新教材適用2024-2025學年高中數(shù)學第6章計數(shù)原理習題課排列數(shù)的應(yīng)用素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊

第六章習題課排列數(shù)的應(yīng)用A組·基礎(chǔ)自測一、選擇題1．某天上午要排語文，數(shù)學，體育，計算機四節(jié)課，其中體育不排在第一節(jié)，那么這天上午課程表的不同排法共有(C)A．6種 B．9種C．18種 D．24種[解析]先排體育有Aeq\o\al(1,3)種，再排其他的三科有Aeq\o\al(3,3)種，共有3×6＝18(種)．2．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為(D)A．56 B．54C．53 D．52[解析]在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)可以組成Aeq\o\al(2,8)＝56(個)對數(shù)值．但在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿意條件的對數(shù)值共有56－4＝52(個)．3．(2024·全國甲卷)現(xiàn)有5名志愿者報名參與公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中支配2人參與公益活動，則恰有1人在這兩天都參與的不同支配方式共有(B)A．120 B．60C．30 D．20[解析]不妨記五名志愿者為a，b，c，d，e，假設(shè)a連續(xù)參與了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參與星期六與星期天的公益活動，共有Aeq\o\al(2,4)＝12種方法，同理：b，c，d，e連續(xù)參與了兩天公益活動，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參與了兩天公益活動的選擇種數(shù)有5×12＝60種．故選B.4．公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率π的范圍是：3.1415926<π<3.1415927，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的宏大成就．甲同學是個數(shù)學迷，他在設(shè)置手機的數(shù)字密碼時，準備將圓周率的前6位數(shù)字3,1,4,1,5,9進行某種排列得到密碼．假如排列時要求兩個1不相鄰，那么甲同學可以設(shè)置的不同密碼個數(shù)為(A)A．240 B．360C．480 D．720[解析]先把數(shù)字3,4,5,9四個數(shù)排列，共有Aeq\o\al(4,4)種排列方法，四個數(shù)排列產(chǎn)生5個空，把兩個1插到5個空里，共有eq\f(A\o\al(2,5),A\o\al(2,2))種方法，依據(jù)乘法分步原理得共有Aeq\o\al(4,4)×eq\f(A\o\al(2,5),A\o\al(2,2))＝240種．故選A．5．(多選)2024年2月5日晩，在北京冬奧會短道速滑混合團體接力決賽中，中國隊領(lǐng)先沖過終點，為中國體育代表團拿到本屆奧運會首枚金牌．賽后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，張雨婷5名運動員從左往右排成一排合影留念，下列結(jié)論正確的是(ABD)A．武大靖與張雨婷相鄰，共有48種排法B．范可欣與曲春雨不相鄰，共有72種排法C．任子威在范可欣的右邊，共有120種排法D．任子威不在最左邊，武大靖不在最右邊，共有78種排法[解析]武大靖與張雨婷相鄰，將武大靖與張雨婷排在一起有Aeq\o\al(2,2)種排法，再將二人看成一個整體與其余三人全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，由分步乘法計數(shù)原理得，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)排法，A正確；范可欣與曲春雨不相鄰，先將其余三人全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，再將范可欣與曲春雨插入其余三人形成的4個空位中，有Aeq\o\al(2,4)種排法，由分步乘法計數(shù)原理得，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(種)排法，B正確；任子威在范可欣的右邊，先從五個位置中選出三個位置排其余三人，有Aeq\o\al(3,5)種排法，剩下兩個位置排任子威、范可欣，只有1種排法，所以任子威在范可欣的右邊，共有Aeq\o\al(3,5)＝60(種)排法，C錯誤；武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，張雨婷5人全排列，有Aeq\o\al(5,5)種排法，任子威在最左邊，有Aeq\o\al(4,4)種排法，武大靖在最右邊，有Aeq\o\al(4,4)種排法，任子威在最左邊，且武大靖在最右邊，有Aeq\o\al(3,3)種排法，所以任子威不在最左邊，武大靖不在最右邊，共有Aeq\o\al(5,5)－2Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(3,3)＝78(種)排法，D正確．故選ABD.二、填空題6．用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1,2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是40.[解析]可分為三步來完成這件事：第一步：先將3,5進行排列，共有Aeq\o\al(2,2)種排法；其次步：再將4,6插空排列，共有2Aeq\o\al(2,2)種排法；第三步：將1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有Aeq\o\al(1,5)種排法；由分步乘法計數(shù)原理得，共有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,5)＝40種不同的排法．7．將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，假如分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是96.[解析]先分組后用安排法求解，5張參觀券分為4組，其中2個連號的有4種分法，每一種分法中的排列方法有Aeq\o\al(4,4)種，因此共有不同的分法4Aeq\o\al(4,4)＝4×24＝96(種)．8．花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色．如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈須要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為_90__.[解析]由題意，對6盞不同的花燈進行取下，先對6盞不同的花燈進行全排列，共有Aeq\o\al(6,6)種方法，因為取花燈每次只取一盞，而且只能從下往上取，所以必需除去重復(fù)的排列依次，即先取上方的依次，故共有取法總數(shù)為：eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(2,2)A\o\al(2,2)A\o\al(2,2))＝90.故答案為90.三、解答題9．某班有A，B，C等7名班委，有7種不同的職務(wù)，現(xiàn)對7名班委進行職務(wù)詳細分工．(1)若正、副班長兩個職務(wù)只能從A，B，C三人中選兩人擔當，有多少種分工方案？(2)若正、副班長兩個職務(wù)至少要選A，B，C三人中的一人擔當，有多少種分工方案？