蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講練專題2.4等邊三角形的性質(zhì)與判定(原卷版+解析)

專題2.4等邊三角形的性質(zhì)與判定【教學(xué)目標(biāo)】1、理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等邊三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題【教學(xué)重難點(diǎn)】1、理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等邊三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4、含30°的直角三角形的特點(diǎn)。【知識(shí)亮解】知識(shí)點(diǎn)等邊三角形定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。性質(zhì)：三條邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于60°。圖形等腰三角形等邊三角形性

質(zhì)兩條邊都相等三條邊都相等兩個(gè)角都相等三個(gè)角都相等，且都是60o底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合

每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線互相重合對(duì)稱軸（1條）對(duì)稱軸（3條）判定：①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。總結(jié)：等腰三角形和等邊三角形對(duì)比②等腰三角形和等邊三角形的判定圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定方法：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形推論1：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。推論2：在直角三角形中，銳角為30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。亮題一、等邊三角形的性質(zhì)1．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于（

）A．36° B．48° C．54° D．60°2．（2022·海南·中考真題）如圖，直線，是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n上，直線m交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2022·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，且點(diǎn)E、M在線段AC上，點(diǎn)G在線段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°4．（2022·北京·人大附中八年級(jí)期中）如圖，在中，，，為等邊三角形，連接，則_____，的面積為_____．5．（2022·河南南陽·八年級(jí)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點(diǎn)P，下列說法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③AD＝BE，④AE+BD＝AB，其中正確的說法有_____．（填序號(hào)）6．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分線AD、BE交于點(diǎn)P．(1)當(dāng)△ABC為等邊三角形（如圖（1）時(shí)，求證：EP＝DP；(2)當(dāng)△ABC不是等邊三角形，但∠ACB＝60°（如圖（2））時(shí)，（2）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．亮題二、等邊三角形的判定1．（2022·廣東中山·八年級(jí)期末）如圖，已知直角三角形ABC中，，，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)2．（2022·山東濱州·八年級(jí)期末）已知a﹑b﹑c為△ABC的三條邊邊長(zhǎng)，且滿足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，則△ABC的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，分別以的邊，所在直線為對(duì)稱軸作的對(duì)稱圖形和，，線段與相交于點(diǎn)，連接、、、．有如下結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是

A．1 B．2 C．3 D．44．（2021·江蘇·徐州市樹人初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN=_________．5．（2021·山東臨沂·八年級(jí)期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD交OA，OB分別于點(diǎn)E，F(xiàn)；若△PEF的周長(zhǎng)的為9，則線段OP＝_____6．（2022·安徽·合肥壽春中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，，，垂足為D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若點(diǎn)E恰好在邊AB的垂直平分線上，判斷△CEF的形狀，并說明理由．亮題三、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【例1】★如圖，在中，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，則A．4 B．5 C．8 D．2.5【例2】★★如圖，中，，垂直平分，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【例3】★★已知：如圖，四邊形中，，與相交于點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)．則．【例4】★★如圖，在四邊形中，，、分別是、的中點(diǎn)，（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．亮題四、含30°角的直角三角形1．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年級(jí)期末）如圖，廠房屋頂鋼架外框是等腰三角形，∠BAC=120°，點(diǎn)E是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱AD，EF，GH垂直于橫梁BC，AB=8m，則EF等于（

）A． B． C． D．2．（2022·山東德州·二模）如圖，等邊三角形△ABC中，BD＝CE，AE、CD相交于點(diǎn)P，CF⊥AE于F，PF＝3，PD＝1，則AE的長(zhǎng)是(

)A．7 B．6 C．5 D．43．（2022·河南信陽·二模）如圖，點(diǎn)E在等邊的邊BC上，，射線于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，，則AC為（

）A．14 B．13 C．12 D．104．（2022·北京·通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，三角形花園的邊界，互相垂直，若測(cè)得，的長(zhǎng)度為，則邊界的中點(diǎn)與點(diǎn)B的距離是_________．5．（2020·江蘇鹽城·一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，則AD的長(zhǎng)為________．6．（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為的斜坡，坡角于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為．(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）【亮點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，，將△ABC沿射線BC的方向平移2個(gè)單位后，得到，連接C，則C的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．14 D．182．（2022·山西太原·八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且．若，則EF的長(zhǎng)為（

）A．6 B．4 C．3 D．23．（2022·湖北鄂州·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，則BC的長(zhǎng)為（

）A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm4．（2022·安徽阜陽·八年級(jí)期末）如圖，，點(diǎn)是內(nèi)的定點(diǎn)且，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是(

