廣州二模2022屆高三數(shù)學模擬試題

廣東省廣州市2022屆高三二模數(shù)學試題

一、單選題

1.若復數(shù)z=F二是實數(shù)，則實數(shù)()

1+1

A.-1B.0C.1D.2

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(O,y)上單調遞增的是()

C.y=|R-lD.y=

3.某種包裝的大米質量J(單位:kg)服從正態(tài)分布根據(jù)檢測結果可

知尸(9.98<^<10.02)=0.98,某公司購買該種包裝的大米2000袋.則大米質量在10.02kg

以上的袋數(shù)大約為()

A.10B.20C.30D.40

4.已知數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列，且4+%+4=乃，貝iJtan(4+%)=()

6.甲，乙，丙，丁四支足球隊進行單循環(huán)比賽(每兩個球隊都要比賽一場)，每場比賽

的計分方法是；勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，全部比賽結束后，四隊

的得分為：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，貝IJ()

A.甲勝乙B.乙勝丙C.乙平丁D.丙平J

7.已知拋物線G：V=4x,圓C2：(x-2)2+/=2,直線/：y=A(x—l)與G交于4、B

兩點，與C?交于M、N兩點，若|加=8,則|MN|=()

A.714B.aC.巫D.邁

22

8.己知〃>0且awl,若集合M=<x},N={x[/<iogax},且N=〃，則實數(shù)

ci的取值范圍是()

A.(0,1)U1,/B.(O,l)U尻+8

(\__1_\

c.(O,1)U1,/D.(O,l)Ue2c,+oo

7

二、多選題

9.拋擲兩枚質地均勻的骰子，記“第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于3”為事件A,“第二枚骰

子出現(xiàn)的點數(shù)不小于3”為事件B,則下列結論中正確的是（）

A.事件4與事件B互為對立事件

B.事件A與事件3相互獨立

C.尸（B）=2P（A）

D.P（A）+P（B）=1

10.如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，E在底面圓周上，AE=BE,AF±DE,F

是垂足，G在8D上，10G=2BG,則下列結論中正確的是（）

A.AF1.BD

B.直線￡>￡與直線AG所成角的余弦值為g

C.直線OE與平面ABC。所成角的余弦值為遠.

6

D.若平面AFGc平面=則/〃尸G

11.已知直線y=與曲線y=ei—2b+l相切，則下列不等式成立的是

()

,121

A.cib?—B.—I—?8

8ab

C.4^+4h<—D.3*6

2

12.我們常用的數(shù)是十進制數(shù),$ni079=lxl03+0xl02+7x10'+9x10%表示十進制的

數(shù)要用10個數(shù)碼.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;而電子計算機用的數(shù)是二進制數(shù)，

只需兩個數(shù)碼0和1，如四位二進制的數(shù)11。%）=1x2,+1x2。+0x2+1x2°,等于十進

制的數(shù)13.把〃?位〃進制中的最大數(shù)記為其中m,"eN”,〃W2,為

十進制的數(shù)，則下列結論中正確的是（）

A.M（5,2）=31

B.M（4,2）=M（2,4）

C.M（〃+2,〃+l）<M（〃+l,〃+2）

D.++>A/（〃+l,〃+2）

三、填空題

13.已知心坂是兩個單位向量，c=2a+b>S.blc>則無R+B）=.

14.寫出一個同時滿足下列性質①②③的雙曲線方程.

①中心在原點，焦點在y軸上；②一條漸近線方程為y=2x；③焦距大于10

15.函數(shù)/（x）=sin?rx-hi|2x-3|的所有零點之和為.

四、雙空題

16.在梯形48。中，AB〃CD,AB=2、AD=CD=CB=\,將△AC。沿AC折起，連

接BD,得到三棱錐D-A3C,則三棱錐。-ABC體積的最大值為.此時該

三棱錐的外接球的表面積為.

五、解答題

17.問題：已知〃eN*,數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，是否存在數(shù)列｛q｝,滿足

S,=l,a?+I>1+??,?若存在.求通項公式4;若不存在，說明理由.

