山東詩營(yíng)市廣饒縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)9月月考試題含解析

Page21山東省東營(yíng)市廣饒縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)9月月考試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知a，b是兩條異面直線，，那么c與b的位置關(guān)系（）A.肯定是異面 B.肯定是相交 C.不行能平行 D.不行能相交【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間直線的位置關(guān)系進(jìn)行推斷即可．【詳解】、是兩條異面直線，，與可能相交，可能異面直線，不行能平行，若，，，與，是異面直線沖突，故選：C．2.在空間四邊形中，在上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，假如交于一點(diǎn)P，則（）A.P肯定在直線上B.P肯定直線上C.P在直線或上D.P既不在直線上，也不在直線上【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)知面，結(jié)合已知條件有面、面，進(jìn)而可推斷P所在的位置.【詳解】由題意知：面，又交于一點(diǎn)P，∴面，同理，面，又面面，由公理3知：點(diǎn)P肯定在直線上.故選：B.3.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是A.若則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)全部的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．4.在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形依據(jù)空間中的垂直的判定對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、推斷后可得正確的結(jié)論．【詳解】畫出正方體，如圖所示．對(duì)于選項(xiàng)A，連，若，又，所以平面，所以可得，明顯不成立，所以A不正確．對(duì)于選項(xiàng)B，連，若，又，所以平面，故得，明顯不成立，所以B不正確．對(duì)于選項(xiàng)C，連，則．連，則得，所以平面，從而得，所以．所以C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，連，若，又，所以平面，故得，明顯不成立，所以D不正確．故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，然后結(jié)合圖形并利用解除法求解，考查數(shù)形結(jié)合和推斷實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5.如圖，在正四面體中，平面，則在平面內(nèi)過點(diǎn)與直線成60°角的直線共有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】C【解析】【分析】依據(jù)異面直線所成角的定義推斷．【詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)與或平行的直線都與成60°的角，事實(shí)上只要求得在平面內(nèi)過點(diǎn)且與直線成60°角的直線的條數(shù)．在空間過點(diǎn)與直線成60°角的直線構(gòu)成以為軸，母線的圓錐側(cè)面，此圓錐側(cè)面與平面只有兩條交線．因此滿意題意的直線只有2條．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，駕馭異面直線所成角的定義是解題關(guān)鍵．本題利用圓錐側(cè)面與過頂點(diǎn)的平面的交線說明直線的條數(shù)，留意體會(huì)．6.在三棱錐中分別是邊的中點(diǎn)，且，則四邊形是（）A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】B【解析】【分析】依據(jù)中位線的性質(zhì)及平行公理可得四邊形是平行四邊形，再利用可得四邊形是矩形.【詳解】因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，所以；同理可得，所以四邊形是平行四邊形；又因?yàn)?，所以，即四邊形是矩?故選：B.7.已知長(zhǎng)方體中，，與底面所成的角分別為和，則異面直線和所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】畫出圖形如下圖所示，由圖可知，故可設(shè)，所求異面直線所成的角的大小等于，在三角形中，，由余弦定理得.8.如圖，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為4，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，使得平面AMN與平面MNCB所成的二面角為30°，則四棱錐A－MNCB的體積為A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二面角為30°，可求出四棱錐A﹣MNCB的高，底面面積，即可求出四棱錐的體積．【詳解】由題意畫出圖形如圖，取MN，BC的中點(diǎn)E，D，易知∠AED＝30°，由題意可知AE＝，棱錐的高為AO＝底面面積為：則四棱錐A﹣MNCB的體積為,故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二面角和錐體體積問題，考查空間想象實(shí)力和平面圖形的折疊問題，考查計(jì)算實(shí)力．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列四個(gè)命題中真命題是A.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行B.若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直C.垂直于同始終線的兩條直線相互平行D.若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直【答案】BD【解析】【分析】從直線與平面平行與垂直，平面與平面平行與垂直的判定與性質(zhì)，考慮選項(xiàng)中的狀況，找出其它可能情形加以推斷，推出正確結(jié)果．【詳解】解：A：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；假如這兩條直線平行，可能得到兩個(gè)平面相交，所以A不正確．B：若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；這是判定定理，B正確．C：垂直于同始終線的兩條直線相互平行,可能是異面直線．C不正確．D：若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直，D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】考查面面平行、垂直的判定與性質(zhì)以及空間中兩直線的平行的判定，是基礎(chǔ)題.10.