2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019試題4.2對(duì)數(shù)

4.2對(duì)數(shù)一、單選題1．青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】由，當(dāng)時(shí)，，則.故選：C.2．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以可知，故選：C3．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：A4．中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（

）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【解析】將信噪比從1000提升至5000時(shí)，C大約增加了.故選：B.5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，．故選：B．6．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，則，所以，，解得.故選：C.7．設(shè)，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】，，則.故選D8．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.二、多選題9．方程的解為（

）A．10 B． C．1000 D．【答案】BC【解析】對(duì)兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得，即，解得或，所以或．故選：BC．10．（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，得．，故B正確；由，，且得，故A正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選ABD．11．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3<0，∴,，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故選BCD12．（多選）音樂(lè)是由不同頻率的聲音組成的，若音1(do)的頻率為f，則簡(jiǎn)譜中七個(gè)音1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(so)，6(la)，7(si)組成的音階頻率分別是f，，，，，，，其中相鄰兩個(gè)音的頻率比是一個(gè)音到另一個(gè)音的音階，上述音階只有兩個(gè)不同的值，記為，，稱為全音，稱為半音，則下列關(guān)系式成立的是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由題意可知，相鄰兩個(gè)音的頻率比分別為，，，，，，所以，，對(duì)于A，，所以故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，故C正確．對(duì)于D，，故D正確．故選：CD．三、填空題13．若，，則用，表示等于________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，得?.故答案為：14．若，則________．【答案】64【解析】.15．如果，那么__________．【答案】32【解析】因?yàn)?，故，故故答案為?216．解指數(shù)方程：__________.【答案】或【解析】由得，即，當(dāng)即時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，解得；故方程的解為：或.故答案為：或.四、解答題17．計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.【解析】（1）原式=；（2）原式=.18．計(jì)算下列各式：（1）；

（2）；（3）．【解析】解：（1）（2）（3）19．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c為正數(shù)，且滿足，，，求實(shí)數(shù)a，b，c的值．【解析】由得，即，由得，又，∴.20．（1）證明對(duì)數(shù)換底公式：（其中且，且，）（2）已知，試用表示.【解析】（1）設(shè)，寫成指數(shù)式.兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得.因?yàn)?，，，因此上式兩邊可除以，?所以，.（2）.21．已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)舉出一個(gè)反例說(shuō)明不成立；(2)證明：.【解析】（1）假設(shè)，則，，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)不成立.（反例不唯一，計(jì)算正確即可）（2）令，則，，所以.22．設(shè)，，均為正數(shù)，且.（1）試求，，之間的關(guān)系.（2）求使成立，且與最近的正整數(shù)（即求與的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)）.（3）