2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練08立體幾何教師版

熱點(diǎn)08立體幾何從新高考的考查狀況來看，立體幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點(diǎn)是：①幾何體的表面積和體積，與球有關(guān)的切、接問題，一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等；②異面直線所成的角和線面位置關(guān)系；③直線與平面以及平面與平面平行（垂直）的判定和性質(zhì)，常出現(xiàn)在解答題的第（1）問中，難度中等；④利用向量法求空間角和空間距離是高考的重點(diǎn)，考查頻率較高，線、面的平行和垂直問題一般不用向量法求解，但向量法的運(yùn)用有時(shí)可以加快求解速度，主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．該部分主要考查考生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)．1、幾何體的表面積（體積）問題的常見類型及解題策略：（1）若所給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可干脆利用公式進(jìn)行求解．（2）若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解．①等體積法：一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．假如一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采納等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特殊是三棱錐的體積.②割補(bǔ)法：運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問題，關(guān)鍵是能依據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，假如是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體積累而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和;假如是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積．2、球面幾何的解題技巧：1）確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.2）球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：(1)長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)；(2)正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特殊地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；(4)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；(5)球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高．3）與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系.4）有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿意關(guān)系式：.3、向量法求空間角度和距離的方法策略：建立空間直角坐標(biāo)系，把空間中的點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組(即坐標(biāo))表示出來,通過坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算解決空間幾何問題，實(shí)現(xiàn)了幾何問題(形)與代數(shù)問題(數(shù))的結(jié)合.1）用向量法求異面直線所成的角：（1）建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求出兩條直線的方向向量；（3）代入公式求解.2）向量法求直線與平面所成的角：（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．3）向量法求二面角：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要留意結(jié)合實(shí)際圖形推斷所求角是銳角還是鈍角．4）求點(diǎn)P到平面α的距離的三個(gè)步驟：（1）在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)．（2）確定平面α的法向量n.（3）代入公式求解.熱點(diǎn)1、球面幾何主要考查多面體的外接球的表面積、體積等，一般應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。熱點(diǎn)2、直線與平面以及平面與平面平行（垂直）的判定和性質(zhì)(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合找尋證題思路。(2)利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加協(xié)助線(或面)是解題的常用方法之一。熱點(diǎn)3、空間向量的應(yīng)用（求角、距離等）主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算。(1)兩條異面直線所成的角：①平移法；②補(bǔ)形法；③向量法。(2)直線和平面所成的角：①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計(jì)算，或用向量計(jì)算。②用公式計(jì)算。(3)二面角：①平面角的作法：(i)定義法；(ii)垂面法。②平面角的計(jì)算法：(i)找到平面角，然后在三角形中計(jì)算(解三角形)或用向量計(jì)算；(ii)射影面積法；(iii)向量夾角公式。(4)求點(diǎn)到平面的距離：一般找出(或作出)過此點(diǎn)與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過該點(diǎn)作出平面的垂線，進(jìn)而計(jì)算;也可以利用“等體積法”干脆求距離。A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·山東·泰安一中模擬預(yù)料）如圖，位于貴州黔南的“中國(guó)天眼”是具有我國(guó)自主學(xué)問產(chǎn)權(quán)?世界最大單口徑?最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡，其反射面的形態(tài)為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設(shè)球冠所在球的半徑為，球冠底的半徑為，球冠的高為，球冠底面圓的周長(zhǎng)為.已知球冠的表面積公式為，若，則球冠所在球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，點(diǎn)是球冠所在球的球心，點(diǎn)是球冠底面圓的圓心，點(diǎn)是球冠底面圓周上點(diǎn)，線段是球冠的高，先求，再求出，，即得和球的表面積.【詳解】解：如圖，點(diǎn)是球冠所在球的球心，點(diǎn)是球冠底面圓的圓心，點(diǎn)是球冠底面圓周上點(diǎn)，線段是球冠的高.依題意，垂直于球冠底面，明顯，在Rt中，，即，整理化簡(jiǎn)得，所以球冠所在球的半徑.因?yàn)榍蚬诘酌鎴A的周長(zhǎng)，所以，又球冠的表面積公式為，且，則，因?yàn)?，所以，解得，故球的表面積為.故選：B.2．（2024·重慶市涪陵試驗(yàn)中學(xué)校高三期中）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何探討的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面風(fēng)光 上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故選：B.3．