湖北省十堰市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

湖北省十堰市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題本試卷共4頁，22題，均為必考題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．★?？荚図槷?dāng)★留意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將考號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答在試題卷、草稿紙上無效．3．非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．答在試題卷、草稿紙上無效．4．考生必需保持答題卡的整齊．考試結(jié)束后，只交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（）A.99 B. C. D.111【答案】B【解析】【分析】由題知，進(jìn)而依據(jù)通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：由題知，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以．故選：B2.已知直線與直線，若，則（）A. B.2 C.2或 D.5【答案】A【解析】【分析】解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】解：若，則，所以或．當(dāng)時(shí)，重合，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意．故選：A3.如圖，在四面體中，E是的中點(diǎn)，，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，所以故選：B.4.在x，y軸上的截距分別為，3的直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直線方程，再依據(jù)幾何法得出弦長(zhǎng).【詳解】由題意可知直線l的方程為，即．因?yàn)閳AC的圓心為，半徑為4，所以圓心到直線l的距離，故直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為．故選：C5.某校進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)在固定的位置投籃，投中的概率分別，已知每個(gè)人投籃互不影響，若這三個(gè)同學(xué)各投籃一次，至少有一人投中的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對(duì)立事務(wù)和相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式計(jì)算可得答案.【詳解】由題意可知，解得．故選：D.6.過直線上一點(diǎn)P向圓作切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出圓C的半徑和圓心，由勾股定理可得，當(dāng)時(shí)最小，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】因?yàn)閳AC的半徑為，所以，當(dāng)時(shí)，最小，因?yàn)閳AC的圓心為，所以，所以的最小值為．故選：A.7.在歐幾里得生活的時(shí)期，人們就發(fā)覺了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另焦點(diǎn)我有一橢圓，從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射后經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義得，，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得，再求離心率即可.【詳解】解：由橢圓的定義得：，因?yàn)椋裕?，在中，由余弦定理得，所以，整理得，所以，．故選：D8.一小孩玩拋硬幣跳格子嬉戲，規(guī)則如下：拋一枚硬幣，若正面朝上，往前跳兩格，若反面朝上，往前跳一格．記跳到第格可能有種狀況，的前項(xiàng)和為，則（）A.56 B.68 C.87 D.95【答案】C【解析】【分析】依據(jù)嬉戲規(guī)則分別分析求出，然后相加即可.【詳解】記正面朝上為，反面朝上記為，則由題意得：當(dāng)跳到第1格時(shí)，只有，故只有1種狀況，所以；當(dāng)跳到第2格時(shí)，有，故有2種狀況，所以；當(dāng)跳到第3格時(shí)，有，故有3種狀況，所以；當(dāng)跳到第4格時(shí)，有，故有5種狀況，所以；當(dāng)跳到第5格時(shí)，有，故有8種狀況，所以；當(dāng)跳到第6格時(shí)，有，故有13種狀況，所以；由此規(guī)律得，所以當(dāng)跳到第7格時(shí)，，當(dāng)跳到第8格時(shí)，，所以，故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線，則（）A.C的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B.C的實(shí)軸長(zhǎng)為8C.C的焦距為 D.C的離心率為【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)雙曲線方程可得可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率為，焦距為，所以BD正確.故選；BD.10.連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，視察這兩次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．記事務(wù)A為“第一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3”，事務(wù)B為“其次次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5”，事務(wù)C為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為8”，事務(wù)D為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（）A.A與B相互獨(dú)立 B.A與D相互獨(dú)立C.B與C為互斥事務(wù) D.C與D為互斥事務(wù)【答案】ABD【解析】【分析】先求出,再利用公式推斷選項(xiàng)AB，利用概念推斷選項(xiàng)CD得解.【詳解】連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子的結(jié)果用有序數(shù)對(duì)表示，其中第一次在前，其次次在后，不同結(jié)果如下：．共36個(gè)．依題意，，事務(wù)C包括，共5個(gè)，，事務(wù)D包括，共6個(gè)，．對(duì)于選項(xiàng)A，事務(wù)只有結(jié)果，A與B相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，事務(wù)只有結(jié)果，A與D相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)?shù)谝淮蔚狞c(diǎn)數(shù)是3點(diǎn)，其次次是5點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生了，所以事務(wù)不是互斥事務(wù)，所以選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，事務(wù)不行能事務(wù)，即C與D是互斥事務(wù)，所以選項(xiàng)D正確．故選：ABD11.如圖，平行六面體的體積為，，，，且，M，N，P分別為的中點(diǎn)，則（）A.與夾角的余弦值為B.平面C.D.P到平面的距離為【答案】AD【解析】【分析】先求出底面積，再依據(jù)棱柱的體積求出高，依題意可得在底面的投影在上，設(shè)出投影O，證明投影O為的中點(diǎn)，即可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以四邊形的面積為．因?yàn)槠叫辛骟w的體積為，所以平行六面體的高為．因?yàn)?，所以在底面的投影在上．設(shè)在底面的投影為O，則，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以O(shè)為的中點(diǎn)．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．則，，，，，，，．因?yàn)?，所以與夾角的余弦值為，故A正確．設(shè)平面的法向量為，則，令，則．因?yàn)?，所以與平面不平行，故B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．因?yàn)?，所以P到平面的距離為，故D正確．綜上所述：選項(xiàng)AD正確，故選：AD.12.若直線l與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且l與C的對(duì)稱軸不平行，則稱直線l與拋物線C相切，公共點(diǎn)P稱為切點(diǎn)，且拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為．已知拋物線上有兩點(diǎn)．過點(diǎn)A，B分別作拋物線C的兩條切線，直線交于點(diǎn)，過拋物線C上異于A，B的一點(diǎn)的切線分別與交于點(diǎn)M，N，則（）A.直線的方程為 B.