2017-2018學年高中數(shù)學選修4-4全冊學案含解析人教A版2

2017~2018學人教A版高中數(shù)學

選修4-4全冊學案解析版

目錄

第一講坐標系一平面直角坐標系

第一講坐標系三簡單曲線的極坐標方程1圓的極坐標方程

第一講坐標系三簡單曲線的極坐標方程2直線的極坐標方程

第一講坐標系二極坐標系

第一講坐標系四柱坐標系與球坐標系簡介1柱坐標系

第一講坐標系四柱坐標系與球坐標系簡介2球坐標系

第一講坐標系本講高考熱點解讀與高頻考點例析

第二講參數(shù)方程一曲線的參數(shù)方程1參數(shù)方程的概念

第二講參數(shù)方程一曲線的參數(shù)方程2圓的參數(shù)方程

第二講參數(shù)方程一曲線的參數(shù)方程3參數(shù)方程和普通方程的

互化

第二講參數(shù)方程三直線的參數(shù)方程

第二講參數(shù)方程二圓錐曲線的參數(shù)方程1橢圓的參數(shù)方程

第二講參數(shù)方程二圓錐曲線的參數(shù)方程2雙曲線的參數(shù)方程

3拋物線的參數(shù)方程

第二講參數(shù)方程四漸開線與擺線

第二講參數(shù)方程本講高考熱點解讀與高頻考點例析

本講高考熱點解讀與高頻考點例析

命題

比移應(yīng)用.

考情分析

通過對近幾年高考試題的分析可知，高考對本講的考查主要涉及極坐標方程、極坐標與

直角坐標的互化等.預(yù)計今后的高考中，仍以考查圓、直線的極坐標方程為主.

真題體驗

1.（北京高考）在極坐標系中，點（2,高到直線P（COS0+yfisin乃=6的距離為

[x=PCOS9,知極坐標（2,高可化為（1,?。?直線P（cos?+/sin

解析：由.“

[y=Psm夕

|1+乖乂m一6|

?）=6可化為x+/y—6=0.故所求距離為d==1.

小2

答案：1

2.（廣東高考）在極坐標系中，曲線G和C的方程分別為Osin?，=cos0和。sin9

=1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線

G和C交點的直角坐標為.

解析：由Psin20=cos夕，

得夕飛［「夕=qcos0,其直角坐標方程為/=x,psin夕=1的直角坐標方程為y

2

y=x,

得G和C的交點為（1,1）.

{y=i

答案：（1,1）

3.（安徽高考）在極坐標系中，圓O=8sin。上的點到直線。=?（06口）距離的最

O

大值是.

解析：圓O=8sin?化為直角坐標方程為f+/—8y=0,即（y—4）2=16,直線0

=?（。6R）化為直角坐標方程為結(jié)合圖形知圓上的點到直線的最大距離可轉(zhuǎn)化為

圓心到直線的距離再加上半徑.

圓心（0,4）到直線目的距離為-7廠--=2,又圓的半徑二=4,所以

VVs+-1

圓上的點到直線的最大距離為6.

答案：6

1

高頻若短例析

用解析法解決幾何問題

利用問題的幾何特征，建立適當坐標系，主要就是要兼顧到它們的對稱性，盡量使圖形

的對稱軸(對稱中心)正好是坐標系中的X軸、P軸(坐標原點).

坐標系的建立，要盡量使我們研究的曲線的方程簡單.

已知圓的半徑為6,圓內(nèi)一定點。離圓心的距離為4,A,6是圓上的兩動點且滿足N

APB=90°,求矩形/如。的頂點0的軌跡方程.

如圖，以圓心。為原點，8所在直線為x軸建立直角坐標系，則圓的方程為V+7

=36,—(4,0).

設(shè)0(x,y),閣與陽相交于凡

則心,2

由|閣=IAB\=24產(chǎn)一|如

即‘I2+)=2136-[段,

化簡，可得V+/=56.

即所求頂點0的軌跡方程為x+/=56.

