重難點(diǎn)03全等三角形（4種模型2種添加輔助線方法）-【滿分全攻略】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試（滬教版）（解析版）

重難點(diǎn)03全等三角形（4種模型2種添加輔助線方法）

題型一：一線三等角模型

題型二：手拉手模型

題型三：半角模型

題型四：旋轉(zhuǎn)模型

題型五：倍長(zhǎng)中線法

題型六：截長(zhǎng)補(bǔ)短法

u技巧方法

題型一：一線三等角模型

過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。

過等腰直角三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會(huì)有兩個(gè)三角形全等（AAS）

常見的兩種圖形:

二-------------1/)

題型二：手拉手模型

【基本模型】

一、等邊三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有.：

①ABCD^AACE；②BD_LAE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分/BFE；

圖3

題型三：半角模型

過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線,使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一

邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線

段之間的數(shù)量關(guān)系。

解題技巧:

在圖1中,△AEB由4AND旋轉(zhuǎn)所得,可得△AEM絲△AMN,

，BM+DN=MN

NAMB=NAMN

AB=AH

△CMN的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半

在圖2中將△ABC旋轉(zhuǎn)至△BEF,易得△BED^ABCD同理得到邊角之間的關(guān)系；

總之：半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等一得到相關(guān)結(jié)論.

題型四：旋轉(zhuǎn)模型

一、奔馳模型

旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類

題型，提升利用旋轉(zhuǎn)解決問題的能力，更重要的是要明白一點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而

解決問題

二、費(fèi)馬點(diǎn)模型

費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).

最值問題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國(guó)范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而

來，所以掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題是必不可少的.

題型五：倍長(zhǎng)中線法

三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長(zhǎng)中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線

延長(zhǎng)一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法.

主要思路：倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

在4ABC中AD是BC邊中線

?E

延長(zhǎng)AD至IJE,使DE=AD,連接BE

E

作CF_LAD于F,作BE_LAD的延長(zhǎng)線于E連接BE

延長(zhǎng)MD到N,使DN=MD,連接CD

題型六：截長(zhǎng)補(bǔ)短法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用，它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一

直貫穿著整個(gè)幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長(zhǎng)補(bǔ)短法呢?所謂截長(zhǎng)補(bǔ)短其實(shí)包含兩層意思”即截長(zhǎng)和補(bǔ)短.

截長(zhǎng)就是在較長(zhǎng)的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段，證剩下的那一段等于另外一段較

短的線段.當(dāng)條件或結(jié)論中出現(xiàn)濟(jì)爐。時(shí)，用截長(zhǎng)補(bǔ)短.

1、補(bǔ)短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中

那一條線段相等；

2、截長(zhǎng)法：通過添加輔助線先在求證中長(zhǎng)線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線

段中的另一段相等。

3、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之

與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是常

用.

BTD

*F.*F圖］

F*G*F圖2

*A*H圖3

如圖1,若證明線段AB,CD,所之間存在E六AB+CD,可以考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短法.

截長(zhǎng)法：如圖2,在h'上截取EG=AB,在證明詆切即可；

補(bǔ)短法：如圖3,延長(zhǎng)四至〃點(diǎn)，使小口再證明力斥旗即可.

U能力拓展

題型一：一線三等角模型

一、填空題

1.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AE1AB,且=且BC=C￡）,請(qǐng)按照?qǐng)D中所

標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算FH的長(zhǎng)為.

【答案】18

【分析】由4E_LA8,EF，"7,BG_L4G,可以得到Z￡4F=WG,而AE=AB,NEK4=NAGB,由此可以

證明.EFA^ABG,進(jìn)而得出aBGC^.DHC,即可得出FH.

【詳解】解：：AE_L43且AE=A8,EFVFH,BGA.FH,

：.NEAB=乙EFA=ZBGA=90°,

ZE4F+ZBAG=90°-ZABG+ZBAG,

：.NEAF=ZABG,

：.AE=AB,ZEFA=ZAGB,ZEAF=ZABG,

空ABG(AAS),

AF=BG=3,AG=EF=S,

同理證得..BGC^.DHC得GC=DH=4,CH=BG=3,

故切=/^+AG+GC+C〃=3+8+4+3=18,

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等解答.

2.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))如圖所示，JLBC中，AB=AC,ZBAC=90°.直線/經(jīng)過點(diǎn)A,過點(diǎn)8

作BEL于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF_L/于點(diǎn)F.若BE=2,CF=5,則砂=.

【答案】7

【分析】根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案;

【詳解】解：CF±l,

：.ZA￡B=ZCM=90°.

，ZEAB+ZEBA=90°.

又?.?/B4C=90°,

ZEAB+ZCAF=90°.

ZEHA=ZCAF.

