2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

.2平面對量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點(diǎn)一平面對量的數(shù)量積1.(2024課標(biāo)Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=()A.2B.2C.52D.50答案A本題主要考查平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的計算;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|=(-1)2+1一題多解∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,則|a-b|=a2-2a·b+2.(2017課標(biāo)Ⅱ文,4,5分)設(shè)非零向量a,b滿意|a+b|=|a-b|,則()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案A本題考查向量的有關(guān)概念.由|a+b|=|a-b|的幾何意義知,以向量a、b為鄰邊的平行四邊形為矩形,所以a⊥b.故選A.一題多解將|a+b|=|a-b|兩邊分別平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥b.故選A.3.(2016課標(biāo)Ⅲ理,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,A.30°B.45°C.60°D.120°答案Acos∠ABC=BA·BC|BA|·|BC|=4.(2015山東理,4,5分)已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則BD·CD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.答案DBD·CD=(BC+CD)·CD=BC·CD+CD2=12a2+a2=325.(2015課標(biāo)Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.2答案C因為2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故選C.6.(2015福建文,7,5分)設(shè)a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,則實數(shù)k的值等于()A.-32B.-53C.53答案Ac=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-32.故選7.(2015廣東文,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,AB=(1,-2),AD=(2,1),則AD·AC=()A.5B.4C.3D.2答案A∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AC=AB+AD=(3,-1),∴AD·AC=2×3+1×(-1)=5.選A.8.(2015重慶文,7,5分)已知非零向量a,b滿意|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為()A.π3B.π2C.2π3答案C因為a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b|=-2|a|24|a9.(2014課標(biāo)Ⅱ,理3,文4,5分)設(shè)向量a,b滿意|a+b|=10,|a-b|=6,則a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A∵|a+b|=10,∴a2+2a·b+b2=10.①又|a-b|=6,∴a2-2a·b+b2=6.②①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故選A.10.(2014大綱全國文,6,5分)已知a、b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.2答案B(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故選B.11.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿意4|m|=3|n|,cos<m,n>=13.若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為(A.4B.-4C.94D.-答案B因為n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-n2t,又4|m|=3|n|,所以cos<m,n>=m·n|m|·|n|=4m12.(2016天津,7,5分)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為()A.-58B.18C.14答案B建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.則B-12,0,C12,易知DE=12AC,則EF=14AC=因為∠FEC=60°,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為18,-38,所以所以AF·BC=18,-538·(1,0)=13.(2016課標(biāo)Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.

答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.14.(2024課標(biāo)Ⅰ文,14,5分)設(shè)向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,則m=.

答案5解析由a⊥b得a·b=0,即m+1-(2m-4)=0,解得m=5.15.(2024北京文,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m=.

答案-1解析本題主要考查平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即ma2-a·b=0,即m-(-1)=0,∴m=-1.16.(2024江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若AB·CD=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

答案3解析本題考查直線與圓的位置關(guān)系.設(shè)A(a,2a),a>0,則Ca+5∴圓C的方程為x-a+522+(y-a)2由x-a∴AB·CD=(5-a,-2a)·-a-32,2-a=a2-2a一題多解由題意易得∠BAD=45°.設(shè)直線DB的傾斜角為θ,則tanθ=-12∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,∴kAB=-tan∠ABO=-3.∴AB的方程為y=-3(x-5),由y=-3(17.(2017天津,理13,文14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為.

答案3解析本題主要考查平面對量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積.如圖,由BD=2DC得AD=13AB+所以AD·AE=13AB+23AC·(λAC-AB)=13λAB·AC-13AB又AB·AC=3×2×cos60°=3,AB2=9,AC所以AD·AE=λ-3+83λ-2=113λ-5=-4,解得λ=思路分析依據(jù)BD=2DC得AD=13AB+23AC,利用AD·AE=-4以及向量的數(shù)量積建立關(guān)于λ的方程,一題多解以A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,因為AB=3,AC=2,∠A=60°,所以B(3,0),C(1,3),又BD=2DC,所以D53,233,所以AD=53,233,而AE=λAC-AB=λ(1,3)-(3,0)=(λ-3,3λ),因此AD·解得λ=31118.(2017課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.

答案7解析本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.19.(2016課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=.

答案-2解析因為a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23易錯警示混淆兩向量平行與垂直的條件是造成失分的主要緣由.20.(2016山東文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),則實數(shù)t的值為.

答案-5解析因為a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因為a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.評析本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量的模以及兩向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)學(xué)問,考查學(xué)生的運(yùn)算求解實力以及方程思想的應(yīng)用.21.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為.

答案π解析∵cos<a,b>=a·b|a|·|∴a與b夾角的大小為π622.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1·e2=12.若平面對量b滿意b·e1=b·e2=1,則|b|=答案2解析令e1與e2的夾角為θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因為b·(e1-e2)=0,所以b與e1、e2的夾角均為30°,從而|b|=1cos30°23.(2014重慶文,12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),|b|=10,則a·b=.

答案10解析由a=(-2,-6),得|a|=(-2)2∴a·b=|a||b|cos<a,b>=210×10×cos60°=10.24.(2014課標(biāo)Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若AO=12(AB+AC),則AB與AC的夾角為答案90°解析由AO=12(AB+AC)可知O為BC的中點(diǎn),即BC為圓O的直徑,又因為直徑所對的圓周角為直角,所以∠BAC=90°,所以AB與AC的夾角為25.(2014湖北文,12,5分)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,則|AB|=.

