2023-2024學(xué)年湖北省五市州高一數(shù)學(xué)（下）期末考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年湖北省五市州高一數(shù)學(xué)（下）期末考試卷全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則（

）A． B． C． D．2．當(dāng)時(shí)，曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．5．如圖所示，角（）的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為，分別過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交角的終邊于，，根據(jù)三角函數(shù)的定義，．現(xiàn)在定義余切函數(shù)，滿足，則下列表示正確的是（

）A． B． C． D．6．已知單位向量，互相垂直，若存在實(shí)數(shù)，使得與的夾角為，則（

）A． B． C． D．7．（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，下面關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)描述正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱B．函數(shù)的最小正周期為C．方程在上有5個(gè)不同的實(shí)根D．恒成立二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某同學(xué)統(tǒng)計(jì)了某校高一男生的身高數(shù)據(jù)（單位：），并整理得到下表身高頻數(shù)60120180240100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．該校高一年級(jí)男生身高的中位數(shù)小于B．該校高一年級(jí)男生身高的眾數(shù)和中位數(shù)相同C．該校高一年級(jí)男生身高的極差介于至之間D．該校高一年級(jí)男生身高的平均數(shù)介于到之間10．阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置，其提供阻力的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)．若某阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移（單位：）和時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系：（，，），某同學(xué)通過(guò)“五點(diǎn)法”計(jì)算了一個(gè)周期內(nèi)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下（其中，，，為未知數(shù)），則下列有關(guān)函數(shù)的描述正確的是（

）0000A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到C．函數(shù)的圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為4D．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象重合11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值B．三棱錐外接球的半徑為C．若與平面，平面，平面所成的角分別為（），則D．若平面與正方體各個(gè)面所在的平面所成的二面角分別為，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，，則．13．在中，，，則中最小角的余弦值為．14．設(shè)，，若，則稱為離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作，即，如．另外，定義表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如．令，，當(dāng)時(shí)，如果存在（）滿足，那么．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．已知的內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，且最大，．(1)求；(2)若邊上的高為4，求面積的最小值．16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最值與單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若方程在上恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的值．17．在三棱錐中，，，，.點(diǎn)在平面上的射影恰好在上.(1)若為線段的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求二面角的余弦值.18．某市根據(jù)居民的月用電量實(shí)行三檔階梯電價(jià)，為了深入了解該市第二檔居民用戶的用電情況，該市統(tǒng)計(jì)局用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該市所轄，，三個(gè)區(qū)域的第二檔居民用戶中按2：2：1的比例分配抽取了100戶后，統(tǒng)計(jì)其去年一年的月均用電量（單位：），進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），頻率分布直方圖如下圖所示.

