高中數(shù)學(xué)新教材圓錐曲線復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)+題型 +技巧學(xué)生版

圓錐曲線專題復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)+題型+技巧學(xué)生版

3.1橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

【考點(diǎn)梳理】

一、橢圓的定義

1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi，F(xiàn)2的距離的和等于賞數(shù)（大于IF1F2I）的點(diǎn)的軌跡.

2.焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)Fi,Fi.3.焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|FIF2|.

4.幾何表示：|例凡|+|“「2|=%（常數(shù)）且2色|下赤|.

二、橢圓的幾何性質(zhì):

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在丁軸上

在

圖形w

22

標(biāo)準(zhǔn)方程—y+彳=1(a>b>0)彳+%=1(。>方>0)

abab

范圍-a<x<a^,-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

Ax(-a,O)>A2(a,0)A](0,-a)、A2(0,a)

頂點(diǎn)

0,-b,\、B2(0,Z>iBi(一瓦0)、B2(6,0)

軸長短軸的長=多長軸的長=2a

焦點(diǎn)

用（一心0）、瑪（c,0）及(0,-c)、F2(0,C)

焦距博瑪|=2c

對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱

1—7Te越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁

離心率=-=J1-工（0<e<1）

a\a

三'求軌跡方程的方法

直譯法一一"四步一回頭”,

四步：（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）；

（2）寫出適合條件的點(diǎn)M的集合尸=川團(tuán)尸（%｝；

（3）將P（M）“翻譯”成代數(shù)方程/（x,y）=O；

（4）化簡代數(shù)方程/（x,y）=O為最簡形式.

四、直線與橢圓的位置關(guān)系

y=kx+m,

X2V2

直線y—kx+m與橢圓前+京=l（a>b>0）的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立“

消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.直線與橢圓的位置關(guān)系、對應(yīng)一元二次方程解的個(gè)

數(shù)及A的取值的關(guān)系如表所示.

直線與橢圓解的個(gè)數(shù)4的取值

兩個(gè)不同的公共

西解Zl>0

占

一個(gè)公共點(diǎn)二解30

沒有公共點(diǎn)無解彷0

重難點(diǎn)技巧：弦長的兩種方法

⑴求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長.

⑵聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式:

IAB\=Jl+%2,一々|=Jl+公J[（X[+々）2-4內(nèi)9]=Jl+公?吉,

其中xi,X2（yi,y2）是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積

后代入公式可求得弦長.

【橢圓的定義題型歸納】

題型一：利用橢圓的定義求方程

1.（202。全國高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)P（x,y）都滿足關(guān)系式J（x-l）2+y2+J（x+iy+y2=4,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（)

22"2

AxyR

D.-----1-----=1

3443

22

xv

C.—=lD.—+/=1

16154-

2.（2020.江蘇省灌南高級中學(xué)高二月考）已知橢圓對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，該橢圓的一焦

點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）且過點(diǎn)（1,4）,求該橢圓的長軸長為（）

5+后

B.3+V17

2

C.5+V17D.4+VT7

3.（2020?深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二月考）在“ABC中，點(diǎn)A（-2,0）、點(diǎn)8（2,0）,且IAB|是|AC|和|BC|的等差

中項(xiàng)，則點(diǎn)C的軌跡方程是()

A.—+-^-=1B.—+21=](%^+4)

16121612

C.—+^-=1D.工+E=1(XX±8)

64606460

題型二：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題

4.（2021.蒲城縣堯山中學(xué)高二月考（文））已知橢圓C:5/l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳心,

離心率為迫，過鳥的直線/交C于4,兩點(diǎn),

B若的周長為4百，則橢圓C的方程為（）

3

A.f/=lx2y2

+B.——+—=1

32

22

C.《+xy1

D.

128124

5.（2021.哈密市第十五中學(xué)高二期中（理））已知△居（?的頂點(diǎn)B、C在橢圓會(huì)+五1上，頂點(diǎn)A是橢圓

的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則AABC的周長是（）

A.B.6C.473D.12

2,

6.（2021?黑龍江鶴崗一中高二月考）已知橢圓￡+￡=1（。>/,>0）的左、右焦點(diǎn)分別為"，F(xiàn)2,A為橢

圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），若AAK鳥的周長為6,且面積的最大值為6,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

-)222

廠y1B.二+匯=1

AA.—+—=1c.%)D.

