山東省德州市高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)

高三數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷1—3頁，第Ⅱ卷3—6頁，共150分，測試時間120分鐘注意事項：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上第I卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.13.某中學(xué)開展高二年級“拔尖創(chuàng)新人才”學(xué)科素養(yǎng)評估活動，其中物化生?政史地?物化政三種組合人數(shù)之比為，這三個組合中分別有的學(xué)生參與此次活動，現(xiàn)從這三個組合中任選一名學(xué)生，這名學(xué)生參與此次活動的概率為（）A.0.044 B.0.18 C.0.034 D.0.084.如圖所示，某圓臺型木桶（厚度不計）上下底面的面積分別為和，且木桶的體積為，則該木桶的側(cè)面積為（）A. B. C. D.5.在中，點在直線上，且滿足，則（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則（）A.1 B. C. D.7.若正實數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.8.已知球的半徑為2，三棱錐的頂點為，底面的三個頂點均在球的球面上，則該三棱錐的體積最大值為（）A. B. C. D.2二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，直線與平面所成角的正切值為，則下列說法正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.異面直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.點到平面的距離為10.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于中心對稱B.有3個不同的零點C.最小值D.對任意，都有11.已知是拋物線上的兩點，焦點為，拋物線上一點到焦點的距離為2，下列說法正確的是（）A.B.若直線的方程為，則C.若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓的半徑為（為坐標(biāo)原點）D.若在軸上方，則直線的斜率為12.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，此定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個實數(shù)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，為函數(shù)的不動點.現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動點.設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上存在次不動點，則的取值可以是（）A. B.C. D.第II卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在的展開式中，項的系數(shù)是__________.14.已知圓與圓相交于兩點，當(dāng)為直角三角形時，的值為__________.15.過點與曲線相切的直線與軸的交點坐標(biāo)為__________.16.已知雙曲線的左右焦點分別為，過原點的直線交雙曲線于兩點（A在第一象限），過A作軸的垂線，垂足為，則的最小值為__________.；若，則的面積為__________.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）17.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若的平分線交于，且，求的最小值.18.已知數(shù)列前項和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.19.如圖，已知三棱錐中，為的中點.（1）證明：平面平面；（2）點滿足，求平面與平面所成角的余弦值.20.為了開展“成功源自習(xí)慣，習(xí)慣來自日?！敝黝}班會活動，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)積極性和主動性，在全校學(xué)生中隨機調(diào)查了名學(xué)生的某年度綜合評價學(xué)習(xí)成績，研究學(xué)習(xí)成績是否與行為習(xí)慣有關(guān).已知在全部人中隨機抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為，現(xiàn)按“行為習(xí)慣良好”和“行為習(xí)慣不夠良好”分為兩組，再將兩組學(xué)生的學(xué)習(xí)成績分成五組：、、、、，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若規(guī)定學(xué)習(xí)成績不低于分為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵”，請你根據(jù)已知條件填寫下列列聯(lián)表，并判斷是否有把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”；行為習(xí)慣良好行為習(xí)慣不夠良好總計學(xué)習(xí)標(biāo)兵非學(xué)習(xí)標(biāo)兵總計（2）現(xiàn)從樣本中學(xué)習(xí)成績低于分的學(xué)生中隨機抽取人，記抽到的學(xué)生中“行為習(xí)慣不夠良好”的人數(shù)為，求的分布列和期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.21.已知橢圓的上頂點為，左焦點為，直線與圓相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過點的動直線與橢圓相交于兩點，若，求證：直線過定點，并求出該定點坐標(biāo).22.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)底數(shù).（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性；（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時，.高三數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷1—3頁，第Ⅱ卷3—6頁，共150分，測試時間120分鐘注意事項：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上第I卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定集合，再由并集定義求解.【詳解】因為，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和除法法則計算出，進(jìn)而得到，求出.【詳解】，故，故，故.故選：D3.某中學(xué)開展高二年級“拔尖創(chuàng)新人才”學(xué)科素養(yǎng)評估活動，其中物化生?政史地?物化政三種組合人數(shù)之比為，這三個組合中分別有的學(xué)生參與此次活動，現(xiàn)從這三個組合中任選一名學(xué)生，這名學(xué)生參與此次活動的概率為（）A.0.044 B.0.18 C.0.034 D.0.08【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全概率公式求解.【詳解】設(shè)事件為“這名學(xué)生參與此次活動”，事件為“這名學(xué)生選擇物化生組合”，事件“這名學(xué)生選擇政史地組合”，事件為“這名學(xué)生選擇物化政組合”，則，，由全概率公式可知.故選：D.4.