（2024·山東濰坊·高三期中）“迪拜世博會(huì)”于2024年10月1日至2024年3月31日在迪拜實(shí)行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形態(tài)可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出內(nèi)層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內(nèi)層圓柱高出的幾何體的體積之和，計(jì)算可得解.【詳解】如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，可知內(nèi)層圓柱的高同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，可知外層圓柱的高此模型的體積為故選：C4．（2024·廣東龍崗·高三期中）如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得二面角為，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得為等邊三角形，作中點(diǎn)，可證平面，再由錐體體積公式即可求解.【詳解】由，，由旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等可得：，又二面角為，即，故為等邊三角形，作中點(diǎn)，連接，可得，又，所以平面，所以，即平面，結(jié)合幾何關(guān)系可得，故.故選：A5．（2024·山東·膠州市教化體育局教學(xué)探討室高三期中）已知，是空間中兩條不同的直線，，是空間中兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是()A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】A【分析】由線面平行、垂直，面面平行、垂直的性質(zhì)即可推斷.【詳解】由，，所以，又，所以，故A對(duì).由，，則或者，則B錯(cuò).由，，所以，又，則或，故C錯(cuò).由，，則、、，故D錯(cuò).故選：A.6．（2024·江蘇南通·高三期中）已知圓錐SO的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB，SC兩兩垂直，且，則圓錐SO的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)題意，結(jié)合勾股定理與正弦定理，求出圓錐底面半徑和高，再依據(jù)體積公式，即可求解.【詳解】依據(jù)題意，因?yàn)?，，兩兩垂直，且，所以，設(shè)圓錐底面半徑為，結(jié)合正弦定理，知，即，因此，故.故選：C.7．（2024·浙江·高三期中）一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐各棱棱長(zhǎng)的最大值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖，通過計(jì)算求得即可.【詳解】解析：，計(jì)算可得：，，，．故選：C．8．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們?cè)诶L畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時(shí)所畫的底面積大小是，則和的值分別是（）A．3； B．4； C．4； D．3；【答案】C【分析】設(shè)該正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，由體積得到，再算出側(cè)面積和底面積，進(jìn)而得到該四棱錐的表面積，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】如圖，O為底面ABCD的中心，E為BC的中點(diǎn)，連接PO，OE，設(shè)該正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，且，由題意，.易有，，則，所以，，將代入并化簡(jiǎn)得：，于是，.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”.易知，此時(shí)底面ABCD直觀圖的面積.選：C.9．（2024·浙江·模擬預(yù)料）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（chumeng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五面體是一個(gè)芻甍，其中四邊形為矩形，平面，且（AD的長(zhǎng)度為常數(shù)），△是等邊三角形，當(dāng)五面體體積最大時(shí)，記二面角的大小為，二面角的大小為，直線與所成的角為，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)求的長(zhǎng)度，依據(jù)△是等邊三角形及五面體的構(gòu)成，推斷體積最大時(shí)幾何體中相關(guān)線面、面面的位置關(guān)系，進(jìn)而確定、、的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，則，如下圖：若分別為的中點(diǎn)，連接，則由四棱錐和斜棱柱組合而成，又△是等邊三角形，即，而對(duì)于四棱錐：底面面積為定值，斜棱柱：底面面積為定值，∴要使五面體體積最大，到面的距離及底面的高都最大即可，故只需平面，即為直三棱柱，此時(shí)，面都與面垂直，如下圖示：∴1、二面角的平面角為且大小為，2、直線與所成角的平面角為，而面面，則面，面，故，又，即∴在中，，，易知：為，3、若為的中點(diǎn)，連接，易知：，而△△，即△為等邊三角形，故，又，則，，∴面，即二面角的平面角為，∴在中，，故.故選：C.10．（2024·浙江·高三期中）在正方體中P，Q分別是和的中點(diǎn)，則下列推斷錯(cuò)誤的是（）A．B．平面C．D．平面【答案】D【分析】取中點(diǎn)，連接，通過證明平面可推斷A；分別取中點(diǎn)，連接，可證明，即可證明，可推斷C；進(jìn)一步即可證明平面推斷B；依據(jù)平面可推斷D.【詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)镻，Q分別是和的中點(diǎn)，易得，又，平面，平面，，故A正確；分別取中點(diǎn)，連接，易得且，所以四邊形為平行四邊形，，又，，故C正確；，，又，，平面，故B正確；平面即為平面，明顯平面，故D錯(cuò)誤.故選：D.11．（2024·上?！げ軛疃懈呷谥校┮阎襟w的棱長(zhǎng)為，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，由已知條件得出，可得出、所滿意的等式，求出點(diǎn)的軌跡與線段、的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得結(jié)果.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，，由題意可知，平面，則，令，可得；令，可得.所以，點(diǎn)的軌跡交線段于點(diǎn)，交線段的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：B.12．（2024·新疆·昌吉市第九中學(xué)高三期末）已知梯形CEPD如下圖所示，其中，，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿意時(shí)，平面平面PCE，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，依據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù).【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，

∴，則，，若是面一個(gè)法向量，則，可得，若是面一個(gè)法向量，則，可得，∴由面面PCE，有，解得.故選：D二、多選題13．（2024·福建·永安市第三中學(xué)中學(xué)校高三期中）在正方體中，為底面的中心，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)．現(xiàn)有以下結(jié)論中正確的是（）A．與是異面直線； B．過、、三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形；C．平面平面； D．平面．【答案】BC【分析】連接PC，證明PQ//CE，即可推斷選項(xiàng)A；連接A1C1，過E作EF//A1C1交C1D1于點(diǎn)F，連接CF，證明EF//A1C1//AC，且EF<A1C1＝AC，即可推斷選項(xiàng)B，利用面面垂直的判定定理即可推斷選項(xiàng)C，假設(shè)PE//平面CDD1C1，推出E為A1D1的中點(diǎn)，與已知沖突，即可推斷選項(xiàng)D．【詳解】連接，因?yàn)闉檎叫蔚闹行?，所以是的中點(diǎn)，又Q為線段AE的中點(diǎn)，所以PQ∥CE，故點(diǎn)P，Q，E，C四點(diǎn)共面，即PE與QC共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

