2025版新教材高考數(shù)學全程一輪總復習第八章解析幾何第七節(jié)雙曲線及其性質(zhì)學生用書

第七節(jié)雙曲線及其性質(zhì)【課標標準】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2.駕馭雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡潔應用．必備學問·夯實雙基學問梳理1.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的__________等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的________，兩焦點間的距離叫做雙曲線的________．2．雙曲線的標準方程和簡潔幾何性質(zhì)標準方程x2a2-yy2a2-x圖形性質(zhì)范圍________________________對稱性對稱軸：________，對稱中心：________頂點________________________漸近線________________________離心率e＝ca實軸與虛軸實軸|A1A2|＝________；虛軸|B1B2|＝________；實半軸長________，虛半軸長________a，b，c的關(guān)系c2＝________(c>a>0，c>b>0)[常用結(jié)論](1)雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.(3)焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為b2(4)與雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，夯實雙基1.思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的肯定值等于8的點的軌跡是雙曲線．()(2)等軸雙曲線的漸近線相互垂直，離心率等于2.()(3)雙曲線x2m2-y2n2＝λ(m>0，n>0，(4)關(guān)于x，y的方程x2m-y2n2．(教材改編)雙曲線2x2－y2＝8的漸近線方程是()A．y＝±12x B．y＝±2C．y＝±2x D．y＝±223．(教材改編)經(jīng)過點A(4，1)且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________．4．(易錯)已知雙曲線x2－y216＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點5．(易錯)以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為π3關(guān)鍵實力·題型突破題型一雙曲線的定義及應用例1(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程()A．x2－y28＝1(B．x2－y2C．x2－y28＝1(D．y28－x(2)[2024·河南鄭州模擬]已知雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的離心率為3，焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在雙曲線C上．若△AF1F2A．17a2 B．15a2C．214a2 D．215a2[聽課記錄]題后師說(1)①抓住“焦點三角形PF1F2”中的數(shù)量關(guān)系是求解此類題的關(guān)鍵；②利用定義求動點的軌跡方程，要分清是差的肯定值為常數(shù)，還是差為常數(shù)，即是雙曲線還是雙曲線的一支．(2)利用雙曲線定義求方程，要留意三點：①距離之差的肯定值；②2a＜|F1F2|；③焦點所在坐標軸的位置．鞏固訓練1(1)一動圓P過定點M(－4，0)，且與已知圓N：(x－4)2＋y2＝16相切，則動圓P的軌跡方程是()A．x24-y212＝1(x≥2)C．y24-x2(2)[2024·黑龍江齊齊哈爾模擬]設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x24-y245＝1的左、右焦點，P是該雙曲線上的一點，且3|PF1|＝5|PF2A．143B．715C．153D．515題型二雙曲線的標準方程例2(1)雙曲線C的兩焦點分別為(－6，0)，(6，0)，且經(jīng)過點(－5，2)，則雙曲線的標準方程為()A．x220-y2C．y220-x2(2)[2024·山東濟南歷城二中模擬]由倫敦聞名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完備結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線y2a2-x2b2＝1(aA．y29-x2C．y23－x2＝1 D．(3)[2024·遼寧沈陽模擬]焦點在x軸上的雙曲線C與雙曲線x24-y29＝1有共同的漸近線，且(4)經(jīng)過點P(3，27)，Q(－62，7)的雙曲線的標準方程為________________．[聽課記錄]題后師說求雙曲線方程的兩種方法鞏固訓練2(1)[2024·廣東佛山模擬]已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(0，－5)，F(xiàn)2(0，5)，雙曲線上一點P與F1，F(xiàn)2的距離差的肯定值等于6，則雙曲線的標準方程為()A．x29-y2C．y29-x2(2)[2024·河北保定期末]已知雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，A．x216-y2C．x212-y2(3)過點(23，3)且漸近線與雙曲線C：y2－題型三雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)角度一漸近線例3(1)[2024·山東日照模擬]下列雙曲線中，焦點在y軸上，且漸近線相互垂直的是()A．y2－x2＝4 B．x23－yC．y23－x2＝1 D．x2－y(2)[2024·河南洛陽模擬]已知雙曲線C：y2m－x2＝1(m>0)的離心率e＝52A．