2016屆高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)專題闖關(guān)訓(xùn)練33

專題六解析幾何真題體驗(yàn)·引領(lǐng)卷一、選擇題1．(2015·廣東高考)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是()A．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝02．(2015·全國卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))3．(2015·全國卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8C．4eq\r(6) D．104．(2015·全國卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A.eq\r(5) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)5．(2015·浙江高考)如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是()A.eq\f(|BF|－1,|AF|－1) B.eq\f(|BF|2－1,|AF|2－1)C.eq\f(|BF|＋1,|AF|＋1) D.eq\f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)6．(2015·天津高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，eq\r(3))，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4eq\r(7)x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B.eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1二、填空題7．(2015·全國卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．8．(2015·湖南高考)設(shè)F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)P，使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C的離心率為________．9．(2015·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個(gè)動點(diǎn)．若點(diǎn)P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為________．三、解答題10．(2015·全國卷Ⅱ)已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)，m))，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由．11.(2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y＝eq\f(x2,4)與直線l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N兩點(diǎn)，(1)當(dāng)k＝0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM＝∠OPN？說明理由．12．(2015·天津高考)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(－c，0)，離心率為eq\f(\r(3),3)，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝eq\f(b2,4)截得的線段的長為c，|FM|＝eq\f(4\r(3),3).(1)求直線FM的斜率；(2)求橢圓的方程；(3)設(shè)動點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于eq\r(2)，求直線OP(O為原點(diǎn))的斜率的取值范圍．專題六解析幾何經(jīng)典模擬·演練卷一、選擇題1．(2015·河南名校聯(lián)考)過點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝02．(2015·西安模擬)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)．若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，則|QF|＝()A.eq\f(7,2) B.eq\f(5,2) C．3 D．23．(2015·煙臺模擬)等軸雙曲線x2－y2＝a2(a>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若直線PA，PB的傾斜角分別為α，β，且β＝2α，那么β的值是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)4．(2015·濟(jì)南模擬)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7 B．6 C．5 5．(2015·大慶質(zhì)檢)如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(5)，0))為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,10)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,25)＝16．(2015·石家莊質(zhì)檢)已知拋物線y2＝8x與雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的一個(gè)交點(diǎn)為M，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|MF|＝5，則該雙曲線的漸近線方程為()A．5x±3y＝0 B．3x±5y＝0C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0二、填空題7．(2015·北京東城調(diào)研)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，則C的漸近線方程為________．8．(2015·濰坊三模)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與圓(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，則圓C的方程為________．9．(2015·石家莊質(zhì)檢)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O、F的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線方程為________．三、解答題10．(2015·哈爾濱調(diào)研)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(－2，0)，且短軸長與長軸長的比是eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)M(m，0)在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)．當(dāng)|eq\o(MP,\s\up6(→))|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．11.