2021年人教版八年級數(shù)學下冊第18章《平行四邊形》提升：以平行四邊形為背景的計算與證明

2021年人教版八年級下冊第18章《平行四邊形》專題提升

以平行四邊形為背景的計算與證明

角度的計算與證明(一證一求)

1.如圖，點E是。ABC。的邊CD的中點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F.

(1)證明：AD=CF.

(2)若尸=90°,試添加一個條件，并寫出/F的度數(shù).

2.如圖，平行四邊形48C。中，AO=2AB,E為AO的中點，CE的延長線交8A的延長線

于點F.

(1)求證：FB=AD.

(2)若/D4F=70°,求NEBC的度數(shù).

3.如圖，點E在8c上，/\ABC^/\EAD.

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)若AE平分ND48.ZEDC=30°,求乙4E￡＞的度數(shù).

4.如圖，8。是AABC的角平分線，過點D作QE〃BC交AB于點E,DF〃AB交BC千點

F.

(1)求證：四邊形2EZJF是菱形：

(2)如果/A=80°,ZC=30°,求/BOE的度數(shù).

5.如圖，在平行四邊形ABCO中，AB=AE.若AE平分NZMB.

(1)求證：AABC^AEAD；

(2)若/E4C=25°,求：N4E￡?的度數(shù).

6.如圖，矩形ABCO中，￡F垂直平分對角線BD,垂足為。，點E和尸分別在邊A￡>,BC

上，連接BE,DF.

(1)求證：四邊形BFDE是菱形；

(2)若AE=OF,求/BOC的度數(shù).

7.如圖，在正方形A8CQ中，BE平分NDBC交CD于點、E,延長BC到凡使CF=CE,

連接DF交BE的延長線于點G.

(1)求乙BGF的度數(shù)；

(2)求證：DE=42CE.

8.如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BO相交于點O,ZACB^ZADB=90°,M為邊AB

的中點，連接MC,MD.

(1)求證：MC=MDi

(2)若△MCQ是等邊三角形，求NAOB的度數(shù).

9.如圖，四邊形A8C。為平行四邊形，E為AO上的一點，連接并延長，使BF=BE,

連接EC并延長，使CG=CE,連接FG.H為FG的中點，連接

(1)求證：四邊形AFHD為平行四邊形；

(2)若CB=CE,NEBC=75°,ZDCE=10°,求ND4B的度數(shù).

10.如圖，在正方形ABC。中，點E為線段BC上一動點(點E不與點8、C重合)，點B

關(guān)于直線AE的對稱點為凡作射線EF交CD于4,連接AF.

(1)求證：AFLEH-,

(2)連接A”，小王通過觀察、實驗，提出猜想：點E在運動過程中，NE4H的度數(shù)始

終保持不變.你幫助小王求出NEA”的度數(shù).

長度的計算與證明(一證一求)

11.如圖，在口ABCQ中，E是的中點，延長CB到點F,使2F=/BC，連接8芯、AF.

(1)完成畫圖并證明四邊形AFBE是平行四邊形；

(2)若A8=6,A￡>=8,ZC=60°,求BE的長.

12.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，延長CB至點E,使得BE=BC,連接。￡交A8

于點E

(1)求證：AADF之ABEF.

(2)連接08,若AD=￡)8=5,CD=6,求DE的長.

C

13.在RtZ\ABC中，N8AC=90°，E、尸分別是BC、AC的中點，延長54到點。，使A8

=2AO,連接￡>E、DF、AE、EF,AF與QE交于點0.

(1)試說明AF與OE互相平分；

(2)若4B=8,BC=U,求。0的長.

14.如圖，在RtZXABC中，N4CB=90°,點E,尸分別是邊AC,AB的中點，延長8c到

點、D,使2c￡>=8C,連接。E.

(1)如果48=10,求OE的長；

(2)延長OE交A尸于點M,求證：點M是A尸的中點.

15.如圖，在平行四邊形A8CQ中，ACVBC,點E是。的中點，連接AE,作AF_LAE,

交BC于點F.

(1)若4c=6,8c=8,求AE的長;

(2)若G為BC延長線上一點，且AG+CG=BC,求證：AF=2EG.

BG

16.如圖，在。ABC。中，ZACB=45°,AE_LBC于點E,過點C作CF_LAB于點F,交

AE于點M.點N在邊8c上，且AM=CM連接ON.

