13.4最短路徑問題（解析版）

八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第十三章軸對(duì)稱》13.3等腰三角形13.3.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)最短路徑問題★★兩點(diǎn)一線型類型問題作法圖例原理兩點(diǎn)一線型點(diǎn)在直線異側(cè)在直線l上求一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.連接AB，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.PA+PB的最小值為線段AB的長(zhǎng).兩點(diǎn)之間，線段最短.點(diǎn)在直線同側(cè)(將軍飲馬問題)在直線l上求一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.PA+PB的最小值為線段AB'的長(zhǎng).兩點(diǎn)之間，線段最短.★★兩線一點(diǎn)型類型問題作法圖例原理兩線一點(diǎn)型在直線l?,l?上分別求點(diǎn)M,N,使△PMN的周長(zhǎng)最小.分別作點(diǎn)P關(guān)于直線l?,l?的對(duì)稱點(diǎn)P'和P",連接P'P",與l?,l?的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,N.PM+MN+PN的最小值為線段P'P"的長(zhǎng).兩點(diǎn)之間，線段最短.★★兩線兩點(diǎn)型類型問題作法圖例原理兩線兩點(diǎn)型在直線l?,l?上分別求點(diǎn)M,N,使四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小.作點(diǎn)Q關(guān)于直線l?,的對(duì)稱點(diǎn)Q',作點(diǎn)P關(guān)于直線l?的對(duì)稱點(diǎn)P',連接Q'P',與l?,l?的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,N.MQ+QP+PN+MN的最小值為P'Q'+QP的值.兩點(diǎn)之間，線段最短.★★造橋選址問題類型問題作法圖例原理造橋選址問題已知兩點(diǎn)A,B,直線m∥n,在直線m，n上分別取點(diǎn)M,N,使MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小.將點(diǎn)A向下平移至點(diǎn)A',使AA'的長(zhǎng)等于直線m,n之間的距離，連接A'B,交直線n于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作MN⊥m,交直線m于點(diǎn)M,連接AM.AM+MN+BN的最小值為A'B+MN的值.兩點(diǎn)之間，線段最短.題型一利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題---兩點(diǎn)一線題型一利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題---兩點(diǎn)一線【例題1】（2023春?鹽湖區(qū)期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）A． B． C． D．【分析】本題利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．【解答】解：如圖：作點(diǎn)A關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交街道所在直線于點(diǎn)C，∴A′C＝AC，∴AC+BC＝A′B，在街道上任取除點(diǎn)C以外的一點(diǎn)C′，連接A′C′，BC′，AC′，∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，在△A′C′B中，兩邊之和大于第三邊，∴A′C′+BC′＞A′B，∴AC′+BC′＞AC+BC，∴點(diǎn)C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。蔬x：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€的問題，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題．會(huì)作對(duì)稱點(diǎn)是解此類問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用．另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會(huì)有變式：請(qǐng)你找出點(diǎn)C的位置．【變式1-1】如圖，A、B兩村和一條小河，要在河邊L建一水廠Q向兩村供水，若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址Q應(yīng)選在哪個(gè)位置？請(qǐng)將上述情況下的自來水廠廠址標(biāo)出，并保留作圖痕跡．【分析】作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線l于點(diǎn)Q，AQ+QB使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，點(diǎn)Q為所求的點(diǎn)．【解答】解：如圖所示：做出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線l于點(diǎn)Q，此時(shí)AQ+QB最短，則Q為所求的點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃叹€路問題，作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握對(duì)稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春?阜新期中）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，則△APC周長(zhǎng)的最小值是（）A．9 B．10 C．10.5 D．11【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得BP＝PC，所以△APC周長(zhǎng)＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9．【解答】解：∵直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，∴BP＝PC∴△APC周長(zhǎng)＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP∵兩點(diǎn)之間線段最短∴AP+BP≥AB∴△APC的周長(zhǎng)＝AC+AP+BP≥AC+AB∵AC＝4，AB＝5∴△APC周長(zhǎng)最小為AC+AB＝9故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短．做本題的關(guān)鍵是能得出AP+BP≥AB，做此類題的關(guān)鍵在于能根據(jù)題設(shè)中的已知條件，聯(lián)系相關(guān)定理得出結(jié)論，再根據(jù)結(jié)論進(jìn)行推論．【變式1-3】（2022秋?德州期末）如圖：等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC?AD=12×∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長(zhǎng)最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝6故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023春?