)A．3 B． C． D．65．（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)（

）s后，可得到等邊三角形△AMN．A．4 B．6 C．8 D．不能確定6．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，，，BE垂直平分CD，交CD于點(diǎn)E，若，則CE的長(zhǎng)為______．7．（2022·貴州黔南·八年級(jí)期末）如圖，P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于射線OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD分別交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF．若，△PEF的周長(zhǎng)為8cm，則線段OP的長(zhǎng)為______cm．8．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）如圖，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，，垂足為D，垂足為E，CD，BE交于點(diǎn)F，，則______．9．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，，點(diǎn)C是BO延長(zhǎng)線時(shí)的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)__________時(shí)，△POQ是等邊三角形．10．（2021·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，且點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，點(diǎn)P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP+BP的最小值為___．11．（2022·山東淄博·二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)∠A=60°時(shí)，求∠EDF的度數(shù)；12．（2022·安徽合肥·二模）知：A、B為直線l上兩點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）；(1)任作一個(gè)，使；(2)作，使，且．13．（2022·福建三明·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，的垂直平分線分別交和于點(diǎn)，，連接．(1)求證：是等邊三角形：(2)若，求的長(zhǎng)．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：等邊△ABC，過點(diǎn)B作AC的平行線l．點(diǎn)P為射線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將射線PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交直線l于點(diǎn)D．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形；①求證：∠BDP=∠PCB；②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數(shù)里關(guān)系，并證明；(2)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系．15．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）【知識(shí)介紹】換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．均值換元法是換元法主要形式之一．【典例分析】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝4，試求代數(shù)式x2＋y2的最小值．【分析】均值換元法：由x＋y＝4，得x與y的均值為2，所以可以設(shè)x＝2＋t，再代入代數(shù)式換元求解．【解法】∵x＋y＝4，∴設(shè)x＝2＋t，y＝2﹣t，∴x2＋y2＝（2＋t）2＋（2﹣t）2＝2t2＋8≥8，∴x2＋y2的最小值是8．【理解應(yīng)用】根據(jù)以上知識(shí)背景，回答下列問題：(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，求代數(shù)式a2＋b2＋2的最小值；(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足b＋c＝8，bc＝a2﹣8a＋32，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并求△ABC的周長(zhǎng)．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末）如圖，等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連接PQ交AC于點(diǎn)D，下列結(jié)論中不一定正確的是（

）A．PD=DQ B．2DE=AC C．2AE=CQ D．PQ⊥AB2．（2022·四川德陽·八年級(jí)期末）如圖，中，，，，，，平分，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．13 C．6.5 D．73．（2021·河南·開封市第二十七中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知等邊和等邊，其中點(diǎn)、、在同一條直線上，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中：（1）；（2）；（3）；（4）．正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期末）如圖，過邊長(zhǎng)為4的等邊的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．5．（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末）如圖，等邊中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的點(diǎn)，，，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．10 D．126．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，中，垂直平分交于，，，則______．7．（2022·河南南陽·九年級(jí)期末）如圖，在中，，．點(diǎn)D為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線CD折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊AC的垂直平分線上時(shí)，線段AD的長(zhǎng)為______．8．（2022·四川成都·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，過兩弧的交點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為_______．9．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面結(jié)論：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC是等邊三角形；④AC=AO+AP；其中正確的有______（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．10．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上的一點(diǎn)，∠BAD=28°，在AD的右側(cè)作△ACE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE，DE，DE交AC于點(diǎn)O，若CE∥AB，則∠DOC的度數(shù)為________11．（2022·湖南邵陽·八年級(jí)期末）如圖，，，，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，，．(1)證明：是等邊三角形．(2)若，，求AB和AD的長(zhǎng)．12．（2022·河南南陽·八年級(jí)期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分線交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分線交MN于C，交AN于F．(1)若AM＝AN，∠MAN＝120°，則△ABC的形狀是；(2)去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的條件，其他不變，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)∠M與∠N滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△ABC是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況．13．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）問題探究：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．(1)證明：AD＝BE；(2)求∠AEB的度數(shù)．問題變式：(3)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)求出∠AEB的度數(shù)以及判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）已知△ABC是等邊三角形，D是射線CA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE＝BD．(1)如圖1，若D是線段AC的中點(diǎn)，則CD______AE．（填“>”“<”或“＝”）(2)如圖2，若D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由(3)在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，線段AD，AB，AE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，并說明理由．15．（2022·山東濰坊·八年級(jí)期末）已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上．(1)[問題解決]如圖1，以AD為一邊作等邊三角形ADE，連接BE．求證：BE＋BD＝AB．(2)[遷移運(yùn)用]如圖2，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角形DEF．求證：BE＋BD＝BF．(3)[類比探究]如圖3，點(diǎn)F是AB邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角形DEF．試探究線段BE，BD，BF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由．專題2.4等邊三角形的性質(zhì)與判定【教學(xué)目標(biāo)】1、理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等邊三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題【教學(xué)重難點(diǎn)】1、理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等邊三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4、含30°的直角三角形的特點(diǎn)。【知識(shí)亮解】知識(shí)點(diǎn)等邊三角形定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。性質(zhì)：三條邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于60°。圖形等腰三角形等邊三角形性

質(zhì)兩條邊都相等三條邊都相等兩個(gè)角都相等三個(gè)角都相等，且都是60o底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合

每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線互相重合對(duì)稱軸（1條）對(duì)稱軸（3條）判定：①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形?？偨Y(jié)：等腰三角形和等邊三角形對(duì)比②等腰三角形和等邊三角形的判定圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定方法：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形推論1：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。推論2：在直角三角形中，銳角為30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。亮題一、等邊三角形的性質(zhì)1．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于（

