內(nèi)蒙古包頭市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試?yán)碓囶}含解析

Page18內(nèi)蒙古包頭市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試?yán)碓囶}留意事項(xiàng)：1．考生答卷前，務(wù)必將自己的姓名、座位號寫在答題卡上．將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再寫出其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用列舉法把集合表示出來，再求集合與的并集.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選:D.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推斷函數(shù)為奇函數(shù)，解除CD；依據(jù)特別值的大小，解除A選項(xiàng).【詳解】定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，解除CD；又，，明顯，故A錯誤，B正確.故選：B4.已知向量滿意，它們夾角為，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，精確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，向量滿意，它們的夾角為，則.故選：C.5.從2名女同學(xué)和3名男同學(xué)中任選2人參與志愿者服務(wù)，則選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的概率為（）A.0.4 B.0.3 C.0.6 D.0.5【答案】C【解析】【分析】選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的數(shù)量為，則所求概率為【詳解】由題，選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的概率為.故選：C6.雙曲線的一條近線方程為，則其離心率為（）A.3 B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】由漸近線方程得，再由計(jì)算即可【詳解】∵漸近線方程為，即，故.故選：A7.在中，，則（）A. B.5 C. D.6【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式求得，再用余弦定理即可求得AC.【詳解】，，而，，在中，由余弦定理得：，代入數(shù)據(jù)得：，解得：或（舍）故選：B.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，假如輸入的，則輸出的（）

A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】模擬執(zhí)行程序，依次計(jì)算可得.【詳解】當(dāng)輸入的時(shí)，S=0，K=1，K6；S=1，，K=2，K6；S=，，K=3，K6；S=2，，K=4，K6；S=，，K=5，K6；S=3，，K=6，K6；S=，，K=7，K6，輸出S=.故選：D9.在正方體中，E、F分別為棱和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，依據(jù)，得到異面直線與所成的角，即為與所成的角，直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，所以異面直線與所成的角，即為與所成的角，設(shè)，設(shè)正方體的棱長為，可得，由平面，且平面，可得，所以，在直角中，可得.故選：A.10.若在是增函數(shù)，則a的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)性質(zhì)，可得的單調(diào)區(qū)間，是單增區(qū)間的子集.【詳解】，依據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而，所以a的最大值為.故選：A.11.已知是橢圓E的兩個焦點(diǎn)，P是E上的一點(diǎn)，若，且，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓定義得到，由得到，由勾股定理得到，兩式結(jié)合求出，結(jié)合得到，求出離心率.【詳解】由題意得：，則，由橢圓定義可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的離心率為.故選：C.12.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿意．若，則（）A.13 B.0 C. D.1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，，再由，即可得到是以為周期的周期函數(shù)，再求出、、的值，即可得解.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，，又，所以，即，所以，即是以為周期的周期函數(shù)，又，所以，，，所以，所以.故選：D二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上對應(yīng)題的橫線上．13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.【詳解】，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，所求切線方程為：，即.故答案為：.14.若滿意約束條件，則的最小值為_____________．【答案】【解析】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，結(jié)合圖形，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為.故答案為：.15.已知，且是第一象限角，則_____________．【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正切公式求出，再依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解得，又，解得或，因?yàn)榈谝幌笙藿?，所以；故答案為?6.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線的夾角為，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_____________．【答案】【解析】【分析】由題得，為正三角形，由的面積求得PA，再由與圓錐底面所成角求得底面半徑，即可依據(jù)公式求得側(cè)面積【詳解】由題，，則為正三角形，，∴母線，又與圓錐底面所成角為，∴底面半徑，∴圓錐的側(cè)面積為.故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最大值．【答案】（1）（2），21【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求出公差，從而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案；（2）依據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可干脆求出答案.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由得，即，由，得．所以的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】由（1）得．因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取得最大值，最大值為21．18.依據(jù)某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場競賽得分的原始記錄數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖：