在AAEB和△(?心中

VZAEB=ZCFA,NEBA=/CAF,AB=AC,

：.AAEB^ACM.

：.AE=CF,BE^AF.

：.AE+AF=BE+CF.

：.EF=BE+CF.

'：BE=2,CF=5,

：.EF=2+5=7；

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的

證明三角形全等.

二、解答題

3.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))(1)如圖1,已知：在ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,直線機(jī)經(jīng)過

點(diǎn)A,/直線加，CEL直線加，垂足分別為點(diǎn)￡>、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在AA8C中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)上，并且有

ZBD4=NA￡C=NB4C=a,其中a為任意鈍角，請(qǐng)問結(jié)論￡>E=8O+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證

明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)成立，見解析

【分析】(1)根據(jù)AAS可證明=4)3絲_田可得=AD=CE,可得。E=8O+CE.

(2)由已知條件可知Nfl4Z)+NC4E=180。-。，ADBA+^BAD=\W-a,可得/DBA=NC4￡,結(jié)合條件可證

明同(1)可得出結(jié)論.

【詳解】證明：（1）如圖1,

C

圖1

?.?80工直線〃?，CE_L直線

???ZBZM=ZCE4=90°,

,/NE4c=90。，

???ZeAD+ZC4￡=90o,

■:ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABDf

在.4必和一CEA中，

/BDA=/CEA

,ZCAE=ZABD

AB=AC

：.AA￡>B^ACEA(AAS),

:?AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

(2)如圖2,

C

圖2

?:/BDA=/BAC=a,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=\^-a,

???ZDBA=ZCAEf

在一ADB和,CE4中，

'/BDA=NCEA

<ZCAE=ZABD

AB=AC

：.的△CEA(AAS),

:?AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD^rCE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到AD=CE是解題

的關(guān)鍵.

4.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))(1)觀察理解：

如圖1,NAC8=90。，AC=BC,直線/過點(diǎn)C,點(diǎn)A,8在直線/同側(cè)，BDVl,AE±lf垂足分別為。，E,

求證：2AEgACDB.

圖1“

(2)理解應(yīng)用：

如圖2,過AA8C邊4B、AC分別向外作正方形ABOE和正方形ACFG,AH是8c邊上的高，延長(zhǎng)“4交

EG于點(diǎn)/.利用(1)中的結(jié)論證明：/是EG的中點(diǎn).

圖2

(3)類比探究：

①將圖1中4AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180。得到圖3,則線段ED、EA和BD的關(guān)系:

圖3

②如圖4,直角梯形ABC。中，AD//BC,ABLBC,AO=2,BC=3,將腰0c繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至

DE,AAED的面積為.

圖4

【答案】（1）見解析；（2）見解析；⑶?ED=EA-BD；②1

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得/A=NBC￡>,再利用AAS證得△4EC四△COB,即可；

（2）分別過點(diǎn)E、G向印作垂線，垂足分別為"、N,由（1）可證得△AANG^ACHA,

從而得到EM=GM可得到△EM/絲△GN/,從而得到E/=/G,即可求證：

（3）①由（1）得：AAEC注ACDB,可得CE=BD,AE=CD,即可；②過點(diǎn)C作CP,A。交4。延長(zhǎng)線于

點(diǎn)P,過點(diǎn)E作EQLAO交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得根據(jù)題意得：ZCDE=90°,CD=DE,

再由（1）可得△CDPWADEQ,從而得到。P=EQ,然后根據(jù)兩平行線間的距離，可得AP=8C,進(jìn)而得到

PD=1,即可求解.

【詳解】（1）證明：AE±l,

：./AEC=/8OC=90。，

又,:ZACB=90°

：.ZA+ZACE=NACE+/BCD=90°,

：.ZA^ZBCD,

在△4￡。和4CO8中,

ZAEC=/CDB

<ZA=/BCD

AC=BC

：./\AEC^/\CDB(A4S)；

(2)證明：分別過點(diǎn)從G向H/作垂線，垂足分別為M、N,

由(1)得：△E'MAg/XAHB,XANG"/\CHA,

:?EM=AH,GN=AH,

:?EM=GN,

在〃和△GN/中，

NEIM=/GIN

<NEMI=NGNI=90。

EM=GN

:,/\EM噲/\GNI(AAS)；

：.EI=IG,

即/是EG的中點(diǎn)；

(3)解：①由(1)得：4AEC"ACDB,

:?CE=BD,AE=CDf

,:ED=CD-CE,

：.ED=EA~BD；

故答案為：ED=EA-BD

②如圖，過點(diǎn)C作CAQ交A。延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過點(diǎn)E作EQLAQ交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,

根據(jù)題意得：ZCDE=90°,CD=DE,

由(1)得：△CDP出4DEQ,

：.DP=EQf

直角梯形ABC。中，AD//BC,AB±BC,

：.AB.LAD9

：.AB//CP,

：?BC人CP,

?；BC=3,

：.AP=BC=39

\'AD=2f

：.DP=AP-AD=\,

：.EQ=\f

...△4。后的面積為，4￡)?硒，倉(cāng)也1=1.

