結(jié)構(gòu)力學（下） 課件 17 結(jié)構(gòu)的極限荷載

17結(jié)構(gòu)的極限荷載1§17.1極限荷載的概述此前主要討論結(jié)構(gòu)的彈性分析：假定應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的；荷載卸去后，結(jié)構(gòu)無任何殘余變形；應(yīng)力達到材料的極限應(yīng)力即認為結(jié)構(gòu)將破壞；正常使用條件下彈性計算能給出足夠準確的結(jié)果；以彈性極限作為設(shè)計依據(jù)的設(shè)計方法稱彈性設(shè)計法。2彈性設(shè)計法有一定的缺陷：對塑性材料的結(jié)構(gòu)，特別是超靜定結(jié)構(gòu)，當最大應(yīng)力達到屈服極限時，甚至某些截面進入屈服時，并沒有耗盡全部承載能力；以個別截面的局部應(yīng)力來衡量整個結(jié)構(gòu)的承載能力不經(jīng)濟合理；安全系數(shù)k也不能反映整個結(jié)構(gòu)的強度儲備。3為彌補彈性設(shè)計法的不足，進一步挖掘結(jié)構(gòu)的承載能力，給達到彈性極限的結(jié)構(gòu)繼續(xù)施加同樣形式的荷載，直至結(jié)構(gòu)破壞。結(jié)構(gòu)所能夠承擔的最大荷載叫作極限荷載；結(jié)構(gòu)即將達到破壞時的狀態(tài)稱作極限狀態(tài)；按極限狀態(tài)進行結(jié)構(gòu)設(shè)計的方法稱塑性設(shè)計法。結(jié)構(gòu)的塑性分析彈性設(shè)計時的強度條件：塑性設(shè)計時的荷載條件：4理想彈塑性材料假設(shè)：OACBD在OA段線性，滿足在C點卸載，滿足在AB段應(yīng)力達到屈服，材料進入塑性流動；加載時是彈塑性，卸載時是彈性。經(jīng)歷塑性變形后，應(yīng)力～應(yīng)變關(guān)系不再是單值關(guān)系5滿足理想彈塑性的梁段，在純彎曲狀態(tài)下分析σ中性軸§17.2基本概念

ε中性軸6隨著彎矩的增大，梁會經(jīng)歷一個由彈性階段到彈塑性階段最后達到塑性流動階段的過程當截面達到彈性極限狀態(tài)外力偶繼續(xù)增大以后，截面上的應(yīng)變分布仍與截面高度呈線性關(guān)系，即平截面假定仍然適用。但截面上的應(yīng)力分布不再與截面高度保持線性關(guān)系。7彈性階段結(jié)束的標志是最外纖維某處應(yīng)力達到屈服極限應(yīng)力σs

，此時的彎矩稱屈服彎矩

Ms。W彈性抗彎截面系數(shù)彈塑性階段截面上既有塑性區(qū)又有彈性區(qū)（彈性核

y0）。隨彎矩增大，彈性核逐漸減小。yy0y8塑性流動階段

彈性核趨于零時，整個截面都屈服，此時截面所能承受的最大彎矩稱極限彎矩Mu

：中性軸等分截面面積Wu塑性抗彎截面系數(shù)9截面形狀系數(shù)矩形

=1.5

圓形

1.7

工字形

1.15

極限彎矩Mu只與材料的物理性質(zhì)和截面幾何形狀、尺寸有關(guān),與外力無關(guān)何種截面強度儲備較多？10塑性流動階段一個重要現(xiàn)象：在極限彎矩保持不變的情況下，兩個無限靠近的相鄰截面可產(chǎn)生有限的相對轉(zhuǎn)角（類似帶鉸的截面）稱此截面為塑性鉸。塑性鉸特性：塑性鉸與普通鉸的差別：

1.塑性鉸可承受極限彎矩～普通鉸不承擔彎矩;

2.塑性鉸是單向的～普通鉸是多向鉸;

3.塑性鉸卸載時消失～普通鉸與荷載無關(guān);

4.塑性鉸隨荷載分布可出現(xiàn)于不同截面～普通鉸位置固定.塑性鉸只能沿極限彎矩方向發(fā)生有限轉(zhuǎn)角；截面彎矩一旦小于極限彎矩(卸載)，塑性鉸即消失。11對只有一個對稱軸的截面：

形心軸等面積軸在彈性階段，應(yīng)力直線分布，中性軸通過截面形心；彈性極限和塑性極限之間的彈塑性階段，中性軸界于截面的形心軸和等面積軸之間。

中性軸在彈塑性階段，隨彎矩增大中性軸的位置發(fā)生變化；在塑性流動階段，中性軸平分截面面積。12例題：已知材料的屈服極限σs

=240MPa，求圖示截面的極限彎矩。100mm20mm解:A1形心距離下端0.045m,A2形心距離上端0.01167m,A1與A2的形心距離為0.0633m.13歷程：加載初期→彈性極限荷載→塑性區(qū)擴大→形成塑性鉸（機構(gòu)）→極限荷載

