統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學全程一輪復習課時作業(yè)31數(shù)列的概念與簡單表示法理

課時作業(yè)31數(shù)列的概念與簡潔表示法[基礎落實練]一、選擇題1．已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項公式不行能是()A．a(chǎn)n＝(－1)n－1＋1B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù)，,0，n為偶數(shù)))C．a(chǎn)n＝2sineq\f(nπ,2)D．a(chǎn)n＝cos(n－1)π＋12．[2024·湖南省衡陽市高三模擬]數(shù)列{an}滿意a1＝1，對隨意n∈N*都有an＋1＝1＋an＋n，則a10＝()A．54B．55C．56D．573．[2024·東莞市東方明珠學校調(diào)研]在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)且(n＋2)an＋1＝nan，則它的前30項和S30＝()A．eq\f(30,31)B．eq\f(29,30)C．eq\f(28,29)D．eq\f(19,29)4．[2024·安徽合肥市高三模擬]設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，則S2021＝()A．eq\f(2017,2)B．1009C．eq\f(2019,2)D．10105．[2024·上海第七中學月考]在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，且數(shù)列{an}的前n項和Sn滿意4Sn＋1－3Sn＝4，n∈N*，則an＝()A．(eq\f(3,4))n－1B．eq\f(3n,4n－1)C．4－eq\f(3n,4n－1)D．4＋eq\f(3n,4n－1)6．若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝n2＋n，則a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,n)等于()A．2n2＋2nB．n2＋2nC．2n2＋nD．2(n2＋2n)7．已知數(shù)列{an}滿意eq\f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，則eq\f(an,n)的最小值為()A．4eq\r(5)B．4eq\r(5)－1C．8D．9二、填空題8．[2024·上海上外附中調(diào)研]若數(shù)列{an}滿意an＋1＝3an－8，且a1＝6，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________．9．[2024·遼寧大連檢測]數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n，則an＝________．10．[2024·浙江紹興市高三模擬]數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2)，則a2021＝________．[素養(yǎng)提升練]11．已知數(shù)列{an}滿意an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，若a1＝2，則該數(shù)列的前2022項的乘積a1a2a3·…·a2022＝()A．2B．－3C．1D．－612．[2024·陜西省寶雞市高三大聯(lián)考]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2－3n，則此數(shù)列奇數(shù)項的前m項和為()A．eq\f(9,4)－eq\f(9m,4)B．eq\f(5,4)－eq\f(9m,4)C．eq\f(9,4)－eq\f(9m－1,4)D．－eq\f(3,4)－eq\f(9m－1,4)13．設數(shù)列{an}滿意a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則a1＝________，{an}的通項公式為________．14．[2024·開封市第一次模擬考試]若數(shù)列{an}滿意a2－eq\f(1,2)a1＜a3－eq\f(1,2)a2＜…＜an－eq\f(1,2)an－1＜…，則稱數(shù)列{an}為“差半遞增”數(shù)列．若數(shù)列{an}為“差半遞增”數(shù)列，且其通項an與前n項和Sn滿意Sn＝2an＋2t－1(n∈N*)，則實數(shù)t的取值范圍是________．15．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝an＋an＋1，求數(shù)列{bn}的通項公式．16．數(shù)列{an}滿意?n∈N*，a1·a2·a3·…·an＝n2＋n.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝an＋1－an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.課時作業(yè)31數(shù)列的概念與簡潔表示法1．解析：對n＝1，2，3，4進行驗證，an＝2sineq\f(nπ,2)不合題意．答案：C2．解析：對隨意n∈N*都有an＋1＝1＋an＋n，則an＋1－an＝n＋1，∴a10＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a10－a9）＝1＋2＋3＋…＋10＝eq\f(10×11,2)＝55，故選B.答案：B3．解析：∵（n＋2）an＋1＝nan，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)，∴an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,4)·…·eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，因此，S30＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,30)－eq\f(1,31)＝eq\f(30,31).故選A.答案：A4．解析：在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，則a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，以此類推可知，對隨意的n∈N*，an＋3＝an，即數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，∵2021＝3×673＋2，因此，S2021＝673S3＋a1＋a2＝674S3－a3＝674×（eq\f(1,2)－1＋2）－2＝1009.