22

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，平行間的距離，熟練掌握全等三角形的

判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行間的距離，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵.

5.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))在直線機(jī)上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)。，A,E,在直線機(jī)上方有AB

=AC,且滿足N8￡)A=ZAEC=NBAC=a.

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，猜想線段OE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)如圖2,當(dāng)0VaV180時(shí)，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明

理由.

【答案】(1)DE=BD+CE.

(2)￡>E=8C+CE仍然成立，證明見解析

【分析】(1)由NBD4=NBAC=NAEC=90。得到N8AO+NEAC=NBA￡>+/QBA=90。，進(jìn)而得到NQBA

-ZEAC,然后結(jié)合A8=AC得證AOBA絲△EAC,最后得到。E=8Z)+CE；

(2)由/BO4=/BAC=/AEC=a得到/BA￡>+/EAC=Na4?+N￡>BA=180。-a,進(jìn)而得到/O&4=

NEAC,然后結(jié)合AB=AC得證△/陽4絲△￡■￡,最后得至ijOE=8￡)+CE.

【詳解】(1)解：DE=BinCE,理由如下，

?；N3OA=NB4C=/AEC=90。，

二ZBAD+ZEAC=ZBAD+ADBA=90°,

；.NDBA=NEAC,

,：AB=AC,

：.^DBA^/\EACCAAS),

：.AD^CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)OE=B￡>+CE仍然成立，理由如下，

,//BDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=ISO°-a,

.'.ZDBA=ZEAC,

"：AB=AC,

：./\DBA^/\EAC(/US),

：.BD=AE,AD=CE,

DE=AD+AE=BD+CE-,

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

6.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))已知，在4?C中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線,〃上，且

DE=9cm,NBDA=ZAEC=NBAC.

(1)如圖①，若4?4AC,則30與AE的數(shù)量關(guān)系為,CE與AO的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖②，判斷并說明線段30,CE與DE的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③,若只保持NBDA=NAEC,BD=EF=1cm,點(diǎn)A在線段OE上以2cm/s的速度由點(diǎn)。向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng),

同時(shí)，點(diǎn)C在線段E尸上以mm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Ks).是否存在x,使得

與」E4C全等？若存在，求出相應(yīng)的f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)3O=AE,CE=AD

(2)DE=BD+CE

928

(3)/=1,=2ggr=-,x=--

x49

【分析】(1)利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得NC4E=NAB。，再利用A4S證明A3。絲.C4E,得

BD=AE,CE=AD；

(2)由(1)同理可得△ABO鄉(xiāng)△C4E,得BD=AE,CE=ADf可得答案；

(3)分一D4fig_EC4或△ZMB&4c兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決問題.

【詳解】(1)解：VZBDA=ZAEC=ZBAC,

:.NBAD+NCAE=NBAD+ZABD,

:.NCAE=ZABD,

VZBDA=ZAEC,BA=CAf

：._ABD^C4E(A45),

:?BD=AE,CE=AD,

故答案為：BD=AE,CE=AD；

(2)DE=BD+CE,

由(1)同理可得.A3。絲iC4E(A4S),

:.BD=AE,CE=ADf

：.DE=BD+CE；

(3)存在，當(dāng)_DAB絲_EC4時(shí)，

/.AD=CE=2c777,BD-AE=1cm,

/.r=1,此時(shí)x=2；

當(dāng)△D4B0時(shí),

/.AD=AE=4.5cm,DB=EC—7cm,

.AD9-928

??，==-X=/-：=,

24t49

928

綜上：f=l,x=2^Z=-,x=—

49

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本模型是解

題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

7.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）已知.ABC為等腰三角形，ZACB=90°,直線DE過點(diǎn)、C（不經(jīng)過點(diǎn)AB）,

過點(diǎn)A作45_LOE于點(diǎn)D,過點(diǎn)3作BE工DE于點(diǎn)、E.

（D如圖1,當(dāng)點(diǎn)AB位于直線?！甑耐瑐?cè)時(shí)，判斷A。與CE的大小關(guān)系，并說明理由;

圖1

（2）如圖2,若點(diǎn)A8位于直線的兩側(cè),

①（1）的結(jié)論是否還能成立，請(qǐng)說明理由;

②設(shè)與A8交于點(diǎn)尸，當(dāng)N￡BF=22.5°時(shí)，判斷物與。尸是否相等，并說明理由.

