)，解不等式1<－a＋eq\r(a2＋2a－1)<3得－eq\f(5,2)<a<－eq\r(2)－1.綜合①②得a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\r(2)－1)).12．(創(chuàng)新拓展)已知函數(shù)f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的圖象與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y＝5x－10.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋eq\f(1,3)mx，若g(x)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，以及函數(shù)g(x)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值．解(1)由已知，切點(diǎn)為(2,0)，故有f(2)＝0，即4b＋c＋3＝0.①又f′(x)＝3x2＋4bx＋c，則f′(2)＝12＋8b＋c＝5，即8b＋c＋7＝0.②聯(lián)立①②，解得b＝－1，c＝1.所以函數(shù)的解析式為f(x)＝x3－2x2＋x－2.(2)因?yàn)間(x)＝x3－2x2＋x－2＋eq\f(1,3)mx，令g′(x)＝3x2－4x＋1＋eq\f(1,3)m＝0，當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，方程3x2－4x＋1＋eq\f(1,3)m＝0有實(shí)數(shù)解，所以Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.當(dāng)m＝1時(shí)，g′(x)＝0有實(shí)數(shù)根x＝eq\f(2,3)，在x＝eq\f(2,3)左右兩側(cè)均有g(shù)′(x)>0，故函數(shù)g(x)無(wú)極值；當(dāng)m<1時(shí)，g′(x)＝0.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1＝eq\f(1,3)(2－eq\r(1－m))，x2＝eq\f