平面直角坐標系中的伸縮變換

x'—Ax,4>0,

設(shè)點尸(x,。是平面直角坐標系中的任意一點，在變換血，的

./=口y,〃>0

作用下，點以切力對應(yīng)點尸,(x'，V),稱。為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換.

x1=2x,

在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換，°后，曲線C變?yōu)榍€(/-

[y=2y

5)2+(/+6尸=1,求曲線C的方程，并判斷其形狀.

\xl=2x,

將，c代入

[y=2y

(*'—5)2+(/+6—=1中,

得(2x-5)2+(2y+6)2=l.

化簡，得(x—|)+(y+3)2=}.

2

該曲線是以$一3）為圓心，半徑為B的圓.

極坐標方程

在給定的平面上的極坐標系下，有一個二元方程尺o,，）=0,如果曲線C是由極坐

標（。，為滿足方程的所有點組成的，則稱此二元方程及O,。）=0為曲線。的極坐標方

程.

由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一，因此曲線的極坐標方程和直角坐標方程也有

不同之處，一條曲線上的點的極坐標有多組表示形式，有些表示形式可能不滿足方程，這里

要求至少有一組能滿足極坐標方程.

求軌跡方程的方法有直接法、定義法、相關(guān)點代入法，在極坐標中仍然適用，注意求誰

設(shè)誰，找出所設(shè)點的坐標O,0的關(guān)系.

△46，底邊6c=10,以6為極點，宛為極軸，建立極坐標系，求頂點力

的軌跡的極坐標方程.

如圖：令力（0，0）,

0

△力燈?內(nèi)，設(shè)/△=e,Z_A=—,

又|%|=10,\AB\=P.

由正弦定理，得

P_________10_

~7西=.8'

sin[n-Y）sin萬

化簡，得點力的軌跡的極坐標方程為

P=10+20cos夕.

極坐標與直角坐標的互化

互化的前提依舊是把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸并在兩種坐標

系下取相同的單位長度.

互化公式為x=〃cos夕，y=〃sin8

儲tan—用0

直角坐標方程化為極坐標方程直接將x=〃cos0,尸osin。代入即可，而極坐標

3

方程化為直角坐標方程通常將極坐標方程化為"cos夕，Psin夕的整體形式，然后用小

y代替較為方便，常常兩端同乘)即可達到目的，但要注意變形的等價性.

已知圓的極坐標方程P=2cos夕，直線的極坐標方程為0cos0—2Psin。+7

=0,則圓心到直線的距離為.

將P=2cos〃化為夕2=22cos0,即有

/+/—2x=0,亦即(^r—l)2+y=1.

將夕cos2psin。+7=0化為x—2y+7=0,

故圓心到直線的距離d="+7.=綽

+-225

8季

5

在極坐標系中，點"的坐標是(2,右)，曲線C的方程為0=2蛆sin(9+：］.以極

點為坐標原點，x軸的正半軸為極軸建立平面直角坐標系，直線/經(jīng)過點"和極點.

(1)寫出直線/的極坐標方程和曲線。的直角坐標方程；

(2)直線/和曲線C相交于兩點4B,求線段的的長.

⑴???直線1過點42,高和極點，

直線/的直角坐標方程是e=9(oeR).

0=2啦sin(?+2)，即p=2(sin*?+cosO'),

兩邊同乘0,得o'zMsin〃+ocos0),

/.曲線C的直角坐標方程為x+y-2x-2y^0.

(2)點〃的直角坐標為(1,A/3),直線/過點M和原點，

直線1的直角坐標方程為

曲線C的圓心坐標為(1,1),半徑r=木,圓心到直線1的距離為4=嚀二

|AB\=小+1.

4

一平面直角坐標系

1.平面直角坐標系

(1)平面直角坐標系的作用：使平面上的點與坐標、曲線與方程建立聯(lián)系,從而實現(xiàn)數(shù)

與形的結(jié)合.