如圖所示，某圓臺型木桶（厚度不計）上下底面的面積分別為和，且木桶的體積為，則該木桶的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由臺體的體積公式求出圓臺的高，作出圖象求出臺體的母線長，再根據(jù)體積公式求解即可.【詳解】設(shè)上下底面的的半徑分別為，高為，所以，故，因為木桶的體積為，所以，所以，解得：，設(shè)圓臺的母線長為，如下圖，所以，所以該木桶的側(cè)面積為.故選：D.5.在中，點在直線上，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)畫出及點D的位置，再由向量的線性運算即可由表示出.【詳解】因為，所以故選：A.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再代入計算可得.【詳解】由圖可知，即，又，所以，又關(guān)于對稱，且，因為且，所以，解得，所以，所以，解得，所以，所以.故選：A7.若正實數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由作差法、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合分類討論即可得解.【詳解】由題意若，則，所以，但這與矛盾，所以不可能存在這種情況，若，則，所以，即，但這與矛盾，所以不可能存在這種情況，所以只能，則則，所以，對比選項可知只有C正確.故選：C.8.已知球的半徑為2，三棱錐的頂點為，底面的三個頂點均在球的球面上，則該三棱錐的體積最大值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】設(shè)三棱錐底面外接圓半徑為，可得為正三角形時面積最大，三棱錐的高，求得三棱錐的體積，再利用不等式求出體積的最大值.【詳解】如圖，設(shè)點為三棱錐底面外接圓的圓心，半徑為，則棱錐的高，設(shè)圓內(nèi)接三角形的任意一條弦，如圖，，其中是高，要使內(nèi)接三角形面積最大，必垂直與，即，設(shè)弦對應(yīng)的圓心角為，則，，因此，，，，，當(dāng)，即時，，所以面積單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，，所以面積單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時，最大，此時，因此，半徑為的圓內(nèi)接為正三角形時，面積最大，此時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是平面幾何知識：半徑為的圓，其內(nèi)接三角形面積最大是當(dāng)時正三角形時.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，直線與平面所成角的正切值為，則下列說法正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.異面直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】A選項，B選項，建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線夾角余弦公式進(jìn)行求解；C選項，利用線面角的向量求解公式進(jìn)行求解；D選項，利用點到平面的距離公式求出答案.【詳解】A選項，平面，直線與平面所成角,，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)直線與所成的角大小為，則，故，A正確；B選項，設(shè)直線與所成的角大小為，則，故，B正確；C選項，可取為平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角大小為，則，故直線與平面所成的角為，C正確；因為四邊形為正方形，所以⊥，又平面，平面，故，因為，平面，所以⊥平面，故可取為平面的法向量，故點到面的距離，D正確.故選：ABD10.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于中心對稱B.有3個不同的零點C.最小值為D.對任意，都有【答案】ABD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求出的值，即可得到函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)的奇偶性，即可判斷A，令求出方程的解，即可判斷B，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C，利用作差法判斷D.【詳解】因為，則，又是偶函數(shù)，所以，即，所以對任意的恒成立，所以，解得，則，定義域為，且，即為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故A正確；令，即，解得、、，所以有3個不同的零點，故B正確；因為，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以不存在最值，故C錯誤；設(shè)任意，則，，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以對任意，都有，故D正確；故選：ABD11.已知是拋物線上的兩點，焦點為，拋物線上一點到焦點的距離為2，下列說法正確的是（）A.B.若直線的方程為，則C.若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓的半徑為（為坐標(biāo)原點）D.若在軸上方，則直線的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】A.由拋物線上一點到焦點的距離為2，利用拋物線定義求解判斷；B.由求得點M，N的坐標(biāo)求解判斷；C.根據(jù)的外接圓的圓心是各邊的中垂線的交點，結(jié)合與拋物線的準(zhǔn)線相切求解判斷；D.設(shè)，得到，求傾斜角判斷.【詳解】解：拋物線上一點到焦點的距離為2，所以，解得，故A正確；則拋物線方程為，由，解得，則，故B錯誤；因為的外接圓的圓心是各邊的中垂線的交點，而線段OF的中垂線方程為，又與拋物線的準(zhǔn)線相切，則外接圓的半徑為，故C正確；如圖所示：，設(shè)，則，所以，則，，故D正確；故選：ACD12.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，此定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個實數(shù)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，為函數(shù)的不動點.現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動點.設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上存在次不動點，則的取值可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由題意可得，在上有解，即有解，然后換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】根據(jù)題意，若在區(qū)間上存在次不動點，則在區(qū)間上有解，即，即有解，令，，則，令函數(shù)，且單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.，，故，，則.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：通過分離參數(shù)和換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值，從而得解.第II卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在的展開式中，項的系數(shù)是__________.【答案】189【解析】【分析】由二項式展開公式可得答案.【詳解】由題可得展開式的第項為.令，則項的系數(shù)是.故答案為：189.14.已知圓與圓相交于兩點，當(dāng)為直角三角形時，的值為__________.