y＝±2x B．y＝±12C．y＝±2x D．y＝±22[聽課記錄]題后師說求雙曲線漸近線方程的兩種常用方法鞏固訓練3(1)[2024·廣東汕頭模擬]雙曲線x2m-y2A．2 B．2C．3 D．3(2)雙曲線C：y2a2-x2b2＝1(a角度二離心率例4(1)[2024·廣東汕尾期末]已知雙曲線x2a2-y2b2＝1(aA．233 C．3 D．2(2)[2024·安徽巢湖模擬]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，且2|PF1|＋|PF2|＝5|F1F2A．2 B．3C．5 D．10(3)[2024·河北保定模擬]已知雙曲線x2a2-y2b2＝1的右焦點為F，在右支上存在點P，Q，使得POQFA．3+52 C．9+652 (4)[2024·江西臨川一中模擬]已知雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)左，右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(A．[2＋1，＋∞) B．(1，2＋1]C．(1，2＋1) D．(2＋1，＋∞)[聽課記錄]題后師說求雙曲線離心率(或其范圍)的兩種常用方法鞏固訓練4(1)[2024·山東濰坊模擬]已知雙曲線C的頂點為A1，A2，虛軸的一個端點為B，且△BA1A2是一個等邊三角形，則雙曲線C的離心率為()A．2 B．2C．3 D．3(2)[2024·河南商丘模擬]已知雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，A．(1，2) B．(1，3)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)(3)[2024·山東濟南模擬]已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P在雙曲線上，若PF2⊥F1F2，∠真題展臺1.[2024·全國甲卷]若雙曲線y2－x2m2＝1(m>0)的漸近線與圓x2＋y2－4y2．[2024·北京卷]已知雙曲線y2＋x2m＝1的漸近線方程為y＝±33x3．[2024·全國乙卷]雙曲線C的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C的兩支交于M，N兩點，且cos∠F1NF2A．52B．32C．134．[2024·全國甲卷]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A．72B．132C．75．[2024·全國乙卷]已知雙曲線C：x2m－y2＝1(m>0)的一條漸近線為3x＋my＝0，則6．[2024·新高考Ⅱ卷]已知雙曲線x2a2-y7．[2024·新高考Ⅰ卷](多選)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.()A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為nC．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±-mD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線第七節(jié)雙曲線及其性質(zhì)必備學問·夯實雙基學問梳理1．差的肯定值焦點焦距2．x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐標軸原點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)y＝±baxy＝±abx(1，＋∞)2a2baba2＋夯實雙基1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：由題意，x24-y28＝1的漸近線方程為y＝±故選C.答案：C3．解析：由題意，設等軸雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)代入點A(4，1)的坐標得42－12＝λ，解得λ＝15，所以所求雙曲線的方程為x2答案：x24．解析：設雙曲線x2－y216＝1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)∴a＝1，b＝4.則||PF1|－|PF2||＝2，可設|PF2|＝4，則|PF1|＝2或|PF1|＝6，∵c＝17>4，∴|PF1|>2，∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.答案：65．解析：由題意知ba＝tanπ3＝3或ab＝tanπ當ba＝3時，e＝1+ba當ab＝3時，e＝1+ba2＝答案：2或2關(guān)鍵實力·題型突破例1解析：(1)如圖，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B.依據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因為|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點M到兩定點C1，C2的距離之差是常數(shù)且小于|C1C2|.又依據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M到C2的距離比到C1的距離大)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8，故點M的軌跡方程為x2－y28＝1((2)不妨令A在雙曲線右支，依題意可得|F1A|＋|F2A|＋2c＝14a，|F1A|－|F2A|＝2a，c＝3a，解得|F1A|＝5a，|F2A|＝3a，又|F1F2|＝2c＝6a，由余弦定理|F1F2|2＝PF1即36a2＝25a2＋9a2－2×5a×3acos∠F1PF2，解得cos∠F1PF2＝－115所以sin∠F1PF2＝1-cos2所以△AF1F2的面積S＝12×3a×5a×41415＝214故選C.答案：(1)A(2)C鞏固訓練1解析：(1)設動圓P的半徑為r，由題意知|PM|＝r，圓N的圓心坐標為(4，0)，半徑為4.