鹽田區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是BC，AC邊的中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，若AD＝8，則PC+PE的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】連接PB，BE，由等邊三角形的對(duì)稱性可知PB＝PC，有將軍飲馬模型知PC+PE的最小值為BE的長(zhǎng)，由等邊三角形的性質(zhì)知BE＝AD，從而得出PC+PE的最小值．【解答】解：連接PB，BE，∵△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD所在直線是△ABC的對(duì)稱軸，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE≥BE，∴PC+PE的最小值為BE的長(zhǎng)，∵D，E分別是等邊三角形ABC的BC，AC邊的中點(diǎn)，∴BE＝AD＝8，∴PC+PE的最小值是8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，等邊三角形的性質(zhì)，用一條線段表示出兩線段的和是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022秋?宜春期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，若AE＝3，（1）求BC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PA+PC的最小值為．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關(guān)系即可求出BC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為BC的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B=∠C=1∵AB邊的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，∴BE＝AE＝3，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CAE中，∠C＝30°，∴CE＝2AE＝6，∴BC＝BE+CE＝3+6＝9；（2）如圖，取點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)B，∵PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的軸對(duì)稱，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：垂直平分線的性質(zhì)、將軍飲馬等，軸對(duì)稱性質(zhì)的充分利用是解題關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?路北區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（1）若∠ABC＝65°，則∠NMA的度數(shù)是度；（2）若AB＝9cm，△MBC的周長(zhǎng)是16cm，①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△PBC周長(zhǎng)的最小值．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等得AM＝BM，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AM＝BM，△MBC的周長(zhǎng)是18cm．AC＝AB＝9cm，即可求BC的長(zhǎng)度；②依據(jù)PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC＝AC，此時(shí)PB+PC最小，進(jìn)而得出△PBC的周長(zhǎng)最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，∴∠A＝50°，∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴∠A＝∠ABM＝50°，∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，∴∠NMA=1故答案為：40°；（2）①∵AB＝AC＝9cm，△MBC的周長(zhǎng)是16cm，即BM+MC+BC＝16cm，∵AM＝BM，∴AM+MC+BC＝16cm，∴AC+BC＝16cm，∴BC＝7cm．∴BC的長(zhǎng)度為7cm．②當(dāng)P與M重合時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小．理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC＝AC，此時(shí)PB+PC最小值等于AC的長(zhǎng)，∴△PBC的周長(zhǎng)最小值＝AC+BC＝9+7＝16（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．題型二利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題---兩線一點(diǎn)題型二利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題---兩線一點(diǎn)【例題2】為了保證春節(jié)期間的安全出行，某交警執(zhí)勤小隊(duì)需要在如圖所示的OM和ON兩條公路設(shè)卡檢查，計(jì)劃是先從A地到公路OM上設(shè)卡檢查，然后再去公路ON上設(shè)卡檢查，最后回到A地，請(qǐng)你為執(zhí)勤小隊(duì)規(guī)劃路線，使得所走路程最短．【分析】作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″交OM于點(diǎn)E，交ON于點(diǎn)F，連接AE，AF，線路A→E→F→A最短．【解答】解：如圖，最短的線路為A→E→F→A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱最短問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．【變式2-1】如圖所示，P為△BOA內(nèi)任一點(diǎn)，在OB上找一點(diǎn)M，在OA上找一點(diǎn)N，使得△PMN的周長(zhǎng)最短．【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P''、P'，連接P'P''，分別交OA、OB于點(diǎn)N、M，即M、N為所求．此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最短．【解答】解：如圖．作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P''、P'，連接P'P''，分別交OA、OB于點(diǎn)N、M，即M、N為所求．此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)為PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，即最小值為P'P''的長(zhǎng)度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握兩點(diǎn)間線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?