【答案】（1）AD=CE；理由見解析

（2）①成立，理由見解析；②BE=FD,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)“AAS”證明△">€￡△88即可得出結(jié)論;

（2）①仍然根據(jù)“AAS”證明△4DC/ACEB即可得出結(jié)論；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及題意證明AC=A產(chǎn)，進(jìn)而得出CO=FD,則結(jié)論可得.

【詳解】(1)解：AD=CE,理由如下：

???_A5C為等腰三角形，

:.AC=CB,

VAD1.DE,BEJ.DE,

：.ZADC=NCEB=900,

,/ZACB=90°,

:.ZACD+ADAC=ZACD+ZECB=90°,

???/DAC=/ECB,

在△ADC和一CEB中，

NDAC=NECB

<ZADC=/CEB,

AC=CB

：.^ADC空CEB(AAS),

,AD=CE；

(2)(2)①成立，

同理可得..4OCg.CE8(AAS),

???AD=CE；

②BE=FD,理由如下：

VZ￡BF=22.5°,ZBEF=90。,

J4BFE=ZAFC=90°-22.5°=67.5°,

VAC=CB,ZACB=90°,

:.ZCAB=ZCBA=45°,

：.ZACF=180°-45°-67.5°=67.5°,

即NAC尸=NA尸C,

?/AD1.DE,

：.CD=FD,

:AADC^ACEB,

???CD=BE,

???BE=FD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定馬性質(zhì)，熟練掌握“一線三等角”模型證明

全等是解本題的關(guān)鍵.

8.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）通過對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列

問題：

證：BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,人后，43且越=48,BCLCD且3c=8,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所

圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且BC_LAF于點(diǎn)尸，DE

與直線版交于點(diǎn)G.若8C=21,A尸=12,則△AOG的面積為.

【答案】［模型呈現(xiàn)］見解析；［模型應(yīng)用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈現(xiàn)］證明A48C絲根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到8C=AE；

［模型應(yīng)用］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到”=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根據(jù)梯形

的面積公式計(jì)算，得到答案；

［深入探究］過點(diǎn)。作￡>P，AG于P,過點(diǎn)E作E。，AG交AG的延長(zhǎng)線于Q,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,證明一短PG且“EQG,得到PG=GQ,進(jìn)而求出AG,根

據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】［模型呈現(xiàn)］證明：：/皿^90。，

二ZBAC+ZDAE=9Q°,

?；BC1AC,DE1AC,

：.ZACB=ZDEA=90°,

：.ABAC+ZABC=90°,

：.ZABC=ZDAE,

在一ABC和ZME中,

ZABC=ZDAE

<ZACB=ZDAEf

BA=AD

.?.，ABC-DAE(AAS),

：.BC=AE-

［模型應(yīng)用］解：由［模型呈現(xiàn)>可知，..AKP紇AAGpCBGgqDC",

:.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

故答案為：50；

［深入探究］過點(diǎn)。作DPAG于P,過點(diǎn)E作EQLAG交AG的延長(zhǎng)線于Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，.A五修..DPA-A”?四一石QA,

:.DP=AF=\29EQ=AF=\2,AP=BF,AQ=CFf

在ZkOPG和，.七QG中，

NDPG=ZEQG

<ZDGP=4EGQ,

DP=EQ

.。尸G四八EQG(AAS),

???PG=GQ,

,:5。=21,

.?.AQ+AP=2\,

:.AP+AP+PG+PG=21,

:.AG=AP+PG=i0.59

?，.SADO='x10.5x12=63,

2

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

9.(2023春?七年級(jí)單元測(cè)試)在ABC中，ZACB=90",AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且于。,

BELMN于E.

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

①.AC哈一CEB；

②DE=AD+BE.

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問OE、AD,踮具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系,

并加以證明.

【答案】(1)①見解析；②見解析

(2)見解析

⑶DABE—AD,證明見解析

【分析】(1)①由垂直關(guān)系可得/1=/3,則由AAS即可證明.4)CwCE3；②由.ADCwCEB的性質(zhì)及

線段和的關(guān)系即可證得結(jié)論；

(2)由垂直可得N1=NC8E,則由AAS可證明ACD'CBE,由全等三角形的性質(zhì)及線段差的關(guān)系即可證

得結(jié)論；

(3)由垂直可得NA8=NC3E,則由AAS可證得..AC。三C8E,由全等三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系

即可得到三線段間的關(guān)系.

【詳解】(1)如圖

圖1

①：ZADC=ZAGS=90°,

???Zl+Z2=Z3+Z2=90°,

JZ1=Z3.

又?；AC=BC,ZADC=ZCEB=90°f

:.ADCmCEB.

②???一ADCMCEB,

；?CE=AD,CD=BE,

：.DE=CE+CD^AD+BE.

(2)VZACB=ZCEB=90°,

.??Zl+Z2=ZCj?￡+Z2=90o,

：.Z1=ZCBE.