）A．36° B．48° C．54° D．60°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出∠BAE的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，根據(jù)角的和差關(guān)系可得出∠EAF的度數(shù)．【詳解】∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴，∵△ABF為等邊三角形，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．2．（2022·海南·中考真題）如圖，直線，是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n上，直線m交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=60°，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AEF=∠1-∠A=80°，從而得到∠BEF=100°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=140°，∴∠AEF=∠1-∠A=80°，∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，∵，∴∠2=∠BEF=100°．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，且點(diǎn)E、M在線段AC上，點(diǎn)G在線段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°【答案】D【解析】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，∴∠GMN＝∠MGN＝∠DEF＝60°，∵∠1+∠GMN+∠GME＝180°，∠2+∠MGN+∠EGM＝180°，∠3+∠DEF+∠MEG＝180°，∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG＝3×180°，∵∠GME+∠EGM+∠MEG＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平角的定義；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022·北京·人大附中八年級(jí)期中）如圖，在中，，，為等邊三角形，連接，則_____，的面積為_____．【答案】

【解析】【分析】如圖，過作于，第一個(gè)空：根據(jù)為等邊三角形，可得，，然后再根據(jù)，，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出，然后由即可得到答案；第二個(gè)空：根據(jù)和可確定的邊邊上的高等于，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得，則，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得到答案．【詳解】如圖，過作于，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，，∴，∴；∵，∴∵，∴，∴的邊邊上的高等于，∵為等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)及三角形面積計(jì)算等知識(shí)．發(fā)現(xiàn)的邊上的高等于的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南南陽·八年級(jí)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點(diǎn)P，下列說法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③AD＝BE，④AE+BD＝AB，其中正確的說法有_____．（填序號(hào)）【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等．然后得到∠1=∠2，結(jié)合角的關(guān)系，得到∠APE＝∠C；由△ABE和△CAD全等對(duì)應(yīng)邊相等得到AD＝BE；再結(jié)合邊的關(guān)系，得到AC=AB；即可得到答案．【詳解】證明：如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠1=∠2，∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，∴∠APE=∠C=60°，故①正確；無法判斷BQ=AQ，故②錯(cuò)誤，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，又∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE故③正確；∵AC=BC．AE=DC，∴BD=CE，∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正確，∴正確的有①③④故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，牢固掌握并靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)是做出本題的關(guān)鍵．6．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分線AD、BE交于點(diǎn)P．(1)當(dāng)△ABC為等邊三角形（如圖（1）時(shí)，求證：EP＝DP；(2)當(dāng)△ABC不是等邊三角形，但∠ACB＝60°（如圖（2））時(shí)，（2）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，證明見解析【解析】【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可以得到相等的線段和相等的角，進(jìn)而可以證明EP＝DP；（2）上題的結(jié)論仍然成立，并且具有類似的證明方法．(1)∵△ABC為等邊三角形，AD平分∠CAB，∴PD⊥BC，同理，PE⊥AC，作PH⊥AB于H，∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，∴PE＝PH，同理PD＝PH，∴PD＝PE；(2)EP＝DP依然成立．證明：不妨設(shè)∠CAB＜∠CBA，作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，則點(diǎn)H在線段CE上，點(diǎn)M在線段BD上，∵∠CAB和∠ACB的平分線AD、BE交于點(diǎn)P，∴PH＝PQ＝PM，∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∠ACB＝60°，∴∠CAB+∠ABC＝120°，∵AD、BE分別平分∠CAB、∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝60°，∵∠CEP＝∠CAP+∠PAB+∠PBA＝∠CAP+60°，∠ADB＝∠CAP+∠ACD＝∠CAP+60°，∴∠CEP＝∠ADB，在△PHE和△PMD中，∠HEP＝∠MDP，∠EHP＝∠DMP＝90°，PH＝PM，∴△PHE≌△PMD，∴PE＝PD．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的利用等邊三角形的性質(zhì)．亮題二、等邊三角形的判定1．（2022·廣東中山·八年級(jí)期末）如圖，已知直角三角形ABC中，，，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【解析】【分析】分三種情況討論：畫出符合題意的圖形，從而可得答案.【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，而所以是等邊三角形，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有6個(gè)，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.2．（2022·山東濱州·八年級(jí)期末）已知a﹑b﹑c為△ABC的三條邊邊長(zhǎng)，且滿足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，則△ABC的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】首先利用分組分解法對(duì)已知等式的左邊進(jìn)行因式分解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，從而得到答案．【詳解】解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0∴∴；∴∴為等邊三角形．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的判斷，以及靈活利用因式分解建立與方程之間的關(guān)系來解決問題．