【答案】2【解析】【分析】兩圓相減得到直線方程，根據(jù)幾何關(guān)系得到到直線的距離，從而根據(jù)點到直線距離公式列出方程，求出答案.【詳解】與相減得，，即直線的方程為，圓的圓心為，半徑為2，因為為直角三角形，所以，故到直線的距離為，所以，因為，解得.故答案為：215.過點與曲線相切的直線與軸的交點坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過切點的切線方程，代入已知點求出，即可求出直線與軸的交點坐標(biāo).【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，由，得，則過切點的切線方程為，把點代入切線方程得，，即，因為，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以只有一個解，所以，所以切線方程的斜率為，所以切線方程為，令，解得.故過點與曲線相切的直線與軸的交點坐標(biāo)為.故答案：.16.已知雙曲線的左右焦點分別為，過原點的直線交雙曲線于兩點（A在第一象限），過A作軸的垂線，垂足為，則的最小值為__________.；若，則的面積為__________.【答案】①.8②.【解析】【分析】第一空，由題結(jié)合雙曲線定義，可知，當(dāng)且僅當(dāng)重合時取最小值；第二空，設(shè)，則由題有，解得A點坐標(biāo)，即可得答案.【詳解】第一空，由題及雙曲線定義，可知，，則，因x軸，則，則當(dāng)且僅當(dāng)重合時，，即的最小值為8，第二空，設(shè)，因，則，又A在雙曲線上，則，得，則.故答案為：8；.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）17.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若的平分線交于，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助降冪公式及正弦定理與輔助角公式計算即可得.（2）借助等面積法及基本不等式即可得.【小問1詳解】，則，由正弦定理可知：，又，化簡得，即，所以，，即，因為，所以，從而；【小問2詳解】由題意可得：，且，即，化簡得，即，因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為9.18.已知數(shù)列前項和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由作差得到，再利用累乘法計算可得；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得.【小問1詳解】因為，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以，，，，，累乘得所以，當(dāng)時也成立，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以.19.如圖，已知三棱錐中，為的中點.（1）證明：平面平面；（2）點滿足，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直和面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】因為為的中點，所以.因為，所以和為全等的等邊三角形.所以.又因為為的中點，所以.又因為，平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】不妨設(shè)，由（1）知，和分別為等邊三角形，所以.又因為為的中點，所以.在Rt中，.在中，，所以.所以兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由題知，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為.則，即，令，則，所以，.設(shè)平面的一個法向量為.則，即，令，則，所以，.設(shè)平面與平面所成角為，則.20.為了開展“成功源自習(xí)慣，習(xí)慣來自日?！敝黝}班會活動，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)積極性和主動性，在全校學(xué)生中隨機調(diào)查了名學(xué)生的某年度綜合評價學(xué)習(xí)成績，研究學(xué)習(xí)成績是否與行為習(xí)慣有關(guān).已知在全部人中隨機抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為，現(xiàn)按“行為習(xí)慣良好”和“行為習(xí)慣不夠良好”分為兩組，再將兩組學(xué)生的學(xué)習(xí)成績分成五組：、、、、，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若規(guī)定學(xué)習(xí)成績不低于分為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵”，請你根據(jù)已知條件填寫下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”；行為習(xí)慣良好行為習(xí)慣不夠良好總計學(xué)習(xí)標(biāo)兵非學(xué)習(xí)標(biāo)兵總計（2）現(xiàn)從樣本中學(xué)習(xí)成績低于分的學(xué)生中隨機抽取人，記抽到的學(xué)生中“行為習(xí)慣不夠良好”的人數(shù)為，求的分布列和期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知，隨機變量的可能取值有、、，可得出隨機變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問1詳解】解：已知在全部人中隨機抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為，則名學(xué)生中，行為習(xí)慣良好的有人，行為習(xí)慣不夠良好的有人.由頻率分布直方圖可知，行為習(xí)慣良好組中不低于分的學(xué)生有人，行為習(xí)慣不夠良好組中不低于分的學(xué)生有人則列聯(lián)表為：

行為習(xí)慣良好行習(xí)慣不夠良好總計學(xué)習(xí)標(biāo)兵非學(xué)習(xí)標(biāo)兵總計，，因為，所以有的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”.【小問2詳解】解：行為習(xí)慣良好組中低于分的學(xué)生有人，行為習(xí)慣不夠良好組中低于分的學(xué)生有人，則的可能值為、、，，，.的分布列為：期望.21.已知橢圓的上頂點為，左焦點為，直線與圓相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過點的動直線與橢圓相交于兩點，若，求證：直線過定點，并求出該定點坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，定點為【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，由點到直線的距離公式即可求解，（2）方法一：對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)點、，設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可得出直線方程中參數(shù)的等量關(guān)系或值，進(jìn)而可求得直線所過定點的坐標(biāo).方法二：平移到原點，則橢圓方程為，設(shè)直線為，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，即可得出答案.【小問1詳解】由題意，則直線的方程為：可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，則，從而所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】方法一：設(shè)若直線的斜率不存在，設(shè)其方程為，則，所以，所以則直線方程為：.若直線的斜