(1)若AC=4,求8C的長；

(2)求證：AD+AM=42DN.

17.如圖，在Q4BCO中，/BAD,NAOC的平分線AF,OE分別與線段BC交于點凡E,

A尸與DE交于點G.

(1)求證：AFLDE,BF=CE.

(2)若A￡>=10,A8=6,AF=8,求QE的長度.

18.如圖，已知。ABCD的對角線4C、8。交于點。，且N1=N2.

(1)求證：nABCQ是菱形.

(2)F為A。上一點，連接8尸交AC于E,且4E=4尸，若4F=3,AB=5,求AO的

19.已知：如圖，在nABCQ中，NBCQ的平分線CE交AQ于E,NABC的平分線BG交

CE于F,交AO于G.

(1)試找出圖中的等腰三角形，并選擇一個加以說明.

(2)試說明：AE=DG.

(3)若BG將A￡>分成3：2的兩部分，且A￡>=10,求nABCD的周長.

參考答案

角度的計算與證明（一證一求）

1.【解答】證明：（1）；四邊形A8CQ是平行四邊形，

.,.AD//CF,

：.NOAE=NCFE,NADE=NFCE,

?.?點E是cr>的中點，

：.DE=CE,

fZDAE=ZCFE

在△AOE和△FCE中，，ZADE=ZFCE>

DE=CE

：./\ADE^/\FCE（AAS）,

CF=AD；

（2）VZBAF=90°,

添加一個條件：當NB=60°時，/F=90°-60°=30°（答案不唯一）.

2.【解答】（1）證明為AO的中點，

：.DE=AE,

?..四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,AB=DC,

：.NEDC=NEAF,

fZDEC=ZAEF

在△〃口?和aAEF中，，DE=AE，

ZEDC=ZEAF

：./\DEC^/\AEFCAAS）,

：.DC=FA,

\'AD=2AB,

：.AB=DE=EA=FA,

：.FB=AD；

（2）解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.DA//CB,

：.ZCBF=ZDAF=10°,NAEB=NEBC,

又：AE=AB,

NAEB=NABE,

：.ZEBC=ZABE=35°.

3.【解答】（1）證明：V/\ABC^/\EAD,

：.BC=ADf/B=/EAD,AB=EAf

：.ZB=ZAEB,

：?/EAD=NAEB,

：.BC//AD,

???四邊形ABC。是平行四邊形；

（2）解：由（1）得：NB=NAEB=NEAD,四邊形A3CD是平行四邊形,

ZADC=ZB,

???AE平分ND48,

：.ZBAE=ZEAD9

:.ZB=ZAEB=ZBAE9

???△ABE是等邊三角形，

ZADC=ZB=ZBAE=ZEAD=60°,

ZADE=ZADC-ZEDC=60°-30°=30°,

ZAED=190°-60°-30°=90°.

4.【解答】（1）證明：?:DE//BC,DF//AB

???四邊形。仍尸是平行四邊形

,:DE〃BC

：?NEDB=NDBF

〈BO平分NABC

???NABD=NDBF=L/ABC

2

JZABD=ZEDB

???OE=8E且四邊形BED尸為平行四邊形

???四邊形BE。尸為菱形；

（2）解：VZA=80°,ZC=30°,

AZv4BC=180°-80°-30°=70°,

??,四邊形BEDF為菱形,

：.ZEDF=ZABC=10°,

；.NBDE=L/EDF=35。.

2

5.【解答】解：(1):四邊形A8C￡>為平行四邊形,

J.AD//BC,AD=BC.

：.NDAE=ZAEB.

'：AB=AE,

：.NAEB=NB.

"B=4DAE.

在△ABC和△AED中，

，AB=AE

<ZB=ZDAE-

AD=BC

AAABC^AEAD(SAS),

(2):△ABC彩△"￡>,

，ZAED=ZBAC,

：AE平分/D4B(已知)，

：.ZDAE^ZBAEi

又；/D4E=NAEB,

：.NBAE=ZAEB=ZB.

...△ABE為等邊三角形.

；.NBAE=60°.

；NE4c=25°,

，NBAC=85°,

AZAED=S5°.