(2015·石家莊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動圓經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且與直線x＝－eq\f(1,2)相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)P是曲線E上的動點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，△PBC的內(nèi)切圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面積的最小值．12．(2015·濰坊三模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C與曲線|y|＝x的交點(diǎn)分別為A，B(A在第四象限)，且eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)定義：以原點(diǎn)O為圓心，eq\r(a2＋b2)為半徑的圓稱為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的“伴隨圓”．若直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交其“伴隨圓”于P，Q兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)O.證明：|PQ|為定值．專題六解析幾何專題過關(guān)·提升卷(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2015·長沙調(diào)研)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝()A．21 B．19 C．9 D．－112．(2015·福建高考)若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()A．11 B．9 C．5 D．33．(2015·安徽高考)下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,4)＝14．已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝1交于A、B兩點(diǎn)，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1或eq\r(2) B．1或－1C.eq\r(2)或－eq\r(2) D．－2或25．(2015·廣東高考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝16．(2015·鄭州質(zhì)檢)已知點(diǎn)P(a，b)是拋物線x2＝20y上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，|PF|＝25，則|ab|＝()A．100 B．200 C．360 7．(2015·唐山調(diào)研)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線eq\r(3)x＋y＝0的對稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)－18．(2015·山東高考)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)9．(2015·青島模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過F作斜率為－1的直線交雙曲線的漸近線于點(diǎn)P，點(diǎn)P在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為eq\f(a2＋b2,8)，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(10),3) D.eq\f(\r(15),3)10．(2015·濰坊模擬)已知拋物線C1：y2＝2x的焦點(diǎn)F是雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)，兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，若|MF|＝eq\f(3,2)，則雙曲線C2的離心率是()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(17),3)C.eq\f(2\r(6),3) D.eq\f(\r(33),3)11．已知動點(diǎn)P(x，y)在橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上，點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)Q滿足|eq\o(QF,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的最大值()A.eq\r(3) B．6C.eq\r(35) D．3512．(2015·河北衡水中學(xué)沖刺卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為該雙曲線右支上一點(diǎn)，且|MF1|2，eq\f(1,2)|F1F2|2，|MF2|2成等差數(shù)列，該點(diǎn)到x軸的距離為eq\f(c,2)，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B．2 C.eq\r(5) D．5第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填寫在題中的橫線上)13．(2015·陜西高考)若拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝________．14．(2015·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R15．(2015·長沙模擬)雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓與此雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B(不同于O點(diǎn))，則|AB|＝________．16．(2015·合肥質(zhì)檢)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2015·陜西高考)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線的距離為eq\f(1,2)c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝eq\f(5,2)的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．18．(本小題滿分12分)(2015·太原模擬)已知動點(diǎn)A在橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)上，動點(diǎn)B在直線x＝－2上，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，橢圓C上的點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，3))到兩焦點(diǎn)距離之和為4eq\r(3).(1)求橢圓C的方程；(2)判斷直線AB與圓x2＋y2＝3的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．19.