湖南省益陽市2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省益陽市2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知實數(shù)列成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為實數(shù)列成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質有：，解得，但注意到無論等比數(shù)列的公比是正是負總有，所以，從而故選：C．2.設等差數(shù)列的前項和為，公差，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因為為等差數(shù)列的前項和，公差，，所以，解得.故選：B.3.某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A、B不能住同一房間，則不同的安排方法有（）種A.24 B.48 C.98 D.114〖答案〗D〖解析〗5個人住三個房間，每個房間至少住1人，則有和兩種，當為時，有種，住同一房間有種，故有種，當為時，有種，住同一房間有種，故有種，則不同的安排方法有種.故選：D．4.已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且，是與的等差中項，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設數(shù)列的公比為q，由題意可得，所以解得或（舍去），故.故選：B.5.已知函數(shù)，，若存在3個零點，則a的取值范圍是（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，即，則函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)交點的個數(shù)，做出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖所示，當直線與曲線相切時，又當時，，則，則，則，即且點為，此時，因為存在3個零點，即函數(shù)與函數(shù)的圖像有3個交點，所以，解得，所以a的取值范圍是.故選：D6.已知（a為常數(shù)）在上有最大值3，則此函數(shù)在上的最小值是（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，令，解得；令，解得；可知在上單調遞增，則上單調遞減，則函數(shù)的最大值為，此時，且，，可知當時，函數(shù)取得最小值為.故選：A.7.若，則的值是（）A.-2 B.-1 C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗當時，；當時，，因此．故選：A.8.已知函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，且，由于，所以當時，

，函數(shù)在上單調遞增，則,，所以，故,，即，即故選A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知定義域為的函數(shù)的導函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增 B.函數(shù)在上單調遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值〖答案〗BC〖解析〗由圖可知，當時，，當時，，故在、上單調遞增，在、上單調遞減，在、處取得極大值，在取得極小值故A錯誤，B正確，C正確，D錯誤.故選：BC.10.已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（）A.B.使得成立的最大自然數(shù)C.D.中最小項為〖答案〗AD〖解析〗對于A，根據(jù)題意：，，，兩式相加，解得：，故A正確.對于C，由上可得所以由，可得到，，所以，所以，故C錯誤；由以上可得：，而，當時，；當時，；要使得成立的最大自然數(shù)，故B錯誤.當，或時，；當時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：AD.11.若，則（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，令，，令，則，令，則，兩式相加化簡得，又，所以，所以A錯誤；對于B，，因為5個相同的因式相乘，要得到含的項，可以是5個因式中，一個取，其他4個因式取2，或兩個因式取，其他3個因式取2，所以，所以B正確；對于C，令，，令，則，因為，所以，所以C錯誤；對于D，展開式所有項系數(shù)和為，令，則，因為，所以，所以D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在點處的切線方程為，則______．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)，可得，可得，因為函數(shù)在點處的切線方程為，可得，解得，所以.故〖答案〗為：.13.已知數(shù)列中，，，，則的前項和__________．〖答案〗〖解析〗由可得，所以是等差數(shù)列，且公差為2，所以，故，所以，所以故〖答案〗為：14.已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)是．有，則關于的不等式的解集為________．〖答案〗〖解析〗由題意，函數(shù)滿足，令，則函數(shù)是定義域內的單調遞減函數(shù)，由于，關于的不等式可化為，即，所以且，解得，不等式的解集為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間．解：（1）由函數(shù)，可得，可得，因切點為，所以切線方程為，即.（2）由函數(shù)，其定義域，且，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.16.已知等差數(shù)列滿足：，，的前項和為．（1）求通項公式及前項和；（2）令，求數(shù)列的前項和．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，由已知可得，解得，，所以；．（2）由（1）知，所以，所以，即數(shù)列的前項和．17.在含有2件次品的5件產品中，任取2件，求（1）恰好取到1件正品的概率；（2）至少取到1件次品的概率.解：（1）記3件正品分別為A，B，C，2件次品分別為1，2，則從5件產品中任取2件的所有樣本點：AB，AC，A1，A2，BC，B1，B2，C1，C2，12，共有10個，它們等可能，恰好取到1件正品的事件M所含樣本點是A1，A2，B1，B2，C1，C2，共6個，，所以恰好取到1件正品的概率是；（2）至少取到1件次品的事件N所含樣本點是A1，A2，B1，B2，C1，C2，12，共7個，，所以至少取到1件次品的概率是.18.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.（1）證明：數(shù)列也為等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列是以數(shù)列的公差為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前項和，證明：.解：（1）∵，∴，∴，又∵數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，∴，∴，∴數(shù)列是以為公差等差數(shù)列；（2）∵，∴，，∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.∴，∴數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴①，∴②，∴②①得，，∵且為正整數(shù)，∴，，∴（當時取等）.19.已知函數(shù).（1）若存在極值，求的取值范圍；（2）若，，證明：.解：（1）由，，得，當時，，則單調遞增，不存在極值；當時，令，則，當，則