3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，分別以的邊，所在直線為對(duì)稱軸作的對(duì)稱圖形和，，線段與相交于點(diǎn)，連接、、、．有如下結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根據(jù)周角等于360°列式計(jì)算即可求出∠EAD＝90°，判斷出①正確；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根據(jù)翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判斷出②正確；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高相等，即可判斷出③正確；根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊及等邊三角形的性質(zhì)可得到BP＜EQ，判斷出④錯(cuò)誤；綜上即可得答案．【詳解】∵和是的軸對(duì)稱圖形，∴，，AC=AD，∴，故①正確．∴，由翻折的性質(zhì)得，，∵，∴，故②正確．∵，∴，，∴邊上的高與邊上的高相等，即點(diǎn)到兩邊的距離相等，∴平分，故③正確．∵∠EAQ=90°，∴AE＜EQ∵，∠BAE=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BP＜AB，∴BP＜EQ，故④錯(cuò)誤；綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇·徐州市樹人初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN=_________．【答案】2cm【解析】【分析】作輔助線來溝通各角之間的關(guān)系，首先求出△BMA與△CNA是等腰三角形，再證明△MAN為等邊三角形即可．【詳解】連接AM，AN，∵AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等邊三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案為：2cm．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為線段的垂直平分線性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．5．（2021·山東臨沂·八年級(jí)期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD交OA，OB分別于點(diǎn)E，F(xiàn)；若△PEF的周長(zhǎng)的為9，則線段OP＝_____【答案】9【解析】【分析】首先根據(jù)對(duì)稱性得出△DOC是等邊三角形，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：連接OD，OC，∵∠AOB=30°，點(diǎn)D、C分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，，即，，∴，DO=OP=OC，PF=DF，PE=CE，∴△DOC是等邊三角形，，∵△PEF的周長(zhǎng)的為9，，∴OP=9．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出△DOC是等邊三角形是解題關(guān)鍵．6．（2022·安徽·合肥壽春中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，，，垂足為D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若點(diǎn)E恰好在邊AB的垂直平分線上，判斷△CEF的形狀，并說明理由．【答案】(1)證明過程見詳解(2)△CEF是等邊三角形，證明過程見詳解【解析】【分析】（1）先得到∠CEB+∠CBE=90°和∠DFB+∠FBD=90°，根據(jù)BE平分∠ABC，有∠CBE=∠FBD，即可得到∠CEF=∠DFB，則結(jié)論即可證明；（2）根據(jù)點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，可得∠A=∠EBA，結(jié)合∠CBE=∠FBD，可得∠A=∠EBA=∠EBC=30°，即可得∠CEF=60°，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠CEF=∠CFE=∠ECF=60°，結(jié)論的證明．(1)∵∠ACB=90°，∴∠CEB+∠CBE=90°，∵CD⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠DFB+∠FBD=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠FBD，∴∠CEF=∠DFB，∵∠DFB=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE；(2)△CEF是等邊三角形，理由：∵點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，∴AE=BE，∴∠A=∠EBA，∵∠EBA=∠EBC，∠A+∠ABC=∠ACB=90°，∴∠A=∠EBA=∠EBC=30°，∴∠CEF=∠A+∠ABE=60°，∵在（1）已證得∠CEF=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE=60°，∴∠CEF=∠CFE=∠ECF=60°，∴△CEF是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用直角三角形中兩銳角互余是解答本題的關(guān)鍵．亮題三、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【例1】★如圖，在中，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，則A．4 B．5 C．8 D．2.5【解析】，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又為的中點(diǎn)，，故選：．【例2】★★如圖，中，，垂直平分，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解析】垂直平分，，，是等腰直角三角形，，又，，，，，，，，．故選：．【例3】★★已知：如圖，四邊形中，，與相交于點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)．則．【解析】連接、，，是的中點(diǎn)，，同理，，，又是的中點(diǎn)，，，故答案為：．【例4】★★如圖，在四邊形中，，、分別是、的中點(diǎn)，（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【解析】（1）證明：，是的中點(diǎn)，，，，又的中點(diǎn)，；（2），是的中點(diǎn)，，，，，．亮題四、含30°角的直角三角形1．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年級(jí)期末）如圖，廠房屋頂鋼架外框是等腰三角形，∠BAC=120°，點(diǎn)E是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱AD，EF，GH垂直于橫梁BC，AB=8m，則EF等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠B=30°，再利用直角三角形的性質(zhì)求出EF即可．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，∴∠C=∠B=(180°-120°)=30°，∵AB=8m，點(diǎn)E是斜梁AB的中點(diǎn)，∴BE=AE=AB=4(m)，在Rt△BEF中，∠B=30°，BE=4m，∴EF=BE=2(m)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東德州·二模）如圖，等邊三角形△ABC中，BD＝CE，AE、CD相交于點(diǎn)P，CF⊥AE于F，PF＝3，PD＝1，則AE的長(zhǎng)是(

)A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】證△ACD≌△BAE，推出∠ACD=∠BAE，求出∠CPF=∠APD=60°，得出∠PCF=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．∴∠BAC=∠B．∵BD=CE，∴AD=BE，在△ACD和△BAE中，，∴△ACD≌△BAE（SAS）．∴∠ACD=∠BAE，CD=AE，∴∠APD=∠ACP+∠PAC=∠BAC=60°．∴∠CPF=∠APD=60°．∵，∴∠CFP=90°，∵∠BPF=60°，∴∠PCF=30°．∴CP=2PF=6，∵PD=1，∴CD=CP+PD=7，∴AE=CD=7．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠PBF=30°．3．（2022·河南信陽·二模）如圖，點(diǎn)E在等邊的邊BC上，，射線于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，，則AC為（