(本小題滿分12分)(2015·蘭州模擬)已知點(diǎn)P為y軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)F(1，0)為定點(diǎn)，且滿足eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(NM,\s\up6(→))＝0，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0.(1)求動點(diǎn)N的軌跡E的方程；(2)過點(diǎn)F且斜率為k的直線l與曲線E交于兩點(diǎn)A，B，試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立，請說明理由．20．(本小題滿分12分)(2015·北京高考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．21．(本小題滿分12分)(2015·德州模擬)如圖，已知橢圓：eq\f(x2,4)＋y2＝1，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率為k的直線l與線段AB相交于點(diǎn)D，且與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．(1)若eq\o(ED,\s\up6(→))＝6eq\o(DF,\s\up6(→))，求k的值；(2)求四邊形AEBF面積的最大值．22．(本小題滿分12分)(2015·衡水中學(xué)沖刺)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M.點(diǎn)P(m，n)(m>p)在拋物線C上，且△FOP的外接圓圓心到準(zhǔn)線l的距離為eq\f(3,2).(1)求拋物線C的方程；(2)若直線PF與拋物線C交于另一點(diǎn)A，證明：kMP＋kMA為定值；(3)過點(diǎn)P作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，與y軸分別交于D、E兩點(diǎn)，求△PDE面積取得最小值時(shí)對應(yīng)的m值．專題六解析幾何真題體驗(yàn)·引領(lǐng)卷1．D[設(shè)所求的切線方程為2x＋y＋c＝0(c≠1)，依題意，得eq\f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，則c＝±5.∴所求切線的方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.]2．A[由題設(shè)，a2＝2，b2＝1，則c2＝3，不妨設(shè)F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，則eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)＝3yeq\o\al(2,0)－1<0，解之得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).]3．C[易知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，故過三點(diǎn)A，B，C的圓以AC為直徑，其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25.令x＝0，得(y＋2)2＝24，解之得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6).因此|MN|＝|y1－y2|＝4eq\r(6).]4．D[如圖，設(shè)雙曲線E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N(x1，0)．∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN在Rt△BMN中，y1＝|MN|＝2asin60°＝eq\r(3)a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，所以雙曲線E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(2).]5．A[由幾何圖形知，eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(xB,xA).由拋物線定義，|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1.因此eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BF|－1,|AF|－1).]6．D[雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，又漸近線過點(diǎn)(2，eq\r(3))，所以eq\f(2b,a)＝eq\r(3)，即2b＝eq\r(3)a，①又拋物線y2＝4eq\r(7)x的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\r(7)，由已知，得－eq\r(a2＋b2)＝－eq\r(7)，即a2＋b2＝7，②聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝3，所求雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.]7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)[由題意知，圓過橢圓的頂點(diǎn)(4，0)，(0，2)，(0，－2)三點(diǎn)．設(shè)圓心為(a，0)，其中a>0.由4－a＝eq\r(4＋a2)，解得a＝eq\f(3,2)，則半徑r＝eq\f(5,2).所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4).]8.eq\r(5)[不妨設(shè)F(－c，0)，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B(0，b)．依題意，點(diǎn)B恰為線段PF的中點(diǎn)，則P(c，2b)，將P(c，2b)代入雙曲線方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＝5，因此e＝eq\r(5).]9.eq\f(\r(2),2)[雙曲線x2－y2＝1的漸近線為x±y＝0.又直線x－y＋1＝0與漸近線x－y＝0平行，所以兩平行線間的距離d＝eq\f(|1－0|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2)，由點(diǎn)P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立．所以c≤eq\f(\r(2),2)，故c的最大值為eq\f(\r(2),2).]10．(1)證明設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－kb,k2＋9)，yM＝kxM＋b＝eq\f(9b,k2＋9).于是直線OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(9,k)，即kOM·k＝－9.所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．(2)解四邊形OAPB能為平行四邊形．因?yàn)橹本€l過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)，m))，所以l不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0，k≠3.由(1)得OM的方程為y＝－eq\f(9,k)x.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(9,k)x，,9x2＋y2＝m2))得xeq\o\al(2,P)＝eq\f(k2m2,9k2＋81)，即xP＝eq\f(±km,3\r(k2＋9)).