[解析](1)從A，B，C三人中任選兩人擔當正、副班長，有Aeq\o\al(2,3)種方法，再支配其余5種職務(wù)，有Aeq\o\al(5,5)種方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(5,5)＝720種分工方案．(2)7人擔當7種職務(wù)的分工方案有Aeq\o\al(7,7)種，A，B，C三人中無一人擔當正、副班長的分工方案有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)種，因此A，B，C三人中至少有一人擔當正、副班長的分工方案有Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝3600(種)．10．5名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生2人，女生2人，在下列狀況下，各有多少種不同的站法？(1)老師站在4名學生中間；(2)2名女生必需相鄰；(3)2名男生互不相鄰；(4)老師不站中間，女生不站兩端．[解析](1)由題意，得老師站在4名學生中間的不同站法有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)．(2)由題意，得2名女生站在一起有Aeq\o\al(2,2)種站法，將2名女生視為一個元素與其余3人全排列，有Aeq\o\al(4,4)種站法．所以不同的站法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)．(3)先站女生和老師，有Aeq\o\al(3,3)種站法，再在老師和女生之間及兩端的4個空隙中插入男生，不同的站法有Aeq\o\al(2,4)種．所以不同的站法共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(種)．(4)分兩類：①老師站兩端之一，另一端站男生，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)種站法；②兩端全站男生，老師站除兩端和正中間外的另外兩個位置之一，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種站法．所以不同的站法共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝32(種)．B組·實力提升一、選擇題1．用數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有(B)A．288個 B．240個C．144個 D．126個[解析]第1類，個位數(shù)字是2，首位可排3,4,5之一，有Aeq\o\al(1,3)種排法，排其余數(shù)字有Aeq\o\al(3,4)種排法，所以有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)個數(shù)；第2類，個位數(shù)字是4，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)個數(shù)；第3類，個位數(shù)字是0，首位可排2,3,4,5之一，有Aeq\o\al(1,4)種排法，排其余數(shù)字有Aeq\o\al(3,4)種排法，所以有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)個數(shù)．由分類加法計數(shù)原理，可得共有2Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)＝240(個)數(shù)．2．有4本不同的書A，B，C，D，要分給三個同學，每個同學至少分一本，書A，B不能分給同一人，則這樣的分法共有(C)A．18種 B．24種C．30種 D．36種[解析]4本不同的書分給三個同學，共有6Aeq\o\al(3,3)＝36，書A，B分給同一人有Aeq\o\al(3,3)＝6，所以共有36－6＝30種，故選C.3．(多選)若一個三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“凸數(shù)”，如231、354等都是“凸數(shù)”，用1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則(BD)A．組成的三位數(shù)的個數(shù)為30B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為36C．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個數(shù)為24D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個數(shù)為20[解析]5個數(shù)組成無重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(3,5)＝60，A錯誤；奇數(shù)為個位數(shù)是1,3,5的三位數(shù)，個數(shù)為3Aeq\o\al(2,4)＝36，B正確；“凸數(shù)”分為3類，①十位數(shù)為5，則有Aeq\o\al(2,4)＝12個；②十位數(shù)為4，則有Aeq\o\al(2,3)＝6個；③十位數(shù)為3，則有Aeq\o\al(2,2)＝2個，所以共有20個，C錯誤；由選項C的分析可知，D正確；故選BD.二、填空題4．5個人排成一排，假如甲必需站在排頭或排尾，而乙不能站在排頭或排尾，那么不同站法總數(shù)為_36__.[解析]甲在排頭或排尾站法有Aeq\o\al(1,2)種，再讓乙在中間3個位置選一個，有Aeq\o\al(1,3)種站法，其余3人有Aeq\o\al(3,3)種站法，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)站法．5．在全部無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大2的數(shù)共有_448__個．[解析]千位數(shù)字比個位數(shù)字大2，有8種可能，即(2,0)，(3,1)，…，(9,7)前一個數(shù)為千位數(shù)字，后一個數(shù)為個位數(shù)字，其余兩位無任何限制，共有8×Aeq\o\al(2,8)＝448(個)．三、解答題6．4名男同學和3名女同學站成一排．(1)7名同學中，甲、乙、丙排序肯定(只考慮位置的前后依次)，有多少種不同的排法？(2)7名同學中，甲乙兩名同學之間必需恰有3名同學，有多少種不同的排法？(3)7名同學中，甲、乙兩名同學相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(4)女同學從左到右按從高到矮的依次排，有多少種不同的排法？(3名女生身高互不相等)[解析](1)7名同學的全部排法有Aeq\o\al(7,7)種，其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(3,3)種，所以甲、乙、丙排序肯定的排法有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(種)．(2)先排甲、乙兩名同學，有Aeq\o\al(2,2)種排法，再從余下5名同學中選3名同學排在甲、乙兩名同學中間，有Aeq\o\al(3,5)種排法，這時把已排好的5名同學視為一個整體，與最終剩下的2名同學進行全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，故不同的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝720(種)．(3)先解除甲、乙、丙3名同學以外的其他4名同學，有Aeq\o\al(4,4)種排法，由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有Aeq\o\al(2,2)種排法，最終把排好的甲、乙看