又.：AC=BC,ZADC=NC￡B=90。，

:?一ACD'CBE,

：.CE=AD,CABE,

：.DE=CE-CD=AD-BE.

圖2

(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD.DE、BE所滿足的等量關(guān)系是。E=8￡-AD(或

AD=-BE-DE9BE=AD+DE等).

,?ZACB=ZCEB=90°f

ZACD+NBCE=NCBE+NBCE=90°,

ZACD=NCBE,

XVAC^BC,ZADC^ZCEB^O0,

:.一ACDjCBE,

：.AD=CE,CD=BE,

:.DE=CD-CE=BE—AD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，互余的性質(zhì)等知識(shí)，證明兩個(gè)三角形全等是問題的關(guān)鍵.

10.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))在直線加上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)2AE,在直線用上方有

AB=AC,且滿足NB￡M=ZAEC=Zfi4C=a.

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，猜想線段。E8Q,CE之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,當(dāng)0<&<180。時(shí)，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明

理由;

(3)應(yīng)用：如圖3,在ABC中，N54C是鈍角，AB=AC,/BAD<NCAE,NBDA=NAEC=NBAC,直線機(jī)

與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若BC=3FB,,ABC的面積是12,求一麗與ZVICE的面積之和.

【答案】(1)DE=BD+CE

(2)Z)E=BD+CE仍然成立，理由見解析

(3)Z\FBD與AACE的面積之和為4

【分析】(1)由/BOA=/8AC=/AEC=90°得到/BA￡>+/EAC=NBAZ)+/。&4=90°,進(jìn)而得到/

=ZEAC,然后結(jié)合A8=AC得證△。區(qū)4段△￡?!(?,最后得至I」OE=BO+CE；

(2)由NB/)A=NBAC=/AEC=a得到N8AO+/E4C=N8AO+/O8A=180°-a,進(jìn)而得到N/)84=

ZEAC,然后結(jié)合A8=AC得證△DBA絲△E4C,最后得到。E=BD+CE；

(3)由NBAO>/CAE,ZBDA=ZAEC^ABAC,得出/C4E=NA8。，由A4s證得△AOB絲△C4E,得

出SA48O=SZ\CE4,再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出S4ABB即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：DE=BD+CE,理由如下，

,/ZBDA=ZHAC=N4EC=90°,

:?NBAD+NEAC=NBAD+/DBA=90°,

：.ZDBA=ZEACf

9：AB=ACf

(AAS),

：.AD=CE,BD=AEf

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

???ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAEh-ZEAC=ZBAD+ZDBA=180°-a,

；?NDBA=NEAC,

*：AB=ACf

：./\DBA^/^EAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

.?.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：。：/BADV/CAE,ZBDA=ZAEC=ZBACf

：.ZCAE=/ABD,

在△A8。和△CAE中，

ZABD=ZCAE

</BDA=ZCEA,

AB=AC

：./XABD^ACAE(AAS),

:,S4ABD=S4CAE,

設(shè)△ABC的底邊8C上的高為h,則△48尸的底邊8b上的高為h,

：.S/\ABC=^BC*h=\29SLABF=gBF?h,

?:BC=3BF,

ASAABF=4,

SdABF=S4BDF+SAABD=SAFBDtS/\ACE=4,

.,?△五B。與△ACE的面積之和為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握全等三角形的判定與性質(zhì).

11.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))如圖，NABC=90,E4_L4B于點(diǎn)A,點(diǎn)。在直線A8上,

(1)如圖1,若點(diǎn)。在線段上，判斷。尸與DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在線段A8的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，試判斷(1)中結(jié)論是否成立，并說明理由.

【答案】(1)OF=OC,DFVDC-,理由見解析

(2)成立，理由見解析

【分析】(1)先證△AO尸絲△BCD,得Z>F=OC,^ADF=ABCD,再證/尸3c=90。即可得垂直;

(2)先證△ADFg△8?￡>,WDF=DC,以DF=NBCD,再證NEDC=90。即可得垂直.

【詳解】(1)解：VZABC=90,FAYAB,

：.ZABC=ZDAF=90,

AF=BD

在△AQF與&BCD中"NDAF=ZABC,

AD=BC

：.△ADF^ASCD,

ADF=DC,ZADF=ZBCD,

；ZBDC+ZBCD=9O°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,即DFLDC.

(2)VXABC=90,FALAB,

：■ZDBC=ZDAF=90,

\AF=BD

在與"CZ）中^DAF=ZDBC,

\AD=BC

.MADF迫ABCD,

：.DF=DC,ZADF=ABCD,

,：ZBDC+ZBCD=90°,

，ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,即DF1DC.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能判斷哪兩個(gè)三角形全等.