動圓P與圓N相切有兩種狀況，即內(nèi)切或外切，所以|PN|＝r±4，所以||PN|－|PM||＝4，即動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4，所以點P在以M，N為焦點的雙曲線上，所以2a＝4，2c＝8，所以b＝23，所以動圓P的軌跡方程是x2故選D.(2)設|PF1|＝5x，|PF2|＝3x，則由雙曲線的定義可得：|PF1|－|PF2|＝5x－3x＝2x＝2a＝4，所以x＝2，故|PF1|＝10，|PF2|＝6，又|F1F2|＝14，故cos∠F1PF2＝100+36-1962×10×6＝－12，故sin∠F1PF2＝32，所以△PF1故選C.答案：(1)D(2)C例2解析：(1)2a＝|-5+62+所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以雙曲線的標準方程為x2故選B.(2)因為雙曲線y2a2-x又雙曲線的一條漸近線為3x＋7y＝0，所以－ab＝－3即7a＝3b，又下焦點到下頂點的距離為1，所以c－a＝1，結(jié)合c2＝a2＋b2解得a2＝9，b2＝7.故選A.(3)由題意可設雙曲線C的方程為：x24-y29則a2＝4λ，b2＝9λ，∵雙曲線焦點到漸近線距離為b，∴32＝9λ，解得：λ∴雙曲線C的方程為x2(4)設雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)．因為所求雙曲線經(jīng)過點P(3，27)，Q(－62，7)，所以9m+28n=1，72m+49n=1.故所求雙曲線的方程為y2答案：(1)B(2)A(3)x28-鞏固訓練2解析：(1)由題意，c＝5，2a＝6?a＝3，則b＝c2-a故選C.(2)依據(jù)題意得：雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax因為其一條漸近線與直線l：2x－y＝2垂直，所以－ba解得ba＝12，即a＝2又右焦點到漸近線的距離為2，則bca2+b2所以雙曲線的方程為x2故選A.(3)依據(jù)題意，雙曲線C：y2－x22＝1漸近線方程為y＝±22x，所以要求的雙曲線方程為y2－x22＝λ(λ≠0)，又過點(23答案：(1)C(2)A(3)x2例3解析：(1)由于雙曲線的焦點在y軸上，所以選項BD不滿意題意；選項A中雙曲線的漸近線為y＝±x，兩漸近線的斜率乘積為－1，所以兩漸近線相互垂直，所以選項A滿意題意；選項C中雙曲線的漸近線為y＝±3x，兩漸近線的斜率乘積不為－1，所以兩漸近線不相互垂直，所以選項C不滿意題意．故選A.(2)由題意，雙曲線C：y2m－x2＝1(m>0)，可得a2＝m，b因為雙曲線C的離心率e＝52，可得ca＝1+ba2＝1+1所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±abx＝±2x故選A.答案：(1)A(2)A鞏固訓練3解析：(1)由題意可知m>0，所以雙曲線x2m-y2m+2＝1(m∵雙曲線x2m-y∴m+2m＝2，解得m故選A.(2)設雙曲線的半焦距為c，則焦點坐標為(0，±c)，而雙曲線的漸近線方程為：ax±by＝0，故焦點到漸近線的距離為bca2+b2＝b，故故漸近線方程為x±2y＝0.答案：(1)A(2)x±2y＝0例4解析：(1)雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±bax，ba＝3，b＝3故選D.(2)由題意可知，2|PF1|＋|PF2|＝25c，|PF1|－|PF2|＝2a，∴PF1又∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(2a+25c3)2＋(25c-4a3)∴c2－25ac＋5a2＝0，即(c－5a)2＝0，c＝5a，∴e＝5.故選C.(3)由題意，當POQF為正方形時，點P的坐標為(c2代入x2a2-y2b2＝1可得c24a2-c24即(c2－a2)c2－a2c2＝4a2(c2－a2)，整理得c4－6a2c2＋4a4＝0，即e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3＋5.故選B.(4)由題意可得點P不是雙曲線的頂點，否則asin∠PF在△PF1F2中，由正弦定理得PF1sin∠因為asin∠PF所以PF1PF2所以|PF1|＝ca·|PF2因為點P在雙曲線右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以ca|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝2由雙曲線的性質(zhì)可得|PF2|>c－a，所以2a2c-a>c－a，化簡得c2－2所以e2－2e－1<0，解得－2＋1<e<2＋1，因為e>1，所以1<e<2＋1，即雙曲線離心率的取值范圍為1，故選C.答案：(1)D(2)C(3)B(4)C鞏固訓練4解析：(1)由△BA1A2是一個等邊三角形，可得b＝3a，即b2＝3a2，則有c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，則雙曲線C的離心率e＝ca故選A.(2)由題意可知，1a2-1b2＝1，所以b2－a2＝a2b2，又b2＝c2－a2，所以c2－2a2＝a2(c2－a2)，所以a2＝c2-2a2故選D.(3)不妨假設點P在雙曲線右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a，由于PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，故|PF1|＝2|PF2|，故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，而tan∠PF1F2＝PF2F1F2故e＝ca＝3答案：(1)A(2)D(3)3真題展臺——知道高考考什么？1．解析：由題意，得雙曲線的一條漸近線方程為y＝xm，即x－my＝0.圓的方程可化為x2＋(y－2)2＝1，故圓心坐標為(0，2)，半徑r＝1.由漸近線與圓相切，結(jié)合點到直線的距離公式，得0-2mm2+1＝1，解得m＝±33答案：32．解析：雙曲線y2＋x2m＝1的標準方程為y21-x2-m＝1，其漸近線方程為y1