山西省呂梁市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省呂梁市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由復(fù)數(shù)滿足，可得，則，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D.2.已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，取為基底，則，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，,所以，所以.故選：B.3.設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，則是的（）A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，函數(shù)與均為遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以在也為單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，所以，所以，故對(duì)任意實(shí)數(shù)，則是的充要條件.故選：C.4.如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，當(dāng)時(shí)，的可能取值為，且，所以.故選：C5.已知a，，若，，則b的可能值為（）A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.6〖答案〗B〖解析〗由得，設(shè)，則，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．因?yàn)椋裕Y(jié)合選項(xiàng)可知B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.6.設(shè)，當(dāng)變化時(shí)的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在，在上，設(shè)到準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，軸于.，又為焦點(diǎn)到上點(diǎn)的距離，設(shè)，因?yàn)?所以過點(diǎn)的切線的斜率，當(dāng)與切線垂直時(shí)，解得，所以，所以的最小值為.故選：C.7.在四面體中，與互相垂直，，且，則四面體體積的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.4.5〖答案〗A〖解析〗由題可知，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，所以焦距為，即，由橢圓定義可知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，即，所以到中點(diǎn)距離的最大值為短半軸長(zhǎng)，所以中，，，所以，又，所以當(dāng)垂直平面時(shí)四面體體積最大，最大值為，故選：A.8.設(shè)函數(shù).若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，依題意，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)恒成立，因此對(duì)恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題9.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.中最小項(xiàng)為〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當(dāng)時(shí)，最大，故A錯(cuò)誤由，可得到，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；由以上可得：，，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：BD.10.已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，，以下結(jié)論正確的是（）AB.C.D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)，對(duì)于A中，因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得，所以，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，所以，由可得，所以，所以D正確.故選：BCD.11.已知正方體棱長(zhǎng)為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為B.平面平面C.若，則最小值為D.若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于，如圖：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則則，因?yàn)樗裕?，則的取值范圍為，故A不正確；對(duì)于B，在正方體中，平面平面，顯然成立.故B正確；對(duì)于C：正方體的棱長(zhǎng)為2，為空間中的一動(dòng)點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使,如圖：由得，即，故為線段上一點(diǎn).將平面沿展開至與平面共面，如下圖：易知：，則在平面圖中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，又，可知是線段上一點(diǎn)，如圖：連接并與交于點(diǎn).當(dāng)與重合時(shí)，平面與平面重合，此時(shí)截面面積為4.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)與重合時(shí)，截面為，此時(shí)截面面積最大，由三邊長(zhǎng)均為，故此時(shí)截面面積最大值為.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，如圖：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，作平行于并與交于點(diǎn)，則截面為等腰梯形，設(shè)，則，梯形的高，面積為.由圖可知：梯形的面積一定小于矩形的面積，且矩形面積為，所以.當(dāng)與重合時(shí)，截面為矩形，面積為.故平面截正方體所得截面面積的最大值為，故D正確.故選：BCD.三?填空題12.在的展開式中，的系數(shù)為___________(用數(shù)字作答)〖答案〗15〖解析〗由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，得，令，則，所以系數(shù)為，故〖答案〗為：15.13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，已知，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)到直線的距離為，因?yàn)?，可得，所以，所以，即且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，則，聯(lián)立方程組，解得，由拋物線的定義，可得.故〖答案〗為：14.對(duì)任意閉區(qū)間I，用表示函數(shù)在I上的最大值，若正實(shí)數(shù)a滿足,則a的值為________.〖答案〗或〖解析〗當(dāng)時(shí)，，由可得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，或.若，則由可得，因，故無解；若，則由可得，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，因區(qū)間的長(zhǎng)度至少為，故，而顯然不成立,故舍去；綜上，a的值為或.故〖答案〗為：或.四?解答題15.某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對(duì)本地的500家食品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行考核，通過隨機(jī)抽樣抽取其中的50家，統(tǒng)計(jì)其考核成績(jī)(單位：分)，并制成如下頻率分布直方圖.（1）求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)及中位數(shù)a(精確到0.01);（2）該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會(huì)，并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機(jī)抽取5家考核成績(jī)不低于88分的企業(yè)發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績(jī)?cè)赱96,100]的企業(yè)數(shù)為Y，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績(jī)X服從正態(tài)分布，其中μ近似為50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得，利用該正態(tài)分布，估計(jì)該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績(jī)高于95.32分的有多少家?(結(jié)果保留整數(shù)).附參考數(shù)據(jù)與公式：則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解：（1）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)為：由頻率分布直方圖得內(nèi)，解得中位數(shù)(分).（2）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績(jī)不低于88分的企業(yè)有家，其中考核成績(jī)?cè)趦?nèi)的企業(yè)有家，由題意可知，的可能取值為，,,,∴Y的分布列為：Y012P.（3）由題意得,,∴(家)，∴估計(jì)該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績(jī)高于95.32分的有11家.16.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，使恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?，令，又，，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，解得其中，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以令，當(dāng)時(shí)，恒成立，，若恒成立，符合題意，，當(dāng)恒成立，令則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，，若，同理恒成立，由知，當(dāng)所以不存在滿足條件的.綜上所述：.法二：.令，則只需在單調(diào)遞增，即恒成立，，令，則恒成立；又，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增成立；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，又，故不恒成立.不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，由得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，綜上，.17.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線上，且，.（1）求證：，并求三棱錐的體積；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.解：（1）設(shè)，連接，為底面圓的內(nèi)接正三角形，為中點(diǎn)，又，；，；平面平面平面平面，平面平面平面平面，又平面，又平面，又平面，所以，又平面，平面平面平面；為中點(diǎn)，，即，又平面，平面，平面平面，，，又平面，.（2）為中點(diǎn)，又，為中點(diǎn)，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，設(shè)直線與平面所成角為，，令，則，，當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)，，點(diǎn)到平面的距離.18.如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若到左焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過動(dòng)點(diǎn)作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，由得則，且，可得，由題意可得：，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，結(jié)合在圓上一點(diǎn)處的切線方程猜測(cè)橢圓上的一點(diǎn)處的切線方程為，下面證明這個(gè)猜想：聯(lián)立方程，消去y整理得，即，整理得，解得，可知直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即切線的方程為，令得，令知：得，因?yàn)?，則直線，①又因?yàn)?，則直線，②由①②知：，點(diǎn)的軌跡方程為，即存在定點(diǎn)，使得為定值6，即的坐標(biāo)為或.19.對(duì)于無窮數(shù)列，若對(duì)任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）已知數(shù)列為等差數(shù)