12.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))在_A8C中，ZACB=90°,AC^BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且ADJLMV

于。，BELMN于E.

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，求證：①人位心會(huì)②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，試問。E、AD.8E具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)

等量關(guān)系，不必證明；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，試問DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)

系，不必證明.

【答案】(1)①見解析；②見解析

⑵AD=BE+DE

(3)BE=AD+DE

【分析】(1)①用AAS證明△AOCgZXCEB即可；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出AD=CE,BE=CD,進(jìn)而得出OE=8石+CD；

(2)先證明一ACZ)，.CRE(AAS),可得AD=CE,BE=CD,進(jìn)而得出AZ>=C￡>+。七=BE+OE；

(3)先證明AC。烏..CRE(AAS),可得AO=CE,BE=CD,進(jìn)而得出BE=CD=CE+DE=AD+DE.

【詳角星】(1)證明：①的V,BE1MN,

：.ZADC=ZBEC=90°f

丁ZBC4=90°,

:.ZACD+/BCE=90°,/BCE+CBE=90°,

:.ZACD=ZCBE,

在八4。。和一C￡B中，

ZADC=ZCEB=90°

?/]ZACD=ZCBE,

AC=BC

：.Z\ADC^ACEB(AAS)；

②:AADC經(jīng)ACEB,

：.AD=CE,BE=CD,

：.DE=DC+CE=BE+AD.

(2)解：AD=BE+DE.

VAD1MN9BE1MN,

：.ZADC=/BEC=90。，

?.*ZACB=90°,

???ZACD+/BCD=90°,ZBCD+/CBE=90°,

:.ZACD=NCBE,

在-AC￡>和△C3E中，

ZADC=ZCEB

9

：\^ACD=ZCBEt

AC=BC

???_A8空C3￡（AAS）,

:?AD=CE,BE=CD,

：.AD=CD+DE=BE+DE.

（3）解：BE=AD+DE.

VADIMN,BE1MN,

：.ZADC=/BEC=90。,

?/ZACB=90°,

JZACD+/BCD=90°,/BCD+ZCBE=90°,

:.ZACD=4CBE,

在..AC￡>和△C3E中,

/ADC=/CEB

9：\ZACD=ZCBE,

AC=BC

：...ACD^.,CBE（AAS）,

/.AD=CEfBE=CD,

：.BE=CD=CE+DE=AD+DE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線的定義，余角的性質(zhì).解題的關(guān)鍵熟練掌握三角

形全等的條件，證明△ACD空ACB石.

題型二：手拉手模型

一、單選題

1.（2023春,全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，。為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在4E同側(cè)分別作

等邊三角形A3C和等邊三角形CZ）￡AO與3E交于點(diǎn)。，AO與8C交于點(diǎn)尸，BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)

PQ.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

ACE

A.ZAOB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC//DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC^ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,得出A正確；根據(jù)△CQBg/XC%(ASA),得出B

正確；由△AC。絲得NCBE=NZMC,力口之NACB=N￡)CE=60。，AC=BC,得到ACQB^ACPA(ASA),

再根據(jù)NPCQ=60。推出APCQ為等邊三角形，又由/PQC=NQCE,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得出C

正確；根據(jù)/C￡>E=60。，ZDQE=ZECQ+ZCEQ=6Q°+ZCEQ,可知/。。用NCDE,得出D錯(cuò)誤.

【詳解】解：：等邊AABC和等邊ACOE,

：.AC=BC,CD=CE,NACB=NOCE=60。，

,ZACB+ZBCD=ZDCE+ABCD,即NAC￡>=NBCE,

在△AC￡>與△8CE中，

AC=BC

-ZACD=NBCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

:.NCBE=NDAC,

又：ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,即/ACQNBCQ,

又?.?AC=8C,

在^CQ8與△CPA中，

ZACP=ZBCQ

,AC=BC,

ZPAC=ZCBQ

：./\CQB^/\CPA(ASA),

:.CP=CQ,

又?；NPC0=6O。可知△PCQ為等邊三角形，

，NPQC=NDCE=60°,

：.PQ//AE,

故C正確，

:.AP=BQ,

故B正確，

'：AD=BE,AP=BQ,

：.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

,：NDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,

/.ZDQE^ZCDE,故D錯(cuò)誤；

NACB=NDCE=60。,

：.ZBCD=60°,

?.?等邊△DCE,

/EDC=60o=NBCD,

:.BC〃DE,

ZCBE=ZDEO,

：.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=f>0°,

故A正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到

不變量.

二、填空題

2.（2023春?重慶沙坪壩?七年級(jí)重慶市南渝中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，C為線段4E上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E

重合），在AE同側(cè)分別作正ABC和正aCDE,AD與8E交于點(diǎn)O,4）與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交汗■點(diǎn)、

Q,連接PQ.以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；?PQ//AE；③AP=8Q；④DE=DP；⑤ZAO3=60。.