將點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)，m))的坐標(biāo)代入l的方程得b＝eq\f(m（3－k）,3)，因此xM＝eq\f(k（k－3）m,3（k2＋9）).四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM.于是eq\f(±km,3\r(k2＋9))＝2×eq\f(k（k－3）m,3（k2＋9）)，解得k1＝4－eq\r(7)，k2＝4＋eq\r(7).因?yàn)閗i>0，ki≠3，i＝1，2，所以當(dāng)l的斜率為4－eq\r(7)或4＋eq\r(7)時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形．11．解(1)當(dāng)k＝0時(shí)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝a，,y＝\f(x2,4)))可得，M(2eq\r(a)，a)，N(－2eq\r(a)，a)或M(－2eq\r(a)，a)，N(2eq\r(a)，a)．又y′＝eq\f(x,2).故y＝eq\f(x2,4)在x＝2eq\r(a)處的導(dǎo)數(shù)值為eq\r(a)，因此曲線C在點(diǎn)(2eq\r(a)，a)處的切線方程為y－a＝eq\r(a)(x－2eq\r(a))，即eq\r(a)x－y－a＝0.又曲線y＝eq\f(x2,4)在x＝－2eq\r(a)處的導(dǎo)數(shù)值為－eq\r(a).所以曲線C在點(diǎn)(－2eq\r(a)，a)處的切線方程為y－a＝－eq\r(a)(x＋2eq\r(a))，即eq\r(a)x＋y＋a＝0.故所求切線方程為eq\r(a)x－y－a＝0和eq\r(a)x＋y＋a＝0.(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a從而k1＋k2＝eq\f(y1－b,x1)＋eq\f(y2－b,x2)＝eq\f(（kx1＋a－b）x2＋（kx2＋a－b）x1,x1x2)＝eq\f(2kx1x2＋（a－b）（x1＋x2）,x1x2)＝eq\f(k（a＋b）,a).∴b＝－a時(shí)，有k1＋k2＝0.則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM＝∠OPN，所以點(diǎn)P(0，－a)符合題意．12．解(1)由于橢圓的離心率e＝eq\f(\r(3),3)，且a2＝b2＋c2，∴a2＝3c2，且b2＝2c設(shè)直線FM的斜率為k(k>0)，且焦點(diǎn)F(－c，0)．則直線FM的方程為y＝k(x＋c)．由已知，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|kc|,\r(k2＋1))))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))eq\s\up12(2)，解得k＝eq\f(\r(3),3).(2)由(1)得橢圓方程為eq\f(x2,3c2)＋eq\f(y2,2c2)＝1，直線FM的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x＋c)，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解之得x＝－eq\f(5,3)c或x＝c.因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(2\r(3)c,3))).由|FM|＝eq\r(（c＋c）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)c－0))\s\up12(2))＝eq\f(4\r(3),3).解得c＝1，所以橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t，得t＝eq\f(y,x＋1)，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，與橢圓方程聯(lián)立．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝t（x＋1），,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝eq\r(\f(6－2x2,3（x＋1）2))>eq\r(2)，解得－eq\f(3,2)<x<－1，或－1<x<0.設(shè)直線OP的斜率為m，得m＝eq\f(y,x)，即y＝mx(x≠0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理得m2＝eq\f(2,x2)－eq\f(2,3).①當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))時(shí)，有y＝t(x＋1)<0.因此m>0，于是m＝eq\r(\f(2,x2)－\f(2,3))，得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(2\r(3),3))).②當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，有y＝t(x＋1)>0.因此m<0，于是m＝－eq\r(\f(2,x2)－\f(2,3))，得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3))).綜上，直線OP的斜率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(2\r(3),3))).經(jīng)典模擬·演練卷1．A[易知點(diǎn)A(1，1)是一個(gè)切點(diǎn)．由圓的幾何性質(zhì)，過點(diǎn)(3，1)、(1，0)的直線與直線AB垂直．∴kAB＝－eq\f(1,\f(1－0,3－1))＝－2.所以直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]2．C[如圖所示，過點(diǎn)Q作直線l的垂線，垂足為E.由eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，得eq\f(|FP|,|FQ|)＝4.所以eq\f(|EQ|,|AF|)＝eq\f(3,4).由拋物線C：y2＝8x知|AF|＝p＝4，∴|EQ|＝3，根據(jù)拋物線定義，|FQ|＝|EQ|＝3.]3．A[由β＝2α，得∠APB＝α，則|PB|＝|AB|＝2a，設(shè)P(x，y∴x＝a＋2acosβ，y＝2asinβ，則P(a＋2acosβ，2asinβ)，代入雙曲線方程(a＋2acosβ)2－(2asinβ)2＝a2，cos2β＋cosβ＝0.∴2cos2β＋cosβ－1＝0，則cosβ＝eq\f(1,2)，cosβ＝－1(舍去)，故β＝eq\f(π,3).]4．B[由∠APB＝90°，知點(diǎn)P在以線段AB為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為O，則O(0，0)，半徑r＝m，由圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)圓C與圓O相內(nèi)切時(shí)，圓的半徑取得最大值．∴|OC|＝eq\r(32＋42)＝m－1，∴m＝6.故m的最大值為6.]5．B[設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F′，連接PF′.在△PFF′中，|OP|＝|OF|＝|OF′|＝2eq\r(5)，知∠FPF′＝90°.又|PF|＝4，∴|PF′|2＝|FF′|2－|PF|2＝(4eq\r(5))2－42＝64，則|PF′|＝8，因此2a＝|PF|＋|PF′|＝12，a由c＝2eq\r(5)，得b2＝a2－c2＝36－20＝16，故橢圓C的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.]6．