蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講練專題復(fù)習(xí)勾股定理章末重難點(diǎn)題型(原卷版+解析)

專題復(fù)習(xí)勾股定理章末重難點(diǎn)題型【題型目錄】考點(diǎn)一勾股定理的證明方法考點(diǎn)二勾股樹(shù)問(wèn)題考點(diǎn)三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題考點(diǎn)四勾股定理的折疊問(wèn)題考點(diǎn)五勾股定理的逆定理考點(diǎn)六最短路徑問(wèn)題考點(diǎn)七勾股定理的其他應(yīng)用【考點(diǎn)一勾股定理的證明方法】【例題1】我們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股定理的第二課時(shí)時(shí)，以下圖形可以用來(lái)驗(yàn)證勾股定理的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國(guó)家也都很重視對(duì)勾股定理的研究和應(yīng)用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是(

)A． B．C． D．【變式1-2】如圖，把長(zhǎng)、寬、對(duì)角線的長(zhǎng)分別是a、b、c的矩形沿對(duì)角線剪開(kāi)，與一個(gè)直角邊長(zhǎng)為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補(bǔ)法能夠得到的一個(gè)等式是__．【變式1-3】我國(guó)古代用勾、股和弦分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊．如圖，由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，數(shù)學(xué)家鄒元治利用該圖證明了勾股定理，當(dāng)大正方形面積為9，小正方形面積為5，則直角三角形中股和勾的差值為_(kāi)_______．

【變式1-4】勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請(qǐng)敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理．（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)①如圖4，5，6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有___________個(gè)．②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請(qǐng)寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系：___________．(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖8所示的“勾股樹(shù)”．在如圖9所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為定值，四個(gè)小正方形，，，的邊長(zhǎng)分別為，，，d，則___________．【考點(diǎn)二勾股樹(shù)問(wèn)題】【例題2】如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為4，6，3，4，則最大正方形E的面積是（

）A．17 B．34 C．77 D．86【變式2-1】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．則當(dāng)時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【變式2-2】如圖是一株美麗的勾股數(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的邊長(zhǎng)是_________．【變式2-3】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù)：________；（2）若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為_(kāi)_______．【變式2-4】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．事實(shí)上，勾是三時(shí)，股和弦的算式分別是（9﹣1），（9＋1）；勾是五時(shí)，股和弦的算式分別是（25﹣1），（25＋1）．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫(xiě)出勾是七時(shí)，股和弦的算式；(2)根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請(qǐng)寫(xiě)出兩種），并對(duì)其中一種猜想加以證明；(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)．運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來(lái)表示股和弦．【考點(diǎn)三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】【例題3】如圖，有一個(gè)水池，水面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．若把這根蘆葦拉向水池一邊，頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（

）尺．A．6 B．5 C．13 D．12【變式3-1】如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門(mén)自動(dòng)打開(kāi)了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門(mén)的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為（）米．A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6【變式3-2】如圖有兩棵樹(shù)，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹(shù)相距8m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行________m．【變式3-3】如圖，八年級(jí)一班的同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿AB豎直插到水底，此時(shí)竹竿AB離岸邊點(diǎn)C處的距離米．竹竿高處水面的部分AD長(zhǎng)0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點(diǎn)C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為_(kāi)_____．【變式3-4】如圖，牧童在河邊A處放牛，家在河邊B處，時(shí)近傍晚，牧童驅(qū)趕牛群先到河邊飲水，然后在天黑前趕回家，已知點(diǎn)A到河邊C的距離為500m，點(diǎn)B到河邊D的距離為700m，且CD＝500m．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出牧童回家的最短路線；(2)求出牧童回家最短路線的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)四勾股定理的折疊問(wèn)題】【例題4】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6，BC＝8．現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式4-1】如圖，在中，，按圖中所示方法將沿BD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)處，那么線段AD的長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式4-2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)處，那么DC＝__________cm．【變式4-3】如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊到，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【變式4-4】如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在長(zhǎng)方形內(nèi)點(diǎn)處，連接，且．(1)求證：．(2)求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)五勾股定理的逆定理】【例題5】下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三內(nèi)角之比為 B．在中，C．三邊長(zhǎng)的平方之比為 D．三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且．【變式5-1】甲、乙兩艘客輪同時(shí)離開(kāi)港口，航行的速度都是，甲客輪15min到達(dá)A，乙客輪用20min到達(dá)B點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)的直線距離為1000m，甲客輪沿北偏東30°的方向航行，則乙客輪的航行方向是（

）A．南偏西30° B．南偏東60° C．北偏西30°或南偏東30° D．南偏東60°或北偏西60°【變式5-2】如圖，在四邊形ABCD中，，，，．則的度數(shù)為_(kāi)______．【變式5-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交邊BC于點(diǎn)DE，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的點(diǎn)，連接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，則CE＋EF的最小值是________．【變式5-4】如圖所示，已知AD，AE分別是的高和中線，；試求：(1)的長(zhǎng)；(2)的面積；(3)和的周長(zhǎng)的差．【考點(diǎn)六最短路徑問(wèn)題】【例題6】如圖，長(zhǎng)方體的高為，底面是正方形，邊長(zhǎng)為，現(xiàn)有一蒼蠅從A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面到達(dá)C點(diǎn)處，則蒼蠅所經(jīng)過(guò)的最短距離為（

