初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）高一預(yù)習(xí)專題強(qiáng)化3：一元二次函數(shù)、方程和不等式 考點(diǎn)梳理（教師版）

專題強(qiáng)化3：一元二次函數(shù)、方程和不等式考點(diǎn)梳理【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、不等式性質(zhì)的應(yīng)用1．若，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．，若，則C．若，則 D．，，若，則【答案】C【分析】利用特值法可判斷ABD，利用不等式的性質(zhì)可判斷C.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：C.2．設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式求各項(xiàng)中代數(shù)式的范圍，注意等號成立條件.【詳解】A：由，則，僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，錯(cuò)誤；B：由，僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，正確；C：由，僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，錯(cuò)誤；D：由，僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，錯(cuò)誤.故選：B考點(diǎn)二、解不等式1．解下列不等式.（1）（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)化為即可得解；（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化為，可求解集.【詳解】（1）由可得：，所以，故解集為：；（2），等價(jià)轉(zhuǎn)化為，解得所以不等式的解集為．(3)﹣x2+2x﹣3＜0；(4)﹣3x2+5x﹣2＞0.【答案】(3)R；(4){x|1}【分析】（3）根據(jù)題意，原不等式變形為（x﹣1）2+2＞0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案；（4）根據(jù)題意，原不等式變形為（x﹣1）（x）＜0，解可得答案.【詳解】（3）根據(jù)題意，﹣x2+2x﹣3＜0?x2﹣2x+3＞0?（x﹣1）2+2＞0，又由（x﹣1）2+2≥2，則不等式的解集為R；（4）根據(jù)題意，﹣3x2+5x﹣2＞0?3x2﹣5x+2＜0?（x﹣1）（x）＜0，解可得：x＜1，即不等式的解集為{x|x＜1}.(5)；(6)；(7)．【答案】(5)或；(6)；(7)【分析】（5）將式子變形為，即可求出不等式的解集；（6）依題意可得，由，即可得解；（7）移項(xiàng)、通分，再寫成等價(jià)形式，即可求出不等式的解集；【詳解】（5）解：因?yàn)?，即，解得或，所以不等式的解集為或；?）解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以方程無實(shí)數(shù)根，又函數(shù)開口向上，所以恒成立，所以不等式的解集為；（7）解：由，即，可得，等價(jià)于，解得，所以不等式的解集為．2．已知不等式：.(1)若，求不等式解集；(2)若，求不等式解集.【答案】(1)或；(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得正確答案.（2）對進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法求得正確答案.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，解得或.所以不等式的解集為或.（2），，當(dāng)時(shí)，由（1）得不等式的解集為或.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.3．已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為，求，的值；(2)若，求不等式的解集．【答案】(1)，；；(2)答案見解析.【分析】（1）由題意可得和是方程的兩個(gè)根，且，根據(jù)韋達(dá)定理即可求解；（2）等式即，對分類討論即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以和是方程的兩個(gè)根，且，可得，解得，．（2）當(dāng)時(shí)，不等式即，即，①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得或；③當(dāng)時(shí)，不等式化為，若，則；若，則；若，則，綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．考點(diǎn)三、基本不等式的應(yīng)用1．若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（）A． B． C．5 D．6【答案】C【詳解】由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．2．（多選）已知正數(shù)，，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】對A，利用基本不等式即可判斷；對B，將展開利用基本不等式可求解；對C，做差即可比較；對D，利用基本不等式可判斷.【詳解】對A，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故A正確；對B，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B正確；對C，，即，故C錯(cuò)誤；對D，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.3．（多選）下列說法正確的有（

