立體幾何中的向量法-夾角問題

3.2立體幾何中的向量法(3)第三章空間向量與立體幾何——空間向量與空間角.1本節(jié)課主要學(xué)習(xí)利用空間向量求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.以學(xué)生探究為主，探討如何利用空間向量求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等.講解二面角的平面角與兩個半平面的法向量之間的關(guān)系，突破難點。通過例1和例2鞏固掌握二面角的求法，證明線面平行，線面垂直的方法。例3是證明線面平行及求異面直線所成的角，本題可以作為一道備用題，如果時間不許可，可以直接點擊鏈接“課堂檢測”，進(jìn)入課堂檢測部分。運用轉(zhuǎn)化思想，將立體幾何中的線線角、線面角、二面角轉(zhuǎn)化為空間向量所成的角，再用數(shù)量積的定義求相應(yīng)的角。.2/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=54260de45aa8a9cc1dd7292f動畫展示面與面的夾角.3

空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證.求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點之一.本節(jié)課主要是討論怎樣用向量的辦法解決空間角問題..4用空間向量解決立體幾何問題的三步曲：1.（化為向量問題）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.2.（進(jìn)行向量運算）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題.3.（回到圖形問題）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義..5OAB..6.7異面直線所成的角lmlm若兩直線所成的角為,則.8線面角ll.9DClBA二面角.10注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角l.11二面角的范圍：.12.13.14題型一求異面直線的夾角正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點，求異面直線AE與CF所成角的余弦值．【例1】解不妨設(shè)正方體棱長為2，分別取DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則.15規(guī)律方法在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．但應(yīng)用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別．.16例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=AA1=4,AB=5,D是AB的中點。(1)求證：AC1//面CB1D(2)求AC1與B1C所成角的余弦值。c1ABCA1B1D.17

四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點B、P的坐標(biāo)；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值．【變式1】解

(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得.18.19題型二求線面角.20【變式2】.21(12分)如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求二面角A-A1D-B的余弦值．題型三二面角的求法【例3】.22[規(guī)范解答]如圖所示，取BC中點O，連結(jié)AO.因為△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1..23.24【題后反思】幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點．而用向量法求解二面角，無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩直線(或兩向量)所成的角，通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性．.25(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大?。甗思路分析]建系→求相關(guān)點坐標(biāo)→求相關(guān)向量坐標(biāo)→向量運算→結(jié)論．解作AP⊥CD于點P，分別以AB，AP，AO所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，如圖所示，【示例】.26.27.28例3.長方體中，AB=2，BC=BB1=1，E為中點（1）求證：面EBD⊥面EBC；（2）求DC與面EBC所成的角；（3）求二面角C-DE-B。

A1C1B1BCD1EAD.29例6.正方體中，P為A1B1中點（1）求二面角A1-AC1-B1（2）求二面角P-AC1-B1（3）求面PAC1與面ABCD所成的銳二面角。

A1C1B1BCD1ADP.30例1：如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行向量運算ABCD例1圖典例展示.31所以回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角。因此.32例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證：PA//平面EDB.(2)求證：PB⊥平面EFD.ABCDPEF(3)求二面角C-PB-D的大小..33ABCDPEFxyzG解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1.(1)證明：連接AC,AC交BD于點G,連接EG..34.35.36(3).37.38.39(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大?。?/p>

例3.分析：建系→求相關(guān)點坐標(biāo)→求相關(guān)向量坐標(biāo)→向量運算→結(jié)論．解

作AP⊥CD于點P，分別以AB，AP，AO所在的直線為x，y，