連接A1C1，過E作EF∥A1C1交C1D1于點(diǎn)F，

連接CF，則四邊形ACFE是正方體過A，P，E三點(diǎn)的截面，因?yàn)镋F∥A1C1∥AC，且EF＜A1C1＝AC，EA=CF,故四邊形ACFE為等腰梯形，故選項(xiàng)B正確；

由正方體ABCD－A1B1C1D1中，可得AP⊥平面BDD1B1，又平面APE，

所以平面APE⊥平面BDD1B1，故選項(xiàng)C正確；

假設(shè)PE∥平面CDD1C1，又平面ACEF，平面平面，所以PE∥CF，又EF∥PC，

所以四邊形PCFE為平行四邊形，故，

所以EF為的中位線，即E為A1D1的中點(diǎn)，這與點(diǎn)E為線段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)沖突，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故答案為：BC．14．（2024·江蘇·南京師大附中高三期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面分別與棱交于點(diǎn)G，H，以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．正方體外接球的表面積為3πB．平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為C．四棱錐的體積為定值D．點(diǎn)到平面EGFH的距離的最大值為【答案】ACD【分析】干脆計(jì)算表面積得到A正確，成最大角時(shí)，B錯(cuò)誤，計(jì)算，C正確，建立坐標(biāo)系利用向量計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】對(duì)于A：，正確；對(duì)于B：成最大角時(shí)為平面或平面所成角，錯(cuò)誤；對(duì)于C：，正確；對(duì)于D：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)H(0，0，m)，設(shè)平面EGFH的法向量為，則，取得到，，時(shí)等號(hào)成立，正確.故選：ACD.15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說法正確的是（）A．外接球的表面積為B．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則C．過點(diǎn)P作平面截圓錐的截面面積的最大值為D．設(shè)長(zhǎng)方體為圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體，且該長(zhǎng)方體的一個(gè)面與圓錐底面重合，則該長(zhǎng)方體體積的最大值為【答案】AD【分析】結(jié)合底面半徑和側(cè)面積求出母線，由外接和內(nèi)接的性質(zhì)，結(jié)合幾何關(guān)系和勾股定理即可求解，進(jìn)而求出外接球半徑；由可推斷過點(diǎn)P作平面截圓錐的截面面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)三角形為等腰直角三角形，結(jié)合面積公式可求解；由圓的內(nèi)接四邊形面積最大時(shí)為正方形，確定上下底面為正方形，列出關(guān)于V的關(guān)系式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，解得，即圓錐母線長(zhǎng)為2，則高，設(shè)圓錐外接球半徑為，如圖，則對(duì)由勾股定理得，即，外接球面積為，故A正確；設(shè)內(nèi)切球的半徑為垂直于交于點(diǎn)D，如圖，則對(duì)，即，解得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；過點(diǎn)P作平面截圓錐的截面面積的最大時(shí)，如圖，因?yàn)?，故恰好為等腰直角三角形時(shí)取到，點(diǎn)C在圓錐底面上，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)圓錐有一內(nèi)接長(zhǎng)方體，其中一個(gè)上頂點(diǎn)為E，上平面中心為，如圖，則，當(dāng)長(zhǎng)方形上平面為正方形時(shí)，上平面面積最大，長(zhǎng)方體體積為，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故，故D正確，故選：AD三、填空題16．（2024·福建·上杭一中模擬預(yù)料）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異?！币馑际牵簝蓚€(gè)等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等。如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，（1）如用與軸相距為，且垂直于軸的平面，截這個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則截面圖形的面積為______；（2）則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為______．【答案】【分析】（1）其截面應(yīng)為一個(gè)圓環(huán)，其內(nèi)徑為，外徑為，則該圓環(huán)的面積為；（2）依據(jù)祖暅原理，該旋轉(zhuǎn)體的體積與底面積為，高為的圓柱的體積相等，故其體積為.【詳解】（1）該雙曲線的漸近線為.作直線，其與漸近線交于點(diǎn)，，與雙曲線交于點(diǎn)，，則旋轉(zhuǎn)體的截面應(yīng)為一個(gè)圓環(huán)，其內(nèi)徑，外徑，故截面積為.同理可得，作直線，也可得截面積為；（2）依據(jù)祖暅原理，該旋轉(zhuǎn)體的體積與底面積為，高為的圓柱的體積相等，故其體積為.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是作出直線與漸近線和雙曲線的交點(diǎn)，確定截面圖形為圓環(huán)，從而求出其截面積.17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采納平面切割圓錐的方法來探討曲線，如圖①，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條相互垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為____________，是該曲線上的兩點(diǎn)且，若經(jīng)過點(diǎn)，則__________.【答案】拋物線【分析】依據(jù)圓錐曲線的定義干脆推斷即可，再依據(jù)拋物線通徑的性質(zhì)干脆得出答案即可.【詳解】由已知底面半徑和高均為，得，又為中點(diǎn)，，且，所以平面，依據(jù)圓錐曲線的定義可知截面與圓錐母線平行時(shí)，曲線為拋物線，又為中點(diǎn)，故，，又底面，故，由，，故平面，，又，故為拋物線的通徑，.18．（2024·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中）如圖，三個(gè)半徑都是的小球放在一個(gè)半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同一水平面，則碗的半徑是___________.【答案】【分析】設(shè)三個(gè)小球的球心、、在上底面圓（碗口所在的截面圓）所在平面內(nèi)的射影分別為、、，可知幾何體為正三棱柱，且該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，求出的長(zhǎng)，利用兩球相切可求得碗的半徑.【詳解】設(shè)三個(gè)小球的球心、、在上底面圓（碗口所在的截面圓）所在平面內(nèi)的射影分別為、、，如下圖所示：則幾何體為正三棱柱，且該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，設(shè)半球面的半徑為，因?yàn)榍蚺c球內(nèi)切，則，所以，.因此，碗的半徑為.故答案為：.19．（2024·上海虹口·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿意與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積為______.