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，以下結(jié)論正確的是（）A.異面直線A1D與AB1所成的角為 B.直線A1D與BC1垂直C.直線A1D與BD1平行 D.三棱錐A-A1CD的體積為a3【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)線線角的定義推斷AB選項(xiàng)的正確性.利用異面直線的定義推斷C選項(xiàng)的正確性.利用錐體體積的求法推斷出D選項(xiàng)的正確性.【詳解】A1D與AB1所成角即A1D與DC1成的角，再連接A1C構(gòu)成等邊，所以異面直線與所成的角為，即A正確;A1D與BC1成的角即A1D與AD1成的角，由A1D⊥AD1可知B正確;依據(jù)異面直線的定義可知，直線與直線是異面直線，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;依題意a·a2=，即D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，考查幾何體體積的求法，考查空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.11.如圖，在正四棱錐中，，，分別是，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的為（）.A. B. C.面 D.面【答案】AC【解析】【分析】如圖所示，連接?相交于點(diǎn)，連接，，由正四棱錐性質(zhì)可得底面，，進(jìn)而得到，可得平面，利用三角形的中位線結(jié)合面面平行判定定理得平面平面，進(jìn)而得到平面，隨即可推斷A；由異面直線的定義可知不行能；由A易得C正確；由A同理可得：平面，可用反證法可說明D.【詳解】如圖所示，連接?相交于點(diǎn)，連接，.由正四棱錐，可得底面，，所以.因?yàn)?，所以平面，因?yàn)椋?，分別是，，的中點(diǎn)，所以，，而，所以平面平面，所以平面，所以，故A正確；由異面直線的定義可知:與是異面直線，不行能，因此B不正確；平面平面，所以平面，因此C正確；平面，若平面，則，與相沖突，因此當(dāng)與不重合時(shí)，與平面不垂直，即D不正確.故選:AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線平行與垂直，線面平行與垂直的判定嫻熟駕馭線面、面面的位置關(guān)系判定定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12.如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE（點(diǎn)A1不落在底面BCDE內(nèi)），連接A1B、A1C．若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE的翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（）A.BM∥平面A1DE恒成立B.：1：3C.存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CD.線段BM的長(zhǎng)為定值【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，即可證明；對(duì)B，分別計(jì)算，證明即可；對(duì)C，由A1C在平面ABCD中的射影在AC上，再推斷即可；對(duì)D，在中利用余弦定理證明即可【詳解】解：取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，如圖所示，則MF∥A1D，F(xiàn)B∥DE，則可得平面MBF∥平面A1DE，∵BM?平面MBF，BM?平面A1DE，∴BM∥A1DE，故A選項(xiàng)正確，設(shè)A1到平面EBCD的距離為h，D到AB的距離為h'，則，故B選項(xiàng)正確，A1C在平面ABCD中的射影在AC上，∵AC與DE不垂直，∴DE與A1C不垂直，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，∵∠MFB＝∠A1DE＝45°，又∵由余弦定理，可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF?FB?cos∠MFB，且MF，F(xiàn)B為定值，∴MB為定值．故選：ABD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有_____個(gè)．【答案】1個(gè)或多數(shù)個(gè)【解析】【分析】設(shè)平面外一點(diǎn)為，平面內(nèi)一點(diǎn)為，對(duì)是否與平面垂直分類探討，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)平面外一點(diǎn)為，平面內(nèi)一點(diǎn)為，若，則過任一平面都垂直，所以過存多數(shù)個(gè)平面與平面垂直；若不垂直，過點(diǎn)作唯一的直線與平面垂直，與確定唯一的平面與垂直，所以過存在唯一的平面與平面垂直.故答案為：1個(gè)或多數(shù)個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面垂直的性質(zhì)、平面和平面垂直的判定，考查直觀想象實(shí)力，屬于中檔題.14.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿意條件：________時(shí)，平面.【答案】答案表述不唯一)【解析】【分析】當(dāng)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)時(shí)，依據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可推斷，從而可得平面，由此可得出點(diǎn)滿意條件的結(jié)論.【詳解】連接交于O，連接OE，平面平面，平面平面，.又底面為平行四邊形，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，故為中點(diǎn),為的中點(diǎn)，故當(dāng)滿意條件:時(shí)，面.故答案為:答案表述不唯一)15.已知平面平面，過點(diǎn)的直線與，分別交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與，分別交于，兩點(diǎn)，且，，，則的長(zhǎng)為___________.【答案】或【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)可能在兩平面之間或在兩平面之外兩種狀況，然后利用比例關(guān)系求出的長(zhǎng)即可.【詳解】如圖：當(dāng)點(diǎn)在兩平面之外即在延長(zhǎng)線上時(shí)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，解得，如圖：當(dāng)點(diǎn)在兩平面之間即在線段上時(shí)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，解得，所以，綜上所述：的長(zhǎng)為或，故答案為：或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用面面平行的性質(zhì)定理可得，再利用平行線分線段成比例求的長(zhǎng)，但是要留意須要探討點(diǎn)的位置.16.