（1）依據(jù)莖葉圖推斷哪位運(yùn)動員的成果更好？并說明理由；（2）求24個得分的中位數(shù)m，并將所得分超過m和不超過m的得分?jǐn)?shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m甲乙（3）依據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動員的每場競賽得分有差異？附：0.150.100.052.0722.7063.841【答案】（1）乙運(yùn)動員的成果更好，理由見解析（2）；填表見解析（3）沒有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動員的每場競賽得分有差異【解析】【分析】（1）依據(jù)莖葉圖分析數(shù)據(jù)的分布狀況推斷即可；（2）依據(jù)中位數(shù)的定義求解，再完善表格即可；（3）計(jì)算卡方并對比表格中的數(shù)據(jù)推斷即可.【小問1詳解】乙運(yùn)動員的成果更好，理由如下：（?。┯汕o葉圖可知：乙運(yùn)動員的得分基本上是對稱的，葉的分布是“單峰”的，有的葉集中在莖3，4上；甲運(yùn)動員的得分基本上也是對稱的，只有的葉集中在莖3，4上．所以乙運(yùn)動員的成果更好．（ⅱ）由莖葉圖可知：乙運(yùn)動員得分的中位數(shù)是36；甲運(yùn)動員得分的中位數(shù)是27．所以乙運(yùn)動員的成果更好．（ⅲ）從葉在莖上的分布看，乙運(yùn)動員的得分更集中于單峰值旁邊，這說明乙運(yùn)動員的發(fā)揮更穩(wěn)定．以上給出3種理由，學(xué)生答出其中一種或其他合理理由均可得分．【小問2詳解】由莖葉圖可知，列聯(lián)表如下：超過m不超過m甲57乙75【小問3詳解】由于，所以沒有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動員的每場競賽得分有差異．19.如圖，在三棱錐中，，D為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若E是棱上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分別證明即可；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，依據(jù)三角形的面積公式可得當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，取最小值，此時(shí)得，再依據(jù)為與平面所成的角求解即可；或以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)線面夾角的向量求法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，又D為的中點(diǎn)，所以，且，連接，所以為等腰直角三角形，且，，由，可知，由，平面,可知平面．【小問2詳解】解法1：因?yàn)?，所以，?dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，取最小值，此時(shí)得，這時(shí)為的中位線，且．因?yàn)?，且，平面，所以平面，故為與平面所成的角．因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以．中，，所以與平面所成角的正弦值為．解法2：同解法1，且.因?yàn)閮蓛上嗷ゴ怪?，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．，設(shè)平面的法向量為，則，即，所以可取，又，設(shè)與平面所成角為，則．20.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，且C經(jīng)過點(diǎn)，過F且斜率為的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，．（1）求C和的方程；（2）求過點(diǎn)M，N且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得的值，得到的方程，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合，求得的值，即可得到直線的方程；（2）由（1）得線段中點(diǎn)坐標(biāo)，得到線段的垂直平分線方程，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求解圓的方程.【小問1詳解】解：設(shè)的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，所以的方程為．所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)的方程為且，聯(lián)立方程組，整理得，所以，所以．由題設(shè)知，解得或（舍去），所以的方程為．【小問2詳解】解：由（1）得線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，即，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得，或，即圓心坐標(biāo)為或，又由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得點(diǎn)或到準(zhǔn)線的距離分別為或，即圓的半徑分別為或，所以圓方程為或．21.已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）探討的零點(diǎn)狀況．【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，如圖所示，可得為的極大值，當(dāng)，即時(shí)，與只有1個交點(diǎn)，即只有1個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有2個交點(diǎn)，即有2個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有3個交點(diǎn)，即有3個零點(diǎn)．綜上，時(shí)，只有1個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個零點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為方程的根的根數(shù)，進(jìn)而利用分別參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù).（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）若，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出曲線C的一般方程和直線l的一般方程，聯(lián)馬上可求出交點(diǎn)坐標(biāo).（2）設(shè)C上的點(diǎn)坐標(biāo)為，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得a.【小問1詳解】曲線C