大連期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)D是它內(nèi)部一點(diǎn)，OD＝m．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為（）A．0.5m B．m C．1.5m D．2m【分析】作D點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)G，作D點(diǎn)關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AO于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F，連接GO，OH，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，最小值為GH，證明△GOH是等邊三角形，即可求解．【解答】解：作D點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)G，作D點(diǎn)關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AO于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F，連接GO，OH，由對(duì)稱性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，最小值為GH，∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，∴∠GOH＝2∠AOC，∵∠AOC＝30°，∴∠GOH＝60°，∴△GOH是等邊三角形，∴GH＝OD，∵DO＝m，∴△DEF周長(zhǎng)的最小值為m，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP為∠ACB的平分線，且CP＝6，點(diǎn)M、N分別是邊AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（）A．4 B．6 C．63 D．10【分析】作點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交AC于M，交BC于N，連接CE、CF．此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最?。窘獯稹拷猓鹤鼽c(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交AC于M，交BC于N，連接CE、CF．此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最?。蓪?duì)稱的性質(zhì)可知，∠ACP＝∠ACE，∠PCB＝∠BCF，CP＝CE＝CF＝6，∵∠ACB＝30°，∴∠ECF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴EF＝CE＝6，∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF＝6，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．【變式2-4】（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在銳角△ABC中，∠C＝40°；點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．80°【分析】分別作P關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，D，連接DE，交AC于M，交BC于N，此時(shí)△MNP的周長(zhǎng)最小，由條件求出∠DPE的度數(shù)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，從而求出∠MPN的度數(shù)．【解答】解：分別作P關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，D，連接DE，交AC于M，交BC于N，此時(shí)△MNP的周長(zhǎng)最小，∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，∵PM＝DM，NP＝NE，∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是分別作P關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，D，連接DE，交AC于M，交BC于N，找到周長(zhǎng)最小的△PMN．【變式2-5】（2023春?敘州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠MAN的度數(shù)為（）A．12a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a(chǎn)【分析】延長(zhǎng)AB到A′使得BA′＝AB，延長(zhǎng)AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N，此時(shí)△AMN周長(zhǎng)最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），進(jìn)而得出∠MAN的度數(shù)．【解答】解：延長(zhǎng)AB到A′使得BA′＝AB，延長(zhǎng)AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關(guān)于BC對(duì)稱，A、A″關(guān)于CD對(duì)稱，此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用對(duì)稱作輔助線是解決最短的關(guān)鍵．題型三利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題---兩線兩點(diǎn)題型三利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題---兩線兩點(diǎn)【例題3】（2022秋?臨洮縣期中）如圖，AB是∠MON內(nèi)部的一條線段，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)C，D組成四邊形ABDC，如何取點(diǎn)才能使該四邊形的周長(zhǎng)最小？【分析】作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交OM于C，交ON于D，連接AC，CD，BD，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到四邊形ABCD即為所求．【解答】解：作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交OM于C，交ON于D，連接AC，CD，BD，則四邊形ABCD即為所求．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了軸對(duì)稱﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，兩點(diǎn)之間的距離，線段最短．