(2)坐標法解決幾何問題的“三部曲”：第一步：建立適當坐標系，用坐標和方程表示

問題中涉及的幾何元素,將兒何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；

第三步：把代數(shù)運算結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論.

2.平面直角坐標系中的伸縮變換

(1)平面直角坐標系中方程表示圖形，那么平面圖形的伸縮變換就可歸納為坐標伸縮變

換，這就是用代數(shù)方法研究幾何變換.

(2)平面直角坐標系中的坐標伸縮變換：設(shè)點P(x,力是平面直角坐標系中任意一點，

x'—AxA>0

在變換0：,人的作用下，點尸(x,y)對應(yīng)到點〃(V,/),稱@

y=pyH>0――

為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.

搬國

求軌跡方程問題

設(shè)A是單位圓/+/=1上的任意一點，1是過點A與X軸垂直的直線，〃是直線1

與x軸的交點，點"在直線/上，且滿足|。川=4力|(勿〉0,且〃#1).當點4在圓上運動

時，記點"的軌跡為曲線C

求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓鏈曲線，并求其焦點坐標.

設(shè)出點M的坐標(x,力，直接利用條件求解.

如圖，設(shè)y),A(x0,㈤，則由|〃必=而的I(如>0,且后U),

可得x—xr>,|y\—m\yr>\,f0|ry*

所以m=x,L^)i="lyl.①

m

因為/點在單位圓上運動，

所以石+/=1.②

將①式代入②式，

2

即得所求曲線。的方程為歲+4=1(於0,且它1).

m

因為加￡(0,1)U(1,+8),

5

所以當0〈欣1時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，

兩焦點坐標分別為(一\/T二7,0),(.yjl—m,0)；

當?>1時.，曲線。是焦點在y軸上的橢圓，

兩焦點坐標分別為(0,——1),(0,yjnf-l').

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

求軌跡的常用方法

(1)直接法：如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系或者可以推出某個等量關(guān)系，即可用

求曲線方程的步驟直接求解.

(2)定義法：如果動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫出軌跡方程.

(3)代入法：如果動點戶(x,力依賴于另一動點0(小，珀,而0(小，乂)又在某已知曲線

上，則可先列出關(guān)于*,y,x\,%的方程組，利用x,y表示的，y\,把汨，力代入已知曲

線方程即為所求.

(4)參數(shù)法：動點P(x,y)的橫縱坐標用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)即得其軌跡

方程.

〃〃/N像集訓”〃/

1.二次方程x—ax+b—Q的兩根為sin0,cos9,求點P(a,b)的軌跡方程

(其中|6|

解：由已知可得

卜?=sin夕+cos0,①

［6=sin個cos。.②

①~—2義②，得/=26+1.

|。區(qū)不由sin0+cosf=*sinQ+7),

知OWaW丑

由sin8cos°=；sin2知|引W3.

/.點P(a,6)的軌跡方程是才=26+1(OWaW蛆).

2.△/阿中，若比'的長度為4,中線的長為3,求點/的軌跡方程.

解：取比所在直線為x軸，線段比'的中垂線為y軸，建立直角坐標系，則〃(0,0),

5(-2,0),以2,0).

設(shè)/(X,y)為所求軌跡上任意一點，

則|49|=,+/

6

又|/〃|=3,

+y=3,即/+/=9(10).

/.點A的軌跡方程為/+/=9(月0).

用坐標法解決幾何問題

已知'中，AB=AC,BD,四分別為兩腰上的高.求證：BD=CE.

由于為等腰三角形，故可以比為x軸，以6c中點為坐標原點建立直角坐標系,

在坐標系中解決問題.

如圖，以a'所在直線為x軸，%的垂直平分線為y軸建立平面直角ty

坐標系.

設(shè)鳳一a,0),C{a,0),/(0,A).

則直線力c的方程為B(-a,0)OCXa.O)

y=—%+/?,

即：hx+ayah=G.

直線四的方程為尸3+分,

即：hx—ay-\-ah=Q.