）A． B． C． D．【變式6-1】一只螞蟻從長(zhǎng)為2cm，寬為1cm，高是4cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【變式6-2】如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是_____．【變式6-3】如圖所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米．在圓柱的底面A點(diǎn)處有一只小螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的C點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是_______．（取3）【變式6-4】如圖，長(zhǎng)方體的透明玻璃魚(yú)缸，假設(shè)其長(zhǎng)，高，水深為，在水面上緊貼內(nèi)壁處有一魚(yú)餌，在水面線上，且；一小蟲(chóng)想從魚(yú)缸外的點(diǎn)沿壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)處吃魚(yú)餌，求小動(dòng)物爬行的最短距離．（魚(yú)缸厚度忽略不計(jì)）【考點(diǎn)七勾股定理的其他應(yīng)用】【例題7】如圖是一個(gè)長(zhǎng)為12cm，寬為5cm，高為8cm的長(zhǎng)方體，一只蜘蛛從一條側(cè)棱的中點(diǎn)A沿著長(zhǎng)方體表面爬行到頂點(diǎn)B去捕捉螞蟻，此時(shí)蜘蛛爬行的最短距離是（

）A．13cm B．15cm C．21cm D．25cm【變式7-1】放學(xué)后，貝貝和京京從學(xué)校分手，分別沿西南方向和東南方向回家，已知兩人行走的速度都是40m/min．貝貝用15min到家，京京用20min到家，那么貝貝家與京京家的距離是（

）A．600m B．800m C．1000m D．無(wú)法計(jì)算【變式7-2】如圖，將長(zhǎng)為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動(dòng)2m，則梯子底端B向左滑動(dòng)________m．【變式7-3】如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離兩條公路的交叉處O點(diǎn)80米的A處有一所希望小學(xué)，當(dāng)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)，路兩旁50米內(nèi)會(huì)受到噪音影響，已知有兩臺(tái)相距30米的拖拉機(jī)正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問(wèn)這兩臺(tái)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)給小學(xué)帶來(lái)噪音影響的時(shí)間是_____秒．【變式7-4】“交通管理?xiàng)l例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方50米處，過(guò)了6秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時(shí)所走的路程，并判定小汽車是否超速？【亮點(diǎn)訓(xùn)練】1．下面幾組數(shù)：①，，；②，，；③，，（均為正整數(shù)，）；④，，．其中能組成直角三角形三邊長(zhǎng)的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．③④2．三個(gè)正方形的面積如圖，正方形A的邊長(zhǎng)為（

）A．8 B．36 C．64 D．63．直角三角形有一條直角邊的長(zhǎng)是11，另外兩邊的長(zhǎng)都是自然數(shù)，那么它的周長(zhǎng)是（

）A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不對(duì)4．如圖，在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹(shù)．在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹(shù)從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長(zhǎng)是10米．出門(mén)在外的張大爺擔(dān)心自己的房子被倒下的大樹(shù)砸到．大樹(shù)倒下時(shí)能砸到張大爺?shù)姆孔訂?？?qǐng)你通過(guò)計(jì)算、分析后給出正確的回答（

）A．一定不會(huì) B．可能會(huì) C．一定會(huì) D．以上答案都不對(duì)5．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值為（）A．4 B．4.8 C．5 D．66．如圖是“趙爽弦圖”，由個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是，小正方形的面積是，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊為，較短直角邊為，則的值是（

