湖北省武漢市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題含解析

Page20湖北省武漢市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題一、單項(xiàng)選擇題1.如圖，已知為圓外一點(diǎn)（為圓心），線段交圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，若劣弧等分的面積，且弧度，則（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知得出，列式化簡得出，即.【詳解】劣弧等分的面積，，則，則，則，故選：B.2.若，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，依據(jù)誘導(dǎo)公式可求，再依據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系即可得.【詳解】解：因?yàn)?，則，于是可得，所以.故選：D.3.如圖，平行四邊形中，M為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，若，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可得，結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，M為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，所以，所以，又，所以，.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定的函數(shù)，利用奇偶性可解除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)即可推斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，解除CD；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸的上方，明顯A不滿意，B滿意.故選：B5.已知，則的值域?yàn)锳. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化為利用二次函數(shù)求值域即可【詳解】因?yàn)?，所以，由，得，所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，二次型函數(shù)求值域，熟記公式，精確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)求出，，再依據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：D7.在四邊形中，為的重心，，點(diǎn)在線段上，則的最小值為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)平面對量的加法幾何意義，三角形重心的性質(zhì)和平面數(shù)量積的概念得到，再利用基本不等式性質(zhì)即可得到答案.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋?，于是有，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故選：A8.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一條對稱軸，若在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，依據(jù)題意分析得出，其中，可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出的取值范圍，可得出的可能取值，然后對的值由大到小進(jìn)行檢驗(yàn)，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一條對稱軸，則，其中，所以，，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，所以，.所以，的可能取值有：、、、、.（i）當(dāng)時(shí)，，，所以，，則，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，，所以，，則，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，合乎題意.因此，的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)中的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)的周期確定的表達(dá)式與取值范圍，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.二、多選題9.已知向量和實(shí)數(shù)，下列說法正確的是（）A.若，則或B.若且，則當(dāng)時(shí)，肯定有與共線C若D.若且，則【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)平面對量的共線定理、向量數(shù)乘和向量數(shù)量積的定義逐項(xiàng)分析推斷.【詳解】對于A選項(xiàng)：若，則或或，A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)：依據(jù)共線定理，若且，則當(dāng)且僅當(dāng)有唯一實(shí)數(shù)，使得時(shí)，肯定有與共線，B正確；對于C選項(xiàng)：當(dāng)與均不是零向量時(shí)，由，可得，即，故與的夾角為或，可得；當(dāng)與至少有一個(gè)零向量時(shí)，明顯；綜上所述：，C正確；對于D選項(xiàng)：∵且，則，∴，但不能確定，D錯(cuò)誤．故選：BC．10.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)二倍角的余弦公式以及兩角和的正切公式即可推斷選項(xiàng)ABC，依據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系將切化弦即可計(jì)算出選項(xiàng)D的結(jié)果.【詳解】依據(jù)二倍角的余弦公式可得，即A正確；由可得，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，所以C正確；由于，所以D錯(cuò)誤；故選：AC11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】BCD【解析】【分析】由圖象可得，，代入可得，然后依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可【詳解】由圖象可知：，周期，∴；由，所以，解得，由可得，故函數(shù)．對于A：，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏?，正弦函?shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C：當(dāng)時(shí)，，即直線是的一條對稱軸，故C正確；對于D：向右平移個(gè)單位得，故D正確，故選：BCD．12.已知函數(shù)，說法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.方程在的解為，且C.的對稱軸是D.