在①《向=2（6二+底）；②q=S,i+"5N2）；③。,向=2”“+〃-1這三個條件中任選

一個，補充在上面問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.某校為全面加強和改進學校體育工作，推進學校體育評價改革，建立了日常參與，

體質監(jiān)測和專項運動技能測試相結合的考查機制，在一次專項運動技能測試中，該校班

機抽取60名學生作為樣本進行耐力跑測試，這60名學生的測試成績等級及頻數(shù)如下表

成績等級優(yōu)良合格不合格

頻數(shù)711411

（1）從這60名學生中隨機抽取2名學生，這2名學生中耐力跑測試成績等級為優(yōu)或良的

人數(shù)記為X,求尸(X=l)；

(2)將樣本頻率視為概率，從該校的學生中隨機抽取3名學生參加野外拉練活動，耐力跑

測試成績等級為優(yōu)或良的學生能完成該活動，合格或不合格的學生不能完成該活動，能

完成活動的每名學生得100分，不能完成活動的每名學生得0分.這3名學生所得總分

記為匕求丫的數(shù)學期望.

19.在平面四邊形A8CD中，NA=90。,NO=60。,AC=6,CO=3后.

⑴求“。力的面積；

93

(2)若COSNAC8=3,求AB+e8c的值：

164

20.如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZABC=60°,EF//AC,AC=2EF,

平面AEFCmABCD,AE=AB.

(2)若AELAC,求二面角A-CF-O的余弦值.

21.已知橢圓C：3+g=l(a＞b＞0)的離心率為白，短軸長為4；

⑴求C的方程；

(2)過點P(-3,0)作兩條相互垂直的直線上4和/?,直線4與C相交于兩個不同點A,B,

在線段AB上取點Q,滿足\A扇Q\=詞AP\，直線4交y軸于點R，求△PQR面積的最小值.

22.已知函數(shù)/(x)=2xlnx-爐一〃?x+i.

⑴若相=0,求“X)的單調區(qū)間；

(2)若加＜0,0＜匕＜。，證明：21n上當〈孚，一〃?.

a-ba--b-

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z,再由已知列式計算作答.

【詳解】

，、—一-i)加一1一(m+l)im-\m+\.、,,

依題意，-=-----------=------—?,因，"eR,且zM是實數(shù)，則=0,

解得機=-1,

所以實數(shù)機=-1.

故選：A

2.C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的定義，對每個選項進行逐一判斷，即可選擇.

【詳解】

對A：容易知y=是偶函數(shù)，且在(0,”)單調遞減，故錯誤；

對B：容易知y=k|-f是偶函數(shù)，當x>0時，y=x-x2,

其在(0,；)單調遞增，在(g,+?>)單調遞減，故錯誤；

對C：容易知y=W-i是偶函數(shù)，當x>0時，y=x-i是單調增函數(shù)，故正確；

對D：容易知y=■是奇函數(shù)，故錯誤；

X

故選：C.

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)大米質量4~N(10,b2),利用正態(tài)分布的對稱性求出P(自>10.02),再列式計算作答.

【詳解】

因大米質量孑~N(10,〃)，且P(9.984』M10.02)=0.98,則

PC>10.02)=1二，(9.98；4410.02)=0()1)

所以大米質量在1002kg以上的袋數(shù)大約為2000x0.01=20.

故選：B

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的性質求出名，再利用此性質結合誘導公式計算作答.

【詳解】

在等差數(shù)列｛4｝中,%+%+/=萬，則有3%=乃,即。5=?，

所以tan(4+%)=tan2a5=tan=一石.

故選：D

5.B

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，帶值計算即可.

【詳解】

(27r)4/r

根據(jù)題意，sinl-2x—+1=0,即—+(p=k^,k&Z,

解得夕=后萬+與MeZ；當&=—1時，網(wǎng)取得最小值。.

故選：B.

6.C

【解析】

【分析】

甲，乙，丙，丁四支足球隊總比賽場次6場，總得分為16分，由比賽計分規(guī)則可得出在6

場比賽中有2場比賽是平局，丁在3場比賽中有1場是平局，丙在3場比賽中有1場是平局，

乙在3場比賽中有2局是平局，由此可得答案.

【詳解】

解：甲，乙，丙，丁四支足球隊總比賽場次6場，總得分為6+5+4+1=16分，

由比賽計分規(guī)則：勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，所以在6場比賽中有2

場比賽是平局，即3x4+2x2=16,

丁得1分，即1+0+0=1,所以丁在3場比賽中有1場是平局，

丙得4分，即3+1+0=4,所以丙在3場比賽中有1場是平局，

而乙得分5分，即3+1+1=5,所以乙在3場比賽中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能

平丁，

故選：C.