§17.3靜定梁的極限荷載

出現(xiàn)一個塑性鉸即成為破壞機構(gòu)。這時結(jié)構(gòu)上的荷載即為極限荷載FPu。塑性鉸出現(xiàn)的位置？如何確定極限荷載？FPl/2l/2ABC（取截面彎矩與極限彎矩之比大者）（截面彎矩等于極限彎矩，平衡條件）14FPl/2l/2ABC也可通過建立極限狀態(tài)的虛功方程求出極限荷載。由虛功方程FPu當把截面C的極限彎矩考慮成內(nèi)力矩時：平衡狀態(tài)虛位移狀態(tài)15FPl/2l/2ABC也可通過建立極限狀態(tài)的虛功方程求出極限荷載。由虛功方程FPu當把截面C的極限彎矩考慮成外力矩時：平衡狀態(tài)虛位移狀態(tài)16超靜定梁的破壞過程和極限荷載的特點靜定梁只要出現(xiàn)一個塑性鉸就變?yōu)闄C構(gòu)而喪失繼續(xù)承載能力；超靜定梁由于有多余約束，必須出現(xiàn)足夠多的塑性鉸才能使其變成機構(gòu)而喪失繼續(xù)承載能力?！?7.4單跨超靜定梁的極限荷載

17彈塑性階段，隨荷載增加，A截面塑性區(qū)不斷增大，彎矩圖的變化不再與彈性彎矩圖成比例，A截面逐漸形成塑性鉸。FPl/2l/2ABCFP<FPsABCFPs

<

FP<

FPuABCFP=

FPuABC此時結(jié)構(gòu)尚有進一步承載能力。隨荷載增加，A截面彎矩不再增加。荷載增量引起的彎矩增量分布類似于簡支粱的彎矩圖。C截面彎矩逐漸增大，當C截面彎矩增大到極限彎矩時，形成第二個塑性鉸，結(jié)構(gòu)變成機構(gòu)，梁的承載能力達到極限。18A截面先出現(xiàn)塑性鉸，這時再增加荷載使C截面出現(xiàn)塑性鉸將FP代入，得逐漸加載法（增量法）19根據(jù)極限狀態(tài)的彎矩圖，由靜力平衡方程推算極限荷載，而不必考慮梁的彈塑性變形的發(fā)展過程.破壞機構(gòu)法FP=

FPuAB極限平衡法FP=

FPuABC20例題：試求圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載qu

解：qABABq①首先求當出現(xiàn)第一個塑性鉸時支座B的約束反力FRB由梁的彎矩圖可知：第一個塑性鉸必出現(xiàn)在固定支座處；21第二個塑性鉸位置待定，由彎矩圖知道，應(yīng)在梁中某處，設(shè)距支座A為x

處。梁x處的彎矩應(yīng)最大,達到極限彎矩，對應(yīng)剪力為零。②③qAB①22由①③解得⑥④⑤由②③④解得由④⑥解得不合題意，舍棄23超靜定結(jié)構(gòu)極限荷載計算特點：③極限荷載的計算不受溫度變化、支座移動等因素的影響。它們只影響位移演變過程。①

無需考慮結(jié)構(gòu)彈塑性變形的發(fā)展過程，只需考慮最后的破壞機構(gòu)；②

無需考慮變形協(xié)調(diào)，只需考慮靜力平衡條件；24例題：求變截面梁的極限荷載可能出現(xiàn)塑性鉸的位置（A、B、C）。即塑性鉸可能出現(xiàn)的位置除彎矩較大點外，還與截面突變位置及極限彎矩的比值η有關(guān)。ABCFPl/3l/3l/3D解：首先繪制彎矩圖25破壞機構(gòu)實現(xiàn)的條件：（1）B、C點出現(xiàn)塑性鉸則：FPMuMuMuMuABCDABCFPD26破壞機構(gòu)實現(xiàn)的條件：（2）A、C點出現(xiàn)塑性鉸則：（3）A、B、C點出現(xiàn)塑性鉸則：FPABCDABCFPD27由上述分析可見:當η≥3時，塑性鉸出現(xiàn)在B、C截面；當1≤η<3時，塑性鉸出現(xiàn)在A、C截面；預(yù)計當η≤

1時，塑性鉸出現(xiàn)在A、B截面。28例題：求圖示變截面梁的極限荷載(η=2)

解：確定塑性鉸的位置：ABCFPl/3l/3l/3D由于η=2，根據(jù)前面的討論，塑性鉸只能在A、C截面出現(xiàn)。列虛功方程ABCFPDABCD當η

＝1時，將如何？

η＝1/2時又當如何？29比例加載的含義：求極限荷載相當于求比例參數(shù)P的極限值FP1FP3q2§5比例加載一般定理1.所有荷載變化時保持同一比例；2.只是單調(diào)增大,不出現(xiàn)卸載過程。30結(jié)構(gòu)的極限受力狀態(tài)應(yīng)滿足的條件：兩個定義：1.可破壞荷載，由單向機構(gòu)求得的荷載;

2.可接受荷載，內(nèi)力皆不超過極限彎矩的荷載.