）A． B． C． D．7．對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)，若，則______．8．如圖，七個(gè)正方形如此排列，相鄰兩個(gè)正方形都有公共頂點(diǎn)，數(shù)字字母代表各自正方形面積．則_______．9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直線AC上一點(diǎn)，把△CDP沿DP所在的直線翻折后，點(diǎn)C落在直線DE上的點(diǎn)H處，CP的長(zhǎng)是_____．10．動(dòng)手操作：如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．11．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求斜邊邊上的高．12．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連接AP．(1)當(dāng)t＝4.5秒時(shí)，求；(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．13．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t＝2秒時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．14．如圖，已知△ABC與△EFC都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECF=90°，E為AB邊上一點(diǎn).(1)試判斷AE與BF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：AE2+BE2=EF215．如圖，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．(1)求△ABC為直角三角形；(2)若△ABP為直角三角形，求出t的值（寫(xiě)出證明過(guò)程）；(3)若△ABP為等腰三角形，直接寫(xiě)出t的值（不必寫(xiě)出證明過(guò)程）．專題復(fù)習(xí)勾股定理章末重難點(diǎn)題型【題型目錄】考點(diǎn)一勾股定理的證明方法考點(diǎn)二勾股樹(shù)問(wèn)題考點(diǎn)三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題考點(diǎn)四勾股定理的折疊問(wèn)題考點(diǎn)五勾股定理的逆定理考點(diǎn)六最短路徑問(wèn)題考點(diǎn)七勾股定理的其他應(yīng)用【考點(diǎn)一勾股定理的證明方法】【例題1】我們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股定理的第二課時(shí)時(shí)，以下圖形可以用來(lái)驗(yàn)證勾股定理的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】用兩種不同的方法表示出梯形的面積，可以判斷圖1和圖3可以驗(yàn)證勾股定理；根據(jù)圖形的總面積等于一個(gè)大正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，然后整理可以判斷圖2可以驗(yàn)證勾股定理．【詳解】解：圖1和圖3：∵，，∴，∴，∴，故圖1和圖3都可以驗(yàn)證勾股定理；圖2：圖形的總面積可以表示為：，也可以表示為：，∴，∴．故圖2可以驗(yàn)證勾股定理；圖4不可以驗(yàn)證勾股定理．綜上，圖1、圖2和圖3可以驗(yàn)證勾股定理，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，觀察圖形，利用兩種方法表示出圖形的面積是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國(guó)家也都很重視對(duì)勾股定理的研究和應(yīng)用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基礎(chǔ)圖形的面積公式表示出各個(gè)選項(xiàng)的面積，同時(shí)根據(jù)割補(bǔ)的思想可以寫(xiě)出另外一種面積表示方法，即可得出一個(gè)等式，進(jìn)而可判新能否證明勾股定理．【詳解】解：A、大正方形的面積等于，也等于4個(gè)直角三角形的面積加小正方形的面積，∴，即，能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、大正方形的面積等于，也等于，∴，不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；C、大正方形的面積等于，也等于4個(gè)直角三角形的面積加小正方形的面積，∴，即，能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、梯形的面積等于，也等于2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形的面積和，∴，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內(nèi)弦圖、外弦圖是解題關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，把長(zhǎng)、寬、對(duì)角線的長(zhǎng)分別是a、b、c的矩形沿對(duì)角線剪開(kāi)，與一個(gè)直角邊長(zhǎng)為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補(bǔ)法能夠得到的一個(gè)等式是__．【答案】a2+b2＝c2【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而列出等式，發(fā)現(xiàn)邊與邊之間的關(guān)系．【詳解】解：此圖可以這樣理解，有三個(gè)Rt△其面積分別為ab，ab和c2．還有一個(gè)直角梯形，其面積為（a+b）（a+b）．由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．【變式1-3】我國(guó)古代用勾、股和弦分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊．如圖，由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，數(shù)學(xué)家鄒元治利用該圖證明了勾股定理，當(dāng)大正方形面積為9，小正方形面積為5，則直角三角形中股和勾的差值為_(kāi)_______．

【答案】1【分析】設(shè)勾為x，股為y，根據(jù)面積求出xy＝2，根據(jù)勾股定理求出x2+y2＝5，根據(jù)完全平方公式求出y﹣x即可．【詳解】設(shè)勾為x，股為y（x＜y），∵大正方形面積為9，小正方形面積為5，∴4×xy+5＝9，∴xy＝2，∵x2+y2＝5，∴y﹣x＝＝＝＝1，∴y﹣x＝1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和完全平方公式，能根據(jù)已知和勾股定理得出算式xy＝2和x2+y2＝5是解此題的關(guān)鍵．【變式1-4】勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請(qǐng)敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理．（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)①如圖4，5，6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有___________個(gè)．②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請(qǐng)寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系：___________．(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖8所示的“勾股樹(shù)”．在如圖9所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為定值，四個(gè)小正方形，，，的邊長(zhǎng)分別為，，，d，則___________．【答案】(1)①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析(2)①3，②(3)【分析】（1）①根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，寫(xiě)出勾股定理的內(nèi)容即可；②根據(jù)題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；（2）①根據(jù)題意，設(shè)直角三角形的三邊分別為a、b、c，利用面積相等的方法，分別求出面積的關(guān)系，即可得到答案；②利用三角形的面積加上兩個(gè)小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；（3）由（1）（2）中的結(jié)論，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用可知，．（1）解：①如果直角三角形的兩條直角邊分別為，，斜邊為，那么．或在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）②（以下過(guò)程，選擇其一解答即可，不必三個(gè)皆證．）若選擇圖1，證明過(guò)程如下：證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即，化簡(jiǎn)，得．若選擇圖2，證明過(guò)程如下：在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即，化簡(jiǎn)，得．若選擇圖3，證明過(guò)程如下：證明：在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和，即，化簡(jiǎn)，得．（2）①根據(jù)題意，則如下圖所示：在圖4中，直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則由勾股定理，得，∴；在圖5中，三個(gè)扇形的直徑分別為a、b、c，則，，，∴，∵，∴，∴；在圖6中，等邊三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則，，，（等邊三角形面積公式：，a為邊長(zhǎng)）∵，，∴，∴；∴滿足的有3個(gè)，故答案為：3；②結(jié)論；，；故答案為：．（3）如圖9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d、e、f、m，則有由（1）（2）中的結(jié)論可知，面積的關(guān)系為：，∴，，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形的面積，解直角三角形，勾股定理的證明，以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，注意歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、歸納總結(jié)能力，是中檔題．【考點(diǎn)二勾股樹(shù)問(wèn)題】【例題2】如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為4，6，3，4，則最大正方形E的面積是（