7.B

【解析】

【分析】

聯(lián)立直線方程和拋物線方程，設8伍,必），根據(jù)拋物線焦點弦長公式為+赴+〃和

韋達定理可求出％,根據(jù)圓的弦長公式彳即可求

【詳解】

"2

由得，小/_（2公+4）x+r=o,

設4（內,乂），8（孫力）,：△＞（）,.?.再+%=2k=&+2,

k-k~

???/:丫=耳X-1）過拋物線的焦點（1,0）,故AB為焦點弦，

*".|A5|=芭+毛+2=8,.?.1+/=6,*,*—2+2=6,解得k=±1,

由圓關于％軸對稱可知,k=l和仁一1時|例相同,

故不妨取女=1,/為y=x—1,BPx—y—1=0,

圓心（2,1）到/的距離"J2*""=#,A\MN\=2V2-d2==46.

故選：B.

8.D

【解析】

【分析】

求出集合M,再由給定條件，對集合N分類討論，構造函數(shù)，利用導數(shù)探討函數(shù)最小值求

解作答.

【詳解】

依題意，A/={x|X^-l)<O}={x|O<x<l},N={x|x2-log〃x<0},令/(x)=d-log”x,

當0<a<l時,函數(shù)/(x)在(0,+oo)上單調遞增，j/jj/(I)=1>0,f(a)=a2-I<0,貝

使得/'(x0)=0,

當0cx時，/(x)<0,當x>x(>時，f(x)>0,ittW?/={x|0<x<^}cM，因止匕，0<a<l,

當時，若0<x<l,Iog“x40,則/(x)>0恒成立，N=0,滿足N=

于是當”>1時，NjM,當且僅當N=0,即不等式/(x)20對Vxe(0,??)成立,

小心一*'由/加=。得戶樂,當原時,小)<0,當X岳

時，f\x)>0,

則函數(shù)在(。,層)上單調遞減’在(層,+8)上單調遞增,

I1、11,11ln(21na)丁是得1JnQlna)]。

/(X)min=/([

2\na2lna2]na2\na

即1+ln(21na)>0,變形得Ina4；,解得“e匕從而得當“w段時，。恒成立，N=0,

滿足NqM,

所以實數(shù)〃的取值范圍是0<“<1或心上

故選：D

【點睛】

思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以利用導數(shù)探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉化

解決問題.

9.BCD

【解析】

【分析】

利用對立事件的意義判斷A；利用相互獨立事件的定義判斷B；由事件A,8的概率計算判

斷C,D作答.

【詳解】

依題意，第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于3與第二枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)不小于3可以同時發(fā)生，

即事件A與事件B不互斥，則事件4與事件B不是對立事件，A不正確；

顯然有P(A)=W(B)=[=|,

拋擲兩枚質地均勻的骰子的試驗的所有結果：(1,1),(1,枚(1,3)均,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),

(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36個，它們等可

能，

事件AB所含的結果有:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，共8個，

o12

貝IJ有尸(AB)=9=4X4=P(A)尸(B),即事件A與事件B相互獨立，B正確；

3633

2I2

顯然P(B)=§=2尸(A),P(A)+P(B)=-+-=1,C,D都正確.

故選：BCD

10.AD

【解析】

【分析】

選項A：由線面垂直的判定定理，以及線面垂直的性質定理得出；

選項B：平移法找出異面直線所成角，構造三角形，求解三角形可得；

選項C：找出線面垂直，作出線面角，再求解三角形可得；

選項D：運用線面平行的判定定理，以及線面平行的性質定理可得.

【詳解】

對于A：由圓柱的性質得：/)4_1_面^￡?,面AES,:.DA±EB

又AB是下底面圓的直徑.

又?.?4)cAE=A,ZMu面D4E,AEu面

.?.￡?_1_面%￡,又「AFu面:.EBLAF,又；AFd.DE

又?.,DEf]EB=E,DEu面DBE,BEu面D8E

.?.AF_L面QBE,又?；DBu而DBEAF工BD,A正確；

對于B：過點、G作GH〃DE交EB于點、H,如圖

則ZAG”就是直線OE與直線AG所成角(或補角)