）A．14 B．13 C．12 D．10【答案】D【解析】【分析】作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連結(jié)FE′，當(dāng)點(diǎn)E′、P、F三點(diǎn)共線，且E′F⊥AB時(shí)，EP+PF的值最小，由∠B＝60°，∠BFE′＝90°，推出∠E′＝30°，從而推出BE′＝14，從而求出CE＝CE′＝4，進(jìn)一步即可求出AC的長(zhǎng)度.【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連結(jié)FE′，∴PE=PE′，PE+PF=PE′+PF≥FE′，當(dāng)點(diǎn)E′、P、F三點(diǎn)共線，且E′F⊥AB時(shí)，EP+PF的值最小等于E′F，∵∠B＝60°，∠BFE′＝90°，∴∠BE′F＝30°，∵BF＝7，∴BE′＝2BF＝14，∵BE=6，∴EE′=BE′-BE=14-6=8，∴EC=CE′=4，∴AC＝BC＝BE′-CE′=14-4=10，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線找出點(diǎn)P，推出此時(shí)，EP+PF的值最小是解題關(guān)鍵4．（2022·北京·通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，三角形花園的邊界，互相垂直，若測(cè)得，的長(zhǎng)度為，則邊界的中點(diǎn)與點(diǎn)B的距離是_________．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求出AC=-BC=40，在根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，連接BD，∵∠A=30°，∠ABC=90°∴AC=2BC=40m∵D是AC的中點(diǎn)∴BD是直角三角形斜邊上的中線∴m故答案為20．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用30°的直角三角形性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·江蘇鹽城·一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，則AD的長(zhǎng)為________．【答案】4【解析】【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)與作法得出AD=BD，再利用等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出AD的長(zhǎng)．【詳解】解：∵分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，∴MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=30°，∵∠C=90°，AC=2，∴AD=2AC=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為的斜坡，坡角于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為．(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）【答案】(1)10m(2)20m【解析】【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．(1)，(2)C，A，D三點(diǎn)共線，【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【亮點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，，將△ABC沿射線BC的方向平移2個(gè)單位后，得到，連接C，則C的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．14 D．18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得，，，則可計(jì)算，則，可判斷為等邊三角形，繼而可求得的周長(zhǎng)．【詳解】解:平移兩個(gè)單位得到的，，，，，，，，又，，是等邊三角形，的周長(zhǎng)為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì),平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．2．（2022·山西太原·八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且．若，則EF的長(zhǎng)為（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，即可得出，證明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，，，∵△ABC為等邊三角形，∴，∵，，，∴，為等邊三角形，，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明為等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北鄂州·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，則BC的長(zhǎng)為（

）A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm【答案】C【解析】【分析】延長(zhǎng)ED交BC于F，延長(zhǎng)AD交BC于H，如圖，先證明△BEF為等邊三角形得到BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH⊥BC，BH=CH，接著計(jì)算出DF=6cm，則HF=DF=3，然后計(jì)算出BH，從而得到BC的長(zhǎng)．【詳解】解：延長(zhǎng)ED交BC于F，延長(zhǎng)AD交BC于H，如圖，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEF為等邊三角形，∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH=CH，∵DE=4cm，∴DF=EF-DE=6cm，在Rt△DFH中，HF=DF=3，∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），∴BC=2BH=14cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．解題時(shí)注意：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．能求出BM、MN的長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽阜陽·八年級(jí)期末）如圖，，點(diǎn)是內(nèi)的定點(diǎn)且，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是(

)A．3 B． C． D．6【答案】A【解析】【分析】作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，從而可得周長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，從而可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，則垂直平分，垂直平分，，周長(zhǎng)為，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，，（等腰三角形的三線合一），同理可得：，，，，又，是等邊三角形，，的最小值是3，周長(zhǎng)的最小值是3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確找出使得的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．5．（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)（