A[依題意，不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，且M(x0，y0)，由拋物線定義，|MF|＝x0＋eq\f(p,2)，得5＝x0＋2.∴x0＝3，則yeq\o\al(2,0)＝24，所以M(3，2eq\r(6))，又點(diǎn)M在雙曲線上，∴eq\f(32,a2)－24＝1，則a2＝eq\f(9,25)，a＝eq\f(3,5)，因此漸近線方程為eq\f(25,9)x2－y2＝0，即5x±3y＝0.]7．y＝±2x[由題意知：eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝5，則eq\f(b,a)＝2，所以漸近線的方程為y＝±2x.]8．(x＋1)2＋y2＝2[由題設(shè)，圓C的圓心C(－1，0)，設(shè)半徑為r，又圓C與圓C′：(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，∴|CC′|＝2eq\r(2)＋r.又|CC′|＝eq\r([2－（－1）]2＋32)＝3eq\r(2)，則r＝eq\r(2)，故所求圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2.]9．y2＝16x[由拋物線C：y2＝2px(p>0)，知焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)，設(shè)滿足條件的圓心為C′，圓的半徑為r.由πr2＝36π，得r＝6.又圓C′與拋物線的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)相切，∴eq\f(p,4)＋eq\f(p,2)＝6，∴p＝8.故拋物線方程為y2＝16x.]10．解(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由焦點(diǎn)F(－2，0)知c＝2.∴a2＝4＋b2，①又eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，②聯(lián)立①，②得a2＝16，b2＝12.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)設(shè)P(x，y)為橢圓上的動點(diǎn)，由于橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.故－4≤x≤4.由點(diǎn)M(m，0)在橢圓的長軸上，則－4≤m≤4.①由eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－m，y)，所以|eq\o(MP,\s\up6(→))|2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,16)))＝eq\f(1,4)x2－2mx＋m2＋12＝eq\f(1,4)(x－4m)2＋12－3m2.∵當(dāng)|eq\o(MP,\s\up6(→))|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)．∴當(dāng)x＝4時(shí)，|eq\o(MP,\s\up6(→))|2取得最小值．由于x∈[－4，4]，故4m≥4，則m≥1，由①，②知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，4]．11．解(1)∵動圓過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且與直線x＝－eq\f(1,2)相切，∴動圓的圓心到定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離等于到定直線x＝－eq\f(1,2)的距離．根據(jù)拋物線定義，圓心的軌跡方程為y2＝2x.(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，則直線PB的方程為(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，又△PBC的內(nèi)切圓方程為(x－1)2＋y2＝1，∴圓心(1，0)到直線PB的距離為1.則eq\f(|y0－b＋x0b|,\r(（y0－b）2＋xeq\o\al(2,0)))＝1，整理得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，同理，得(x0－2)c2＋2y0c－x0因此，b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的兩根，所以b＋c＝eq\f(－2y0,x0－2)，bc＝eq\f(－x0,x0－2).依題意，得bc<0，即x0>2.則(b－c)2＝eq\f(4xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)－8x0,（x0－2）2)，因?yàn)閥eq\o\al(2,0)＝2x0，所以|b－c|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,x0－2))).因此△PBC的面積S＝eq\f(1,2)|b－c||x0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),x0－2)))＝x0＋2＋eq\f(4,x0－2)＝(x0－2)＋eq\f(4,x0－2)＋4≥2eq\r(（x0－2）·\f(4,x0－2))＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x0－2＝2，即x0＝4時(shí)上式等號成立．故△PBC面積的最小值為8.12．(1)解由橢圓的對稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱．依題意，設(shè)點(diǎn)A(x，－x)，B(x，x)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，2x)．由eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，x)·(0，2x)＝eq\f(3,2)，且x>0.∴2x2＝eq\f(3,2)，x＝eq\f(\r(3),2)，因此Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，代入橢圓方程，得eq\f(3,4a2)＋eq\f(3,4b2)＝1.①又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴eq\f(6,9)＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)②聯(lián)立①，②，得b2＝1，a2＝3.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)證明由題意可得“伴隨圓”方程為x2＋y2＝4，①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x＝n，代入橢圓方程得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\r(1－\f(n2,3))))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，－\r(1－\f(n2,3))))，由eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0得n＝±eq\f(\r(3),2)，代入x2＋y2＝4得y＝±eq\f(\r(13),2)，所以|PQ|＝eq\r(13).