恒成立的結(jié)論有.（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）

B

D

Q

ACE

【答案】①②③⑤

【分析】①由于49c和CDE是等邊三角形，可知AC=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=(A)°,從而證

出VACZ^VBCE,可推知仞=BE；②由VACD^VBCE得NCB￡=ZDAC,和ZACB=ZDCE=60°,

AC^BC,得到.CQ3gCR4(ASA),再根據(jù)NPCQ=60。推出△PC。為等邊三角形，又由NPQC=NDCE,

根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知②正確；③同②得：4AC尸也△BC。，即可得出結(jié)論；④根據(jù)

NDQE=NECQ+NCEQ=60°+NCEQ,NCDE=60°,可知NCQEWNCDE,可知④錯(cuò)誤；⑤利用等邊三角形

的性質(zhì)，BC//DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NC8E=ZD￡O,于是

ZAOB=ZZMC+ZBEC=ZBEC+NDEO=ZDEC=60p,可知⑤正確.

【詳解】解：①].ABC和CDE為等邊三角形，

:.AC=BC,CD=CE,^BCA=ZDCE=60°,

:.NACD=NBCE,

AC=BC

在_A8和一BCE中，,ZACD=NBCE,

CD=CE

ACD^BCE(SAS),

;.AD=BE,/ADC=NBEC,①正確;

(2)NDCP=180°-2x60°=60°=NECQ,

.NADC=ZBEC

在△CDP和VCEQ中，C￡>=CE

ZDCP=ZECQ

comCEg(ASA).

:.CP=CQ,

ZCPQ=ZCQP=60°,

NQPC=2BCA,

..PQ//AE,②正確；

③同②得：△AC0XBCQ,

AP=BQ,③正確；

④DE>QE,且DP=QE,

.?.r>E>￡>p,故④錯(cuò)誤；

⑤ZACB=ZDCE=60°,

:.ABCD=60P,

DCE是等邊三角形,

ZEDC=60°=ZBCD,

:.BC//DE,

4CBE=ZDEO,

^AOB=ZDAC+/.BEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60P,

??.⑤正確；

故答案為：①②③⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的

性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題

3.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，。為/BC內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,ZBAC=50°,將AO繞著點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°能與線段AE重合.

⑴求證：EB=DC；

（2）若NA￡>C=125。，求N8ED的度數(shù).

【答案】（1）見解析

(2)ZBED=60°

【分析】(1)根據(jù)將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)5()°能與線段AE重合，得ZZME-50%通過SAS

證明AACD^zMBE,即可證出EB=CD；

(2)由△AC-ZVIBE得：ZADC=ZAEB=\25°,再根據(jù)4)=AE,ZZME=50°,得NA￡￡)=65。，即可

求出答案.

【詳解】(1)證明：???將AD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)5()°能與線段AE重合，

AAD=AE,ZZME=50°,

/a4c=50。，

...ZDAE=ZBAC,

NCAD=NBAE,

在“CDE和,ABE中，

AC=AB

"ZCAD=ZBAE,

AD=AE

：.ACD^ABE（SAS）,

：.EB=DC；

(2)解：由A4C以△ABE得：ZADC=ZAEB,

■:ZADC=125°,

ZAEB=125°,

VAD=AE,ZZME=50°,

，ZAED=65°,

：./阻)=60。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形是性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明出

△ACD^AABE是解題的關(guān)鍵.

4.(2023春?全國(guó)七年級(jí)專題練習(xí))(1)如圖1,AABC與ACDE均為等腰直角三角形，N4C8=NOCE=90。,

猜想并證明：線段4以BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

CD

E

AB

圖1

(2)在(1)的條件下，若點(diǎn)4,E,。在同一直線上，CM為AOCE中OE邊上的高，請(qǐng)判斷/AOB的度

數(shù)及線段CM,AD,80之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)AE=BD,AEYBD,證明見解析.(2)ZADB=90°,AD=2CM+BD.證明見解析

【分析】(1)延長(zhǎng)AE交8。于點(diǎn)H,A”交BC于點(diǎn)0.只要證明AACE四△BC￡>(SAS),即可解決問題;

(2)由AACEGZXBC。，即可解決問題.

【詳解】解：(1)如圖I中，延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)，，AH交8c于點(diǎn)。，

：.AC=BC,CD=CE,

：.NACE=NBCD,

.,.△ACE絲△BCD(SAS),

：.AE=BD,ZCAE=ZCBD,

,：ZCAE+ZAOC=9Q°,ZAOC=ZBOH,

/.NBOH+NCBD=90。.

：.ZAHB=90°,

：.AE±BD.