6.【解答】(1)證明：YEF垂直平分對角線BO,

:.NDOE=NBOF=90°,OB=OD,

:四邊形A8CZ)是矩形,

：.AD//BC,

：.ZDEO^ZBFO,

在△￡>E0和△BFO中，

，ZD0E=ZB0F

<ZDE0=ZBF0-

OD=OB

:.△DEO9/XBFO(AAS),

：.DE=BF,

垂直平分對角線BD,

：.DE=BE,BF=DF,

:.DE=BE=BF=DF,

四邊形BFDE是菱形;

(2)解：...四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD,ZA=ZC=90°,

VZBOF=90Q,

AZA=ZBOF=90°,

在Rt/\BAE和RtABOF中，

[BE=BF,

IAE=OF'

.?.RSAE絲RtZXBOF(HL),

：.AB=OB,

'：AB=CD,OB=OD,

：.CD=1.BD,

2

VZC=90°,

：.ZCBD=30°,

：.ZBDC=\S0°-ZC-ZCBD=60Q.

7.【解答】解：(1)7在△BCE和△DCF中,

fBC=DC

?ZBCE=ZDCF=90°>

CE=CF

:.ABCEqADCF(SAS),

：.ZBEC=ZDFC,

?；NBEC+NCBE=90°,

AZCBE+ZDFC=90°,

ZBGF=90°；

(2)連接政,

???3E平分NQ5c

:?/DBG=/CBG,

,:BG=BG,/BGD=NBGF=9U0,

:ABDG學4BFG(ASA),

:,DG=FG,

???BG垂直平分DF,

：?DE=FE,

VCE2+CF2=EF2,CE=CF,

???EF=V2CE,

:?DE=&CE.

8.【解答】(1)證明：???/AC8=NAO8=90°,M為邊A8的中點,

：.MC=1.AB,MD=1-AB,

22

：.MC=MD；

(2)解：*：MC=MD=^AB=AM=BM,

2

???ZBAC=ZACM,ZABD=/BDM,

：.ZBMC=2ZBAC,ZAMD=2ZABDf

:△MC。是等邊三角形，

???NDMC=60°,

：.ZBMC+ZAMD=\20°,

：.2ZBAC+2ZABD=\20°,

???NBAO+NABO=60°,

???NAOB=180°-60°=120°.

9.【解答】(1)證明：?.?8尸=3E,CG=CE,

???3C為△在G的中位線，

J.BC//FG,BC=%G,

2

又是R7的中點，

：.FH=1-FG,

2

:?BC=FH.

又：四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.AD//FH,AD=FH,

???四邊形AFHD是平行四邊形；

(2)解：:四邊形A8CO是平行四邊形，

???/DAB=/DCB,

?：CE=CB,

：.ZBEC=ZEBC=75°,

AZBCE=180°-75°-75°=30°,

；?/DCB=NDCE+NBCE=10°+30°=40°,

AZDAB=40°.

10?【解答】解：(1)證明：丁點3關(guān)于直線A￡的對稱點為R

：.AB=AFfBE=EF,

^：AE=AE9

：.AABE^AAFE(SSS),

Z.ZAFE=ZB=90°,

：.AF.LEH；

(2)連接A",如圖：

由(1)wAB=AF,AFLEH,

：.AF=AD,ZD=ZAFH=90°,AH=AHf

：.^AFH^/\ADH(”￡),

：.ZFAH=ZDAHf

又???N34E=N￡AE,在正方形ABC。中，ZBAD=90°,

???NE44=45°.

長度的計算與證明（一證一求）

11?【解答】證明：（1）?四邊形ABC。為平行四邊形,

：.AD//BC,AD=BC,

又E是AD的中點，BF=4.BC，

：.AE//BF,AE=BF,

四邊形AFBE是平行四邊形；

（2）過點A作AG_L2F于G,

由。ABCD可知/ABF=/C=60°,

又A8=6,A￡)=8,

：.BG=3,FG=l,^G=J52-32=373-

BE=AF=JAG2+FG2=2a

12.【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZA=ZFBE,ZADF=ZE

又,：BC=BE,

：.AD=BE,

2A=NFBE

在△A。尸和△8EF中，.AD=BE，

ZADF=ZE

AAADF^ABEF(ASA)；

(2)解：...四邊形ABC。是平行四邊形，

，AB=CO=6,AD=BC,

由(1)得：△AOF絲△8ER

：.AD=BE,EF=DF,AF=BF=LB=3,

2

"：AD=DB=5,

：.DB=BE=5,

：.BF1DE,

在RtABEF中，EF=^BE2_BF2=^52_32=4,

.*.OE=2EF=2X4=8.

