專題22橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程6種常見考法歸類（原卷版）

專題22橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程6種常見考法歸類1、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．注：（1）當(dāng)距離之和等于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是線段F1F2；當(dāng)距離之和小于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．(2)只有同時(shí)滿足兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，線段F1F2的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．這兩個(gè)條件時(shí)，所得到的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程．2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(±c,0)(0，±c)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2注：依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，只需看標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母的大小，即橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大．3、在橢圓的定義中必須要注意以下兩個(gè)問題(1)定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．(2)常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓．4、橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.(2)涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|PF1|·|PF2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨(dú)求解．(3)一般地，關(guān)于橢圓的一些問題我們經(jīng)?？紤]利用其定義，這時(shí)候就要關(guān)注它的兩個(gè)焦點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為研究橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和的問題.5、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征(1)幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上．(2)代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于eq\f(x,a)與eq\f(y,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,a)與\f(x,b)))的平方和，并且分母為不相等的正值．6、確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．7、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種應(yīng)用由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，或求參數(shù)的值或取值范圍.（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，若方程不為標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定a2，b2的值和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，再利用關(guān)系式a2＝b2＋c2求出c，即可寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）已知方程求參數(shù)的值或取值范圍時(shí)，需注意：對(duì)于方程eq\f(x2,m)＋\f(y2,n)＝1，當(dāng)m>n>0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)n>m>0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.特別地，當(dāng)n＝m>0時(shí)，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓.若已知方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，需先進(jìn)行轉(zhuǎn)化.8、利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路采用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：主要步驟可歸納為“先定位，再定量”．需要注意的是：若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．9、橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△F1PF2稱為焦點(diǎn)三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識(shí)．對(duì)于求焦點(diǎn)三角形的面積，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一個(gè)整體，利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，這樣可以減少運(yùn)算量．焦點(diǎn)三角形的常用公式：(1)焦點(diǎn)三角形的周長L＝2a＋2c.(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.(3)設(shè)P(xP，yP)，焦點(diǎn)三角形的面積S△F1PF2＝c|yP|＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2).10、解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法(1)直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡為f(x，y)＝0.(2)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．(3)相關(guān)點(diǎn)法：有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法．考點(diǎn)一橢圓的定義及其應(yīng)用考點(diǎn)二橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的識(shí)別考點(diǎn)三求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)四根據(jù)橢圓方程求相關(guān)量考點(diǎn)五橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題（一）求焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或邊長（二）橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題（三）橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題（四）橢圓中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓問題（五）與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)的最值問題考點(diǎn)六與橢圓有關(guān)的軌跡問題考點(diǎn)一橢圓的定義及其應(yīng)用1．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）判斷正誤，正確的寫正確，錯(cuò)誤的寫錯(cuò)誤．（1）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓．()（2）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓．()（3）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓．()（4）橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式中，雖然焦點(diǎn)位置不同，但都滿足.()2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．圓3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，點(diǎn)P到，的距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程是4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓上的一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為是的中點(diǎn)，則等于.考點(diǎn)二橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的識(shí)別6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以下方程表示橢圓的是（

）A． B．C． D．7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）方程表示橢圓的充要條件是．9．【多選】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如果方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件11．（2023秋·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．12．（2023秋·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的條件．14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則 D．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則15．【多選】（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)說法中正確的是（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則考點(diǎn)三求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程16．（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（

）A． B．C． D．17．（2023秋·陜西渭南·高二校考階段練習(xí)）求兩焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（2023秋·湖南長沙·高二長沙市明德中學(xué)校考階段練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(2)經(jīng)過兩點(diǎn)，．19．（2023秋·江西撫州·高二金溪一中校聯(lián)考階段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)；(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為.20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)和；(3)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)．(4)經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)；(5)與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn).(6)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)；(7)經(jīng)過兩點(diǎn)．考點(diǎn)四根據(jù)橢圓方程求相關(guān)量21．（2023秋·寧夏銀川·高二?？计谥校E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．22．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和：(1)；(2)；(3).23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A．1 B．2 C．5 D．924．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．6 B．C．24 D．25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓上點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．考點(diǎn)五橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題求焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或邊長26．（2023秋·陜西延安·高二校考期末）已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．528．（2023秋·江蘇無錫·高二無錫市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．2529．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，已知是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，則的值是（

）A．或2 B．或 C．或 D．或230．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，|PF1|－|PF2|＝.31．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為．32．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為，則（

）A．1 B． C． D．33．【多選】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若是橢圓上一點(diǎn)，，為其左右焦點(diǎn)，且不可能為鈍角，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題34．（2023秋·陜西渭南·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上，則的周長等于（

）A．20 B．16 C．18 D．1435．（2023秋·江西撫州·高二金溪一中校聯(lián)考階段練習(xí)）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的周長為（

）A．6 B． C．8 D．1036．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．8 B．6 C．4 D．237．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長是（

）A．12 B． C．16 D．10橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題38．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且，則的面積為（

）A． B． C．4 D．39．【多選】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)），是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，是直角三角形，則的面積為（

）A．9 B．C． D．40．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．41．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為．42．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)和為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是.43．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，P為橢圓上一點(diǎn)，且，，求的面積.44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的周長為6 B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的直徑為45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)，焦距為，設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，、是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，求：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)的面積．橢圓中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓問題46．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為（

）A．3 B．2 C． D．47．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段，則的內(nèi)切圓半徑等于.48．（2017·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓面積可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)的最值問題49．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．50．（2023秋·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值為（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，51．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．5 B．6 C． D．52．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，是左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為，最小值為．53．（2023秋·河南駐馬店·高二確山縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知?是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為；最小值為.54．【多選】（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列正確的是（

）A．的最小值