②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為y＝kx＋m(k，m∈R)且與橢圓的交點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0，即m2∵x1＋x2＝eq\f(－6km,1＋3k2)，x1·x2＝eq\f(3m2－3,1＋3k2)，可得y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝eq\f(m2－3k2,1＋3k2)，由eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0得x1·x2＋y1·y2＝0，即eq\f(3m2－3,1＋3k2)＋eq\f(m2－3k2,1＋3k2)＝eq\f(4m2－3k2－3,1＋3k2)＝0，所以m2＝eq\f(3,4)(k2＋1)，代入驗(yàn)證Δ>0成立．則原點(diǎn)O到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\r(\f(m2,1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，∵“伴隨圓”的半徑為2，∴|PQ|＝2eq\r(4－\f(3,4))＝eq\r(13)，綜合①，②知，|PQ|為定值eq\r(13).專題過關(guān)·提升卷1．C[圓C1：x2＋y2＝1的圓心C1(0，0)，半徑r1＝1.圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0的圓心為C2(3，4)，半徑為r2＝eq\r(25－m).由于兩圓外切，則|C1C2|＝r1＋r2，所以5＝1＋eq\r(25－m)，解之得m＝9.]2．B[由雙曲線定義，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|＝3，知點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則|PF2|－|PF1|＝6.所以|PF2|＝9.]3．C[由雙曲線性質(zhì)，A、B項(xiàng)中焦點(diǎn)在x軸上，不合題意．對于選項(xiàng)D，其漸近線方程為y2－eq\f(x2,4)＝0，即y＝±eq\f(x,2).經(jīng)檢驗(yàn)，只有選項(xiàng)C中eq\f(y2,4)－x2＝1滿足．]4．B[∵|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，∴以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作出的平行四邊形OACB為矩形，則eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，所以△OAB為直角三角形，因此|AB|＝eq\r(2).于是圓心O到直線x＋y＝a的距離d＝eq\f(|AB|,2)＝eq\f(\r(2),2)，從而，得eq\f(|0＋0－a|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝±1.]5．B[因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F2(5，0)且離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.]6．D[由x2＝20y知其準(zhǔn)線y＝－5.∴|PF|＝b＋5＝25，則b＝20.又點(diǎn)(a，b)在拋物線x2＝20y上，∴a2＝400，|a|＝20，因此|ab|＝|20×20|＝400.]7．D[設(shè)F(－c，0)，點(diǎn)A(m，n)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)·（－\r(3)）＝－1，,\f(\r(3)（m－c）,2)＋\f(n,2)＝0，))解之得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c)).代入橢圓方程，有eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1.又b2＝a2－c2代入，得c4－8a2c2＋所以e4－8e2＋4＝0，e2＝4－2eq\r(3)，e＝eq\r(3)－1.]8．D[圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心M(－3，2)，半徑r＝1.點(diǎn)N(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N′(2，－3)．如圖所示，反射光線一定過點(diǎn)N′(2，－3)且斜率存在，∴反射光線所在直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－(2k＋3)＝0.∵反射光線與已知圓相切，∴eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋（－1）2))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－eq\f(4,3).]9．C[設(shè)P(xP，yP)，依題設(shè)xP>0，且yP>0.由S△OFP＝eq\f(1,2)·c·yP＝eq\f(a2＋b2,8)＝eq\f(c2,8)，∴yP＝eq\f(c,4).又直線PF的方程為y＝－(x－c)，∴xP＝eq\f(3c,4)，又點(diǎn)P在雙曲線的漸近線bx－ay＝0上，∴eq\f(3c,4)·b－eq\f(ac,4)＝0，則a＝3b，c＝eq\r(10)b，故雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),3).]10．D[由拋物線方程知p＝1，∴焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則a＝eq\f(1,2).設(shè)M(xM，yM)，由拋物線定義，|MF|＝xM＋eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)，∴xM＝1，則yM＝±eq\r(2)，即M(1，±eq\r(2))，代入雙曲線方程，得b2＝eq\f(2,3)，從而c2＝eq\f(11,12)，故雙曲線c2的離心率e2＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(33),3).]11．C[如圖所示，由方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1知：頂點(diǎn)A(－4，0)，B(4，0)、右焦點(diǎn)F(2，0)．又|eq\o(QF,\s\up6(→))|＝1，∴點(diǎn)Q的軌跡是以焦點(diǎn)F(2，0)為圓心，以1為半徑的圓．由|eq\o(QP,\s\up6(→))|·|eq\o(QF,\s\up6(→))|＝0，知PQ⊥FQ.因此直線PQ是圓F的切線，且Q為切點(diǎn)，∴|PQ|2＝|PF|2－1，當(dāng)|PF|最長時(shí)，|PQ|取最大值．當(dāng)點(diǎn)P與橢圓的左頂點(diǎn)A重合時(shí)，|PF|有最大值|AF|＝6.所以|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(62－1)＝eq\r(35).]12．A[依題意，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2∴△MF1F2是以M因此|MF1|·|MF2|＝|F1F2|·eq\f(c,2)＝2c·eq\f(c,2)＝c2.又|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1||MF2|＝4c2.∴(2a)2＋2c2＝4c2，則c2故雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).]13．2eq\r(2)[由于x2－y2＝1的焦點(diǎn)為(±eq\r(2)，0)，故eq\f(p,2)＝eq\r(2)，則p＝2eq\r(2).]14．(x－1)2＋y2＝2[直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(diǎn)P∴當(dāng)P(2，－1)為切點(diǎn)時(shí)，圓的半徑最大，且R＝eq\r(（1－2）2＋（0＋1）2)＝eq\r(2)，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2.]15．