\BD\=\CE\,即協(xié)=CE

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

建立平面直角坐標系的原則

根據(jù)圖形的幾何特點選擇適當?shù)闹苯亲鴺讼档囊恍┮?guī)則：①如果圖形有對稱中心，選對

稱中心為原點；②如果圖形有對稱軸，可以選對稱軸為坐標軸；③使圖形上的特殊點盡可能

多地在坐標軸上.

題做集鈍/%〃

3.求證等腰梯形對角線相等.

已知：等腰梯形4a?中，皿〃鴕求證：AC=BD.

7

證明：取回所在直線為X軸，線段比的中垂線為y軸，

建立如圖所示的直角坐標系.

設(shè)力(_a,A),6(—6,0),

則次&方)，C[b,0).

A\AC\=7b+a2+慶

IBD\="a+6旺1

：.\AC\=\BD\,

即等腰梯形中，AC=BD.

4.已知△被7中，〃為邊宛的中點，求證：4？+〃*=2(4力+初

證明：以4為坐標原點0,18所在直線為x軸，建立平面直角坐標

賽xOy,則1(0,0).

華)

設(shè)6(a,0),C(b,c),

'a+6g⑷B(a,0)X

~T,2/

所以a7+加

a+6~,c,a—b

=-(a2+/>2+c2),

又/籽+/d=a2+〃+c2,

所以初+"=2(44+加％

直角坐標系中的伸縮變換

求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x+/-l變成曲線七一+彳=1.

設(shè)出變換公式，代入方程，比較系數(shù)，得出伸縮變換.

x'=4〉0,

設(shè)變換為

y=〃必〃>o.

與丁+/=1比較，將其變形為比較系數(shù)得

y+~4ry=1?a

=3,〃=2.

即將圓%+/=1上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

8

2倍，可得到橢圓\-+'-=1.

[方法?規(guī)律?小結(jié)]

xr=4>0,

坐標伸縮變換0：,八注意變換中的系數(shù)均為正數(shù).在伸縮變換下,

y=py,〃>0.

平面直角坐標系保持不變，即在同一坐標系下只對點的坐標進行伸縮變換.利用坐標伸縮變

換0可以求變換前和變換后的曲線方程.己知變換前、后曲線方程也可求伸縮變換0.

〃〃,毅俶條鈍力”

5.求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線43+9/=36變成曲線x''+/2=1.

\xf=A%,2>0,

解：設(shè)變換為，c可將其代入/2+V2=1,得八929/+獷7=1.將

\y=py,口>0,

49

2

-X+-

3636

比較系數(shù)得/=不，

O乙

,1

X=-X

391

即將橢圓4/+9/=36上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼氖v坐標

/—1

變?yōu)樵瓉淼目纯傻玫綀A/2+/2=1.

r

99\x=2x,

6.求4f—9/=1經(jīng)過伸縮變換，后的圖形所對應(yīng)的方程.

[y=3y

[y=2x,卜，

解：由伸縮變換，,得〈

[V=3y1,

將其代入4%-9/=1,

整理，得X'2-V'I.

??.經(jīng)過伸縮變換后圖形所對應(yīng)的方程為X,2—V2=1.

課時跟蹤檢測（一）

9

一、選擇題

1.將一個圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是()

A.橢圓B.比原來大的圓C.比原來小的圓D.雙曲線

解析：選D由伸縮變換的意義可得.

2.已知線段式■長為8,點4到6,C兩點距離之和為10,則動點1的軌跡為()

A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線

解析：選C由橢圓的定義可知，動點4的軌跡為一橢圓.

3.已知兩點材(-2,0),M2,0),點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|松—I?|,即一|

+MN一■NP-=Q,則動點P(x,0的軌跡方程為()

A./=8xB.y=-8xC.y=4xD.y=-4x

解析：選B由題意，得助￥-=(4,0),,以一=(x+2,負，NP-=(x—2,y),由

|施—|?MP~?|+網(wǎng)J?NP~?=0,

得的x+2，+—+4(x-2)=0,整理，得了=一8*

4.在同一坐標系中，將曲線y=3sin2x變?yōu)榍€y'-sinx'的伸縮變換是()

，x=2x,科=2x

[x=2xfR=2x

A.11B.51C.,D.,

F[y=P17=3/1/=3y

x'=人筋A(yù)>0,

解析：選B設(shè)，八則〃尸sinAx

y=uy,〃>0,f

EPy="ysinAx.