作出A關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)將四邊形周長(zhǎng)最小值問題轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度問題是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖，為了做好2013年沈陽全運(yùn)會(huì)起降的交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊(duì)從A處出發(fā)，先到公路l1上設(shè)卡檢查，再到公路l2上設(shè)卡檢查，最后再到B地執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，作A關(guān)于公路l1的對(duì)稱點(diǎn)A′，作B關(guān)于公路l2的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′與公路l1、l2分別相交于點(diǎn)C、D，然后沿A→C→D→B走才能使總路程最短．【解答】解：如圖所示，交警小隊(duì)沿A→C→D→B走才能使總路程最短．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，此類問題的求解方法比較單一，需熟記．【變式3-2】城北中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短．【分析】作點(diǎn)C關(guān)于直線AO的對(duì)稱點(diǎn)C′，點(diǎn)D關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接C′D′交AO于M，交OB于N，則路線CM→MN→ND即為所求．【解答】解：如圖所示，小明所走的行走路線為：CM→MN→ND，所走的總路程最短．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．解題的關(guān)鍵是利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)求解．題型四利用平移解決最短路徑問題題型四利用平移解決最短路徑問題【例題4】如圖，平行河岸兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條公路連接P，Q兩鎮(zhèn)．已知相同長(zhǎng)度造橋總價(jià)遠(yuǎn)大于陸上公路造價(jià)，為了盡量減少總造價(jià)，應(yīng)該選擇方案（）A． B． C． D．【分析】雖然P，Q兩點(diǎn)在河兩側(cè)，但連接P，Q的線段不垂直于河岸．關(guān)鍵在于使PM+NQ最短，但PM與QN未連起來，要用線段公理就要想辦法使M與N重合起來，利用平行四邊形的特征可以實(shí)現(xiàn)這一目的．【解答】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會(huì)學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法．【變式4-1】（2022秋?潛江期末）如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊Q的路程最短，應(yīng)該選擇路線（）A．路線：PF→FQ B．路線：PE→EQ C．路線：PE→EF→FQ D．路線：PE→EF→FQ【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，使FEPP′為平行四邊形即可，即PP′垂直河岸且等于河寬，接連P′Q即可．【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河寬，連接QP′，與另一條河岸相交于F，作FE⊥直線l1于點(diǎn)E，則EF∥PP′且EF＝PP′，于是四邊形FEPP′為平行四邊形，故P′F＝PE，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【變式4-2】如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由．【分析】先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D，即可得出答案．【解答】解：如圖，先確定AA′與河等寬，且AA′⊥河岸，連接BA′，與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D，CD就是所求的橋的位置．理由：由作圖過程可知，四邊形ADCA′為平行四邊形，AD平移至A′C即可得到線段A′B，兩點(diǎn)之間，線段最短，由于河寬不變，CD即為橋．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣平移變換以及利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．題型五利用軸對(duì)稱與垂線段的有關(guān)知識(shí)解決最值問題題型五利用軸對(duì)稱與垂線段的有關(guān)知識(shí)解決最值問題【例題5】（2023?明水縣模擬）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BM+MN取得最小值時(shí)，AN＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，過E點(diǎn)作EN⊥AB交AB于點(diǎn)N，交AD于CM于點(diǎn)M，連結(jié)BM，此時(shí)BM+MN的值最小，在Rt△ABE中，求出AN即可．【解答】解：作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，過E點(diǎn)作EN⊥AB交AB于點(diǎn)N，交AD于CM于點(diǎn)M，連結(jié)BM，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴E點(diǎn)在AC上，∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此時(shí)BM+MN的值最小，由對(duì)稱性可知，AE＝AB，∵AB＝4，∴AE＝4，在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，∴∠AEN＝30°，∴AN＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋?無為市期末）如圖，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD＝4，E，P分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CP+EP的最小值等于（）A．4 B．6 C．8 D．9【分析】過點(diǎn)B作BM⊥AC于M，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)推出BP＝CP，根據(jù)垂線段最短得，CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，再通過等面積法即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AC于M，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點(diǎn)B、C關(guān)于AD對(duì)稱，∴BP＝CP，根據(jù)垂線段最短得，CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∵S△ABC=∴BM＝AD＝4，即CP+EP的最小值等于4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正確作出輔助線，將CP+EP的最小值轉(zhuǎn)化為求BM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春?