2eq\r(3)[由雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1，右焦點(diǎn)F(2，0)，漸近線方程分別為y＝±eq\r(3)x，代入圓F的方程(x－2)2＋y2＝4，得x＝1，y＝±eq\r(3).故|AB|＝2eq\r(3).]16．x2＋eq\f(3,2)y2＝1[設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝eq\r(1－b2)，則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，得eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2c＝3（x0＋c），,－b2＝3y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c，,y0＝－\f(1,3)b2.))代入方程eq\f(25（1－b2）,9)＋eq\f(1,9)b2＝1，得b2＝eq\f(2,3)，故所求橢圓E的方程為x2＋eq\f(3,2)y2＝1.]17．解(1)過點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d＝eq\f(bc,\r(b2＋c2))＝eq\f(bc,a)，由d＝eq\f(1,2)c，得a＝2b，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)b，因此橢圓E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.①依題意，圓心M(－2，1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(10)，易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1＋x2＝－eq\f(8k（2k＋1）,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4（2k＋1）2－4b2,1＋4k2).由x1＋x2＝－4，得－eq\f(8k（2k＋1）,1＋4k2)＝－4，解得k＝eq\f(1,2)，從而x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))|x1－x2|＝eq\f(\r(5),2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(10（b2－2）)，由|AB|＝eq\r(10)，得eq\r(10（b2－2）)＝eq\r(10)，解得b2＝3，故橢圓E的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.18．解(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝4\r(3)，,\f(9,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))∴a2＝12，b2＝3，∴橢圓C的方程為eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,3)＝1.(2)直線AB與圓x2＋y2＝3相切，證明如下：由題意可設(shè)A(x0，y0)，B(－2，t)(t∈R)，則直線AB的方程為(y0－t)x－(x0＋2)y＋(tx0＋2y0)＝0，∵eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴2x0＝ty0，∴t＝eq\f(2x0,y0)，∵動點(diǎn)A在橢圓C上，∴eq\f(yeq\o\al(2,0),12)＋eq\f(xeq\o\al(2,0),3)＝1，∴yeq\o\al(2,0)＝12－4xeq\o\al(2,0)，∴原點(diǎn)O到直線AB的距離d＝eq\f(|tx0＋2y0|,\r(（y0－t）2＋（x0＋2）2))＝eq\f(|tx0＋2y0|,\r(yeq\o\al(2,0)－2ty0＋t2＋xeq\o\al(2,0)＋4x0＋4))＝eq\f(|tx0＋2y0|,\r(yeq\o\al(2,0)＋t2＋xeq\o\al(2,0)＋4))＝eq\f(2|xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)|,\r(xeq\o\al(2,0)yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(4,0)＋4xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)))＝eq\f(6|4－xeq\o\al(2,0)|,\r(12（xeq\o\al(4,0)－8xeq\o\al(2,0)＋16）))＝eq\r(3)，∴直線AB與圓x2＋y2＝3相切．19．解(1)設(shè)N(x，y)，則由eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(NM,\s\up6(→))＝0得P為MN的中點(diǎn)．∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，M(－x，0)．∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，－\f(y,2)))，eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(y,2))).∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.∴動點(diǎn)N的軌跡E的方程為y2＝4x.(2)設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))消去x得y2－eq\f(4,k)y－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4.假設(shè)存在點(diǎn)C(m，0)滿足條件，則eq\o(CA,\s\up6(→))＝(x1－m，y1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(x2－m，y2)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,4)))eq\s\up12(2)－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2),4)))＋m2－4＝－eq\f(m,4)[(y1＋y2)2－2y1y2]＋m2－3＝m2－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋2))－3.∵Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋2))eq\s\up12(2)＋12>0，∴關(guān)于m的方程m2－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋2))－3＝0有解．故在x軸上存在點(diǎn)C，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立．20．解(1)由點(diǎn)P(0，1)在橢圓上，知b＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)且a2＝b2＋c2.解得c2＝1，a2＝2，故橢圓C的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.設(shè)M(xM，0)．因?yàn)閙≠0，所以－1<n<1.直線PA的方程為y－1＝eq\f(n－1,m)x.所以xM＝eq\f(m,1－n)，即Meq\b\