4332

題型三：根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問題

22

7.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知方程工+-2二=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

3+k2-k

A.13,一飄,；收）B.1-3,一；卜信，2）

C.（2,+oo）D.（-co,-3）

8.（2021?山西晉中?（理））是“方程如?+〃y2=l表示橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2

9.（2021.威遠(yuǎn)中學(xué)校高二月考（文））“4VM<6"是“三J?一+v上=1為橢圓方程”的（）

6—左攵-4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型四：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

22

10.（2021?江蘇）己知橢圓^的左右焦點(diǎn)分別為尸2,離心率為且，過鳥的直線

3

/交C于AB兩點(diǎn)，若與8的周長為4后則，橢圓C的方程為（）

v-222

A.---1---=1B.---F=1

3212

2722

C.—+^-=1D.工+上=1

128124

11.（2021?全國高二課前預(yù)習(xí)）與橢圓9r+4產(chǎn)=36有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（46,0）的橢圓的方程是（）

-）">22

A.三+二=1B.土+^=1

25202025

2222

C.—+—=1D.—+—=1

20458085

12.（2021?福建省廈門集美中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)時(shí)（3,后）是橢圓'+，=

1（?>/>>0）上的一點(diǎn)，橢

3

圓的長軸長是焦距的;倍，則該橢圓的方程為（）

r22r22V2

A.—+^-v=1B.—+^=1

25202745

C.—+^-=1D.三+工=1

18103620

題型五：與橢圓有關(guān)的軌跡問題

13.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知"（2,0）,P是圓此/+4--32=0」匕一動(dòng)點(diǎn)，線段MP的垂直平

分線交NP于點(diǎn)。，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為（）

-）-）22

A.---1---=1B.------=1

9559

14.（202卜河北遷安?高二期末）已知圓M：（x+2）?+y2=36,定點(diǎn)N（2,0）,A是圓M上的一動(dòng)點(diǎn)，線段

AN的垂直平分線交M4于點(diǎn)P,則尸點(diǎn)的軌跡C的方程是（）

A.—+—=1

43

15.（2021.廣西田東中學(xué)高二期末（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A（O,-0）、8（0,&）,直線如

與直線心的斜率之積為-2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）

【橢圓的幾何性質(zhì)題型歸納】

題型一：橢圓的焦點(diǎn)、焦距

1.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）以橢圓5+￡=1的兩個(gè)焦點(diǎn)及短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為四個(gè)頂點(diǎn)的橢圓方程是

2516

（）

22

2.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）己知尸是橢圓土+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)，A5為過橢圓中心的一條弦，則△A8P

259

面積的最大值為（）

A.6B.15C.20D.12

3.（2021?全國）與橢圓+4V=36有相同的焦點(diǎn)，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

972222

X2y2.D2Alc無21

AA.i=1B.xH-----=1C.-----Fy=1D.-----1----=1

246685

題型二：橢圓的頂點(diǎn)，長短軸

〃

4.（2021?全國）已知橢圓》2+“2=］（?7＞0）的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則相=（）

A.2B.2C.-D.4

2222

5.（2021?南京市第十三中學(xué)高二開學(xué)考試）橢圓上+匯=1與工+_J=l（0＜《＜9）關(guān)系為（）

2599-k25-k

A.有相等的長軸B.有相等的短軸

C.有相等的焦點(diǎn)D.有相等的焦距

22

6.（2021?內(nèi)蒙古包頭?高二期末（文））[、8是橢圓:+馬=1（。>人>0）的左、右焦點(diǎn)，尸是橢圓上

a~b~

的動(dòng)點(diǎn).若△PKB面積的最大值為8,則橢圓長軸長的最小值為（）

A.32B.16C.8D.4

題型三：橢圓的范圍問題

7.（2021.江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高二月考（文））橢圓《+片=1的焦點(diǎn)為尸卜點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，