答案25解析|AB|=|OB-OA|=OA2∵|OA|=|OB|=12+(-3)2=∴|AB|=20=25,故答案為25.26.(2014湖北理,11,5分)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),則實數(shù)λ=.

答案±3解析|a|=32,|b|=2,a·b=3×1+3×(-1)=0.因為(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.27.(2013課標(biāo)Ⅱ,理13,文14,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點(diǎn),則AE·BD=.

答案2解析解法一:AE·BD=AD+12AB·(AD-AB)=AD2-12AB解法二:以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),AE=(1,2),BD=(-2,2),則AE·BD=1×(-2)+2×2=2.28.(2013課標(biāo)Ⅰ,理13,文3,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=.

答案2解析解法一:∵b·c=0,∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴12解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的終點(diǎn)A、B、C共線,在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)a=(1,0),b=12則c=32把a(bǔ)、b、c的坐標(biāo)代入c=ta+(1-t)b,得t=2.評析本題考查了向量的運(yùn)算,利用三點(diǎn)共線的條件得到c的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.29.(2012課標(biāo),理13,文13,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=.

答案32解析|2a-b|=10兩邊平方得4|a|2-4|a|·|b|cos45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-22|b|-6=0.∴|b|=32或|b|=-2(舍去).評析本題考查了向量的基本運(yùn)算,考查了方程的思想.通過“平方”把向量轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積是求解的關(guān)鍵.30.(2012安徽文,11,5分)設(shè)向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,則|a|=.

答案2解析a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b,∴(a+c)·b=0,∴3m+3+3m=0,∴m=-12∴a=(1,-1),∴|a|=12+(-評析本題主要考查向量的基本運(yùn)算,考查了向量垂直的充要條件.31.(2011課標(biāo),文13,5分)已知a與b為兩個不共線的單位向量,k為實數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k=.

答案1解析由題意知|a|=1,|b|=1,<a,b>≠0且<a,b>≠π.由a+b與向量ka-b垂直,得(a+b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos<a,b>-|b|2=0,(k-1)(1+cos<a,b>)=0.又1+cos<a,b>≠0,∴k-1=0,k=1.評析本題考查向量的模、向量的數(shù)量積等相關(guān)學(xué)問,考查學(xué)生的運(yùn)算求解實力,屬中等難度試題.考點(diǎn)二平面對量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2024天津文,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BC·OM的值為()A.-15B.-9C.-6D.0答案C本題考查向量的運(yùn)算.解法一:連接OA.∵BC=AC-AB=3AN-3AM=3(ON-OA)-3(OM-OA)=3(ON-OM),∴BC·OM=3(ON-OM)·OM=3(ON·OM-|OM|2)=3×(2×1×cos120°-12)=3×(-2)=-6.故選C.解法二:在△ABC中,不妨設(shè)∠A=90°,取特別狀況ON⊥AC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因為∠MON=120°,ON=2,OM=1,所以O(shè)2,32,C0,3故BC·OM=-152,332·122.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的邊長為23,平面ABC內(nèi)的動點(diǎn)P,M滿意|AP|=1,PM=MC,則|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+63答案B以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),C(23,0),B(3,3).設(shè)P(x,y),∵|AP|=1,∴x2+y2=1,∵PM=MC,∴M為PC的中點(diǎn),∴Mx+2∴|BM|2=x+23=x24+=14-3y+9=37又∵-1≤y≤1,∴當(dāng)y=-1時,|BM|2取得最大值,且最大值為494思路分析由△ABC為正三角形,|AP|=1,考慮到用建立平面直角坐標(biāo)系的方法來解決向量問題.評析本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸思想.3.(2015福建理,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且AP=AB|AB|+4AC|AC|,A.13B.15C.19D.21答案A以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B1t,0(t>0),C(0,t),P(1,4),PB·PC=1t-1,-4·(-1,t-4)=17-4t+1t4.(2016四川,10,5分)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿意|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,動點(diǎn)P,M滿意|AP|=1,PM=MC,則|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+63答案B由|DA|=|DB|=|DC|及DA·DB=DB·DC=DC·DA?DB⊥CA,DC⊥AB,DA⊥CB,且∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,∴△ABC為正三角形,設(shè)|DA|=a,則a2cos120°=-2?a=2?AC=23?OC=3,如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-3,0),B(3,0),C(0,3).由PM=MC?P,M,C三點(diǎn)共線且M為PC的中點(diǎn),設(shè)P(x,y),由|AP|=1?(x+3)2+y2=1,令x+3=cosθ,y∴Mcosθ∴|BM|2=14[(cosθ-33)2+(3+sinθ)2=14[37-(63=1437-12cosθ∴|BM|2的最大值為4945.(2024浙江,17,6分)已知正方形ABCD的邊長為1.當(dāng)每個λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時,|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是,最大值是.

答案0;25解析本題考查平面對量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算,在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中涉及多個未知數(shù)據(jù)以此來考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實力,數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),∴AB=(1,0),BC=(0,1),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1),故|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|=(λ明顯(*)式中第一個括號中的λ1,λ3與其次個括號中的λ2,λ4的取值互不