寧夏回族自治區(qū)銀川市2024-2025學年高三數(shù)學二模理試題含解析

Page20寧夏回族自治區(qū)銀川市2024-2025學年高三數(shù)學二模（理）試題一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖象推斷出陰影部分為，由此求得正確答案.【詳解】，由圖象可知，陰影部分表示.故選：A2.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿意為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設，代入化簡，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.3.命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)為（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先推斷原命題的真假，寫出其逆命題，即可推斷其真假，再依據(jù)互為逆否命題的兩個命題同真假，即可推斷；【詳解】解：因為命題“，則”為真命題，所以其逆否命題也為真命題；其逆命題為：則，明顯也為真命題，故其否命題也為真命題；故命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個命題中，真命題有4個；故選：D4.設為等差數(shù)列的前項和，若，，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：首先設出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿意的等量關系式，從而求得結果，之后應用等差數(shù)列的通項公式求得，從而求得正確結果.詳解：設該等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，須要利用題中的條件，結合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到與的關系，從而求得結果.5.下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)不等式成立的條件依次推斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，當時，不等式明顯不成立，故錯誤；對于B選項，成立的條件為，故錯誤；對于C選項，當時，不等式明顯不成立，故錯誤；對于D選項，由于，故，正確.故選：D6.下列四個函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】A.利用指數(shù)函數(shù)的性質推斷；B.利用正切函數(shù)的性質推斷；C.利用正弦函數(shù)的性質推斷；D.利用函數(shù)的圖象推斷.【詳解】A.，不是奇函數(shù)，故錯誤；B.在上遞增，但在定義域上不單調，故錯誤；C.在上遞增，但在定義域R上不單調，故錯誤；D.，其圖象如圖所示：由圖象知：定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故正確，故選：D7.有4名高校生志愿者參與2024年北京冬奧會志愿服務.冬奧會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參與冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個項目競賽的志愿服務，則每個項目至少支配一名志愿者進行志愿服務的概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將4人分成3組，其一組有2人，然后將3個項目進行排列，可求出每個項目至少支配一名志愿者進行志愿服務的方法數(shù)，再求出4名志愿者參與3個項目競賽的志愿服務的總方法數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，然后將3個項目全排列，共有種排法，所以每個項目至少支配一名志愿者進行志愿服務的方法數(shù)為種，因為4名志愿者參與3個項目競賽的志愿服務的總方法數(shù)種，所以每個項目至少支配一名志愿者進行志愿服務的概率為，故選：D8.設，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，寫出，作差即可.【詳解】由題意，，則，所以，即.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)學歸納法，正確弄清由到時增加和削減的項是解題的關鍵，屬于基礎題.9.為了解人們對環(huán)保學問的認知狀況，某調查機構對地區(qū)隨機選取個居民進行了環(huán)保學問問卷調查（滿分為100分），并依據(jù)問卷成果（不低于60分記為及格）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分為，，，，，六組），若問卷成果最終三組頻數(shù)之和為360，則下面結論中正確的是（）