【答案】【分析】依據(jù)題設(shè)描述易知的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，即可求掃過的面積.【詳解】由題設(shè)，要使與直線所成角的大小為，只需與直線所成角的大小為，∴繞以夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，∴在上掃過的面積為.故答案為：.20．（2024·江蘇·海門中學(xué)高三期中）已知，分別是邊長(zhǎng)為2的等邊邊，的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折使得平面平面，則棱錐外接球的表面積為_________．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，可得為等腰梯形的外接圓的圓心，再過折起后的的外心作平面的垂線，得出兩垂線的交點(diǎn)為棱錐外接球的球心，求出半徑，利用球的表面積公式即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，可知，則為等腰梯形的外接圓的圓心，過作平面的垂線，再過折起后的的外心作平面的垂線，設(shè)兩垂線的交點(diǎn)為，則為四棱錐外接球的球心，的邊長(zhǎng)為，，則四棱錐外接球的半徑，四棱錐外接球的表面積為.故答案為：21．（2024·江蘇常州·高三期中）正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，三棱錐的體積為___________，過點(diǎn)O且垂直于的平面與底面ABCD的交線長(zhǎng)為___________.【答案】【分析】依據(jù)題意，結(jié)合三棱錐的體積公式，以及線面垂直的判定，即可求解.【詳解】依據(jù)題意，易知；如圖，分別作、、、、、的中點(diǎn)、、、、、，連接、、、、、，易知平面過點(diǎn)，依據(jù)正方體的性質(zhì)，易知、，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，同理，又因?yàn)槠矫妫矫?，且，所以平面，因此過點(diǎn)O且垂直于的平面與底面ABCD的交線長(zhǎng)為.故答案為：；.四、解答題22．（2024·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)料）如圖，在三棱錐中，△是等邊三角形，．（1）證明：；（2）若，且平面平面，求三棱錐體積．【答案】（1）證明見解析（2）9【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，證明平面，得線線垂直；（2）作，垂足為，連接．得證平面，利用全等三角形的性質(zhì)得是中點(diǎn)，求得各線段長(zhǎng)后，由體積公式計(jì)算體積．（1）證明：因?yàn)槭堑冗吶切?，，所以，可得．如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，，,平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：作，垂足為，連接．因?yàn)椋?，．平面，所以平面，由已知，平面平面，故．在中，，，．在中，，∵，∴．∴在中，．∴．∵平面，∴三棱錐體積．23．（2024·浙江·臺(tái)州一中高三期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標(biāo)以及平面的法向量，依據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.（1）如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因?yàn)槊婷?，面面，，面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，可得，令，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槊?，所以平?（2），，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.24．（2024·福建省福州第一中學(xué)高三期中）如圖所示，在底半徑為、高為（為定值，且）的圓錐內(nèi)部?jī)?nèi)接一個(gè)底半徑為、高為的圓柱，甲、乙兩位同學(xué)采納兩種不同的方法來解決.甲采納圓柱底面與圓錐底面重合的“豎放”方式（圖甲），乙采納圓柱母線與圓錐底面直徑重合的“橫放”方式（圖乙）.（1）設(shè)、分別“豎放”、“橫放”時(shí)內(nèi)接圓柱的體積，用內(nèi)接圓柱的底半徑為自變量分別表示、；（2）試分別求、的最大值、，并比較、的大小.【答案】（1），（2），，【分析】（1）作出圓錐的軸截面，截圓柱得一內(nèi)接矩形，設(shè)，由相像形得出的關(guān)系，豎放，，橫放，，由體積公式計(jì)算可得；（2）由導(dǎo)數(shù)求得的最大值，并比較可得．（1）如圖是圓錐的軸截面截圓柱得一內(nèi)接矩形，設(shè)，依據(jù)三角形相像得，.①若圓柱“豎放”，則②若圓柱“橫放”，則（2）①，由，解得當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；②由解得當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；25．（2024·江蘇南通·高三期中）如圖，在四棱錐中，，，，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取中點(diǎn)，由題可得四邊形為菱形，利用線面垂直的判定定理可證；（2）過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，由線面垂直的判定定理可證平面，則即為所求二面角，再結(jié)合條件即求.（1）取中點(diǎn)，連接，則，∴四邊形為為平行四邊形，又∵，∴平行四邊形為菱形，∴，∴，∴，又∵，，∴平面.（2）過作于點(diǎn)，又∵平面，∴，∵，∴平面，過作于點(diǎn)，連接，∴，∴平面，則即為所求二面角，由題知為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴，在中，，∴，即，∴，，∴二面角的正弦值為.26．（2024·廣西柳州·一模）如圖，△ABC的外接圓O的直徑|AB|=2，CE垂直于圓O所在的平面，BD∥CE，|CE|=2．|BC|=|BD|=1，M為DE上的點(diǎn)．（1）證明：BM⊥AC；（2）當(dāng)DM為何值時(shí)，二面角C－AM－D的余弦值為．【答案】（1）見解析；（2）﹒【分析】(1)證明AC⊥平面BCDE即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量進(jìn)行求解即可﹒（1）∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，∵CE⊥平面ABC，AC平面ABC，∴CE⊥AC，又∵CE∩BC=C，CE和BC平面BCED，∴AC⊥平面BCED，∵BM平面BCED，∴AC⊥BM；（2）由(1)和已知條件可知，CA、CB、CE兩兩垂直，故以C為原點(diǎn)，CA、CB、CE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz：則C(0，0，0)，，則，設(shè)(λ>0)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)二面角C-AM-D的大小為θ，則，∴﹒27．（2024·江蘇海安·高三期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知AB//CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝DP＝2，PD⊥平面ABCD．（1）求證：BC⊥平面PBD；（2）設(shè)M，N分別為棱PA，PC的中點(diǎn)，點(diǎn)T滿意，求證：B，N，T，M四點(diǎn)共面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，由勾股定理得，由此能證明面.（2）取中點(diǎn)，連接，，，，由，知為中點(diǎn)，，再證明且，所以四邊形是平行四邊形，進(jìn)而，故結(jié)論成立.（1）面，又面，，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，在中，，在中，，，，平面．（2）取中點(diǎn)，連接，，，，由，所以知為中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，所以，又分別為棱的中點(diǎn)，所以且，又，，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面．