）A．17 B．34 C．77 D．86【答案】C【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．【詳解】解：如下圖：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1＝42+62，S2＝32+42，于是S3＝S1+S2，即可得S3＝16+36+9+16＝77．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)，根據(jù)勾股定理的幾何意義表示出S3是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-1】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．則當(dāng)時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出、的值，再求出答案即可．【詳解】解：從表中可知：依次為，，，，，，，，，，，即，依次為，，，，，，即當(dāng)時(shí)，，依次為，，，，，，即當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，能根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出，是解此題的關(guān)鍵．【變式2-2】如圖是一株美麗的勾股數(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的邊長(zhǎng)是_________．【答案】【分析】設(shè)正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)依次為a，b，c，d，鄰近A的正方形邊長(zhǎng)為e，鄰近D的正方形邊長(zhǎng)為f，最大正方形的邊長(zhǎng)為g，根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理依次計(jì)算即可．【詳解】如圖，設(shè)正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)依次為a，b，c，d，鄰近A的正方形邊長(zhǎng)為e，鄰近D的正方形邊長(zhǎng)為f，最大正方形的邊長(zhǎng)為g，且a=3，b=5，c=2，d=3，所有的三角形都是直角三角形．所以，所以==47，所以邊長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù)：________；（2）若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為_(kāi)_______．【答案】

11，60，61

和【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一組勾股數(shù)：11、60、61；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【詳解】解：（1）∵，∴下一組勾股數(shù)為：11、60、61；故答案為：11，60，61．（2）后兩個(gè)數(shù)表示為和，∵，，∴，又∵，且為奇數(shù)，∴由n，，三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．故答案為：和．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、證明即可．【變式2-4】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．事實(shí)上，勾是三時(shí)，股和弦的算式分別是（9﹣1），（9＋1）；勾是五時(shí)，股和弦的算式分別是（25﹣1），（25＋1）．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫(xiě)出勾是七時(shí)，股和弦的算式；(2)根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請(qǐng)寫(xiě)出兩種），并對(duì)其中一種猜想加以證明；(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)．運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來(lái)表示股和弦．【答案】(1)（49﹣1），（49＋1）(2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析(3)m，【分析】（1）根據(jù)推論即可發(fā)現(xiàn)：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半；（2）把（1）中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系運(yùn)用字母表示即可，然后發(fā)現(xiàn)勾、股、弦之間的關(guān)系，并驗(yàn)證；（3）發(fā)現(xiàn)：股和弦總是相差為2．主要是考慮勾和股之間的關(guān)系即是勾的一半的平方再減1．（1）解：由題意得勾是七時(shí)，股和弦的算式分別是：（49﹣1），（49＋1）；（2）當(dāng)n≥3，且n為奇數(shù)時(shí)，勾、股、弦分別為：n，，它們之間的關(guān)系為：（?。┫药伖桑?，（ⅱ）．如證明（?。合药伖桑?；如證明（ⅱ）：；（3）當(dāng)m＞4，且m為偶數(shù)時(shí)，勾、股、弦分別為：m，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及規(guī)律的探索，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)具體數(shù)字發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用字母表示推廣到一般．【考點(diǎn)三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】【例題3】如圖，有一個(gè)水池，水面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．若把這根蘆葦拉向水池一邊，頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（