）A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3D．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為【答案】BD【分析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，可以利用基本不等式求出的最小值為3，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于BD選項(xiàng)，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解.【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B選項(xiàng)正確，對于C選項(xiàng)，若正數(shù)、滿足，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對于D選項(xiàng)，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，可得，時(shí)取最大值，故的最大值為，D選項(xiàng)正確．故選：BD．4．已知，，，則的最小值為___________．【答案】【分析】利用代入變形后根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)析，時(shí)，等號成立.故答案為：考點(diǎn)四、不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用1．某學(xué)校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值.【答案】(1)10米；(2)平方米【分析】（1）設(shè)草坪的寬為米，長為米，則由題意，列出關(guān)于的不等式，求解即可；（2）求出整個(gè)綠化面的長為米，寬為米，然后由面積公式以及基本不等式求解最值即可．【詳解】（1）設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，由面積均為200平方米，得，因?yàn)榫匦尾萜旱拈L比寬至少多10米，所以，又，所以，解得，所以寬的最大值為10米；（2）記整個(gè)綠化面積為S平方米，由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)米時(shí)，等號成立，所以整個(gè)綠化面積的最小值為平方米2．某企業(yè)研發(fā)的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品，據(jù)測算，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系式為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為220噸．（1）求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求出這個(gè)最低成本；（2）經(jīng)過評估，企業(yè)定價(jià)每噸產(chǎn)品的出廠價(jià)為40萬元，且最大利潤不超過1660萬元，由該生產(chǎn)線年產(chǎn)量的最大值應(yīng)為多少？【答案】（1）年產(chǎn)量為200（噸）時(shí)每噸平均成本最低，最低成本為32萬元；（2）210噸．【分析】（1）平均成本等于總成本除以年產(chǎn)量，得到的式子符合乘積為定值，利用基本不等式求出最小值；（2）表示出利潤得到關(guān)于x的二次不等式，求出范圍即可.注意實(shí)際問題下取值范圍的限制.【詳解】解∶（1）設(shè)每噸的平均成本為W，則W=當(dāng)且僅當(dāng)，即x=200（噸）時(shí)每噸平均成本最低，且最低成本為32萬元．（2）由題意得，，解得，x≥230或x≤210∵0<x≤220∴0<x≤210當(dāng)最大利潤不超過1660萬元時(shí)，年產(chǎn)量的最大值應(yīng)為210噸．【隨堂演練】1．不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】解一元二次不等式，首先確保二次項(xiàng)系數(shù)為正，兩邊同時(shí)乘，再利用十字相乘法，可得答案，【詳解】法一：原不等式即為，即，解得，故原不等式的解集為．法二：當(dāng)時(shí)，不等式不成立，排除A，C；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，排除D．故選：B．2．已知不等式的解集為，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得2和3是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得，從而轉(zhuǎn)化為，解該一元二次不等式即可.【詳解】解：∵不等式的解集為，∴2和3是方程的兩個(gè)根.∴，可得.可化為，即，即,解得.故選:A.3．若實(shí)數(shù)，，滿足，以下選項(xiàng)中正確的有（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】D【分析】直接利用均值不等式判斷A；根據(jù)“1”的代換的方法判斷B；整理為，利用“1”的代換的方法判斷C；對作平方處理，結(jié)合均值不等式判斷D.【詳解】實(shí)數(shù)，，，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；(，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，但已知,故不等式中的等號取不到，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，故選項(xiàng)D正確，故選：D4．某商場若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售,每天可銷售100件,現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤,已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元,銷售量就要減少10件.那么要保證每天所賺的利潤在320元以上,銷售價(jià)每件應(yīng)定為（）A．12元 B．16元 C．12元到16元之間 D．10元到14元之間【答案】C【解析】設(shè)銷售價(jià)定為每件元,利潤為,根據(jù)題意可得利潤的函數(shù)解析式.由題意可得關(guān)于的一元二次不等式,解不等式即可求得每件銷售價(jià)的范圍.【詳解】設(shè)銷售價(jià)定為每件元,利潤為則依題意,得即,解得所以每件銷售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.5．（多選）已知關(guān)于的不等式解集為，則（

）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為【答案】BCD【解析】根據(jù)已知條件得和是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，根據(jù)韋達(dá)定理可得，根據(jù)且,對四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)求解或判斷可得解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式解集為，所以和是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，故錯(cuò)誤；所以，，所以，所以不等式可化為，因?yàn)?，所以，故正確；因?yàn)?，又，所以，故正確；不等式可化為，又，所以，即，即，解得,故正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】利用一元二次不等式的解集求出參數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.本題根據(jù)韋達(dá)定理可得所要求的關(guān)系，屬于中檔題.6．（多選）若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值【答案】ABC【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別分析各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，故有最大值，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故，即有最大值，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故有最小值4，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以有最小值，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．7．不等式的解是___________.【答案】【分析】將分式不等式化為，則有即可求解集.【詳解】由題設(shè)，，∴，可得，原不等式的解集為.故答案為：.8．已知，，，則的最小值是______.【答案】16【分析】利用基本不等式求解．【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值是16.故答案為：16.9．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的最大值為______.【答案】9【分析】利用均值定理求得的最小值，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，則則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則的最大值為9.故答案為：910．若關(guān)于的不等式解集是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意推出對于恒成立，討論是否為0，不等于0時(shí)，列出相應(yīng)的不等式，綜合討論結(jié)果，即可求得答案.【詳解】由題意關(guān)于的不等式解集是空集，可得對于恒成立，當(dāng)時(shí)，，若，則恒成立，適合題意；若，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，需滿足且，解得，綜合以上可得實(shí)數(shù)的取值范圍，故答案為：11．解關(guān)于x的不等式(1)(2)【答案】(1)答案見解析(2)【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算即可.【詳解】（1）方程，即，方程的解為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（2）方程，即，方程的解為，因?yàn)?，所以，所以不等式的解集?12．已知關(guān)于的不等式的解集為或.(1)求、的值；(2)當(dāng)，且滿足時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)不等式的解集為或，由1和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且求解；（2）由（1）得到，再利用“1”的變換，結(jié)合一元二次不等式的解法求解.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛蛩?，關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根分別為，，且有，所以得；（2）由（1）知，不等式恒成立，則，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，所以：，即，即13．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足，q：實(shí)數(shù)x滿足．(1)若q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）通過分式不等式的等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式進(jìn)行求解.（2）通過解一元二次不等式以及必要不充分條件進(jìn)行求解.【詳解】（1）若q為真，則實(shí)數(shù)x滿足，即，所以，解得：，即q為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍為；（2）對于p：實(shí)數(shù)x滿足，變形為：，即，所以，對于q，由（1）有：，因?yàn)閜是q的必要不充分條件，則q可推出p，而p不能推出q則，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.14．經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：（）.（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分?jǐn)?shù)形式