B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·四川·成都七中一模）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿意，其中，，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值;②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得;④當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】推斷當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，分別計(jì)算點(diǎn)為兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)的周長(zhǎng)，即可推斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，利用線面平行的性質(zhì)以及錐體的體積公式，即可推斷選項(xiàng)B；當(dāng)時(shí)，取線段，的中點(diǎn)分別為，，連結(jié)，則點(diǎn)在線段上，分別取點(diǎn)在，處，得到均滿意，即可推斷選項(xiàng)C；當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則點(diǎn)在線的上，證明當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，平面，用過定點(diǎn)與定直線垂直的平面有且只有一個(gè)，即可推斷選項(xiàng)D．【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即，所以，故點(diǎn)在線段上，此時(shí)△的周長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，△的周長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，△的周長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)不為定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即，所以，故點(diǎn)在線段上，因?yàn)槠矫?，所以直線上的點(diǎn)到平面的距離相等，又△的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取線段，的中點(diǎn)分別為，，連結(jié)，因?yàn)?，即，所以，則點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，當(dāng)點(diǎn)在處，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)?，即，所以，則點(diǎn)在線的上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，在正方形中，，又，，平面，故平面，又平面，所以，在正方體形中，，又，，平面，所以平面，因?yàn)檫^定點(diǎn)與定直線垂直的平面有且只有一個(gè)，故有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)D正確．故選：B．2．（2024·四川成都·高三期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為，是空間中隨意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①若為棱中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為；②若在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為；③若在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為；④若過點(diǎn)的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】①依據(jù)，可得即為異面直線所成的角或所成角的補(bǔ)角，從而可求出；②將和四邊形沿綻開到同一個(gè)平面上，易知線段的長(zhǎng)度即為的最小值，利用余弦定理即可求出；③依據(jù)題意推斷出，為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，只需求此時(shí)外接球的表面積即可；④分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，平面為平面時(shí)，與正方體每條棱所成角相等，且截面的面積最大.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，所以即為異面直線所成的角或所成角的補(bǔ)角，在中，，所以，故①正確；對(duì)于②：將和四邊形沿綻開到同一個(gè)平面上，如圖所示，由圖可知，線段的長(zhǎng)度即為的最小值，在中，利用余弦定理，得，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：如圖，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，三棱錐外接球的球心是的中點(diǎn)，半徑為，其表面積為，故③正確；對(duì)于④：要使平面與正方體每條棱所成角相等，只需與過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可，如圖，當(dāng)時(shí)，平面與正方體過點(diǎn)的三條棱所成的角都相等，若分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，平面平面且此時(shí)六邊形為正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以此正六邊形的面積為，為截面最大面積，故④正確.故選：B.3．（2024·浙江·模擬預(yù)料）在矩形中，已知，，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．現(xiàn)將沿直線折起至，使得點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)(不含邊界)，如圖．設(shè)直線，與平面所成的角分別為，，二面角的大小為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出幾何圖形，作，分別交，于點(diǎn)，，連接，，易證平面平面，點(diǎn)在平面上的射影就落在線段上(不含端點(diǎn))，再作于點(diǎn)，則平面，連接，，，，，且，，，然后由題中的等量關(guān)系和大小關(guān)系得出答案即可.【詳解】如圖，作，分別交，于點(diǎn)，，連接，，易知，所以，所以，由翻折知，又，所以平面，又平面，所以平面平面，因此點(diǎn)在平面上的射影就落在線段上(不含端點(diǎn))，作于點(diǎn)，則平面，連接，，由線面角和二面角的定義可知，，，，且，，，易知，，所以，，即點(diǎn)在線段的垂直平分線的下方，故，且易知，所以有，所以，又，，，所以，故選：D．3．（2024·湖南·模擬預(yù)料）如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐，則當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)改變時(shí)，三棱錐的表面積S的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，則．如圖所示，連接OD交BC于點(diǎn)G，從而可表示三棱錐的底面積為，側(cè)面積為，可得表面積為，由的范圍可求出表面積的范圍【詳解】設(shè)三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，則．如圖所示，連接OD交BC于點(diǎn)G，則，故三棱錐的底面積為，側(cè)面積為．因而表面積為，故．故選：D4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)分別是棱長(zhǎng)為2的正方體中棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若面，則的長(zhǎng)度范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則可證得平面‖平面，從而可得點(diǎn)在上，從而可求出的長(zhǎng)度范圍【詳解】解：如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，，則‖，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以‖，所以‖，因?yàn)槠矫?