比較y=3sin2x與y=《sin則有!=3,4=2.

=2x,

?,.〃=w,4=2,.?.<1

3卜=鏟

二、填空題

fx'=2

5.y=cosx經(jīng)過伸縮變換《,后，曲線方程變?yōu)椤?/p>

[y=3.y

，o1x=^x，

x=2x,2

解析：由，°得〈代入尸cosX,

{y=3%1,

V=-V

10

得耳y=cos]>,即y=3cospr.

x’

答案：y=3cos—

2

6.把圓1+「=16沿x軸方向均勻壓縮為橢圓/+77==1,則坐標變換公式是

16

x=AX4〉0,

解析：設(shè)V、八

y=/JY〃>0,

X

"=7，22

則《‘代入系+戶=16得備+卷=1

Y=—.

1〃

???1642=1,16,2=16.

31fl

，，

/.<4=74故xJ=T4

、〃=L[y=Y.

f1

答案：\x=T4，

.y=Y

7.△被7中,5(-2,0),以2,0),△/回的周長為10,則點A的軌跡方程為

解析：的周長為10,

\AB\+\AC\+1=10.其中|BC\=4,

即有I附+MC|=6>4.

二點力軌跡為橢圓除去6,C兩點，且2a=6,2。=4.

**?e?-3,c=2,匕=5.

/y

'?點、A的軌跡方程為w+」=1(10).

y□

22

答案：］+?=1(7^0)

三、解答題

8.在同一平面直角坐標系中，將曲線f一364-8x+12=0變成曲線、2—,z-4x

+3=0,求滿足條件的伸縮變換.

解：/一36/—8犬+12—0可化為(2)一9/一：

1.①

x'2-y'2-4X'+3=0可化為(X'-2)2-/2=1.②

11

f,x—4,王

*-2^^-X=5,

比較①②，可得J2叫2

1/=3y,

./=3y.

所以將曲線/一36爐―8x+12=0上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼挠铱v坐標變?yōu)樵瓉淼?

倍，就可得到曲線/2-/2-4y+3=0的圖象.

9.已知△?(況1是直角三角形，斜邊小的中點為M,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，證明:

|掰=g|比|.

證明：以RtZvI寬的直角邊16,所在直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標

設(shè)幾。兩點的坐標分別為(80),(0,c).

則〃點的坐標為及fj

由于1=7g+V,

?M=4"+、=如+1'

故|AM\\BC\.

10.如圖，橢圓G：=l(a>b>0,a,6為常數(shù))，動圓G：*+/=/,樂Ma.點

4,4分別為G的左、右頂點，動圓G與橢圓G相交于4B,C,〃四點.求直線44與直

線46交點M的軌跡方程.

解：設(shè)A(x\,yi),B{x\,一%),又知4(—a,0),A2(a,0),

則直線4/的方程為尸缶(*+a),①

12

直線46的方程為尸二巴（X—a）.②

X\—a

_2

由①②，得/=君底--）.③

由點力（汨，y1）在橢圓G上，故F+N=1.

ab

從而幺=萬（1一胃，代入③，得

22

*一方=1（水-a,y<0）,此方程即為點〃的軌跡方程.

13

二極坐標系

1.極坐標系的概念

(1)極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點”叫做極點,自極點。引一條射線公，叫

做極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),

這樣就建立了一個極坐標系.

(2)極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定：設(shè)材是平面內(nèi)一點，極點。與M的距離叫做

點人的極徑,記為。；以極軸圓為始邊，射線〃V為終邊的角叫做點"的極魚，記為

生有序數(shù)對(o,。)就叫做點."的極坐標,記為M(。，0).