94

當(dāng)/QPF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）

題型四：橢圓的離心率問題

22

10.（2021?福建省寧化第一中學(xué)高二月考）己知F是橢圓E：[+4=1（〃>人>0）的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的

ab~

直線/與橢圓E交于尸，。兩點(diǎn)，若歸耳=2依耳，且/PFQ=120。，則橢圓E的離心率為（）

A.BB.JC.-D.—

3232

22

11.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）橢圓,+方=l（a>b>0）的中心O與一個(gè)焦點(diǎn)F及短軸的一個(gè)端點(diǎn)B組成

等腰直角三角形FB。，則橢圓的離心率是（）

A.；B.及C.蟲D.—

222

22

12.（2021?蒲城縣堯山中學(xué)高二月考（文））已知橢圓々+二=1（〃>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳（-c,0）,

ab~

ECO）,點(diǎn)P在橢圓上，且N/%^=30。，ZP/s/-=60°,則橢圓的離心率，等于（）

A.y/2,—1B.73-1C.y]3—5/2D.y/5—\f3

題型五：橢圓的中點(diǎn)弦問題

13.（2021.全國高二專題練習(xí)）已知橢圓'+V=1,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、8兩點(diǎn)，且弦AB

被點(diǎn)尸平分，則直線A8的方程為（）

A.9x+y-5=0B.9x-y-4=0

C.x+9>-5=0D.x-9y+4=0

14.（2021?全國高二課前預(yù)習(xí)）直線y=x+l被橢圓工+工=1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）

42

22

15.（2021?南京市中華中學(xué)）已知橢圓C：「+與=1（。＞6＞0）的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線x-y+G=0

a~b~

與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,若P為線段A8的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為則橢

圓C的方程為（）

A.三+二=1B.—+/=1C.三+f=1D.三+工=1

324-4263

題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系問題

16.（2021?江蘇南京?高二月考）已知橢圓與雙曲線工-工=1有相同的焦點(diǎn)，且該橢圓過點(diǎn)尸（5,2）.

2016

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵已知橢圓左焦點(diǎn)為凡過廠作直線,與橢圓交于42兩點(diǎn)，若弦AB中點(diǎn)在直線廣；上，求直線/

的方程.

18.（2021?鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校（文））已知橢圓C:J+/=l（a＞人＞0）的短軸長為2啦，離心率為乎.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)A（0,-2）且斜率為4的直線/交C于加（西,乂），N（%,%）兩點(diǎn)，且加，N均位于第四象限，求中2

的取值范圍.

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一：雙曲線的定義

1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，乃的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于尸聲2|）的點(diǎn)的軌

跡.

2.定義的集合表示：{MIIMFiLIMF2||=2a,0<2a<[為&]}.

3.焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)為，F(xiàn)2.

4.焦距：兩焦點(diǎn)間的距離,表示為內(nèi)尸2|.

考點(diǎn)二：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形匕

V

接一*=l(a>0>b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程力-京=l(a>0,b>0)

隹，'、、占/、、、(―c,0),(c,0)(0,1c),(0,c)

a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2

重難點(diǎn)技巧:

（1）11mHp用1=2”,0<2”<閭,表示雙曲線;

（2）||尸〉-伊聞|=2a,2a=忸閭，表示兩條射線;

（3）\PF\-\PF^=Qa^<。<恒用,表示雙曲線的一支；

（4）|P周一|尸閭=%?〃=閨閭，表示一條射線.

【題型歸納】

題型一：雙曲線的定義

1.（2022全國高二課時(shí)練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)“0,0）及點(diǎn)N（5,0）的距離之差為2a,則當(dāng)a=l和。=2時(shí)，點(diǎn)P

的軌跡分別是（）

A.雙曲線和一條直線B.雙曲線和一條射線

C.雙曲線的一支和一條射線D.雙曲線的一支和一條直線

2.(2021?全國高二課時(shí)練習(xí))已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,同滿足+2)2+次-2)2+港=2,則尸的軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線

C.雙曲線的左支D.雙曲線的右支

3.(2020?紅橋?天津三中)設(shè)￡,巴分別是雙曲線V-匕=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)尸在雙曲線上，且|PFJ=5,