故選B.答案：B5．解析：∵4Sn＋1－3Sn＝4，∴Sn＋1－4＝eq\f(3,4)（Sn－4），∴{Sn－4}是公比為eq\f(3,4)的等比數(shù)列，又a1＝1，∴S1－4＝－3，∴Sn－4＝－eq\f(3n,4n－1)，∴Sn＝4－eq\f(3n,4n－1)，∴n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（eq\f(3,4)）n－1，又a1＝1滿意上式，∴對一切n∈N*，an＝（eq\f(3,4)）n－1，故選A項．答案：A6．解析：∵eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝n2＋n①，∴當n＝1時，有eq\r(a1)＝2，解得a1＝4；當n≥2時，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an－1)＝（n－1）2＋n－1②.由①－②，得eq\r(an)＝2n，∴an＝4n2.又∵a1也符合上式，∴eq\f(an,n)＝4n，則a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,n)＝4（1＋2＋…＋n）＝4×eq\f(n（1＋n）,2)＝2n2＋2n.故選A.答案：A7．解析：由an＋1－an＝2n知：a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2（n－1），n≥2，以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，當n＝1時，a1＝20符合上式，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(20,n)－1，n∈N*，所以n≤4時eq\f(an,n)單調(diào)遞減，n≥5時eq\f(an,n)單調(diào)遞增，因為eq\f(a4,4)＝eq\f(a5,5)，所以eq\f(an,n)的最小值為eq\f(a4,4)＝eq\f(a5,5)＝8，故選C.答案：C8．解析：由an＋1＝3an－8，則an＋1－4＝3（an－4），a1－4＝2，所以數(shù)列{an－4}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an－4＝2×3n－1，所以an＝2·3n－1＋4.答案：2·3n－1＋49．解析：∵Sn＝2n，∴n≥2時，an＝2n－2n－1＝2n－1，又a1＝2，不滿意上式，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))10．解析：∵a1＝3，an＝1－eq\f(1,an－1)（n≥2），∴a2＝1－eq\f(1,a1)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，a3＝1－eq\f(1,a2)＝1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)，a4＝1－eq\f(1,a3)＝1＋2＝3，…∴數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，∵2021＝3×673＋2，∴a2021＝a2＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)11．解析：由題意可得a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝2＝a1，所以數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，而2022＝4×505＋2，且a1a2a3a4＝2×（－3）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(1,3)＝1.故該數(shù)列的前2022項的乘積為a1a2＝－6.故選D項．答案：D12．解析：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（2－3n）－（2－3n－1）＝－2·3n－1，因為當n＝1時，a1＝－1不滿意，所以數(shù)列{an}從其次項起先成等比數(shù)列，又a3＝－18，則數(shù)列{an}的奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列的前m項和Tm＝eq\f(－18（1－9m－1）,1－9)－1＝eq\f(5,4)－eq\f(9m,4).答案：B13．解析：數(shù)列{an}滿意a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，當n≥2時，a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝2（n－1）.所以（2n－1）an＝2，所以an＝eq\f(2,2n－1)，當n＝1時，a1＝2，上式也成立．所以an＝eq\f(2,2n－1).答案：2an＝eq\f(2,2n－1)14．解析：由題意知，Sn＝2an＋2t－1①，當n＝1時，a1＝2a1＋2t－1，得a1＝1－2t；當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋2t－1②，①－②并化簡，得an＝2an－1，故數(shù)列{an}是以a1＝1－2t為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an＝（1－2t）·2n－1，所以an－eq\f(1,2)an－1＝（1－2t）·2n－1－eq\f(1,2)·（1－2t）·2n－2＝（3－6t）·2n－3，因為數(shù)列{an}為“差半遞增”數(shù)列，所以3－6t＞0，解得t＜eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))15．解析：（1）當n＝1時，a1＝S1＝22－2＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－（2n－2）＝2n＋1－2n＝2n.因為a1也適合此等式，所以an＝2n（n∈N*）.（2）因為bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.16．解析：（1）數(shù)列{an}滿意?n∈N*，a1·a2·a3·…·an＝n2＋n，當n＝1時，a1＝2，當n≥2時，由a1·a2·a3·…·an＝n2＋n，可得a1·a2·a