）s后，可得到等邊三角形△AMN．A．4 B．6 C．8 D．不能確定【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，得到等邊三角形，表示出，的長(zhǎng)，根據(jù)，只要，三角形就是等邊三角形．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，得到等邊三角形，如圖所示，則，，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，即，解得，∴點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，得到等邊三角形．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意分析出時(shí)得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，，，BE垂直平分CD，交CD于點(diǎn)E，若，則CE的長(zhǎng)為______．【答案】1【解析】【分析】由題意易得，BD=BC，則有，然后可得△BDC是等邊三角形，進(jìn)而可得BD=DC=2，則問題可求解．【詳解】解：∵AD∥BC，，∴，∵，，∴，∵BE垂直平分CD，∴BD=BC，∴△BDC是等邊三角形，∴BD=DC=2，∴；故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·貴州黔南·八年級(jí)期末）如圖，P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于射線OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD分別交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF．若，△PEF的周長(zhǎng)為8cm，則線段OP的長(zhǎng)為______cm．【答案】8【解析】【分析】首先根據(jù)對(duì)稱性得出△DOC是等邊三角形，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：連接OD，OC，∵∠AOB=30°；點(diǎn)C、D分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠DOC=60°，DO=OP=OC，PF=DF，PE=CE，∴△DOC是等邊三角形，∵△PEF的周長(zhǎng)的為8，∴OP=8．故選：8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）如圖，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，，垂足為D，垂足為E，CD，BE交于點(diǎn)F，，則______．【答案】6【解析】【分析】連接BC，根據(jù)垂直平分線的判定及性質(zhì)可得為等邊三角形，結(jié)合圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系可得，由所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可得，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接BC，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)且于點(diǎn)D，∴CD是線段AB的垂直平分線，∴，∵點(diǎn)E是AC中點(diǎn)且于點(diǎn)E，∴BE是線段AC的垂直平分線，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，，在中，，在中，，∵，∴，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】題目主要考查線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定，含角的直角三角形的特殊性質(zhì)等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，，點(diǎn)C是BO延長(zhǎng)線時(shí)的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)__________時(shí)，△POQ是等邊三角形．【答案】6【解析】【分析】由△POQ是等邊三角形，，可得運(yùn)動(dòng)到了上，且再建立方程求解即可.【詳解】解：△POQ是等邊三角形，在上，且由題意得：解得：即當(dāng)s時(shí)，△POQ是等邊三角形.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握“有一個(gè)角為的等腰三角形是等邊三角形”是解題的關(guān)鍵.10．（2021·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，且點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，點(diǎn)P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP+BP的最小值為___．【答案】8【解析】【分析】連接PE，根據(jù)△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，證明△ACP≌△ECP，可得AP=EP，所以AP+BP=AP+EP，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，AP+BP的值最小，正好等于BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AP+BP的最小值．【詳解】解：如圖，連接PE，∵△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴AC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴∠ACD=∠DCE，在△ACP和△ECP中，，∴△ACP≌△ECP（SAS），∴AP=EP，∴AP+BP=AP+EP，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，AP+BP的值最小，正好等于BE的長(zhǎng)，所以AP+BP的最小值為：2×4=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．11．（2022·山東淄博·二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)∠A=60°時(shí)，求∠EDF的度數(shù)；【答案】(1)見解析(2)∠EDF=60°．【解析】【分析】（1）根據(jù)AB=AC可得∠B=∠C，即可求證△BDE≌△CEF，即可解題；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，推出△ABC是等邊三角形，即可得到結(jié)論．(1)解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；(2)解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF=∠BDE，∴∠DEF=∠B，又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠EDF=60°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·安徽合肥·二模）知：A、B為直線l上兩點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）；(1)任作一個(gè)，使；(2)作，使，且．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）作線段AB的垂直平分線，即可求解；（2）先作等邊三角形ABP，再作出∠APB和∠BAP的角平分線交于點(diǎn)Q，即可求解．