設他=3E=1,則AQ=A8=0

在向八4匹中，DE=#>

\-GH//DE,DG=2BG--GH=—DE=—

BD3

2

在等腰RtZXAB。中，BD=2,XvDG=2BG：.GB=-

在△ABG中，AB=V2，NA8G=—,

/.AG2=GB2+AB2-2GB?AB?cosZABG

即：AG=ll)+(^)2-2-|-V2-cos^=y

jr2

在Rt^AEH中，AE=1,Z.AEH=—,EH=—

AH2=AE2+EH2=I2=個

在AAGH中，AG2+GH2=AH2，

TT

:.ZAGH=-,cosZAGH=0,B錯誤；

2

對于C：取AB的中點。，連接。0,EO,如圖所示

則：EOLAB,面AEB,又,rEOu面A￡B:.DA1EO

又?.,ZMC|A3=A,DAu面￡>AB,ABIDAB

.,.EO_L面ZMB

NE￡>0就是直線DE與平面ABC。所成角

又?；DE=GEO=—DO=yjDE2-EO2=—

22

Vio

.?心/加。=變=不=畫，c錯誤；

DE66

對于D：在即△AED中,DE=y/3,EF。,DF=差~

：.FG//EB,又E3u面AE3,FG<Z而AE3

FG〃面AEB

又?平面49Gc平面A8E=/,9Gu面AFG

：.FG//l,D正確.

故選：AD.

11.AC

【解析】

【分析】

利用導數(shù)的幾何意義，求出。，人的關系，再結合均值不等式逐項分析、計算并判斷作答.

【詳解】

設直線y=x+。與曲線y=e*T-乃+1相切的切點為(%,%),

由〉=尸-2"1求導得：yJe'T,則有e，Z=l,解得%=1,

因此，%=1+。=2-26，即。+2/>=1,而”>0力>0,

對于A,ab=--a-2b<-(^^-)2=~,當且僅當a=2b=L時取“="，A正確；

22282

對于B,—+—=(?+2^)(—+—)=4+—+—>4+2.1—--=8,當且僅當絲=：,即Q=2/?=?

ababab\abab2

時取“=”，B不正確；

對于C,因g+My+匹一而)2=a+b+q+2b=3(a+2b)=A,則有(夜+聲了4。，

412222

即4a+\[b<,

2

&,—[a+2b=\2121

當且僅當華=瘍，即4時取"="，由”得。=：力=：，所以當。=彳,/,=2時，

411a=463636

(&+斯)max=母，C正確；

對于D,由a+4=1,a>0/>0得，0<b<g,a+b=}-be^,}),而函數(shù)y=3”在R上

單調遞增，

因此，73<3a+b<3,D不正確.

故選：AC

12.ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)問題背景的介紹，可以得到機位〃進制中的最大數(shù)的書寫方法，進而得到選項中最大

數(shù)的式子，再進行大小比較即可.

【詳解】

4320

對于A："(5,2)即是:11111(2)=1X2+1X2+1X2+1X2'+1X2=31,A正確；

32,0

對于B：M(4,2)即是：1111(2)=1X2+1X2+1X2+1X2=15

M(2,4)即是：3%)=3x4+3x4°=15,B正確;

對于C、D：

nGN\/t>2,即是:

wm…勺“+])+++?+…+〃("+1)+〃(〃+1)。

=%[(〃+1)"”+(〃+1)"+(〃+i廣+…+(〃+1)+(〃+i)0]

1-(〃+1廠2

=n―i―=(n+l)-1

nGN*,〃>2,M(〃+1,〃+2)即是：

(〃+l)(〃+l)(〃+。…(〃+1底)

=(〃+l)(〃+2)"+(〃+l)(〃+2)"i+(〃+l)(〃+2)”"+...+(〃+1)(〃+2)+(〃+l)(〃+2)°

二(〃+l)[(〃+2)"+(〃+2)"々+(〃+2)〃2+…+(〃+2)+(〃+2)°]

/i\1一(〃+2)"1z\〃+i

=(n+\)----4——i―=(〃+2)-1

構造函數(shù)：〃x)=手，求導得：

r(加審

■,■xe(O,e),r(x)>0,〃x)單調遞增；

xe(e,+e),r(x)<0,/(尤)單調遞減;

vneN\n>2.-.e<H+l<n+2

/("+1)>〃“+2)代入得：】n(w+l)>ln(〃+2)

n+\n+2

即是：("+1)*2>(〃+2)向，，(〃+l)-2-l>(〃+2)"“-l

,M(〃+2,〃+l)>M(〃+l,〃+2),D正確.

故選：ABD

【點睛】

本題考查背景知識的從特殊到一般的轉化過程，對獲取信息從而抽象成數(shù)學問題的能力有一

定的要求，隨后需要用數(shù)列求和得出需要的結果，再從構造函數(shù)的角度考查了導數(shù)在函數(shù)中

的應用，

運用函數(shù)的性質進行大小比較，對學生來說是一個挑戰(zhàn)，屬難題.

13.g##0.5

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，結合垂直關系的向量表示求出再利用數(shù)量積的運算律計算作答.