在正方體中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，①四邊形肯定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③四邊形在底面內(nèi)的投影肯定是正方形；④四邊形有可能垂直于平面．以上結(jié)論正確的為___________．（寫出全部正確結(jié)論編號(hào)）【答案】①③④【解析】【分析】由題意，在正方體中，結(jié)合幾何關(guān)系逐一考查所給命題的真假即可求得最終結(jié)果【詳解】對(duì)于①，由平面平面，并且、、、四點(diǎn)共面，，同理可證，，故四邊形肯定是平行四邊形，故①正確；對(duì)于②，若是正方形，有，又，且，平面，又平面，與經(jīng)過平面外一點(diǎn)作已知平面的垂線有且只有一條相沖突，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由圖得，在底面內(nèi)的投影肯定是正方形，故③正確；

對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)和分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)時(shí)，:平面平面，故④正確．

故答案為：①③④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查了正方體的幾何特征，利用面面平行和線線垂直，以及特別狀況進(jìn)行推斷，考查了學(xué)生的空間想象實(shí)力和邏輯思維實(shí)力，屬于中檔題.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點(diǎn)，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求證:EF，HG，DC三線共點(diǎn).【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接HE，GF，只要證明即可；（2）延長(zhǎng)HG，DC交于點(diǎn)M，證明M點(diǎn)在直線EF上即可.【小問1詳解】連接HE，GF，如圖：因?yàn)镠，E分別是，的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，∴，又G，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，直線與直線HE共面，，∴H，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面；【小問2詳解】延長(zhǎng)HG與DC的延長(zhǎng)線交于M，連接FM，如上圖，∵G是的中點(diǎn)，∴，，又，，，所以平面ABCD內(nèi)，與是對(duì)頂角，即與共線，HG，DC，EF三線交于M點(diǎn).18.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).(1)求證：OE∥平面BCC1B1.(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理，通過中位線平行得到，從而得到平面；（2）要證明線線垂直，則證明平面線面垂直，所以依據(jù)線面垂直的判定定理，找到，則得證．【詳解】(1)連接BC1，因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，所以O(shè)為AC1的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥BC1，因?yàn)镺E?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以O(shè)E∥平面BCC1B1.(2)因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因?yàn)锳C1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因?yàn)锽C?平面A1BC，所以AC1⊥BC.19.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PAB；（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求證：平面PEF⊥平面PBC．【答案】見解析【解析】【詳解】試題分析：（1）利用E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，說明EF∥AB，通過直線與平面平行的判定定理干脆證明EF∥平面PAB．（2）證明PE⊥AC，利用平面與平面垂直的判定定理證明PE⊥平面ABC，通過證明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，證明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB．又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E為AC中點(diǎn)，∴PE⊥AC．∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC．∴PE⊥BC．又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，又EF∩PE=E，∴BC⊥平面PEF．∴平面PEF⊥平面PBC．考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．20.如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，AA1＝3，點(diǎn)E在棱B1B上運(yùn)動(dòng)．(1)證明：AC⊥D1E；(2)若三棱錐B1－A1D1E的體積為時(shí)，求異面直線AD，D1E所成的角．【答案】（1）見證明；（2）所成的角為60°【解析】【分析】（1）首先，連結(jié)BD，證明AC⊥平面B1BDD1，即可得到AC⊥D1E；（2）可以得到∠A1D1E為異面直線AD，D1E所成的角，依據(jù)ED1＝2，求解得到∠A1D1E＝60°．【詳解】(1)證明如下圖所示：連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，∴B1B⊥AC，∵BD∩B1B＝B，∴AC⊥平面B1BDD1.∵D1E?平面B1BDD1，∴AC⊥D1E.(2)∵＝，EB1⊥平面A1B1C1D1，∴＝·EB1.∵＝A1B1·A1D1＝1，∴＝EB1＝.∴EB1＝2.∵AD∥A1D1，∴∠A1D1E為異面直線AD，D1E所成的角．在Rt△EB1D1中，求得ED1＝2.∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E.在Rt△EB1D1中，得cos∠A1D1E＝＝，∴∠A1D1E＝60°.∴異面直線AD，D1E所成的角為60°.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查異面直線所成的角，屬于中檔題．21.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=