）尺．A．6 B．5 C．13 D．12【答案】C【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，蘆葦與水池邊的原距離為水池邊的一半，即為尺，如圖，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為：（尺，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門(mén)自動(dòng)打開(kāi)了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門(mén)的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為（）米．A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作于E，得到，米，由勾股定理得出AE，進(jìn)而得到米，即可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于E，如圖所示：則，米，在中，AD=1.5米，由勾股定理得（米），∴（米），∴米．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】如圖有兩棵樹(shù)，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹(shù)相距8m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行________m．【答案】10【分析】由題意可構(gòu)建直角三角形求出AC的長(zhǎng)，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于點(diǎn)E，則四邊形EBDC是矩形．BE=CD，AE長(zhǎng)度可求，CE=BD,在Rt△AEC中,可根據(jù)勾股定理求出AC長(zhǎng)．【詳解】如圖，設(shè)大樹(shù)高為AB=10m，小樹(shù)高為CD=4m，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于點(diǎn)E，則四邊形EBDC是矩形．EB=CD=4m，EC=8m．AE=AB－EB=10－4=6m．連接AC，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：m，故答案為10【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建立適當(dāng)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．【變式3-3】如圖，八年級(jí)一班的同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿AB豎直插到水底，此時(shí)竹竿AB離岸邊點(diǎn)C處的距離米．竹竿高處水面的部分AD長(zhǎng)0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點(diǎn)C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為_(kāi)_____．【答案】1.5米【分析】設(shè)人工湖的深度BD設(shè)為x米，則竹竿BC的長(zhǎng)米，可以放到一個(gè)直角三角形中計(jì)算．此直角三角形的一條直角邊CD是0.8米，另一條直角邊是人工湖BD為x米，斜邊BC是竹竿的長(zhǎng)米．根據(jù)勾股定理得，即可解答．【詳解】解：設(shè)人工湖的深度BD設(shè)為x米，則竹竿BC的長(zhǎng)米，由題意得，，解之得：故答案為：1.5米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．【變式3-4】如圖，牧童在河邊A處放牛，家在河邊B處，時(shí)近傍晚，牧童驅(qū)趕牛群先到河邊飲水，然后在天黑前趕回家，已知點(diǎn)A到河邊C的距離為500m，點(diǎn)B到河邊D的距離為700m，且CD＝500m．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出牧童回家的最短路線；(2)求出牧童回家最短路線的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)牧童回家最短路線的長(zhǎng)度為1300m【分析】(1)作A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交CD于P點(diǎn)，即為所求作的點(diǎn)；(2)最短路程即是A'B的距離，過(guò)A'作A'F⊥BD的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)勾股定理求得即可．（1）作A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交CD于P點(diǎn)，即為所求作的點(diǎn)．（2）由作圖可得最短路程為A'B的距離，過(guò)A'作A'F⊥BD的延長(zhǎng)線于F，則DF=A'C=AC=500m，A'F=CD=500m，BF=700+500=1200m，根據(jù)勾股定理可得，A'B=(m)．【點(diǎn)睛】此題考查了線路最短的問(wèn)題，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵綜合運(yùn)用勾股定理的知識(shí)．【考點(diǎn)四勾股定理的折疊問(wèn)題】【例題4】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6，BC＝8．現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設(shè)CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵△ACD與△AED關(guān)于AD成軸對(duì)稱，∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，在Rt△ABC中，，∴AB＝10，BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則DB＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△DEB中，由勾股定理，得，解得x＝3，即CD＝3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，在中，，按圖中所示方法將沿BD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)處，那么線段AD的長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后利用折疊的性質(zhì)求出AC′的長(zhǎng)，在△AC′D中，設(shè)DC′=x，則AD=8-x，根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．根據(jù)折疊的性質(zhì)，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．∴AC′=10-6=4．在△AC′D中，設(shè)DC′=x，則AD=8-x，根據(jù)勾股定理得．解得x=3．∴AD=8-x=5．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對(duì)應(yīng)邊、角相等．【變式4-2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)處，那么DC＝__________cm．【答案】5【分析】根據(jù)折疊是性質(zhì)可知CD=，BC=，∠C=∠=90°，設(shè)DC=x，在△中，將三條邊都表示出來(lái)，用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=cm，∵△BCD沿BD折疊得到△，∴CD=，BC=，∠C=∠=90°，設(shè)CD=x，則=x，AD=AC-CD=8-x，=AB-=10-6=4cm，在Rt△中，根據(jù)勾股定理得：，，解得：x=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊得到對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系，并根據(jù)勾股定理列出方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊到，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】或5【分析】分兩種情況進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，求CE的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，求CE的長(zhǎng)．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)時(shí)，，，，，是的中點(diǎn)，．②如圖2，當(dāng)時(shí)，由折疊性質(zhì)知，，三點(diǎn)共線．，在中，，設(shè)，，在中，，．綜上所述，CE的長(zhǎng)為：5或．【點(diǎn)睛】此題考查翻折變換，勾股定理，熟練運(yùn)用勾股定理以及學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在長(zhǎng)方形內(nèi)點(diǎn)處，連接，且．(1)求證：．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得證；（2）先說(shuō)明點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線，再根據(jù)勾股定理即可求解．（1）證明：將沿折疊，使點(diǎn)落在長(zhǎng)方形內(nèi)點(diǎn)處，，，是直角三角形，；（2）解：由折疊的性質(zhì)得：，，又，，點(diǎn)，，在一條直線上，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得：，即．解得：．．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題、勾股定理及其逆定理、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是勾股定理及其逆定理的運(yùn)用．【考點(diǎn)五勾股定理的逆定理】【例題5】下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三內(nèi)角之比為 B．在中，C．三邊長(zhǎng)的平方之比為 D．三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行判斷能否構(gòu)成直角三角形即可．【詳解】A、由三內(nèi)角之比為可得最大角為，不是直角三角形，故此選項(xiàng)合題意；B、由變形得，根據(jù)勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由三邊長(zhǎng)的平方之比為設(shè)三邊長(zhǎng)的平方為可得，根據(jù)勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、由1+2=3，可得，根據(jù)勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理和三角形內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】甲、乙兩艘客輪同時(shí)離開(kāi)港口，航行的速度都是，甲客輪15min到達(dá)A，乙客輪用20min到達(dá)B點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)的直線距離為1000m，甲客輪沿北偏東30°的方向航行，則乙客輪的航行方向是（