市中區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ＝PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理求出AB，再運(yùn)用S△ABC=12AB?CM=12AC?BC，得出CM的值，即【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ＝PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∵S△ABC=12AB?CM=12∴CM=AC?BC即PC+PQ的最小值為245故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置．【變式5-3】（2023春?和平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時(shí)，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【分析】過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，可證得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形兩銳角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，如圖，此時(shí)BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱最值問題，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱最值問題作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式5-4】（2023?城廂區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，點(diǎn)M在等邊△ABC的邊BC上，BM＝8，射線CD⊥BC垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MP+NP的值最小時(shí)，BN＝9，則AC的長(zhǎng)為（）A．13 B．15 C．16 D．17【分析】作點(diǎn)M關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥AB于點(diǎn)N，GN交CD于點(diǎn)P，由垂線段最短可知MP+NP的最小值為GP+NP＝NG，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥AB于點(diǎn)N，GN交CD于點(diǎn)P，∴MP＝GP，∵GN⊥AB，∴MP+NP＝GP+NP，由垂線段最短可知，MP+NP的最小值為NG，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∵GN⊥AB，∴∠BNC＝90°，∴∠G＝30°，∵BN＝9，∴BG＝2BN＝18，∴MG＝BG﹣BM＝10，∴MC=12∴BC＝BM+MC＝13＝AC．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線l的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．題型六與最短路徑有關(guān)的綜合問題題型六與最短路徑有關(guān)的綜合問題【例題6】（2022秋?安順期末）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)直接寫出BP+EP的最小值．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．（2）利用面積法即可解決問題．（3）連接PC，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵AD是BC邊上的中線，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝37°，∴∠ABC＝53°，∴∠ACB＝53°．（2）∵CE⊥AB，∴12?BC?AD=12?AB∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，∴CE=24（3）連接PC．∵AD垂直平分線段BC，∴PB＝PC．∴PB+PE＝PE+PC≥CE，∴PE+PB的最小值為245【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}，等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．【變式6-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，M是直線EF上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)MD⊥BC時(shí)．①若ME＝1，則點(diǎn)M到AB的距離為；②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周長(zhǎng)；（2）若BC＝8，且△ABC的面積為40，則△CDM的周長(zhǎng)的最小值為．【分析】（1）①由題意可知A、M、D共線，則AD是△ABC的對(duì)稱軸，由對(duì)稱性即可求解；②由題意可知MB＝MC，MD平分∠BMC，可判斷△BCM是等邊三角形，再求解即可；（2）連接AD交EF于點(diǎn)M，此時(shí)△CMD的值最小，最小值為AD+CD．【解答】解：（1）①∵M(jìn)D⊥BC，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴A、M、D共線，∴AD是△ABC的對(duì)稱軸，∵M(jìn)E＝1，∴點(diǎn)M到AB的距離為1，故答案為：1；②∵D是BC的中點(diǎn)，MD⊥BC，∴MB＝MC，∴MD平分∠BMC，∴∠BMC＝2∠CMD＝60°，∴△BCM是等邊三角形，∴BC＝BM＝MC，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2CD＝6，∴BM＝MC＝BC＝6，∴△BCM的周長(zhǎng)為BC+BM+MC＝18；（2）連接AD交EF于點(diǎn)M，∵EF是AC的垂直平分線，∴AM＝CM，∴CM+MD＝AM+MD＝AD，此時(shí)△CMD的值最小，最小值為AD+CD，∵BC＝8，△ABC的面積為40，∴AD＝10，∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝4，∴AD+CD＝14，∴△CMD的周長(zhǎng)最小值為14，故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】如圖，∠MON＝60°，點(diǎn)A、B分別是射線OM、射線ON上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，∠MAB的角平分線與∠NBA的角平分線交于點(diǎn)P．（1）當(dāng)OA＝OB時(shí)，求證：AP∥OB；（2）在點(diǎn)A、B運(yùn)動(dòng)的過程中，∠P的大小是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)求出∠P的度數(shù)；若改變請(qǐng)說明理由；（3）連接OP，C是線段OP上的動(dòng)點(diǎn)，D是線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△OAB＝12，OB＝6時(shí)，求AC+CD的最小值．【分析】（1）首先證明△ABO是等邊三角形，再證明∠PAB＝∠ABO＝60°，可得結(jié)論．