2.極坐標和直角坐標的互化

(1)互化的前提條件：①極坐標系中的極點與直角坐標系中的原點重合；②極軸與x軸

的正半軸重合；③兩種坐標系取相同的長度單位.

X—Pcos0,

(2)互化公式

y=psin0,tan0—~

x

求點的極坐標

LU9

已知點0(。，〃)，分別按下列條件求出點尸的極坐標.

(1)點尸是點。關(guān)于極點。的對稱點;

(2)點尸是點0關(guān)于直線。=5的對稱點.

確定一點的極坐標關(guān)鍵是確定它的極徑和極角兩個量，為此應(yīng)明確它們的含義.

⑴由于只0關(guān)于極點對稱，得極徑I羽極角相差(2A+1)n(代Z).所以,

點尸的極坐標為(。，(24+1)8)(*GZ)或(一。，2*n+，)(ACZ).

(2)由R0關(guān)于直線■對稱，

得它們的極徑16Pl=

點P的極角勿滿足0'=n一。+2后(MZ),

所以點尸的坐標為(0,(2A+1)n—(?)

或(一0,2kn-e)(AGZ).

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

14

設(shè)點M的極坐標是（O,0）,則M點關(guān)于極點的對稱點的極坐標是（一。，，）或（。，

。十”）；〃點關(guān)于極軸的對稱點的極坐標是（O,-。）；M點關(guān)于過極點且垂直于極軸的直

線的對稱點的極坐標是（。，￡一《）或（一0,一"）.

另外要注意，平面上的點與這一點的極坐標不是一一對應(yīng)的.

//////^,做集^v////

1.設(shè)點/（1，yj,直線/為過極點且垂直于極軸的直線，分別求:

（1）點力關(guān)于極軸的對稱點；

（2）點4關(guān)于直線/的對稱點；

⑶點力關(guān)于極點的對稱點.（規(guī)定P>0,

解：如圖所示：（1）點力關(guān)于極軸的對稱點為《1，

（2）點A關(guān)于直線1的對稱點為

《1,學

⑶點4關(guān)于極點0的對稱點為

2n\

~~)-

2.在極坐標系中，點4的極坐標是（3,5,求點4關(guān)于直線0=方的對稱點的極坐

標(規(guī)定0>0,<?e).

彳3,高關(guān)于直線〃=1?的對稱點是（3,

解：作出圖形，可知

點的極坐標與直角坐標的互化

（D把點/的極坐標（2,g）化成直角坐標;

（2）把點尸的直角坐標（1,一4）化成極坐標.（?！?,0W?<2n）.

依據(jù)極坐標與直角坐標互化的公式解題.

(1)X=2COS-T-=—\/3,y=2sin~r~=—1,

bv.b

故點力的直角坐標為（一/，-1）.

15

⑵0=、十十一#tan0=^^=一小.

5JI

又因為點尸在第四象限且OW得

O

因此點尸的極坐標是(2,4

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

(1)極坐標和直角坐標互化的前提條件有三，即極點與原點重合，極軸與X軸正半軸重

合，有相同的長度單位，三者缺一不可.

(2)熟記互化公式，必要時可畫圖來分析.

〃〃〃應(yīng)俶集^7////

3.點P的直角坐標為(一蛆，小)，那么它的極坐標可表示為()

O冗

解析：選B點?(一地,/)在第二象限，與原點的距離為2,且與極軸的夾角為丁.

4.若以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.

(1)已知點｛的極坐標(4,引，求它的直角坐標；

(2)已知點6和點C的直角坐標為(2,-2)和(0,—15),求它們的極坐標.(0>O,OW0

<2兀)

5冗

解：(1)x=Pcos^=4COS_T-=2.

八5n>「

y=Psm=4sin-^-=—2y］3.

o

點的直角坐標為(2,-273).