）A．南偏西30° B．南偏東60° C．北偏西30°或南偏東30° D．南偏東60°或北偏西60°【答案】D【分析】首先根據(jù)速度和時(shí)間計(jì)算出行駛路程，再根據(jù)勾股定理逆定理結(jié)合路程可判斷出甲和乙兩艘輪船的行駛路線呈垂直關(guān)系，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：如圖：∵甲乙兩艘客輪同時(shí)離開(kāi)港口，航行的速度都是每分鐘40m，甲客輪用15分鐘到達(dá)點(diǎn)A，乙客輪用20分鐘到達(dá)點(diǎn)B，∴甲客輪走了40×15=600（m），乙客輪走了40×20=800（m），∵A、B兩點(diǎn)的直線距離為1000m，∴6002+8002=10002，∴∠AOB=90°，∵甲客輪沿著北偏東30°的方向航行，∴乙客輪的航行方向可能是南偏東60°，同理可得：乙客輪的航行方向也可能是北偏西60°．綜上所述：乙客輪的航行方向可能是南偏東60°或北偏西60°．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．【變式5-2】如圖，在四邊形ABCD中，，，，．則的度數(shù)為_(kāi)______．【答案】150°##150度【分析】連接BD，根據(jù)AB=AD=6，∠A=60°，得出△ABD是等邊三角形，求得BD=8，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形BDC是直角三角形，從而求得∠ADC=150°【詳解】解：連接BD，∵AB=AD=6，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=6，∠ADB=60°，∵BC=10，CD=8，則BD2+CD2=82+62=100，BC2=102=100，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°故答案為：150°【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．【變式5-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交邊BC于點(diǎn)DE，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的點(diǎn)，連接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，則CE＋EF的最小值是________．【答案】4.8##【分析】如圖所示：在AB上取點(diǎn)F′，使AF′=AF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H．因?yàn)镋F+CE=EF′+EC，推出當(dāng)C、E、F′共線，且點(diǎn)F′與H重合時(shí)，F(xiàn)E+EC的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示：在AB上取點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H．∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴∴是直角三角形，且∴∴，∵，∴當(dāng)C、E、共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最小，最小值為4.8，故答案為：4.8．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理逆定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)利用對(duì)稱，解決最短問(wèn)題．【變式5-4】如圖所示，已知AD，AE分別是的高和中線，；試求：(1)的長(zhǎng)；(2)的面積；(3)和的周長(zhǎng)的差．【答案】(1)的長(zhǎng)為(2)的面積是(3)和的周長(zhǎng)的差是【分析】（1）由勾股定理逆定理可確定為直角三角形，且．再由等積法即可求出AD的長(zhǎng)；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可求出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得，即可求出．（1）∵，∴，∴為直角三角形，且．∵是邊上的高，∴，∴；（2）∵是的中線，∴，∴；（3）∵為邊上的中線，∴，∴，即和的周長(zhǎng)的差是．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理逆定理，三角形中線的性質(zhì)．確定出為直角三角形，且是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)六最短路徑問(wèn)題】【例題6】如圖，長(zhǎng)方體的高為，底面是正方形，邊長(zhǎng)為，現(xiàn)有一蒼蠅從A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面到達(dá)C點(diǎn)處，則蒼蠅所經(jīng)過(guò)的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，分兩種情況討論，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：第一種情況如圖所示，將長(zhǎng)方體正面和右面展開(kāi)，連接AC，顯然兩點(diǎn)之間線段最短，AC為點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短距離，由勾股定理知：（cm）；第二種情況如圖所示，將長(zhǎng)方體上面和右面展開(kāi)，連接AC，顯然兩點(diǎn)之間線段最短，AC為點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短距離，由勾股定理知：（cm）．，蒼蠅所經(jīng)過(guò)的最短距離為5cm，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，利用了兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將長(zhǎng)方體展開(kāi)成平面圖，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】一只螞蟻從長(zhǎng)為2cm，寬為1cm，高是4cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【分析】先將圖形展開(kāi)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，如圖1所示，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=；如圖2所示，，如圖3所示，，∵，∴螞蟻所行的最短路線為5cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問(wèn)題，將長(zhǎng)方體展開(kāi)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理是解題的根據(jù)．注意有三種不同的展開(kāi)方式．【變式6-2】如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是_____．【答案】25【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖計(jì)算后比較即可．【詳解】按照正面和右側(cè)進(jìn)行展開(kāi)，如圖所示：根據(jù)題意，得BE=AD=20，AE=BC+CD=15，所以AB==25；按照上面和右側(cè)進(jìn)行展開(kāi)，如圖所示：根據(jù)題意，得AD=10，BD=BC+CD=25，所以AB=故最小值為25；故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，熟練掌握展開(kāi)圖的意義是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】如圖所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米．在圓柱的底面A點(diǎn)處有一只小螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的C點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是_______．（取3）【答案】15厘米##【分析】要想求得最短路程，首先要把和展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi)．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理求出螞蟻爬行的最短路程即可．【詳解】解：如圖，展開(kāi)圓柱的半個(gè)側(cè)面是矩形，則即為最短路程（兩點(diǎn)之間線段最短）．由題意可知，這個(gè)矩形中，等于圓柱的底面周長(zhǎng)的一半，即為厘米，等于圓柱的高，即為12厘米，則（厘米），即沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是15厘米，故答案為：15厘米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑問(wèn)題，求兩個(gè)不在同一平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)之間的最短距離時(shí)，一定要展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi)是解題關(guān)鍵．【變式6-4】如圖，長(zhǎng)方體的透明玻璃魚(yú)缸，假設(shè)其長(zhǎng)，高，水深為，在水面上緊貼內(nèi)壁處有一魚(yú)餌，在水面線上，且；一小蟲(chóng)想從魚(yú)缸外的點(diǎn)沿壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)處吃魚(yú)餌，求小動(dòng)物爬行的最短距離．（魚(yú)缸厚度忽略不計(jì)）【答案】100cm【分析】本題我們首先需要將立體圖形轉(zhuǎn)化為幾何圖形，然后利用勾股定理進(jìn)行求解.【詳解】解：如圖所示作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，小蟲(chóng)沿著的路線爬行時(shí)路程最短．在直角△中，，，．最短路線長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的就是勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.在立體圖形中求兩點(diǎn)之間的最短距離的時(shí)候我們一般首先將幾何圖形進(jìn)行展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成直角三角形來(lái)進(jìn)行求解.本題中一個(gè)在外面，另一個(gè)在里面，我們需要通過(guò)翻折將里面的轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面，然后進(jìn)行求解.這種問(wèn)題，在矩形的時(shí)候一定要特別注意展開(kāi)圖的不同方法，從而得出不同的直角三角形，然后得出最短距離.【考點(diǎn)七勾股定理的其他應(yīng)用】【例題7】如圖是一個(gè)長(zhǎng)為12cm，寬為5cm，高為8cm的長(zhǎng)方體，一只蜘蛛從一條側(cè)棱的中點(diǎn)A沿著長(zhǎng)方體表面爬行到頂點(diǎn)B去捕捉螞蟻，此時(shí)蜘蛛爬行的最短距離是（