8

則1尸外1=()

A.5B.3C.7D.3或7

題型二：利用雙曲線的定義求軌跡方程

4.(2021?新疆烏魯木齊市第70中(理))已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)B(Y,0),且和定圓(x-4)2+9=16相切，

則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()

22

A.工工=1R丁丁1

D?-----------------=1

412412

22

C.—-^-=l(x>0)D.—-^-=l(x<0)

412V7412''

5.(2021?湖南懷化?)已知?jiǎng)訄AM與圓C：(x+4)2+y2=2外切，與圓C?:(x-4)?+產(chǎn)=2內(nèi)切，則動(dòng)圓圓

心M的軌跡方程為()

=1卜4-亞)B.與七=1唇

6.(2020.南昌市鐵路第一中學(xué))已知點(diǎn)M(-3,0),N(3,0),8(1,0),動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)8,分別過

點(diǎn)且與圓C相切的兩條直線相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.x2-^-=l(x>l)B.x2——=l(x>0)

10

2

v2

C.x2-2-=l(x>0)D.x2-^-=l(x>l)

題型三：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題

7.(2021?全國)已知雙曲線C：—1的左，右焦點(diǎn)分別為6,尸為雙曲線C上一點(diǎn)，F(xiàn)\Q=QP,

1648

。為坐標(biāo)原點(diǎn).若|P用=10,則|。(2|=()

A.10B.1或9C.1D.9

22

8.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)雙曲線C:——方=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為"，鳥，離心率為6,

戶是雙曲線C上一點(diǎn)，且4"=60。.若4"工的面積為46，則。=（）

D.72

9.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C:/-二=1的右焦點(diǎn)為尸，戶是雙曲線C的左支上一點(diǎn)，M（0,2）,

則△PRW的周長的最小值為（）

A.2+4夜B.4+2上

C.3亞D.2瓜+3

題型四：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

10.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線3X-4>+12=0上的等軸雙曲

線方程是（）

A.x2-y2=8B.x2-y2=4C.y2-x2=8D.y2-x2=4r

11.（2021?江西會(huì)昌縣第五中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知雙曲線三■-1=1（〃>0/>0）的頂點(diǎn)到漸近線的距

arbl

為漢1,焦點(diǎn)到漸近線的距離為逐，則該雙曲線的方程為（）

3

A.三—21=1B.--^-=1C.三_X=1D.—-^-=1

95455954

12.（2021?內(nèi)蒙古烏蘭浩特一中高二期末（文））已知雙曲線C：J=l（“>08>0）的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為

1,且雙曲線的一條漸近線與直線4x+3y=0垂直，則雙曲線C的方程為（）

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一：雙曲線的性質(zhì)

X2必y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程前一R=l(a>。，匕>0)前一京=l(o>0,b>0)

圖形w

范圍xNa或xW-ao或

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)坐標(biāo)/1i(—a,0),4(0,0)4(0,-a),八2(0,o)

性質(zhì)

ba

漸近線y=+~x=±x

'ayb

離心率e=]eG(l,+°°),其中c="\/a2+b2

a,b,c間的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

考點(diǎn)二：雙曲線的漸近線：

①求雙曲線《一片=1的漸近線，可令其右邊的1為0,即得片_亡=0,因式分解得到±士±=0。

a2h2a2h2ab

72

②與雙曲線4=1共漸近線的雙曲線系方程是片一片=2;

a2b-a2/

考點(diǎn)三：等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸第長的雙曲線，它的漸近線方程是y=±x,離心率為娘.

考點(diǎn)四:直線與雙曲線的位置關(guān)系

設(shè)直線/：y=kx+m(m^O)9①雙曲線C：/一京=1(G>0,b>0),(2)

把①代入②得(〃一a2k2)x2—2a2mkx—a2m2—a2b2=O.

(1)當(dāng)按一。2k2=0,即女=±§時(shí)，直線/與雙曲線c的漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點(diǎn).

b

⑵當(dāng)b2—a2k2^O,即kx±￡時(shí),4=(—2a2mk)2—4(b2—a2k2)(—a2m2—a2b2).