A.B.問卷成果在內的頻率為0.5C.D.以樣本估計總體，若對地區(qū)5000人進行問卷調查，則約有2000人及格【答案】A【解析】【分析】依據(jù)全部小矩形的面積之和為1求出，即可推斷C，求出最終三組頻率之和，依據(jù)頻數(shù)，可推斷A；依據(jù)頻率等于小矩形的面積計算出成果在內的頻率即可推斷B；求出及格的頻率，從而可求出及格人數(shù)，即可推斷D.【詳解】解：，解得，故C錯誤；，故A正確；問卷成果在內的頻率為，故B錯誤；不低于60分頻率為，則約有人及格，故D錯誤.故選：A.10.果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會漸漸失去簇新度．已知某種水果失去簇新度h與其采摘后時間t（天）滿意的函數(shù)關系式為，若采摘后5天，這種水果失去的簇新度為20%，采摘后10天，這種水果失去的簇新度為40%，采摘下來的這種水果失去50%的簇新度也許是（參考數(shù)據(jù)：）（）A.第10天 B.第12天 C.第14天 D.第16天【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題目所給條件，求出m和a即可.【詳解】依題意有，解得，m=0.1，代入得，當h=05時，兩邊取對數(shù)得，故選：B.11.已知函數(shù)，若在上有且僅有2個最大值點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】探討、時，取最大值時的值，由其周期性找到第三個最大值對應的值，由此確定的取值范圍.【詳解】當時，，當時，第1次取到最大值，當時，，當時，第2次取到最大值，由知：當時，第3次取到最大值．∴．故選：C【點睛】關鍵點點睛：探討的范圍，通過確定其次、三個最大值對應的值，進而得到的取值范圍.12.已知實數(shù)x，y滿意，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】實數(shù)，滿意，通過探討，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，求出切線方程依據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因為實數(shù)，滿意，所以當時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分（含點），當時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的橢圓的一部分，當時，其圖象不存在，當時，其圖象是位于第三象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：隨意一點到直線的距離所以，結合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設與其圖像第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是．故選：B．【點睛】三種距離公式：（1）兩點間的距離公式：平面上隨意兩點間的距離公式為；（2）點到直線的距離公式：點到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.向量是單位向量，，，則______.【答案】【解析】【分析】由題意可得，利用向量的模的運算代入求值即可得答案.【詳解】∵，∴.故答案為：.14.已知a，b表示兩條直線，α，β，γ表示三個不重合的平面，給出下列命題：①若α∩γ=a，β∩γ=b，且ab，則αβ；②若a，b相交且都在α，β外，aα，bβ，則αβ；③若aα，aβ，則αβ；④若a?α，aβ，α∩β=b，則ab.其中正確命題的序號是________.【答案】④【解析】【分析】依據(jù)線線、線面、面面之間的位置關系即可得出結果.【詳解】解析：①錯誤，α與β也可能相交；②錯誤，α與β也可能相交；③錯誤，α與β也可能相交；④正確，由線面平行的性質定理可知.故答案為：④15.設，圓，若動直線與圓交于點A、C，動直線與圓交于點B、D，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，求出兩條直線位置關系和經(jīng)過的定點，作出圖像，設圓心到其中一條直線的距離為d，依據(jù)幾何關系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.【詳解】，圓心M(1，3)，半徑r＝，過定點E(2,1)，過定點E(2,1)，且⊥，如圖，設AC和BD中點分別為F、G，則四邊形EFMG為矩形，設，，則，則＝，當且僅當即時取等號.故答案為：.16.已知，，，成等比數(shù)列，且.若，則___________（填“>”或“<”）；___________（填“>”或“<”）【答案】①.>②.<【解析】【分析】依據(jù)式子的結構構造函數(shù)，推斷出，得到，求出.對q進行分類探討：和不合題意沖突，得到，即可比較大小.【詳解】因為，所以.記，則.令，得：；令，得：；函數(shù)在上單增，在上單減，所以對隨意，都有，即恒成立，所以，即，所以，所以.因為，所以.當時，則，，與題意沖突，故舍去；當時,則,即.又,所以,與題意沖突,故舍去；所以,從而,即；,故，即.故答案為：>,<【點睛】數(shù)列中比較大小的方法：（1）依據(jù)通項公式，利用函數(shù)的單調性比較大小；（2）利用作差法（作商法）比較.三?解答題：共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且的面積.（1）求B；（2）若a?b?c成等差數(shù)列，的面積為，求b.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形面積公式和同角三角函數(shù)的關系化簡已知式子可求得B；（2）由a?b?c成等差數(shù)列，可得，再由的面積為，可得，然后利用余弦定理可求得結果【小問1詳解】∵，∴，即，∵，∴.【小問2詳解】∵??成等差數(shù)列，∴，兩邊同時平方得：，又由（1）可知：，∴，∴，，由余弦定理得，，解得，∴18.