）A．13cm B．15cm C．21cm D．25cm【答案】B【分析】先將長(zhǎng)方體沿CF、FG、GD剪開(kāi)，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一個(gè)平面內(nèi)，連接AB；或?qū)㈤L(zhǎng)方體沿CD、CF、FG剪開(kāi)，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一個(gè)平面內(nèi)，連接AB；或?qū)㈤L(zhǎng)方體沿CD、DB、BE剪開(kāi)，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一個(gè)平面內(nèi)，連接AB，然后分別在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，比較大小即可求得需要爬行的最短路程．【詳解】將長(zhǎng)方體沿CF、FG、GD剪開(kāi)，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖1：，．∴在Rt△ABE中，將長(zhǎng)方體沿CD、CF、FG剪開(kāi)，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖2：，∴在Rt△ABC中，將長(zhǎng)方體沿CD、DB、BE剪開(kāi)，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖3：，∴在Rt△ABD中，∵∴蜘蛛爬行的最短距離是15cm．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在最短路徑問(wèn)題中的應(yīng)用，利用了轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平面圖形并利用勾股定理的知識(shí)求解．【變式7-1】放學(xué)后，貝貝和京京從學(xué)校分手，分別沿西南方向和東南方向回家，已知兩人行走的速度都是40m/min．貝貝用15min到家，京京用20min到家，那么貝貝家與京京家的距離是（

）A．600m B．800m C．1000m D．無(wú)法計(jì)算【答案】C【分析】?jī)扇说姆较蚍謩e是東南方向和西南方向，因而兩人的家所在點(diǎn)與學(xué)校的連線正好互相垂直，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵兩人行走的速度都是40m/min．貝貝用15min到家，京京用20min到家，∴OB＝40×20＝800（m），OA＝40×15＝600（m），在直角△OAB中，AB＝＝1000（m），故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，正確畫(huà)出圖形是解題關(guān)鍵．【變式7-2】如圖，將長(zhǎng)為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動(dòng)2m，則梯子底端B向左滑動(dòng)________m．【答案】2【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)題意兩次運(yùn)用勾股定理即可解答．【詳解】如圖所示：題意可得，AC＝6m，AB＝10m，則BC＝＝＝8（m），A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，故B′C＝＝＝6（m），則梯子底端B向左滑動(dòng)：BC﹣B′C＝8﹣6＝2（m）．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中根據(jù)梯子長(zhǎng)不會(huì)變的等量關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離兩條公路的交叉處O點(diǎn)80米的A處有一所希望小學(xué)，當(dāng)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)，路兩旁50米內(nèi)會(huì)受到噪音影響，已知有兩臺(tái)相距30米的拖拉機(jī)正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問(wèn)這兩臺(tái)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)給小學(xué)帶來(lái)噪音影響的時(shí)間是_____秒．【答案】18【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON，求出AC的長(zhǎng)，第一臺(tái)到B點(diǎn)時(shí)開(kāi)始對(duì)學(xué)校有噪音影響，第一臺(tái)到C點(diǎn)時(shí)，第二臺(tái)到B點(diǎn)也開(kāi)始有影響，第一臺(tái)到D點(diǎn)，第二臺(tái)到C點(diǎn)，直到第二臺(tái)到D點(diǎn)噪音才消失．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON于N，∵∠MON＝30°，OA＝80米，∴AC＝40米，當(dāng)?shù)谝慌_(tái)拖拉機(jī)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)學(xué)校產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB＝50米，由勾股定理得：（米），第一臺(tái)拖拉機(jī)到D點(diǎn)時(shí)噪音消失，所以CD＝30米，由于兩臺(tái)拖拉機(jī)相距30米，則第一臺(tái)到D點(diǎn)時(shí)第二臺(tái)在C點(diǎn)，還須前行30米后才對(duì)學(xué)校沒(méi)有噪音影響．所以影響時(shí)間應(yīng)是：90÷5＝18（秒）．答：這兩臺(tái)拖拉機(jī)沿ON方向行駛給小學(xué)帶來(lái)噪音影響的時(shí)間是18秒．故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-4】“交通管理?xiàng)l例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方50米處，過(guò)了6秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時(shí)所走的路程，并判定小汽車是否超速？【答案】(1)120米(2)72千米小時(shí)，小汽車超速了【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，可得米，設(shè)汽車經(jīng)過(guò)6秒后到達(dá)點(diǎn)，連接，則有米，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，即小汽車6秒所走的路程；（2）利用速度路程時(shí)間，即可判斷．（1）解：過(guò)點(diǎn)作，設(shè)汽車經(jīng)過(guò)6秒后到達(dá)點(diǎn)，連接，如圖所示：由題意可得：米，米，在中，（米，答：小汽車6秒走的路程為120米；（2）解：小汽車6秒中的平均速度為：（米秒）（千米小時(shí)），，小汽車超速了．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，作出相應(yīng)的圖形．【亮點(diǎn)訓(xùn)練】1．下面幾組數(shù)：①，，；②，，；③，，（均為正整數(shù)，）；④，，．其中能組成直角三角形三邊長(zhǎng)的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．③④【答案】B【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊長(zhǎng)，就是看是不是滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一做出判斷即可．【詳解】解：①∵，∴不能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；②∵，∴能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；③∵===∴能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)．④∵=≠∴不能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；∴②③正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)該是兩較短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方．2．三個(gè)正方形的面積如圖，正方形A的邊長(zhǎng)為（