4>0o直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

4=0=直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn);

4<0=直線與雙曲線有9個(gè)公共點(diǎn).

考點(diǎn)五：弦長公式

⑴求出直線與雙曲線的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長.

⑵聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式:

2

IAB\=Jl+A-X2|=Jl+%2^[(x,+x2)-4XjX2]=

其中Xi,X2（yi,力）是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積

后代入公式可求得弦長.

重難點(diǎn)技巧：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般證明J即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般

性證明；

（2）“一般推理，特殊求解"：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或

曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐

標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（3）求證直線過定點(diǎn)（%為）,常利用直線的點(diǎn)斜式方程玉）或截距式>=依+萬來證

明.

【題型歸納】

題型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（焦點(diǎn)、焦距）

2222

1.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）曲線工+匯=1與曲線——+上_=1（9<%<16）的

16916-k9-k

A.長軸長相等B.短軸長相等

C.焦距相等D.離心率相等

2.（2021.重慶北暗.西南大學(xué)附中高二期末）下列關(guān)于雙曲線“目-片=1的判斷，正確的是

63

A.漸近線方程為x±2y=0B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（13,0）

C.實(shí)軸長為12D.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±6,0）

22

3.（2021?安徽省舒城中學(xué)高二期末（文））已知雙曲線C:￡-}=l（a〉0/>0）的離心率為2,左、右焦

點(diǎn)分別為￡、尸2,A在C的左支上，軸，A、8關(guān)于原點(diǎn)對稱，四邊形4/涓6的面積為48,則恒國=

（）

A.8B.4C.D.473

題型二：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸）

4.（2021.全國高二專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)A滿足0＜左＜9,則曲線《一上=1與曲線上——厘=1的（）

259-k25-k9

A.離心率相等B.虛半軸長相等C.實(shí)半軸長相等D.焦距相等

5.（2021?泉州鯉城北大培文學(xué)校高二期中）等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線

[;=16x的準(zhǔn)線交于A8兩點(diǎn),|A8|=46;則C的實(shí)軸長為

A.及B.20C.4D.8

22

6.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線三-二一=1（,"＞0）的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

m"?+6

方程為

AX2y21RX2y21

A.------------=1D.------------=1

2448

題型三：等軸雙曲線

7.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是耳（-6,0）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.￡-其=1B.￡-￡=1C.反_蘭=1D.E-￡=1

999918181818

8.（2021.嫩江市高級中學(xué)高二期末（理））若雙曲線Y-y2=i的右支上一點(diǎn)打”,幼到直線y=x的距離為正,

則4+6的值為（）

A.-gB.gC.—；或gD.2或—2

9.（2021?全國）如圖，設(shè)Fi,巳分別為等軸雙曲線x2—丁=層的左，右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以

Q3為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于M,N兩點(diǎn)，貝Ucos/MAN等于（）

題型四：雙曲線的漸近線問題

10.（2021?江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高二月考（理））已知雙曲線J-￡=l（a>08>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,

過耳作圓V+y2=a2的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)M,若g=60。，則雙曲線的漸近線方程為（）

C.y=±3+3"_D.y=±(1+x/3)x

A.y=±(3+^/^)xB.y—i2x

11.（2021?內(nèi)蒙古烏蘭浩特一中高二期末（文））已知雙曲線Cff=l（a>（U>0）的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為

1,且雙曲線的一條漸近線與直線4x+3y=0垂直，則雙曲線C的方程為（）

C/V

AB=,L.-------D=,

-^498-44

22

12.（2021?廣東南海?石門高級中學(xué)）已知雙曲線C$-京=1（?！?/>0）的左焦點(diǎn)F（T,0）,過點(diǎn)F在且

3

與x軸垂直的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，aAOB的面積為/，則F到雙曲線C漸近線

的距離為（）

D.f

A.1

B-7

題型五：雙曲線的的離心率問題

13.（2021.全國高二單元測試）直線/過雙曲線/￡=1僅>0/>0）的右焦點(diǎn)，斜率為2,若/與雙曲線

的兩個(gè)交點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（）

A.(V2,+oo)B.(1,6)C.(l,x/5)D.(后,+oo)