，平面，所以‖平面，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以‖，，因?yàn)椤浴?，，所以四邊形為平行四邊形，所以‖，，因平面，平面，所以‖平面，因，所以平面‖平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，使面，因?yàn)榈睦忾L(zhǎng)為2，所以所以當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，最長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，最短，的最小值為，所以的長(zhǎng)度范圍是，故選：B5．（2024·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三期中）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】B【分析】連接，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，推斷出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.分別求出,,利用余弦定理即可求解.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中?,由余弦定理得：.故選B.【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中的翻折（綻開）問題截圖的關(guān)鍵是：翻折（綻開）過程中的不變量；（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：①幾何法：通過位置關(guān)系，找到取最值的位置（條件），干脆求最值；②代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用代數(shù)法求最值.6．（2024·安徽師范高校附屬中學(xué)模擬預(yù)料）如圖所示，圓錐的軸截面是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，為中點(diǎn)．若底面所在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，①點(diǎn)在空間形成的軌跡為圓;②三棱錐的體積最大值為③的最大值為2;④與平面所成角的正切值的最大值為上述結(jié)論中正確的序號(hào)為（）．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③【答案】D【分析】建立空間坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量學(xué)問求解出點(diǎn)的軌跡方程，再運(yùn)用三棱錐體積、線面角等相關(guān)學(xué)問進(jìn)行選項(xiàng)判定.【詳解】建系如圖，為等腰直角三角形，在所在圓上，設(shè)，，，則M的軌跡為圓，是以O(shè)A為直徑在xoy面上的圓.又隨著M運(yùn)動(dòng)，H軌跡是以O(shè)C為直徑的圓，故①正確②由圖可得，B到面COH的距離為1，，故②正確；③設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)H運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，，故③正確；④由①知H在以O(shè)C為直徑的圓上，且該圓所在的平面與平面PAB垂直，由對(duì)稱性，只考慮C在上半圓，如圖，過H作，過B作，則BH與平面PAB所成的角為，又，，故④錯(cuò)誤.綜上所述，正確的序號(hào)為①②③故選：D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是能夠建立空間坐標(biāo)系，用空間向量學(xué)問進(jìn)行求解，具有較強(qiáng)的綜合實(shí)力.7．（2024·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)料）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），有以下四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③若的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L的最小值為；④若的面積為，則．則正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④【答案】B【分析】依據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可判定②正確；將平面與平面綻開到同一平面，由兩點(diǎn)之間線段最短，可判定③正確；由三角形的面積公式，可求得的面積的范圍，可判定④錯(cuò)誤.【詳解】解：連接，設(shè)平面與體對(duì)角線交于點(diǎn)，由，，,平面，即平面,平面，平面平面，存在點(diǎn)，使得平面平面，故①對(duì)；由，平面，平面，所以平面，同理由可得平面，又，所以平面平面，設(shè)平面與交于點(diǎn)M，則平面，所以平面，故②對(duì)；將平面與平面綻開到同一平面，如圖所示則，所以的周長(zhǎng)為L(zhǎng)的最小值為，故③對(duì)；連接交于點(diǎn)O，過O作，在正方體中，平面，平面，，由，則，即，此時(shí)面積為，故④錯(cuò)；故選：B．【點(diǎn)睛】對(duì)③將平面與平面綻開到同一平面，空間問題平面化是解題的關(guān)鍵；對(duì)④依據(jù)，求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.8．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A．的大小不會(huì)發(fā)生改變 B．二面角的平面角的大小不會(huì)發(fā)生改變C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大【答案】C【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，可證明在三角形沿直線折起的過程中，平面，然后用的值分別將各個(gè)選項(xiàng)中的角的相應(yīng)三角函數(shù)表示出來，然后推斷可得答案.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，，則.在中，由，則過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則,所以，在三角形沿直線折起的過程中，始終滿意.由平面平面，平面平面，所以平面由平面,則在中，,所以所以所以大小不變，故選項(xiàng)A正確.過作交于點(diǎn)，由，則由平面，又平面，則由,所以平面,所以為二面角的平面角在直角中，所以大小不變，故選項(xiàng)B正確.由,則，又,且所以平面，又平面,所以由平面，由平面,則所以設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.由等體積法可得,即則設(shè)與平面所成的角為，則當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，的值從1變小到0，這一過程中漸漸變大.所以在這一過程中，變小，則角變小，故選項(xiàng)C不正確.由，則(或其補(bǔ)角)為與所成的角.由上可知：，則函數(shù)的對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.所以當(dāng)從1變到的過程中，變小，當(dāng)從變到0的過程中，變大，所以選項(xiàng)D正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查翻折過程中空間角的改變狀況，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，，則，依據(jù)條件可得平面，用的值分別將角表示出來，然后推斷，屬于難題.二、多選題9．