(1)解：如圖，即為所求；；(2)解：如圖，即為所求；理由：根據(jù)作圖得：PC平分∠APB，AP=AB，PB=AB，AQ平分∠BAP，∴AP=AB=PB，∴△ABP為等邊三角形，∠BAQ=∠ABQ，∴∠BAP=60°，PC垂直平分AB，∴AQ=BQ，∵AQ平分∠BAP，∴∠BAQ=∠ABQ=30°，∴∠AQB=120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作已知線段的垂直平分線，作已知角的平分線，作三角形，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法以及線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·福建三明·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，的垂直平分線分別交和于點(diǎn)，，連接．(1)求證：是等邊三角形：(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)1【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D是AB的中點(diǎn)，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=BD，直角三角形兩銳角互余得到∠B=60°，即可證明△BCD是等邊三角形；（2）只需要證明∠DCE=∠CDE=30°，得到CE=DE即可得到答案．(1)證：∵DE垂直平分AB，∴D是AB的中點(diǎn)，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，，∴△BCD是等邊三角形；(2)解：∵△BCD是等邊三角形，∴∠BCD=∠BDC=60°，∴∠DCA=30°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADE=∠BDE=90°，∴∠CDE=30°=∠DCE，∴CE=DE=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：等邊△ABC，過點(diǎn)B作AC的平行線l．點(diǎn)P為射線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將射線PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交直線l于點(diǎn)D．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形；①求證：∠BDP=∠PCB；②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數(shù)里關(guān)系，并證明；(2)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見解析；②BC=BD+BP，證明見解析(2)BC=BD?BP【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DPE=∠CPE=60°，進(jìn)而可得結(jié)論；②在BC上取一點(diǎn)Q使得BQ=BP，證明△PBQ是等邊三角形，再證明△PBD≌△PQC，即可得到BC=BD+BP；（2）在BD上取一點(diǎn)E使得BE=BP，證明△PBE是等邊三角形，再證明△CBP≌△DEP，即可得到BC=BD?BP．(1)①補(bǔ)全圖形如圖所示，證明：設(shè)PD交BC于點(diǎn)E，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵將射線PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠DPC=60°，∵l//AC，∴∠DBE=∠ACB=60°，∴∠DBE=∠CPE=60°，∵∠BED=∠PEC，∴∠BDP=∠PCB；解：②BC=BD+BP，理由如下：在BC上取一點(diǎn)Q使得BQ=BP，連接PQ，∵∠ABC=60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=PQ，∠BPQ=60°，∴∠BPD=∠CPQ，又∵∠BDP=∠PCB，∴△PBD≌△PQC，∴BD=QC，∵BC=BQ+QC，∴BC=BD+BP；(2)解：BC=BD?BP，理由如下：在BD上取一點(diǎn)E使得BE=BP，連接PE，∵∠ABC=∠ACB=60°，l//AC，∴∠DBC=∠ACB=60°，∴∠PBD=180°-∠DBC-∠ACB=60°，∴△PBE是等邊三角形，∴PB=PE，∠BEP=∠BPE=60°，∴∠CBP=∠DEP=180°-60°=120°，∠BPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=60°，∴∠CBP=∠DEP，∠BPC=∠EPD，∴△CBP≌△DEP，∴BC=DE，∵BD=BE+ED，∴BC=BD-BP．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）【知識(shí)介紹】換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．均值換元法是換元法主要形式之一．【典例分析】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝4，試求代數(shù)式x2＋y2的最小值．【分析】均值換元法：由x＋y＝4，得x與y的均值為2，所以可以設(shè)x＝2＋t，再代入代數(shù)式換元求解．【解法】∵x＋y＝4，∴設(shè)x＝2＋t，y＝2﹣t，∴x2＋y2＝（2＋t）2＋（2﹣t）2＝2t2＋8≥8，∴x2＋y2的最小值是8．【理解應(yīng)用】根據(jù)以上知識(shí)背景，回答下列問題：(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，求代數(shù)式a2＋b2＋2的最小值；(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足b＋c＝8，bc＝a2﹣8a＋32，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】(1)4(2)為等邊三角形，周長(zhǎng)為12．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)a＝1+t，b＝1﹣t，代入得到2t2+4，利用平方具有非負(fù)性可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可設(shè)b＝4+t，c＝4﹣t，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．(1)解：∵a+b＝2，∴設(shè)a＝1+t，b＝1﹣t，∴a2+b2+2＝（1+t）2+（1﹣t）2+2＝2t2+4≥4，∴a2+b2+2的最小值為4；(2)解：△ABC是等邊三角形，周長(zhǎng)為12，理由如下：∵b+c＝8，∴設(shè)b＝4+t，c＝4﹣t，∵bc＝a2﹣8a+32，∴16﹣t2＝a2﹣8a+32，∴t2+（a﹣4）2＝0，∵t2≥0，（a﹣4）2≥0，∴t＝0，a＝4，∴b＝c＝a＝4，∴a+b+c=12∴△ABC是等邊三角形，周長(zhǎng)為12．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，換元法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿例題解決問題．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末）如圖，等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連接PQ交AC于點(diǎn)D，下列結(jié)論中不一定正確的是（