故答案為AE=B￡>,AE±BD；

(2)N4OB=90°,AD=2CM+BD,

理由如下：如圖2中，

'：/\ACB和AOCE均為等腰直角三角形，NACB=N/)CE=90。，

?.ZCD￡=ZCE￡>=45°,

二NAEC=180°-ZCED=135°,

由(2)可知：4ACE芻/\BCD,

：.AE=BD,ZBDC=ZAEC=135°,

ZADB=ZBDC-ZCDE=135o-45°=90°；

在等腰直角三角形OCE中，CM為斜邊?！晟系母撸?/p>

CM=DM=ME,

：.DE=2CM,

：.AD=DE+AE=2CM+BD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全

等三角形解決問題.

5.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))如圖1,B、C、。三點(diǎn)在一條直線上，4。與8E交于點(diǎn)O,AABC和

△EC。是等邊三角形.

(1)求證：4ACD會(huì)/\BCE；

(2)求N8。。的度數(shù)；

(3汝”圖2,若B、C、。三點(diǎn)不在一條直線上，NBO。的度數(shù)是否發(fā)生改變？(填''改變”或“不改

變”)

【答案】(1)證明見解析

(2)/800=120°

(3)不改變，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)"SAS'證明△ACC絲ABCE即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得NAOC=NBEC,再由三角形的外角性質(zhì)得NAO8=60。，即可求解;

(3)同(1)得：bACDQ叢BCE,得出ND4C=NE8C,根據(jù)三角形外角求出/4。七二120。，即可得出答

案.

【詳解】(1)證明：:△ABC和△ECQ是等邊三角形，

AZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

：.ZACB+ZACE=/ECD+/ACE,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△AC。中

BC=AC

?；<4BCE=NACD,

CE=CD

:?△BCEmAACD(SAS\

(2)解：VABCE^AACD,

:.ZADC=ZBECf

*/ZAOB=NEBC+/ADC,

：.NAOB=NEBC+NBEC=NDCE=60。,

?/ZAOB+ZBOD=\SO0,

：.ZBOD=\20°.

(3)解：不改變，理由如下：

同(1)得：△ACDgZsBCE(SAS),

:?/DAC=NEBC,

?.,ZAOE=ZABO+ZOAB

=ZABO+ZDAC+ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

=ZABC+ZBAC

=120°

：.ZBOD=ZAOE=nO09

即N30。的度數(shù)不改變.

故答案為：不改變.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)，

證明△48名△BCE是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，大小不同的等腰直角三角形AABC和直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C

處，連接AE、80,點(diǎn)A恰好在線段8。上.

（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；

（2）猜想4E與8。的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】（l）AC8D0kG4￡,理由見解析

（2）AE1BD,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)SAS證明△CB￡>=AC4E即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直的定義解答即可.

【詳解】（1）解：ACBZ涇AC4E,理由如下：

QZACB=ZDCE=90°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即N8C3=ZACE,

在ACM）與ACAE中，

BC=AC

-ZBCD=NACE,

DC=EC

^CBD^SCAE（SAS）.

（2）解：AE1BD,理由如下：

設(shè)AE與CO相交于點(diǎn)0,在AAOO與ACOE中，

R

SCBD^SCAE,

:.ZADO=ZCEO,

ZAOD=ZCOE,

:.ZOAD=ZOCE=90°,

.-.AEYBD.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)SAS得出ACB。與

AC4E全等的解題的關(guān)鍵.

7.(2022春?重慶?七年級(jí)重慶一中?？计谥?如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形AOE,其中AB=AC,

AD=AE.

(1)如圖1,若NBAC=90。，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，AO的延長(zhǎng)線AFLBC交BC于點(diǎn)尸，則NACE=；

(2汝口圖2,連接C。、BE,延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F,若點(diǎn)尸是8c的中點(diǎn)，ZBAC^ZDAE,證明：ADVCD-,

(3)如圖3,延長(zhǎng)。C到點(diǎn)M,連接3M,使得NABM+NACM=180。，延長(zhǎng)E。、BM交于點(diǎn)、N,連接4V,

若NBAC=2/NAD,請(qǐng)寫出NAOM、/D4E它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

【答案】(1)22.5°

(2)見解析

⑶/D4E+2/A￡>M=180。，詳見解析

【分析】(1)由等腰直角三角形性質(zhì)得NB=NC”=45。，再由三角形外角性質(zhì)知NACE=/BCF,代入求值

即可；

(2)連接AF,過A作AH_LEF,由手拉手相似得△ACOS^A"/,得NCDF=；NBAC,再由NAZ)E=90。

-|ZDAE,等量代換即可得證；

(3)將AN繞4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/BAC的度數(shù)，交延長(zhǎng)線于。，證明AACQ四△ABN,WAN=AQ,再證明

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