（2024·遼寧·大連市第一中學(xué)高三期中）如圖，為圓錐的底面直徑，點(diǎn)是圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】AB【分析】先求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面積公式推斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)體積也最大，利用圓錐體積公式求解即可推斷選項(xiàng)B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用，求范圍即可推斷選項(xiàng)C；將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到△，則，利用已知條件求解即可推斷選項(xiàng)D．【詳解】在中，，則圓錐的母線長(zhǎng)，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：圓錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕cA，不重合，則，又，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由，，，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到△，則△為等邊三角形，，如圖：則，因?yàn)?，，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AB．10．（2024·重慶·西南高校附中高三階段練習(xí)）鉆石是金剛石精加工而成的產(chǎn)品，是世界上最堅(jiān)硬的、成分最簡(jiǎn)潔的寶石，它是由碳元素組成的、具有立方結(jié)構(gòu)的自然晶體．如圖，已知某鉆石形態(tài)的幾何體由上、下兩部分組成，上面為一個(gè)正六棱臺(tái)（上、下底面均為正六邊形，側(cè)面為等腰梯形），下面為一個(gè)正六棱錐P-ABCDEF，其中正六棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為a，下底面邊長(zhǎng)為2a，且P到平面的距離為3a，則下列說法正確的是（）（臺(tái)體的體積公式：，其中，分別為臺(tái)體的上、下底面面積，h為臺(tái)體的高）A．若平面平面，則正六棱錐P-ABCDEF的高為B．若，則該幾何體的表面積為C．該幾何體存在外接球，且外接球的體積為D．若該幾何體的上、下兩部分體積之比為7：8，則該幾何體的體積為【答案】ABD【分析】分別取AF，，，CD的中點(diǎn)Q，R，S，T，連接RS，RQ，TS，TQ，得到Q，R，S，T四點(diǎn)共面，且點(diǎn)P，M，N均在該平面上，連接PM，則N在PM上，進(jìn)而得到為二面角的平面角，進(jìn)而判定A正確；連接PM，則，結(jié)合截面PORST，利用表面積公式可判定B正確；連接PM，設(shè)外接球半徑為R，連接OA，，OD，，求得外接球的半徑，可判定C錯(cuò)誤；設(shè)該幾何體上、下兩部分的體積分別為，，結(jié)合，可得，利用，可判定D正確．【詳解】設(shè)M，N分別為正六棱臺(tái)上、下底面的中心．對(duì)于選項(xiàng)A，如圖1，分別取AF，，，CD的中點(diǎn)Q，R，S，T，連接RS，RQ，TS，TQ，則，，可得Q，R，S，T四點(diǎn)共面，且點(diǎn)P，M，N均在該平面上，連接PM，則N在PM上，得如圖2所示的截面PQRST，四邊形QRST為等腰梯形，且為二面角的平面角，即，過點(diǎn)R作交QT于點(diǎn)L，則，可得，即，而，故，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，如圖3為截面，依題意得，，連接PM，則，又，所以，，如圖4為截面PORST，從而，，故該幾何體的表面積，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，如圖5所示的截面，連接PM，依題意可知，，，若該幾何體存在外接球，則外接球球心．在PM上，設(shè)外接球半徑為R，連接OA，，OD，，得，，解得，又，沖突，故該幾何體不存在外接球，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)該幾何體上、下兩部分的體積分別為，，，，則，，由，可得，結(jié)合，可知，，因此該幾何體的體積，故D正確．故選：ABD.11．（2024·山東青島·高三期中）如圖，底面ABCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，半圓面底面ABCD．點(diǎn)P為半圓弧(不含A，D點(diǎn))一動(dòng)點(diǎn)．下列說法正確的是（）A．三梭錐P—ABD的每個(gè)側(cè)面三角形都是直角三角形B．三棱錐P—ABD體積的最大值為C．三棱錐P—ABD外接球的表面積為定值D．直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為【答案】AC【分析】對(duì)于A，依據(jù)面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得，由平面幾何學(xué)問可證得，，，由此可推斷；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P是半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P—ABD的底面積取得最大值，由棱錐的體積公式計(jì)算可推斷；對(duì)于C，取BD的中點(diǎn)O，則有點(diǎn)O為三棱錐P—ABD外接球的球心，由球的表面積公式計(jì)算可推斷；對(duì)于D，過點(diǎn)P作于，連接HB，則有就是直線PB與平面ABCD所成的角的平面角，設(shè)，表示，令，由基本不等式可求得，由此可推斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)榈酌鍭BCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，所以，又半圓面底面ABCD，半圓面底面，所以半圓面，所以，所以是直角三角形，，因?yàn)锳D是圓的直徑，所以，所以是直角三角形，；因?yàn)?，所以是直角三角形，，所以在中有，所以，所以是直角三角形，所以三棱錐P—ABD的每個(gè)側(cè)面三角形都是直角三角形，故A正確；對(duì)于B，在三棱錐P—ABD中，半圓面，所以AB是三棱錐P—ABD的高，當(dāng)點(diǎn)P是半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P—ABD的底面積取得最大值，三棱錐P—ABD的體積取得最大值，故B不正確；對(duì)于C，取BD的中點(diǎn)O，由A選項(xiàng)的解析得，所以點(diǎn)O為三棱錐P—ABD外接球的球心，所以三棱錐P—ABD外接球的表面積為，故C正確；對(duì)于D，過點(diǎn)P作于，連接HB，又半圓面底面ABCD，半圓面底面，所以面，所以BH就是PB在面內(nèi)的射影，所以就是直線PB與平面ABCD所成的角的平面角，設(shè)，則，，所以在直角三角形中，，，所以，所以，令，則，且，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿意）時(shí)，取等號(hào)，所以，所以，所以，即直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為，故D不正確，故選：AC.12．（2024·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)，給出下列命題：其中真命題的是（）A．四棱錐的體積恒為定值；B．存在點(diǎn)，使得平面C．對(duì)于棱上隨意一點(diǎn)，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)，使得平面D．存在唯一的點(diǎn)，使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值．【答案】ABD【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理推斷四邊形的形態(tài)，由此探討截面的周長(zhǎng)，推斷D，再利用錐體的體積公式探討四棱錐的體積，推斷A,利用線面垂直判定定理推斷B，通過舉例推斷C.【詳解】由面面平行的性質(zhì)定理可得四邊形為平行四邊形，所以四棱錐的體積等于三棱錐的體積的兩倍，∴，又，都是定值，所以四棱錐的體積為定值，A對(duì)，當(dāng)BE⊥B1C時(shí)，∵CD⊥BE，BE⊥B1C，由線面垂直推斷定理可得BE⊥平面B1CD，∴BE⊥B1D，又BB1=B1D1，∴B1D⊥BD1，∴平面，B對(duì)，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處時(shí)，不存在相應(yīng)的點(diǎn)，使得平面，C錯(cuò)，由面面平行的性質(zhì)定理可得四邊形為平行四邊形，∴截面四邊形的周長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)截面四邊形的周長(zhǎng)最小，故存在唯一的點(diǎn)，使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值，D對(duì)，故選：ABD.