(1)求的值；(2)若去年小明家的月均用電量為，小明估計(jì)自己家的月均用電量超出了該市第二檔用戶中85%的用戶，請(qǐng)判斷小明的估計(jì)是否正確？(3)通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算抽樣的樣本數(shù)據(jù)，得到A區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為213，方差為24.2；B區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為223，方差為12.3；C區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為233，方差為38.5，試估計(jì)該市去年第二檔居民用戶月均用電量的方差.（需先推導(dǎo)總樣本方差計(jì)算公式，再利用數(shù)據(jù)計(jì)算）19．在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），設(shè)為異面直線與所成角，求的取值范圍；(2)若點(diǎn)在線段上，求的最小值；(3)若點(diǎn)在線段上，作平行交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，滿足．設(shè)，記三棱錐的體積為．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．據(jù)此，判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在，使得函數(shù)在上的圖象是中心對(duì)稱圖形，若存在，求及對(duì)稱中心；若不存在，說(shuō)明理由．1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算．【詳解】由題意，故選：C．2．A【分析】結(jié)合函數(shù)圖象，函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)和的圖象，記，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，，，結(jié)合圖象知在上有兩個(gè)交點(diǎn)，故選：A．3．B【分析】根據(jù)投影向量的定義及向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【詳解】由已知，，在上的投影向量為，故選：B．4．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模的概念判斷各選項(xiàng)．【詳解】選項(xiàng)A，取，滿足，但不成立，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，設(shè)，，則，B正確．選項(xiàng)C，取，滿足，但，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，取，則，，D錯(cuò)；故選：B．5．D【分析】利用三角形相似，即可求解.【詳解】由圖象可知，，則，即，所以.故選：D6．D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義，列等式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，又與的夾角為，所以，即，解得：.故選：D.7．A【分析】利用兩角和與差的余弦公式，正弦的二倍角公式及誘導(dǎo)公式變形可得．【詳解】．故選：A．8．C【分析】根據(jù)對(duì)稱性，周期性，最值舉例說(shuō)明ABD錯(cuò)誤，解方程判斷C正確．【詳解】選項(xiàng)A，，，即不可能恒成立，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，，即不可能恒成立，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，，由得或，，則由得，由得，即在上有5個(gè)不同的實(shí)根，C正確；選項(xiàng)D，，D錯(cuò)．故選：C．9．AC【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)表．結(jié)合中位數(shù)定義判斷A（利用頻數(shù)），再由眾數(shù)定義判斷B，由極差定義判斷C，求出身高期望值判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，由統(tǒng)計(jì)表，身高小于170的頻數(shù)為360，身高不小于170的頻數(shù)為340，因此身高的中位數(shù)小于170，A正確；選項(xiàng)B，由統(tǒng)計(jì)表身高的眾數(shù)在區(qū)間上，結(jié)合選項(xiàng)A的判斷知B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由統(tǒng)計(jì)表，身高的極差最大為，最小為，C正確；選項(xiàng)D，身高的平均值為，D錯(cuò)．故選：AC．10．BC【分析】根據(jù)五點(diǎn)法求出的解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，誘導(dǎo)公式判斷各選項(xiàng)．【詳解】由五點(diǎn)法知，從而，，由正弦函數(shù)性質(zhì)知，，，，，所以，選項(xiàng)A，，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，，其圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到，B正確；選項(xiàng)C，函數(shù)的圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為，C正確；選項(xiàng)D，，D錯(cuò)．故選：BC．11．ACD【分析】對(duì)于A，連接交于點(diǎn)，連接，可證得∥平面，進(jìn)而進(jìn)行判斷，對(duì)于B，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，設(shè)為等邊三角形的外心，過(guò)作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心在此直線上，然后求解，對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，可得與平面，平面，平面所成的角分別，然后求它們的余弦值即可，對(duì)于D，由題意可得平面平面，平面平面，為二角面的平面角，為二面角的平面角，然后求出它們的正弦值判斷.【詳解】對(duì)于A，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e也為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證，由選項(xiàng)A可知∥，所以，，因?yàn)?，平面，所以平面，設(shè)為等邊三角形的外心，則,過(guò)作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心在此直線上，設(shè)球心為，連接，過(guò)作于，則，，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，則∥，∥，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以與平面，平面，平面所成的角分別，因?yàn)?，所以，所以，即，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椤危?，所以∥，所以平面就是平面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以平面平面，平面平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以為二角面的平面角，為二面角的平面角，，，所以平面與上下兩個(gè)底面所成二面角的正弦值為，與前后兩個(gè)平面所成二面角的正弦值為，與左右兩個(gè)平面所成二面角的正弦值為，所以，所以D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面垂直，面面垂直，考查線面角，面面角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合線面角和面面角的定義找出線面角和面面角，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于難題.12．【分析】由兩角和的正切公式計(jì)算．【詳解】，故答案為：．13．##【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義化簡(jiǎn)已知式后求解．【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，即，因此最小，且，故答案為：?4．2024【分析】由函數(shù)與為偶函數(shù)，只需考慮的情形，然后設(shè)，，，分類(lèi)討論確定的值，再求和．【詳解】由題意與為偶函數(shù)，只需考慮的情形，設(shè)，時(shí)，由定義知，，時(shí)，，，，時(shí)，，，，，所以（），由偶函數(shù)對(duì)稱性可知，．故答案為：2024.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義，關(guān)鍵是正確理解新定義并進(jìn)行轉(zhuǎn)化應(yīng)用，解題方法是根據(jù)新定義對(duì)的值進(jìn)行分類(lèi)討論，從而確定函數(shù)值并判斷是否有．15．(1)(2)16【分析】（1）利用兩你用和與差的正弦公式對(duì)已知等式變形可求得角；（2）由面積建立的關(guān)系，利用基本不等式求得的最小值，得面積最小值．也可用角表示出邊，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)得面積的最小值．【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)樽畲?，所以，從而，即，所以，即或（舍）從而．?）法一：設(shè)面積為，，因?yàn)椋?，又，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，面積的最小值為16．法二：由邊上的高為4，可得，即，同理，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．面積的最小值為16．16．(1)最大值，最小值，單調(diào)遞增區(qū)間為，．(2)或．【分析】（1）由三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為形式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）方程化為或，求得在上有三個(gè)根，因此在上有且僅有一個(gè)不同于的實(shí)數(shù)根，從而根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，化簡(jiǎn)得，當(dāng)，時(shí)，即，，取得最大值；當(dāng)，時(shí)，即，，取得最小值；當(dāng)，時(shí)，即，，單調(diào)遞增．所以的最大值，最小值，單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）由題意，或．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，即，或或，可得．所以在上有且僅有一個(gè)不同于的實(shí)數(shù)根．所以或．17．(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）連接，，由平面，得，再由中位線定理得平行從而得，從而證得線面垂直；（2）作于，連接，證明即為二面角的平面角，然后在直角三角形中求解.【詳解】（1）證明：連接，，平面，平面，平面，，，又，為中點(diǎn).又為中點(diǎn)，又，，，平面，平面.（2）作于，連接，平面，平面，則，又因?yàn)?，平面，平面，而平面?又，為的中點(diǎn)，所以，又，.則即為二面角的平面角.在中，.設(shè)，，則.因?yàn)椋谥?，，則，，.18．(1)(2)不正確(3)【分析】（1）利用頻率和為1列式即可得解；（2）求出85%分位數(shù)后判斷即可；（3）利用方差公式推導(dǎo)總樣本方差計(jì)算公式，從而得解.【詳解】（1）根據(jù)頻率和為1，可知，可得.（2）由題意，需要確定月均用電量的85%分位數(shù)，因?yàn)椋?，所?5%分位數(shù)位于內(nèi)，從而85%分位數(shù)為.所以小明的估計(jì)不正確.（3）由題意，A區(qū)的樣本數(shù)為，樣本記為，，，，平均數(shù)記為；B區(qū)的樣本數(shù)，樣本記為，，，，平均數(shù)記為；C區(qū)樣本數(shù)為，樣本記為，，，，平均數(shù)記為.記抽取的樣本均值為，.設(shè)該市第二檔用戶的月均用電量方差為，則根據(jù)方差定義，總體樣本方差為因?yàn)椋?，同理，，因此，代入?shù)據(jù)得.19．(1)；(2)5；(3)存在，對(duì)稱中心為，．【分析】（1）作交于，確定異面直線所成角，再利用余弦定理求解即得.（2）把矩形與置于同一平面，再求出點(diǎn)到直線的距離即可.（3）求出，結(jié)合給定信息，利用奇函數(shù)建立方程求解即可.【詳解】（1）在直三棱柱中，，作交于，連接，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，設(shè)，，由，得，則，，，在中，，由，得