（2）如圖2中，∠P的大小不變，∠P＝60°．求出∠PAB+∠PBA的大小，可得結(jié)論．（3）如圖3中，過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，過點(diǎn)P作PJ⊥AB于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I．首先證明OP平分∠MON，作點(diǎn)D關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′，則有AC+CD＝AC+CD′≥AH，求出AH，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠O＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAB＝∠ABO＝60°，∴∠BAM＝180°﹣60°＝120°，∵PA平分∠BAM，∴∠PAB=12∠∴∠PAB＝∠ABO＝60°，∴AP∥OB．（2）解：如圖2中，∠P的大小不變，∠P＝60°．理由如下：∵∠MAB＝∠O+∠OBA，∠ABN＝∠O+∠OAB，∴∠MAB+∠ABN＝∠O+∠ABO+∠OAB+∠O＝180°+60°＝240°，∵PA，PB分別平分∠MAB，ABN，∴∠PAB+∠PBA=12（∠MAB+∠∴∠P＝180°﹣120°＝60°．（3）解：如圖3中，過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，過點(diǎn)P作PJ⊥AB于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I．∵PA平分∠MAB，PK⊥OM，PJ⊥AB，∴PK＝PJ，∵PB平分∠ABN，PJ⊥AB，PI⊥ON，∴PJ＝PI，∴PK＝PI，∴OP平分∠MON，作點(diǎn)D關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′，∵S△AOB=12?OB?∴12=12×∴AH＝4，∵CD＝CD′，∴AC+CD＝AC+CD′≥AH，∴AC+CD≥4，∴AC+CD的最小值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題．【變式6-3】（2022秋?興寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求證：∠ACB＝∠ACD；（2）過點(diǎn)E作ME∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MP⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．①求∠BEA的度數(shù)；②連接PE，交AM于點(diǎn)N，證明AM垂直平分PE；（3）點(diǎn)O是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，證明點(diǎn)O與點(diǎn)E重合．【分析】（1）證明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可；（2）①證明△NEC≌△NPC（SAS）即可；②延長(zhǎng)PD、ME交于Q點(diǎn)，結(jié)合①推導(dǎo)出∠EPD＝∠DQE＝30°，則PE＝EQ，則ME+PE＝QE+ME≥MQ，此時(shí)ME+PE的值最小，再由點(diǎn)O是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，可得當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①解∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°；②證明：∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵M(jìn)E∥AB，∴∠MEB＝∠ABE＝90°，∴∠MEA＝90°+30°＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠EMA＝30°，∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，∴△NEC≌△NPC（SAS），∴EN＝PN，∴N是EP的中點(diǎn)，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；（3）證明：延長(zhǎng)PD、ME交于Q點(diǎn)，由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∴∠DEQ＝60°，∵PD⊥AE，∴∠EDQ＝90°，∴∠EQD＝30°，∵∠CPN＝30°，∴∠EPD＝∠DQE，∴PE＝EQ，∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此時(shí)ME+PE的值最小，∵點(diǎn)O是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，熟練掌握平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】（2022秋?松原期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P為邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）AE＝，∠ACD＝度；（2）當(dāng)四邊形ACPD為軸對(duì)稱圖形時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；（4）若點(diǎn)M在線段CD上，連接MP、ME，直接寫出MP+ME的值最小時(shí)CP的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B＝30°，則AB＝2AC＝2AE，即可求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出∠ACD的度數(shù)．（2）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)即可解答．（3）根據(jù)題意可得∠PCD＝45°，分三種情況：當(dāng)PC＝PD時(shí)；當(dāng)DP＝DC時(shí)；當(dāng)CP＝CD時(shí)．再依次根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．（4）過點(diǎn)M作MP⊥BC，作點(diǎn)P關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)P′，根據(jù)題意可得∠PCM＝∠P′CM，CM＝CM，∠MPC＝∠MP′C＝90°，根據(jù)AAS可證明△PCM≌△P′CM，則PM＝P′M，CP＝CP′，因此MP+ME＝MP′+ME≥EP′，以此得出當(dāng)點(diǎn)E、M、P′三點(diǎn)共線時(shí)，MP+ME的值最小，此時(shí)EP′∥BC，最后根據(jù)解含30度角的直角三角形即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝8，∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴AE=1∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1故答案為：4，45．（2）∵四邊形ACPD為軸對(duì)稱圖形，CD平分∠ACB，∴對(duì)稱軸為直線CD，∴CP＝CA＝4；（3）∵CD平分∠ACB，∴∠PCD＝45°，當(dāng)PC＝PD時(shí)，∠PDC＝∠PCD＝45°，∴∠CPD＝1