(2)VP=3+、=?2，+—20平,

八一2

tan0=-^—=—1,

且點E位于第四象限內(nèi)，

...點8的極坐標為(24，*).

又丁彳=。，y<0,

16

3n

P=15,8=-一'?

.??點C的極坐標為（15,號）.

課時跟蹤檢測（二）

一、選擇題

1.在極坐標平面內(nèi)，點，科，200"）,《"，201貝）），《一宗-200nj,

/（2"+去200”）中互相重合的兩個點是（）

A.材和NB.必和GC."和HD.4和H

解析：選A由極坐標的定義知，機力表示同一個點.

2.將點〃的極坐標（10,二J化成直角坐標是（）

A.（5,5?。〣.（5小,5）C.（5,5）D.（-5,-5）

解析：選Ax—Pcos夕=10cos?=5,y=Psin。=10sinT-=5，5.

3.在極坐標系中，01=02且/=夕2是兩點欣0”出）和M02,4）重合的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A前者顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因為氏與%可相差2m

的整數(shù)倍.

4.若01+02=0,內(nèi)+&=",則點麻（。1,內(nèi)）與點鹿（。2,夕2）的位置關(guān)系是（）

A.關(guān)于極軸所在直線對稱

B.關(guān)于極點對稱

C.關(guān)于過極點垂直于極軸的直線對稱

D.兩點重合

解析：選A因為點（。，。）關(guān)于極軸所在直線對稱的點為（一。，。一乃.由此可知

點（01,%）和（02,%）滿足01+02=0,%+。2=n,關(guān)于極軸所在直線對稱.

二、填空題

5.點（2,高關(guān)于極點的對稱點為.

解析：如圖，易知對稱點為（2,（n）

17

答案：(2,

6.在極坐標系中，已知月(1,斗)(2,寧)兩點，則|力用=.

解析：，初=[12+22-2X1X2COS(牛一;卜力.

答案：鄧

7.直線/過點43,yj,43,專)，則直線/與極軸的夾角等于一

A

解析：如圖所示，先在圖形中找到直線,與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據(jù)

點48的位置分析夾角大小.

因為|491==3,

所以Nfl46=一

所以Jt

答案:T

三、解答題

8.在極軸上求與點彳44,號的距離為5的點〃的坐標.

解：設(shè)Mr,0),因為《4/，己)，

所以、J472②+產(chǎn)一8地zros-=5,

即r-8r+7=0.

解得r=l或r=7.

所以,"點的坐標為(1,0)或(7,0).

9.將下列各點的直角坐標化為極坐標(">0,0W。<2冗).

(1)(m,3)；(2)(—1,—1)；(3)(-3,0).

18

[o

解：⑴P3木2+32-273.tan9=^j^=木.

又因為點在第一象限，

11

所以G=K

O

所以點(小，3)的極坐標為(2小，yj

(2)p=y/~-1~~—1~5=yf2,tan夕=1.

又因為點在第三象限，

5Ji

所以

所以點(一1,一1)的極坐標為Q「，f.

(3)P=yj~—3~"+02=3,畫圖可知極角為”，

所以點(一3,0)的極坐標為(3,n).

能頒提硼割

10.已知定點/(4,高.

,三)處極軸方向不變，求。點的新坐標;

(1)將極點移至0:

⑵極點不變，將極軸順時針轉(zhuǎn)動方角，求P點的新坐標.

解：（1）設(shè)點P新坐標為（。，

如圖所示，由題意可知I00'=2鏡，|0P\=4,ZP0x=g/。'念=高，

OO

AAPOO'=3

b

在AP00'中，P2=42+（2^/3）2-2?4?273?cosy=16+12-24=4,:.P=2.

~sinZWsinAPOO'

又-----r-=------o--------，

19

JI

...s

JI

：.AOPO'=—.

o

：.APO'x'=—.

o

二產(chǎn)點的新坐標為（2,3;）.

（2）如圖，設(shè)尸點新坐標為（O,。）,

nnJi

則仁方+太二不

0=4,aOZ

???夕點的新坐標為（4,1■）.