14.（2021?全國）已知雙曲線C:5-￡=l（a>0乃>0）,過C的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交C于"，N兩

點(diǎn)，若以MN為直徑的圓經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，則C的離心率為（）

A.72+1B.2C.乖＞D.V2

92

15-（2以?全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)"’"分別是雙曲線C：?S。）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與

X軸垂直的直線/與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，若AAB心的面積為2療，則雙曲線C的離心率為（）

D,顯

A.B.6C.V2

2

題型六：雙曲線的弦長、焦點(diǎn)弦問題

16.（2021?汕頭市達(dá)濠華僑中學(xué)）已知點(diǎn)F是雙曲線C：*-m=1（a>0,。>0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是右

頂點(diǎn)，過尸且垂直于X軸的直線與雙曲線交于A、8兩點(diǎn)，若AAfiE是銳角三角形，則雙曲線C的離心率

e的的取值范圍是（）.

A.(1,2)B.C.(1,1+72)D.(2,1+

17.（2021.富寧縣第一中學(xué)高二月考（文））已知雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)分別為1、鳥,過點(diǎn)士作

?2b2

7F

與了軸垂直的直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,且，則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±A/3XB.y=±--xC.y=±\/2xD.y=±---x

,32

18.（2021?云南省玉溪第一中學(xué)（理））已知雙曲線C:￡-g=l（”＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為4，鳥,直

線y=Gx與C相交于A,B兩點(diǎn)，若四邊形且是矩形，則雙曲線C的離心率。=（）

A.72B.6C.0+1D.V3+1

題型七：雙曲線中的定值、定點(diǎn)問題

19.（2021.全國高二期中）已知雙曲線1-與=1（。＞0乃＞0）過點(diǎn)A（-3,2）,且離心率6=有.

a~b~

（1）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如果B,C為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線A8與直線AC的斜率互為相反數(shù),

證明直線8c的斜率為定值，并求出該定值.

20.（2021?福建省泉州第一中學(xué)）已知直線/：x=my+2過雙曲線C：、-工=1的右焦點(diǎn)F,且直線/交

a23

雙曲線C于4,8兩點(diǎn).⑴求雙曲線C的方程；⑵若直線/交y軸于點(diǎn)“，且總=4/，MB=^BF＞

當(dāng)機(jī)變化時(shí)，探究4+4的值是否為定值？若是，求出4+4的值；否則，說明理由;

21.(2021?全國)已知雙曲線C的漸近線方程為丫;土質(zhì)工，右焦點(diǎn)尸9,0)到漸近線的距離為6.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過產(chǎn)作斜率為左的直線/交雙曲線于A、3兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于，求證：%為定值.

IFD\

題型八：雙曲線中的向量、定直線問題

22

22.(2021?安徽高二期末(理))雙曲線C:1-4=1(。力＞0)左右焦點(diǎn)分別為F2,實(shí)軸長26，點(diǎn)P

a'b"

為雙曲線c右支上一點(diǎn)，且麗?理■的最小值為-1.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)過點(diǎn)Q(2,0)作直線/與雙曲線C右支交于A,8兩點(diǎn)，若而=2詼，求直線/的方程.

23.（2021?江蘇泰州?）已知A,B分別是雙曲線￡/-匯=1的左，右頂點(diǎn)，直線/（不與坐標(biāo)軸垂直）

4

過點(diǎn)N（2,O）,且與雙曲線E交于C,。兩點(diǎn).（1）若函=3而，求直線/的方程；

（2）若直線AC與BO相交于點(diǎn)尸，求證：點(diǎn)戶在定直線上.

24.（2021?渝中?重慶巴蜀中學(xué)高二月考）已知雙曲線匚!-5=1（a>08>0）的一條漸進(jìn)線與直線計(jì)&片0

垂直，耳，鳥是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且耳（-3,0）.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)尸在雙曲線的右支上，且P耳，P8，求P的坐標(biāo).

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一拋物線的定義

1.定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線/（不經(jīng)過點(diǎn)月距離相等的點(diǎn)的軌跡.

2.焦點(diǎn)：定點(diǎn)F.

3.準(zhǔn)線：定直線/.

考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)