點(diǎn)A，Q，B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)已知得，結(jié)合拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，可推斷A,B選項(xiàng)；依據(jù)直線方程與拋物線方程，列方程組，解出坐標(biāo)，依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可推斷C,D選項(xiàng)；【詳解】解：已知拋物線，則，拋物線上兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作拋物線C的兩條切線，直線交于點(diǎn)，則，則由題意可知：，對(duì)于A，聯(lián)立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線方程為，符合，當(dāng)，直線的斜率，所以直線的方程為：，因?yàn)樵谥本€上，所以，所以直線的方程為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，則或，由A得，則或，點(diǎn)A，Q，B的橫坐標(biāo)不成等差數(shù)列，故B不正確；對(duì)于C，由A，B可得，即，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，所以，聯(lián)立，同理可得所以，，，所以，故C正確；對(duì)于D，由C得，，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.甲、乙兩人約定進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，實(shí)行三局兩勝制（在三局競(jìng)賽中，優(yōu)先取得兩局成功的一方獲勝，無平局），乙每局競(jìng)賽獲勝的概率都為，則最終甲獲勝的概率是______________．【答案】【解析】【分析】推斷甲獲勝的狀況為前兩局勝或第一局勝其次局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州斊浯尉謩俚谌謩?，依?jù)互斥事務(wù)的概率加法公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)槠古仪蚋?jìng)賽的規(guī)則是三局兩勝制（無平局），由題意知甲每局競(jìng)賽獲勝的概率都為，因此甲獲勝的狀況為前兩局勝或第一局勝其次局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州斊浯尉謩俚谌謩伲宰罱K甲獲勝的概率,故答案為：14.已知兩圓與外離，則整數(shù)m的一個(gè)取值可以是_____________．【答案】（答案不唯一，只需從中寫一個(gè)答案即可）【解析】【分析】求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，得到圓心距，利用位置關(guān)系列不等式即可【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，圓的圓心為，所以兩圓圓心的距離為．因?yàn)閳A的半徑為，圓的半徑為，所以，所以，故整數(shù)m的取值可能是．故答案為：（答案不唯一，只需從中寫一個(gè)答案即可）15.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就．如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則___________．【答案】5050【解析】【分析】由結(jié)合累加法得出，再由求和公式得出.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的遞推公式為，所以，所以，故．故答案為：16.如圖所示，在幾何體中，，平面，則點(diǎn)E到直線的距離為_________、直線與平面所成角的正弦值為_______________．【答案】①.②.【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】以A為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．．因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)E到直線的距離為．記平面法向量為，則令，得．因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)求解即可；（2）由題知，進(jìn)而依據(jù)裂項(xiàng)求和法求解即可.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)橐矟M意，所以通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】解：由（1）得，所以，所以．18.某兩個(gè)班的100名學(xué)生期中考試語文成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)間是．（1）求語文成果在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)．（2）假如將頻率視為概率，依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)語文成果不低于112分的概率．（3）若語文成果在內(nèi)的學(xué)生中有2名女生，其余為男生．現(xiàn)從語文成果在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人背誦課文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）5（2）0.21（3）．【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中，頻率和為求出，即可求出語文成果在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；（2）干脆利用頻率分布直方圖求概率；（3）利用古典概型的概率公式干脆求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，知，解得，語文成果在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為．【小問2詳解】由頻率分布直方圖，知語文成果不低于112分的概率．【小問3詳解】由頻率分布直方圖，知語文成果在內(nèi)的學(xué)生有人，其中女生2名，男生3名，分別記2名女生為A，B，3名男生為a，b，c.樣本空間為，其中抽到1名男生和1名女生的狀況有，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率為．19.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若平面上有兩個(gè)點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)且滿意，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得圓的方程.（2）依據(jù)已知條件求得滿意的方程聯(lián)馬上可求得的坐標(biāo).【小問1詳解】∵圓心在直線上，設(shè)圓心，已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，則由，得解得，所以圓心為，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，∵在圓上，∴，又，，由可得：，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立解得或.20.如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面．（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取AD的中點(diǎn)G，連接PG、BG、BD，由線線垂直證平面PGB，即可依次證，，平面DEF，平面平面（2）于G，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由向量法求二面角即可.【小問1詳解】證明：取AD的中點(diǎn)G，連接PG、BG、BD，由E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)得，由是邊長(zhǎng)為2的菱形，且得、為正三角形，∴，，，∴，，由得，又平面PGB，∴平面PGB，∵平面PGB，∴，∴，∵平面DEF，∴平面DEF，∵平面PAD，∴平面平面.【小問2詳解】作于G，交于H，∵平面PGB，則可建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.在中，，由余弦定理得，∴，，∴.故，設(shè)平面、平面的法向量分別為，則有，令，則有，故二面角的余弦值，由圖可知，二面角所成平面角為鈍角，∴二面角的大小為.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，M在C上，垂直于x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）過的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，試推斷x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得．若存在，求出T點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由，結(jié)合，得出橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合求解即可.【小問1詳解】由題意可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，得．因，所以．因?yàn)?，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】假設(shè)x軸上存在點(diǎn)，使得，則．設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去x整理得，則，，即．由，解得，故存在，使得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二時(shí)，關(guān)鍵在于將轉(zhuǎn)化為，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解.22.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)D為雙曲線C的右頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，且于點(diǎn)G，證明：存在定點(diǎn)H，使為定值．【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）