若，則【答案】AB【解析】【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)，即可畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象一一分析即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以的圖象如下所示：，由圖可知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確，由圖可知不是函數(shù)的對稱軸，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以與的交點(diǎn)即為所求，如圖知有四個(gè)交點(diǎn)，且，，所以，故B正確.由圖象可知若，所以，，則，，，，所以，，，故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)圍著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)定義求得，確定與x軸正半軸的夾角為,結(jié)合三角函數(shù)定義以及兩角差的余弦公式即可求得答案.【詳解】由題意得,設(shè)與x軸正半軸的夾角為，則，則與x軸正半軸的夾角為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故答案為：14.已知是方程兩根，且，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】首先利用韋達(dá)定理，得到兩角正切的關(guān)系式，再依據(jù)兩角和的正切公式，求角.【詳解】由條件可知，，所以，因?yàn)椋?，所?故答案為：15.如圖所示，為的外心，，，為鈍角，為邊的中點(diǎn)，則的值為___________.【答案】5【解析】【分析】取?的中點(diǎn)?，結(jié)合平面對量得線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而結(jié)合圖形以及平面對量數(shù)量積的定義即可求出結(jié)果.【詳解】取?的中點(diǎn)?，可知，，∵是邊的中點(diǎn)，∴，∴，由數(shù)量積的定義可得，而，故；同理可得，故，故答案為：5.16.若，則函數(shù)的值域是__________．【答案】【解析】【分析】化簡可得.令，依據(jù)幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【詳解】，設(shè)，，則.由于，則，且.設(shè)，由該式的幾何意義得下面圖形，，其中直線為圓的切線，由圖知.由圖知，在中，有，，所以，所以，所以.所以，，故所求值域?yàn)椋蚀鸢福海?、解答題17.已知的夾角為，，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)共線向量定理，建立方程組，可解得結(jié)果.（2）依據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0，解得結(jié)果.【小問1詳解】若，得，即，即解得，．【小問2詳解】若，則，即，得，，解得．18.已知，，.（1）求的值；（2）求向量與夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆綻開，代入即可求解；（2）先分別求出，再干脆代入向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】依題意，因?yàn)椋?，因?yàn)閨，所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所?令與的夾角為θ，則，所以向量與夾角的余弦值是.19.某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度（米）隨著時(shí)間（，單位：小時(shí)）而周期性改變.每天各時(shí)刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表；（時(shí)）03691215182124（米）1.01.41.00.61.01.40.90.61.0經(jīng)過長期觀測，可近似的看成是函數(shù).（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的解析式；（2）假如確定在一天內(nèi)的7時(shí)至19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時(shí)才進(jìn)行調(diào)練，試支配恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間.【答案】（1）（2）應(yīng)在11點(diǎn)到19點(diǎn)之間訓(xùn)練.【解析】【分析】（1）依據(jù)數(shù)據(jù)y的最大值和最小值，求出，利用周期求，通過代點(diǎn)求出，可得的解析式；（2）在定義域范圍內(nèi)解三角不等式即可.【小問1詳解】不妨設(shè)，由表中數(shù)據(jù)可知，，，，即，則，將點(diǎn)代入中，可得，結(jié)合，解得，所以該模型的解析式為【小問2詳解】，則，由，有，所以或或，解得或或，所以應(yīng)在11點(diǎn)到19點(diǎn)之間訓(xùn)練.20.已知，，求的值．【答案】【解析】【分析】方法一：利用倍角公式和和差公式可得，然后利用條件可求出答案.【詳解】［方法一］：依據(jù)已知角化簡，，，．，．［方法二］：干脆綻開求，得，平方得=，，，原式=＝－．［方法三］：【最優(yōu)解】逆用兩角和的正切公式和二倍角公式因?yàn)?，，所以，即原式?，，原式=．［方法四］：整體法求因?yàn)?，，所以?，又，所以=－，=7，原式＝－．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：將所求式化簡成已知角的三角函數(shù)形式，整體代換求出；方法二：干脆依據(jù)兩角和的余弦公式綻開以及平方關(guān)系求，化切為弦求出；方法三：逆用兩角和的正切公式和二倍角公式求解最為簡潔，是該題的最優(yōu)解；方法四：利用整體思想以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，是該題的通性通法．21.已知函數(shù)．（1）若的圖象關(guān)于直線對稱，，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，和是的兩個(gè)零點(diǎn)，求的值和的取值范圍．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）由倍角公式、和差公式化簡，由整體法依據(jù)對稱軸求得，即可由整體法進(jìn)一步求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由整體法確定的值，即可求值.由正弦型函數(shù)圖象及性質(zhì)列不等式可求得的取值范圍.【小問1詳解】，∵的圖象關(guān)于直線對稱，則，解得，∵，∴，則，由得則的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】∵，∴，∵和是的兩個(gè)零點(diǎn)，∴，∴.令，在上恰有兩個(gè)不同的解，∴.∴的取值范圍為.22.已知函數(shù)f(x)=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9．（1）求出f(x)的最小正周期，并證明；（“周期”要證，“最小”不用證明）（2）若，求f(x)的值域；（3）是否存在正整數(shù)n，使得f(x)=0在區(qū)間[0，nπ]內(nèi)恰有2001個(gè)根，若存在，求出n的值：若不存在，說明理由．【答案】（1）最小正周期為；證明見解析（2）（3）存在；【解析】