）A．8 B．36 C．64 D．6【答案】D【分析】設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為，根據(jù)圖形可知．解得（負(fù)值舍去）故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．直角三角形有一條直角邊的長(zhǎng)是11，另外兩邊的長(zhǎng)都是自然數(shù)，那么它的周長(zhǎng)是（

）A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不對(duì)【答案】A【分析】設(shè)另外兩邊是a、b，根據(jù)勾股定理變形，即可解答．【詳解】解：設(shè)另外兩邊是a、b（a＞b）則根據(jù)勾股定理，得：121∵另外兩邊的長(zhǎng)都是自然數(shù)∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1即另外兩邊的和是121，故三角形的周長(zhǎng)是132．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，根據(jù)另外兩邊的長(zhǎng)都是自然數(shù)，熟練進(jìn)行因式分解和因數(shù)分解是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹(shù)．在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹(shù)從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長(zhǎng)是10米．出門(mén)在外的張大爺擔(dān)心自己的房子被倒下的大樹(shù)砸到．大樹(shù)倒下時(shí)能砸到張大爺?shù)姆孔訂?？?qǐng)你通過(guò)計(jì)算、分析后給出正確的回答（

）A．一定不會(huì) B．可能會(huì) C．一定會(huì) D．以上答案都不對(duì)【答案】A【分析】利用勾股定理求出BC，即可判斷．【詳解】解：如圖，AB=10米，AC=6米，在Rt△ABC中，=8米，∵8<9，∴大樹(shù)倒下時(shí)不能砸到張大爺?shù)姆孔?，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值為（）A．4 B．4.8 C．5 D．6【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H，在BC上截取，則的最小值是的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)A作于H，在BC上截取，∵的平分線交于點(diǎn)D，∴，在和中，，∴，∴∴，∵，∴的最小值是的長(zhǎng)．∵，∴，∴，∴，∴．∴AE+EF的最小值為4.8．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及角平分線的定義，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．6．如圖是“趙爽弦圖”，由個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是，小正方形的面積是，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊為，較短直角邊為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是，小正方形的面積是，所以一個(gè)小三角形的面積是，三角形的斜邊為，所以，，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和ab的值是關(guān)鍵．7．對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)，若，則______．【答案】136【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得，，在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，，進(jìn)一步得，最后求得．【詳解】解：，，在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得，，在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．8．如圖，七個(gè)正方形如此排列，相鄰兩個(gè)正方形都有公共頂點(diǎn)，數(shù)字字母代表各自正方形面積．則_______．【答案】4【分析】運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可知，每?jī)蓚€(gè)相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵，∴，即，同理．則．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理．發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直線AC上一點(diǎn)，把△CDP沿DP所在的直線翻折后，點(diǎn)C落在直線DE上的點(diǎn)H處，CP的長(zhǎng)是_____．【答案】或【分析】分兩種情況：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)；當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)．分別畫(huà)出圖形，利用折疊性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)，如圖1，由折疊性質(zhì)得PC＝PH，DC＝DH，∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，∴BC＝10，∵CD＝BC，∴，∵DE⊥AC，DE＝2∴，∴DH＝CD＝，∴EH＝ED+DH＝2+＝，設(shè)PC＝x，則PH＝x，PE＝x-，∵，∴，解得，x＝，即CP＝；當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)，如圖2，由折疊知，DH＝DC＝，∴EH＝DH﹣DE＝，設(shè)PC＝a，則PE＝CE-PC＝-a，PH＝a，∵，∴，解得，a＝，即PC＝；綜上，PC＝或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，注意分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．10．動(dòng)手操作：如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】3或5##5或3【分析】分，兩種情況討論，由勾股定理和折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，將沿直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，，，，，，，，，在中，．，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題與勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求斜邊邊上的高．【答案】(1)(2)斜邊AB邊上的高是4.8【分析】（1）根據(jù)在中，是邊上的高，，，可以計(jì)算出的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可得到的長(zhǎng)；（2）根據(jù)等面積法，可以求得斜邊邊上的高．（1）解：（1）∵在中，是邊上的高，，，∴，即，解得，∵在中，，，∴；（2）解：作于點(diǎn)F，∵，，∴，解得，即斜邊AB邊上的高是4.8．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連接AP．(1)當(dāng)t＝4.5秒時(shí)，求；(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．