所以滿足1，3條件；滿足1，2條件。

極限荷載既是可破壞荷載又是可接受荷載⒈平衡條件：整體、局部皆平衡；⒉內(nèi)力局限：各截面彎矩不大于其極限彎矩；⒊單向機構(gòu)：機構(gòu)沿荷載方向做單向運動。31基本定理：

唯一定理(單值定理)：

FPu

是唯一的

上限定理(極小定理)：

下限定理(極大定理)：

比例加載時關(guān)于極限荷載的四個定理：可破壞荷載：不一定滿足內(nèi)力局限條件可接受荷載：不一定滿足機構(gòu)條件32利用上、下限定理，一方面可以得出極限荷載的近似解，并給出精確解的范圍；另一方面可用來求極限荷載的精確解。

窮舉法：完備地列出可能的破壞機構(gòu)，用平衡條件求出各破壞荷載，利用上限定理取其最小者即極限荷載。試算法：每次選擇一種破壞機構(gòu)，并驗算相應(yīng)的可破壞荷載是否同時也是可接受荷載，如果是，根據(jù)唯一性定理，它即極限荷載。33例題：求圖示等截面梁的極限荷載。解：用窮舉法求解共有三種可能的破壞機構(gòu)FPl/3l/3l/3FPFPFPFPFPFPFP34令解：用上限定理（極小定理）計算例題：求圖示等截面梁的極限荷載。AB

平衡狀態(tài)虛位移狀態(tài)35連續(xù)梁的極限荷載連續(xù)梁破壞機構(gòu)的形式：假定連續(xù)梁在每跨內(nèi)為等截面(各跨之間截面可以不同)；荷載方向相同；比例加載。這樣的連續(xù)梁只可能在各跨獨立形成單梁破壞機構(gòu)，而不能由相鄰幾跨形成一個聯(lián)合破壞機構(gòu)。彈性狀態(tài)彎矩圖FP1FP2FP3假設(shè)截面極限正彎矩與截面極限負彎矩數(shù)值相等；忽略軸力和剪力的影響。36可能的各種破壞機構(gòu)FP1FP2FP3FP1FP2FP3FP1FP2FP3關(guān)于連續(xù)梁極限荷載對應(yīng)單跨破壞機構(gòu)的解釋37顯然由于它們都不滿足極限條件（塑性鉸沿極限彎矩方向產(chǎn)生）FP1FP2FP3FP1FP2FP3不可能的各種破壞機構(gòu)關(guān)于連續(xù)梁極限荷載對應(yīng)單跨破壞機構(gòu)的解釋38例題：求圖示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別是等截面的，AB、BC跨的極限彎矩為Mu，CD跨的極限彎矩為3Mu

。解：先分別求出各跨獨自破壞時的可破壞荷載.（1）AB跨破壞時（2）BC跨破壞時（3）CD跨破壞時有三種情況：0.8FPFPll2llllFPFP/lABCD39首先確定可能破壞機構(gòu)，然后利用虛功原理求最小可破壞荷載。剛架的超靜定次數(shù)n，可能出現(xiàn)的塑性鉸個數(shù)h(出現(xiàn)一個塑性鉸相當減少一個約束或增加一個運動自由度),則剛架可能有的基本機構(gòu)數(shù)為

m=h-n2FPFP2FPFP剛架的極限荷載m=h–n＝5－3＝2即兩個基本機構(gòu)40設(shè)想剛架上所有的塑性鉸同時出現(xiàn)，則剛架變成一個自由度數(shù)為(h-n)的機構(gòu)體系，它的可能位移形式由(h-n)個參變數(shù)決定,而與每個獨立參變數(shù)對應(yīng)的運動形式就是該體系的一種基本機構(gòu)。梁破壞機構(gòu)2FPFP2FPFP柱破壞機構(gòu)2FPFP組合破壞機構(gòu)原剛架的各種可能的破壞機構(gòu)都可由(h-n)個基本機構(gòu)線性組合而成。組合過程中轉(zhuǎn)角相反的塑性鉸閉合。41增量變剛度法以矩陣位移法為基礎(chǔ)?；炯僭O(shè)

1塑性鉸只在一個截面產(chǎn)生，其余部分仍為彈性；

2荷載按比例增加，且為結(jié)點荷載；

3各桿的極限彎矩可以不同，但每桿沿桿長極限彎矩為常數(shù)；

4忽略剪力和軸力對極限彎矩的影響?！?增量變剛度法基本思路：將原非線性問題轉(zhuǎn)化為分段線性問題42彈性階段，確定第一個塑性鉸出現(xiàn)的位置和荷載值。

對原結(jié)構(gòu)，加單位力FPl/2l/2ABCABC取最小非零值為第一塑性鉸出現(xiàn)的荷載值43此時梁結(jié)點彎矩

一鉸階段，確定下一個塑性鉸出現(xiàn)的位置和荷載增量值。對修改后的結(jié)構(gòu)，加單位力AB