2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式第2課時基本不等式的應(yīng)用分層演練新人教A版必修第一冊

2.2基本不等式第2課時基本不等式的應(yīng)用A級基礎(chǔ)鞏固1.當(dāng)x>0時,f(x)=2xx2A.12C.2 D.4答案:B2.若x>0,則函數(shù)y=-x-1x (A.有最大值-2 B.有最小值-2C.有最大值2 D.有最小值2答案:A3.用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園,這個矩形菜園的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆長度是 ()A.30m B.36mC.40m D.50m答案:C4.若實(shí)數(shù)x,y滿意xy=1,則x2+2y2的最小值為22.5.(2024年廣東模擬)已知x>0,y>0,且4x+y=1,則1x+9y的最小值是解析:因?yàn)閤>0,y>0,且4x+y=1,所以1x+9y=(4x+y)(1x+9y)=4+36xy+yx當(dāng)且僅當(dāng)36xy=yx,即x=110,B級實(shí)力提升6.若正實(shí)數(shù)x,y滿意1x+4y=1,且x+y4>a-3恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為解析:由題意,知x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+因?yàn)閤>0,y>0,所以4xy>0,y所以4xy+y4x≥24xy4x=y時取等號,所以x+y4≥4,所以a-3<4,解得a<77.多空題若實(shí)數(shù)a,b滿意a2+b2+ab=1,則ab最大值為13,a+b的最小值為-2解析:由1=a2+b2+ab≥2ab+ab,得ab≤13,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=33時等號成立.由1=a2+b2+ab=(a+b)2-ab,得ab=(a+b)2-1,而ab≤(a+b2)2,所以(a+b)2-1≤(a+b2)2,解得-238.設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),且1a+1b=2(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.解:(1)由22=1a+1b≥21ab,得ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時取等號故a2+b2≥2ab≥1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時取等號所以a2+b2的最小值是1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時取得最小值(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得(1a-即(1a+1b)2-4又因?yàn)閍b+1ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)ab=所以ab+1ab=2,所以ab=19.某市打算建一個綜合性休閑廣場,其示意圖如圖所示.已知矩形廣場的總面積為2000m2,其中陰影部分為通道,通道的寬均為1m,中間的兩個小矩形完全相同.(1)用矩形的寬x(單位:m)表示中間的三個矩形的總面積S(單位:m2)的函數(shù)解析式,并給出定義域.(2)當(dāng)矩形的寬x為何值時,S取得最大值?并求出最大值.解:(1)因?yàn)榫匦螐V場的總面積為2000m2,所以xy=2000,即y=2000x因?yàn)?a+2=y,所以2a=y-2=2000x-所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(1000x-1)=2005-(5000x+2x),3<x<(2)S=2005-(5000x+2x)≤2005-25000x×2x=1805.當(dāng)且僅當(dāng)2x=5000x,即C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多選題一個矩形的周長為l,面積為S,其中可作為(l,S)的取值的實(shí)數(shù)對是 ()A.(4,1) B.(8,6) C.(10,8) D.(3,12解析:依題意設(shè)矩形的長、寬分別為a,b,則有a即l=2(a+b)≥4ab=4S,所以lS≥4對于選項A,41=