）A．PD=DQ B．2DE=AC C．2AE=CQ D．PQ⊥AB【答案】D【解析】【分析】利用平行線的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可．【詳解】解：過P作PFCQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∠AFP=∠ACB∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD與△DCQ中，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A選項(xiàng)正確，∵AP=PF，PE⊥AC∴AE=EF，∴2DE=AC，∴B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵PE⊥AC，∠A=60°，∴2AE=AP=CQ，∴C選項(xiàng)正確，不符合題意；根據(jù)已知條件不能推出PQ⊥AB故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·四川德陽·八年級(jí)期末）如圖，中，，，，，，平分，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．13 C．6.5 D．7【答案】D【解析】【分析】由，延長(zhǎng)交于，作出等邊三角形，由，平分，結(jié)合等腰三角形“三線合一”可求出AG的長(zhǎng)，延長(zhǎng)交于，設(shè)AD=AF=DF=a，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)用a表示出GF的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差列方程求出a值即可得答案【詳解】解：延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，，，是等邊三角形，，，，平分，，即，，設(shè)，在中，，，∴∠GEF=30°，∴，∵，∴，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線，補(bǔ)出等邊三角形和掌握等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)．3．（2021·河南·開封市第二十七中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知等邊和等邊，其中點(diǎn)、、在同一條直線上，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中：（1）；（2）；（3）；（4）．正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】證明，設(shè)，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得，即可判斷（2）；進(jìn)而證明，即可判斷（4），再判斷是等邊三角形即可判斷（1），最后反證法證明【詳解】解：和是等邊三角形設(shè)，則故（2）正確；在和中故（4）正確是等邊三角形故（1）正確；若則但是則，與已知矛盾，故（3）不正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期末）如圖，過邊長(zhǎng)為4的等邊的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】【分析】過P作，交AC于M，則也是等邊三角形，在等邊三角形中，PE是AM上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知，根據(jù)全等三角形的判定可得，則，由線段間的數(shù)量關(guān)系可得DE的長(zhǎng)正好是AC的一半，由此得解．【詳解】解：過P作，交AC于M，∵是等邊三角形，∴，，∴是等邊三角形，又∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．5．（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末）如圖，等邊中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的點(diǎn)，，，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，此時(shí)的值最小，最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，是等邊三角形，，∵D為AC中點(diǎn)，∴，，，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，此時(shí)的值最小．最小值，，，，，，，是等邊三角形，，的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考常考題型．6．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，中，垂直平分交于，，，則______．【答案】8【解析】【分析】由垂直平分交于，，，可得，，可求得的長(zhǎng)，又由中，，可證得是等邊三角形，進(jìn)而求得答案．【詳解】解：垂直平分交于，，，，，，中，，，，，是等邊三角形，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2022·河南南陽·九年級(jí)期末）如圖，在中，，．點(diǎn)D為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線CD折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊AC的垂直平分線上時(shí)，線段AD的長(zhǎng)為______．【答案】2或3【解析】【分析】作AC垂直平分線交AC于M，AB于N，連接CN，先證△BCN是等邊三角形，AN=BN=CN=BC=2，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B落在點(diǎn)N時(shí)，即點(diǎn)N與點(diǎn)B′重合；②當(dāng)點(diǎn)B落在NM延長(zhǎng)線上時(shí)；分別求取可．【詳解】解：作AC垂直平分線交AC于M，AB于N，連接CN，∵M(jìn)N垂直平分AC，∴AN=CN，∴∠ANC=∠A=30°，∴∠BCN=60°，∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴△BCN是等邊三角形，∴AN=BN=CN=BC=2，①當(dāng)點(diǎn)B落在點(diǎn)N時(shí)，即點(diǎn)N與點(diǎn)B′重合，如圖，∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于CD對(duì)稱，∴點(diǎn)D應(yīng)是BN的中點(diǎn)，∵BN=BC=2，∴BD=1，在中，∵∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=3；②當(dāng)點(diǎn)B落在NM延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，∵B′在AC垂直平分線上，∴同理，點(diǎn)D落在點(diǎn)N處，∴AD=AN=2；綜上，線段AD的長(zhǎng)為2或3．故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)B′的位置要分類討論是解題的關(guān)鍵．8．（2022·四川成都·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，過兩弧的交點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為_______．【答案】2【解析】【分析】由作圖可知MN為線段BC的垂直平分線，即得出，，從而由等邊對(duì)等角得出，證得△ACM是等邊三角形，求出CM的長(zhǎng)．【詳解】根據(jù)作圖可知MN為線段BC的垂直平分線，∴，，∴．∵，∴∴∴△ACM是等邊三角形，∴CM=，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面結(jié)論：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC是等邊三角形；④AC=AO+AP；其中正確的有______（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】②③④【解析】【分析】①②利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據(jù)此即可求解；③證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵點(diǎn)O是AD上任意一點(diǎn)，∴OC不一定是∠ACD的角平分線，∴∠ACO不一定是15°，故①錯(cuò)誤，如圖1，連接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故②正確；∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；如圖2，在AC上截取AE=PA，∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP，故④正確，故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上的一點(diǎn)，∠BAD=28°，在AD的右側(cè)作△ACE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE，DE，DE交AC于點(diǎn)O，若CE∥AB，則∠DOC的度數(shù)為________【答案】92°##92度【解析】【分析】根據(jù)已知條件證明△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，再根據(jù)CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE=180°，然后證明△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠B=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠B+∠BCE=180°，∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=60°，∵∠BAD=28°，∴∠OAD=60°-28°=32°，∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°．故答案為：92°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△DAB≌△EAC．11．（2022·湖南邵陽·八年級(jí)期末）如圖，，，，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，，．(1)證明：是等邊三角形．(2)若，，求AB和AD的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)，．【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的概念及三角形內(nèi)角和定理求得∠DEC和∠DCE的度數(shù)，即可證明；（2）通過證明≌，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．(1)證明：∵，，∴又∵，，∴，又∴∵在中，，∴為等邊三角形；(2)∵為等邊三角形∴，在和中，∴≌，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，題目比較基礎(chǔ)，屬于?？碱}型，掌握全等三角形和等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2022·河南南陽·八年級(jí)期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分線交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分線交MN于C，交AN于F．(1)若AM＝AN，∠MAN＝120°，則△ABC的形狀是；(2)去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的條件，其他不變，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)∠M與∠N滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△ABC是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況．【答案】(1)等邊三角形；(2)△ABC是等腰三角形，證明見解析(3)當(dāng)∠M=∠N或2∠M+∠N=90°或∠M+2∠N=90°時(shí)，△ABC是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到∠B=∠C=30°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AM=BM，AN=NC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定定理解答；（4）分三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．(1)解：△ABC是等邊三角形，理由：∵AM=AN，∠MAN=120°，∴∠M=∠N=30°，∵BE是線段AM的垂直平分線，∴BM=BA，∴∠MAB=∠M=30°，∴∠CBA=∠M+∠MAB=60°，同理，CA=NC，∴∠NAC=∠N=30°，∴∠BCA=∠N+∠NAC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；(2)解：△ABC是等腰三角形，理由：∵AM=AN，∴∠M=∠N，∵∠MAB=∠M，∠ABC=∠M+∠MAB，∠NAC=∠N，∠ACB=∠N+∠NAC，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；(3)解：當(dāng)∠M=∠N時(shí)，AB=AC；當(dāng)2∠M+∠N=90°時(shí)，即∠BAN=90°，∴CF∥BA，∴∠NCF=∠NBA，∠BAC=∠ACF，∵AN的垂直平分線交MN于C，交AN于F．∴∠NCF=∠ACF，∴∠NBA=∠BAC，∴CA=BC；同理，當(dāng)∠M+2∠N=90°時(shí)，BA=BC；綜上所述，當(dāng)∠M=∠N或2∠M+∠N=90°或∠M+2∠N=90°時(shí)，△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段