如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，且點和分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過平面ABCD的一個法向量與的數(shù)量積為0，即得結論；（2）通過設，利用平面ABCD的一個法向量與的夾角的余弦值為，計算即可得結果.【詳解】（1）證明：由題意以為原點建立空間直角坐標系，如圖：因為，，由勾股定理得等腰底邊上的高為2，依題意可得，，，，，，，.又因為，分別為和的中點，所以，，依題意，可得為平面的一個法向量，，由此可得，又因為直線平面，所以平面；（2）解：依題意，可設，其中，則，從而，又為平面的一個法向量，由已知得，整理得，又因為，解得.所以線段的長為.【點睛】本題考查直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等基礎學問，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，屬于中檔題.19.已知雙曲線的離心率等于，且點在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線的左頂點為，右焦點為，P為雙曲線右支上隨意一點，求的最小值.【答案】（1）（2）-4【解析】【分析】（1）干脆由離心率和點代入雙曲線求得即可；（2）先表示出，再通過點P橫坐標的范圍求出最小值.【小問1詳解】依題又，所以，，故雙曲線的方程為.【小問2詳解】由已知得，，設，于是，，因此，由于，所以當時，取得最小值，為.20.某商場擬在年末進行促銷活動，為吸引消費者，特殊推出“玩嬉戲，送禮券“的活動，嬉戲規(guī)則如下：每輪嬉戲都拋擲一枚質地勻稱的骰子（形態(tài)為正方體，六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點數(shù)不超2點，獲得1分，否則獲得2分，進行若干輪嬉戲，若累計得分為19分，則嬉戲結束，可得到200元禮券，若累計得分為20分，則嬉戲結束，可得到紀念品一份，最多進行20輪嬉戲．（1）當進行完3輪嬉戲時，總分為X，求X的期望；（2）若累計得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；②求活動參與者得到紀念品的概率．【答案】（1）5；（2）①證明見解析；②．【解析】【分析】（1）由題意可知每輪嬉戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，而每輪嬉戲的結果相互獨立，設進行完3輪嬉戲時，得1分的次數(shù)為，所以，，即可求出X的期望；（2）①依據(jù)累計得分為i的概率為，分兩種情形探討得分狀況，從而得到遞推式，再依據(jù)構造法即可證出數(shù)列是等比數(shù)列；②依據(jù)①可求出，再依據(jù)累加法即可求出，然后由從而解出．【詳解】（1）由題意可知每輪嬉戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，設進行完3輪嬉戲時，得1分的次數(shù)為，所以，，而，即隨機變量X可能取值為3，4，5，6，，，，．∴X的分布列為：X3456PE（X）＝＝5．（2）①證明：n＝1，即累計得分為1分，是第1次擲骰子，向上點數(shù)不超過2點，，則，累計得分為i分的狀況有兩種：（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計得i﹣2分，又擲骰子點數(shù)超過2點，其概率為，（Ⅱ）累計得分為i﹣1分，又擲骰子點數(shù)沒超過2點，得1分，其概率為，∴，∴，（i＝2，3，???，19），∴數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列．②∵數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列，∴，∴，，???，，各式相加，得：，∴，（i＝1，2，???，19），∴活動參與者得到紀念品的概率為：．【點睛】本題第一問解題關鍵是明確得1分的次數(shù)為聽從二項分布，從而找到所求變量與的關系，列出分布列，求得期望；其次問①主要是遞推式的建立，分析推斷如何得到分的狀況，進而得到，利用數(shù)列學問即可證出，②借由①的結論，求出，分析可知，從而解出．21.已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）設函數(shù)在上的最大值和最小值分別為和，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆求導后得到，干脆寫出切線即可；（2）干脆求導確定單調性，端點作差確定最大值，得到不等式，結合單調性求解即可.【小問1詳解】若，，，因，，所以曲線在處的切線方程為.【小問2詳解】由題意知，則，因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.設，則當時，，所以當時，.則在上的最小值為，最大值為，所以，設，則當時，，單調遞增，由，可得，即的取值范圍是.22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，直線過原點且傾斜角為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.在平面直角坐標系中，曲線與曲線關于直線對稱.（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；（Ⅱ）若直線過原點且傾斜角為，設直線與