【詳解】

）rr1

a.b是兩個單位向量，守=2萬+方，且坂則石々=反（2萬+氏=2M石+坂=0，解得〃％=--,

所以1,（M+q=M2+汗?/?=：.

故答案為：y

14.士-至=1（答案不唯一，寫出一個即可）

14436

【解析】

【分析】

根據(jù)①設出雙曲線方程，根據(jù)②求出“與匕的關系式，根據(jù)③對c進行賦值，進而聯(lián)立解方

程求出雙曲線方程，答案不唯一.

【詳解】

22

由①中心在原點，焦點在y軸上知，可設雙曲線方程為：J-￡-=i（a>0,/,>0）

由②一條漸近線方程為y=2x知，：=2,即4=力

b

由③知，2c>10,即c>5,

則可取c=6（此處也可取大于5的其他數(shù)）

22

又???/+/=c2,.?.（28y+b=36,b=￡

2必144

/.a=4b=——

5

則同時滿足下列性質①②③的一個雙曲線方程為：=1

14436

故答案為：至-至=1（答案不唯一，寫出一個即可）.

14436

15.9

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，構造函數(shù)〉=如心，y=ln|2x-3|,作出這兩個函數(shù)的部分圖象，確定兩個

圖象的交點個數(shù)，再結合性質計算作答.

【詳解】

由/（x）=0<=>sin^x=ln|2x-3|,令）=sin7Lr,y=\n\2x-^,

3

顯然y=sin"與y=ln|2x-3|的圖象都關于直線x=：對稱，

在同一坐標系內作出函數(shù)y=sin?,y=ki|2x-3|的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù))，=sin7tx,y=ln|2x-3|的圖象有6個公共點，其橫坐標依次為

x,,x2,x3,x4,x5,x6,

3

這6個點兩兩關于直線x=5對稱，有%+/=工2+毛=工3+%=3,則

F+42+工3+工4+%5+工6=9,

所以函數(shù)/(x)=sin/x-ln|2x-3|的所有零點之和為9.

故答案為：9

16.立##5萬

1212

【解析】

【分析】

注意到三棱錐Q-A8C體積最大時，平面ACQL平面ABC,可知以B為頂點時，BC為三

棱錐的高，然后利用正余弦定理可得各棱長可得體積；利用球心到平面的距離、AACD

外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.

【詳解】

過點C作垂足為E,

?.?ABC。為等腰梯形，AB=2,CD=\

:.BE=L,:.B=上

23

由余弦定理得AC?=AB2+BC2-2ABBCCOS^3,即AC=6

AB1=BC2+AC2

BC±AC

易知，當平面ACD_L平面4BC時，三棱錐O-ABC體積最大,

此時，8C_L平面AC。

易知，ND=

;.S△A.。r。?=-2ADCDsin—3=—i

.V_1>/3.73

?M-A8C=§'彳'1=五

記。為外接球球心，半徑為R

?.?BCJ?平面4CD,OB=OC

..0到平面AC￡>的距離

AC

又△AC。的外接圓半徑

2sin——

3

7?2=r2+rf2=-

4

/.S=4TTR2=5萬

故答案為：—,5兀

12

【解析】

【分析】

選①：利用4,與S”的關系得到關于S“的遞推公式，再由遞推公式求S“，然后可得通項明；

選②：利用。,與S,的關系得到遞推公式，然后構造等比數(shù)列可求通項；選③：根據(jù)遞推公

式構造等比數(shù)列可解.

【詳解】

選①：4/2(卮+后)=s?+l-s?=(卮+底)(瓦一區(qū))

<Si=<7]=1,??+|-??>1

''>>/S"+i+>°

.?.卮-S=2,即｛底｝是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列

:.厄=2n-T,即.(2〃一1尸

當“22時，a?=S“-S“T=(2〃-1)?一(2"-3>=8"-8

、f1,/I=1

顯然，”=1時，上式不成立，所以可。

[8/z-8,n>2

選②：當“22時，a“=S“T+〃，即

所以4=S,-S“T=%-("+1)-(%-〃)

整理得％+1=2(%+1)

又4=S[+2=3,?2+1=4

所以｛。,,+1｝從第二項起，是以2為公比，4為首項的等比數(shù)列

2

，當“22時，??+|+1=4-2"=2",即%+1=2"-1

顯然，”=1時，上式成立，所以",用=2"-1

選③：；4+1=26+1

:.an+l+n+l=2(an+n)

又4+1=2

???｛4“+〃｝是以2為公比和首項的等比數(shù)列

an+n=2",即an=2"-n

電（嗤;

(2)90.

