高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)突破 第一部分 專題五 第三講 空間向量與立體幾何 理

專題五立體幾何第三講空間向量與立體幾何一、選擇題1．以下命題中，不正確的命題個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2解析：由向量的和運(yùn)算知①正確．∵a，b，c為空間一個(gè)基底，則a，b，c為兩兩不共線的非零向量．不妨假設(shè)a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，即(1－y)a＋(1－x)b－(x＋y)c＝0.∵a、b、c兩兩不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝0,1－y＝0,x＋y＝0))，不存在實(shí)數(shù)x、y使假設(shè)成立，故②正確．③中若加入x＋y＋z＝1則結(jié)論正確，故③錯(cuò)誤．答案：B2．在正方體ABCD－A1B1C1D1答案：A∴∠DBC是銳角．同理可證∠DCB，∠BDC都是銳角．∴△BCD是銳角三角形．答案：B4．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中E、F分別在A1D、AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，則()A．EF至多與A1D、AC之一垂直B．EF是A1D、AC的公垂線C．EF與BD1相交D．EF與BD1異面解析：設(shè)AB＝1，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，答案：D5.(·山東煙臺(tái))二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，則該二面角的大小為()A.150°B．45°C．60°D．120°答案：C二、填空題答案：3a＋3b－7.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是________．,解析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A1(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，,8.設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E(如圖)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A—DE—B為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BC－DE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所在角的大小等于________．答案：90°9.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和ACA1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是________．,解析：分別以C1B1、C1D1，C1C所在直線為x，y，z∵A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，,∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，答案：平行三、解答題10.如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2eq\r(3)，AA1＝eq\r(3)，AD⊥DC，AC⊥BD，E為垂足．(1)求證：BD⊥A1C(2)求二面角A1－BD－C1的大?。?3)求異面直線AD與BC1所成角的余弦．解：(1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1∵A1A⊥底面ABCD∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC，∴BD⊥A1C(2)如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．連結(jié)A1E、C1E、A1C1，與(1)同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E∴∠A1EC1為二面角A1－BD－C1的平面角；由A1(2,0，eq\r(3))，C1(0,2eq\r(3)，eq\r(3))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0))，11．(·山東，19)如圖，在五棱錐P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2eq\r(2)，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD所成角的大??；(3)求四棱錐P－ACDE的體積．解：(1)證明：在△ABC中，因?yàn)椤螦BC＝45°，BC＝4，AB＝2eq\r(2)，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝8，因此AC＝2eq\r(2).故BC2＝AC2＋AB2，所以∠BAC＝90°.又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，所以CD⊥PA，CD⊥AC.又PA、AC?平面PAC，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.(2)解法一：因?yàn)椤鱌AB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2eq\r(2)，因此PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝4.又AB∥CD.所以點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離．由于CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(2)，所以PC＝4.故PC邊上的高為2，此即為點(diǎn)A到平面PCD的距離．所以B到平面PCD的距離為h＝2.設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(h,PB)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6).解法二：由(1)知AB、AC、AP兩兩相互垂直，分別以AB、AC、AP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2eq\r(2)，又AC＝2eq\r(2)，因此A(0,0,0)，B(2eq\r(2)，0,0)，C(0,2eq\r(2)，0)，P(0，0,2eq\r(2))，因?yàn)锳C∥ED，CD⊥AC，所以四邊形ACDE是直角梯形．因?yàn)锳E＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，故CD＝AE·sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，所以D(－eq\r(2)，2eq\r(2)，0)．因?yàn)閑q\o(CP,\s\up6(→))＝(0，－2eq\r(2)，2eq\r(2))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0,0)，設(shè)m=（x，y，z）是平面PCD的一個(gè)法向量，則m·eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，m·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，解得x＝0，y＝z，取y=1，得m=（0，1，1），又eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2eq\r(2)，0,2eq\r(2))，設(shè)θ表示向量eq\o(BP,\s\up6(→))與平面PCD的法向量m所成的角，因此直線PB與平面PCD所成的角為eq\f(π,6).(3)因?yàn)锳C∥ED，CD⊥AC，所以四邊形ACDE是直角梯形．因?yàn)锳E＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，故CD＝AE·sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，ED＝AC－AE·cos45°＝2eq\r(2)－2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，所以S四邊形ACDE＝eq\f(\r(2)＋2\r(2),2)×eq\r(2)＝3.PA⊥平面ABCDE.∴VP－ACDE＝eq\f(1,3)×3×2eq\r(2)＝2eq\r(2).12．(·福建)如圖圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC－A1B1C1，棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑．(1)證明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)設(shè)AB＝AA1.在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)的概率為p(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求p的最大值；(ⅱ)記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為θ(0°<θ≤90°)．當(dāng)p取最大值時(shí)，求cosθ的值．解：解法一：(1)證明：∵A1A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1A⊥∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC.又AC∩A1A＝A，∴BC⊥平面A1ACC1而BC?平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.(2)(ⅰ)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則AB＝AA1＝2r，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝eq\f(1,2)AC·BC·2r＝AC·BC·r.又∵AC2＋BC2＝AB2＝4r2，∴AC·BC≤eq\f(AC2＋BC2,2)＝2r2，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC＝eq\r(2)r時(shí)等號(hào)成立．從而，V1≤2r3.而圓柱的體積V＝πr2·2r＝2πr3，故p＝eq\f(V1,V)≤eq\f(2r3,2πr3)＝eq\f(1,π)，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC＝eq\r(2)r，即OC⊥AB時(shí)等號(hào)成立．所以，p的最大值等于eq\f(1,π).(ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值時(shí)，OC⊥AB.于是，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz(如圖)，則C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r，2r)．∵BC⊥平面A1ACC1，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝(r，－r,0)是平面A1ACC1的一個(gè)法向量．設(shè)平面B1OC的法向量n＝(x，y，z)，取z＝1，得平面B1OC的一個(gè)法向量為n＝(0，－2,1)．解法二：(1)同解法一．(2)(ⅰ)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則AB＝AA1＝2r，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V1＝eq\f(1,2)AC·BC·2r＝AC·BC·r.設(shè)∠BAC＝α(0°<α<90°)，則AC＝ABcosα＝2rcosα，BC＝ABsinα＝2rsinα，由于AC·BC＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2，當(dāng)且僅當(dāng)sin2α＝1即α＝45°時(shí)等號(hào)成立．故V1≤2r3.而圓柱的體積V＝πr2·2r＝2πr3，故p＝eq\f(V1,V)≤eq\f(2r3,2πr3)＝eq\f(1,π)，當(dāng)且僅當(dāng)sin2α＝1即α＝4