13?【解答】解：（1）,:E、/分別是BC、AC的中點,

尸是△ABC的中位線，

：.EF//ABS.EF=^AB.

2

XAB=2AD,BPAD^lAB,

2

J.AD//EF,AD=EF,

四邊形AEFD是平行四邊形，

；.AF與OE互相平分；

(2):在RtZXABC中,ZBAC=90°,AB=8,BC=12,

由勾股定理得AC=JBC2_AB2={lZ2-82=4V^

又由（1）知，0A=OF,且AP=CF,

：.OA=1AC=45-

4

.?.在△AO。中，ZDAO=90°,AD=X\B=4,OA=遍,

2

0=22=

由勾股定理得D7DA-K）AV42+（V5）2=

14.【解答】解：(1)連接CF,

在RtaABC中，F(xiàn)是AB的中點，

：.CF^1AB=5,

2

;點E,F分別是邊AC,AB的中點,

：.EF//BC,EF=LBC,

2

,：2CD=BC,

：.EF=CD,EF//CD,

...四邊形ECCF是平行四邊形，

:.DE=CF=5；

(2)如圖2,?.?四邊形EQCF是平行四邊形,

：.CF//DM,

:點E是邊AC的中點，

，點M是AF的中點.

15.【解答】⑴解：?msc,

...乙4C8=90°,

"：AC=6,BC=8,

/MB^VAC2+BC2=10,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.CD=AB=-10,AD//BC

：.CA±AD,

：.ZCAD=90°,

,:CE=ED,

：.AE^1.CD=5.

2

(2)證明：延長AE交BC的延長線于M,在C8上取一點M使得CN=CG,連接AN.

?:AD"CM,

：.NDAE=ZM,

fZDAE=ZM

在△ZME和aMCE中，，ZAED=ZMEC?

DE=CE

：.4DAE咨AMCE(AAS),

：.AE=EM,

'：AE=ED=EC,

：.AM=CD=AB,

'CACLBM,

：?BC=CM,

■:ACING,CN=CG,

：.AG=AN,

VAG+CG=^C,

：?BN=AG=AN,

?：CB=CM,CN=CG,

：,BN=GM,

:,GA=GM,

9：AE=EM,

J.EGLAM,

*：FALAM.

：.EG//AF,

9

：AE=EMf

:?FG=GM,

:.EG=1AF,

2

B|JAF=2EG.

16.【解答】（1）解：?.?NACB=45°,AE1BC,

：.ZAEC=ZAEB=90°,△ACE是等腰直角三角形,

：.ZEAC=45°,AE=CE=隼=3=2圾,

V2V2

由勾股定理得：2_AE2=V10-8=>/2?

:?BC=BE+CE=3?：

(2)證明：延長AD至G,使。G=AM,連接CG,如圖所示:

■:AM=CN,

:,DG=CN,

???四邊形A3CO是平行四邊形,

：.AB=CD,AD//BC,NB=NADC,

:,DG〃CN,

???四邊形CGON是平行四邊形,

JCG=DN,

'JCFLAB,

AZCFB=90°=NAEB=NCEA,

:.NBAE=NMCE,

rZAEB=ZCEM

在AABE和△CME中，，ZBAE=ZMCE，

AE=CE

^ABE^△CMECAAS),

：.AB=CM,/B=NCME,

：.CM=CD,ZCME=AADC,

：.ZAMC=ZGDC,

'AM=DG

在△ACM和△GC￡)中，，ZAMC=ZGDC，

CM=CD

AAACM^AGCD(SAS),

：.ZG=ZMAC=45°,

'：AD//BC,

.?.NOAC=NAC8=45°,

...△4CG是等腰直角三角形，

:.AG=&CG,

"：AG=AD+DG=AD+AM,CG=DN,

:.AD+AM=4^PN.

17?【解答】(1)證明：在平行四邊形4BCC中，AB//DC,

：.ZBAD+ZADC=}SOc,.

'：AE,OF分別是/BAQ,NAQC的平分線，

/DAE=NBAE=L/BAD,ZADF^ZCDF=^ZADC.

22

ZDAE+ZADF=AZBAD+AZADC=90O.

22

ZAGD=90°.

J.AELDF.

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB=CD,

：.ZDAF=NAFB,

又???NZMF=N