三、填空題13．（2024·吉林省試驗(yàn)?zāi)M預(yù)料）在三棱錐中，已知，，分別為，的中點(diǎn)，若三棱錐的外接球球心在三棱錐內(nèi)部，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為______．【答案】【分析】依據(jù)已知條件可知和都是等邊三角形，取其外心分別為和，過點(diǎn)和作平面和平面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為外接球的球心，且可知點(diǎn)在線段上，分別探討與點(diǎn)重合時(shí)由勾股定理可求出的長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合兩個(gè)臨界值可得長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】如圖連接，，因?yàn)楹投际沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，，分別為，的中點(diǎn)，所以，分別設(shè)等邊三角形和的外心和，由等邊三角形的性質(zhì)可知，，且和都是靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，分別過點(diǎn)和作平面和平面的垂線，則兩條垂線的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，因?yàn)?，所以是等腰三角形，所以點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，即面，面，因?yàn)槊?，面，所以，，因?yàn)椋?，所以，，所以，因?yàn)槭堑妊切?，為的中點(diǎn)，所以，所以，即，所以，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)橥饨忧蚯蛐脑谌忮F內(nèi)部，所以，故答案為：14．（2024·山東·泰安一中模擬預(yù)料）如圖，某校學(xué)生在開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)，用一塊邊長(zhǎng)為的正方形鋁板制作一個(gè)無底面的正棱錐（側(cè)面為等腰三角形，底面為正邊形）道具，他們以正方形的兒何中心為田心，為半徑畫圓，仿照我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)裁剪出份，再從中取份，并以O(shè)為正棱錐的頂點(diǎn)，且落在底面的射影為正邊形的幾何中心，側(cè)面等腰三角形的頂角為，當(dāng)時(shí)，設(shè)正棱錐的體積為，則的最大值為___________.【答案】【分析】設(shè)，首先求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值.【詳解】設(shè)，由題意，，得，將（※）代入（#），可得.因?yàn)?，所以，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.答案：15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）在梯形中，，，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面面積的最小值為______.【答案】【分析】分析出當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，取的中點(diǎn)，分析出點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，求出球的半徑，計(jì)算出截面圓半徑為最小值，結(jié)合圓的面積公式得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，連接，則，則，故，設(shè)二面角的平面角為，設(shè)三棱錐的高為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，，，，故為等腰直角三角形，且，在梯形中，，則，所以，，在中，，，，由余弦定理可得，故，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，平面，平面，則，因?yàn)椋?，平面，平面，所以，，記中點(diǎn)為，由得為三棱錐的外接球的球心，且球的半徑為，設(shè)與過點(diǎn)的平面所成的角為，設(shè)點(diǎn)到截面的距離為，則，故截面圓的半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的平面截三棱錐外接球所得截面面積最小，所以截面圓面積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：假如是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；假如是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：依據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.16．（2024·新疆·克拉瑪依市教化探討所模擬預(yù)料）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)覺：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.依據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動(dòng)點(diǎn)P滿意.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為________；若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面的距離的最小值為___________.【答案】【分析】①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點(diǎn)P的軌跡為，即得解；②先求出點(diǎn)P的軌跡為，P到平面的距離為，再求出的最小值即得解.【詳解】①以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則設(shè)，由得，所以，所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為.②設(shè)點(diǎn)，由得，所以，由題得所以設(shè)平面的法向量為，所以，令，則由題得，所以點(diǎn)P到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為.故答案為：；.四、解答題17．（2024·廣東順德·高三階段練習(xí)）某商品的包裝紙如圖1，其中菱形的邊長(zhǎng)為3，且，，，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N匯聚為一點(diǎn)P，恰好形成如圖2的四棱錐形的包袱．（1）證明底面；（2）設(shè)點(diǎn)T為BC上的點(diǎn)，且二面角的正弦值為，試求PC與平面PAT所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由翻折之前的邊長(zhǎng)關(guān)系得，，進(jìn)而得翻折后有，，進(jìn)而得底面；（2）解法一：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，過點(diǎn)A作AB的垂線為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得為二面角的平面角，再結(jié)合正弦定理得，再寫坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求解即可.解法二：由（1）知為二面角的平面角，即，進(jìn)而由正弦定理得，再由余弦定理可得，設(shè)過點(diǎn)C作平面PAT的垂線，垂足為Q，連接PQ，所以為PC與面PAT所成角，再利用得，進(jìn)而得答案；解法三：由（1）得為二面角的平面角，即，進(jìn)而得，，再過點(diǎn)C作CQ垂直于AT于Q，連接CQ、AC進(jìn)而證明面PAT，再依據(jù)幾何關(guān)系求解即可.（1）由菱形的邊長(zhǎng)為3，，可得：，即有同理，即有在翻折的過程中，垂直關(guān)系保持不變可得：，，．可得底面（2）解法一：如圖，