20

1.圓的極坐標方程

1.曲線的極坐標方程

(1)在極坐標系中，如果平面曲線。上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程fkp,

")=0,并且坐標適合方程/"(0,0)=0的點都在曲線a上，那么方程/~(0,6)=0叫做

曲線c的極坐標方程.

(2)建立曲線的極坐標方程的方法步驟：

①建立適當?shù)臉O坐標系，設(shè)一(。，乃是曲線上任意一點.

②列出曲線上任意一點的極徑與極角之間的關(guān)系式.

③將列出的關(guān)系式整理、化簡.

④證明所得方程就是曲線的極坐標方程.

2.圓的極坐標方程

(1)圓心在C(a,0)(a>0),半徑為a的圓的極坐標方程為o=2acos0.

(2)圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程為P=r.

(3)圓心在點(a,I)處且過極點的圓的方程為o=2asin?(0W)).

圓的極坐標方程

Lua

求圓心在(0。，%),半徑為r的圓的方程.

結(jié)合圓的定義求其極坐標方程.

如圖，在圓周上任取一點巴

設(shè)其極坐標為(。，，).

由余弦定理知：

CR=OP+OC-2OP'OCCOSZCOP,

故其極坐標方程為r—Po+儲一2P00cos(o-%).

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

幾種特殊情形下的圓的極坐標方程

當圓心在極軸上即狐=0時，方程為f=。：'-20Oocos0,若再有Pa=r,則

其方程為0=2。0cos?=2JTOS0,若〃>=r,00^0,則方程為。=2/vos(?一即)，

21

這幾個方程經(jīng)常用來判斷圖形的形狀和位置.

〃/噩俶集例〃/〃

1.在極坐標系中，以區(qū)為圓心，粉半徑的圓的方程是

解析：即在直角坐標系中以（0,"為圓心，微為半徑的圓，

二方程為Xfj2=4--

BP：/+/—ay=0,化為極坐標方程為：P=asin夕.

答案：P=asin0

2.求圓心在［2,等）處并且過極點的圓的極坐標方程.

解：設(shè)〃"，&）為圓上除。，5外的任意一點，連接OM,MB,則有必=4,04P,

八3n

/MOB=〃一萬五?^BMO=—,

從而△戊必為直角三角形.

?.\O^=\OB\cos/MOB,

即夕=4cos（:冗）=-4sin8.

極坐標方程與直角坐標方程的互化

進行直角坐標方程與極坐標方程的互化：

(1)/=4第(2)x+/—2/—1=0；

(3)P="^

2—cosB

將方程的互化轉(zhuǎn)化為點的互化：

[PW+A

\x=PCOSe,

\y=Psin°,tan.

⑴將x=〃cos0,y=psin夕代入/=4x,

得(osin6)2=4)cos8.

化簡，得Psin0=4cos夕.

(2)將x=ocos0,y=Psin夕

22

代入x+/—2x—1=0,

得（ocos^）2+（psin。）2—2ocos。-1=0,

化簡，得儲一20cos6—1=0.

.,.2p—pcos0—1.

—x=1.

化簡，得39+44—2%—1=0.

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

在進行兩種坐標方程間的互化時，要注意

(1)互化公式是有三個前提條件的，即極點與直角坐標系的原點重合、極軸與直角坐標

系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標系的單位長度相同.

(2)由直角坐標求極坐標時，理論上不是唯一的，但這里約定只在0＜夕＜2兀范圍內(nèi)求

值.

(3)由直角坐標方程化為極坐標方程，最后要注意化簡.

(4)由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性，通常總要用o去乘方程的

兩端.應(yīng)該檢查極點是否在曲線上，若在，是等價變形；否則，不是等價變形.

題低條例

3.把下列直角坐標方程化為極坐標方程.

⑴y=/x；

⑵1=1.

解：(1)將X=0COS0,y=psin〃代入尸小x,得

Psin。=木Pcos9,從而S

⑵將*=Ocos