【解析】

【分析】

（1）由題意根據(jù)古典概率公式可求得答案;

（2）由題得y可以取o,loo,200,300,分別求得y取每一個隨機變量的概率得出丫的分

布列，由期望公式可求得答案.

⑴

cLc'126

解：由題意得尸（x=i）=-^d=

。60295

⑵

解：能完成活動的概率為普=。，不能完成活動的概率為會=—

60106UIU

由題得y可以取0,100，200,300,則

7Y343

p(y=o)=c；

10；1000

7丫441

p(y=ioo)=c；

ioj-lo66,

2

189

p(y=2oo)=c；

1000

7丫27

尸（y=3（x））=c；

10；1000

所以y的分布列為:

Y0100200300

34344118927

P

1000100010001000

34344118927

則丫的數(shù)學期望為雙丫）=0乂二^+100x——+200x+300x=90.

1000100010001000

27舟27手

8

(2)8.

【解析】

【分析】

(1)在△AC。中，由余弦定理求得得A。，再根據(jù)三角形的面積公式可求得答案；

(2)在△AC。中，由正弦定理求得sin/DAC,再由正弦和角公式求得sin8,在AABC中,

根據(jù)正弦定理求得4?，BC,由此可求得答案.

(1)

解：在△ACO中，ZD=60°,AC=6,CD=3>/3,所以

CD2+AD2-AC227+3-36_i

COS。=

2ADCD2.A?3百~2

3月+3",36-3近冬+、

解得AD=----------------1-------------------百去),

22

所以「8」皿asin〃」36+35*3島巫J7舟27"；

△Ai222"28

解:在中，〃=6。。”=6,336,所以利=舊/,即有二嬴赤,

3

)WWsinZDAC=-,

4

又ZA=90°,所以cosNCA5=cos］、一NZMC=sinADAC=,所以sinNC4B=也

44

又cosZACB=&,所以sin4CB=迫，

1616

所以sin8=sin［不一(ZAC8+NC48)］=sin(ZAC8+NC48)

=sinZACBcosZC4B+cosZACBsinZC4B

=葭迎+山上=也

4164168

ABBC6

ABBCAC

在△ABC中,即5幣一行一3址，

sinZ.ACBsinZ.CABsin316-T丁

所以AB=x6x-標=5,BC=^-x6x—=4,

163s43V7

所以A8+，C=5+2X4=8.

44

20.(1)證明見解析：

⑵迎

19

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)面面垂直的性質和判定可得證；

(2)設AC與8。相交于點O,連接FO,以點。為坐標原點建立空間直角坐標系，利用面

面角的空間向量求解方法可得答案.

(1)

證明:菱形ABCD中，8￡>_LAC,又平面_L平面ABCD,平面AEFCc平面ABCD=AC,

所以平面AE/C,

又8。在平面BE。內，所以平面BED_L平面的C；

(2)

解：因為平面AE/7c，平面A8CD,AE_LAC.平面AEFCc平面4?C￡>=AC,所以4￡，平

面ABCD.

設4c與8。相交于點O,連接FO,

因為EF//4C,4C=2",所以防〃4O,AO=E尸，所以四邊形AOE尸為平行四邊形，所以

OF//EA,所以OFL平面ABC。，

菱形48CD中，ZABC=60°，所以AABC是正三角形，則OC=\,OF=AE=AB=2,OB=0。=6，

以點O為坐標原點建立空間直角坐標系如下圖所示，

則A(0,-l,0),C(0,l,0),*0,0,2),味石,0,0),

則行^(。，-⑶，C4=(O,-2,O),而=隔0,2),

設平面ACF的法向量為n=(1,0,0),

一,、\ih-CF---y+2z=0廣

設平面OCT7的法向量為機=(x,y,z),則｛一廠，令z=G，貝!I

'm-DF=yl3x+2z=0

^=(-2,273,73),

所以…上,。:片。雙呼,

所以二面角A-的余弦值為嚕.

84

(2)1.

【解析】

【分析】

(1)由題可得2b=4,e=￡=\即得;

a

（2）由題可設4的方程為x=（y-3,利用韋達定理法可得|PQ|=g/，進而可得

|p/?|=37177,然后利用面積公式及基本不等式即求.

（1）

由題可得2b=4,e=￡=J1—（2）=2^,

**?a-2yfl^b—2,

22

???橢圓C的方程為J+2=1；

84

(2)

由題可知直線4的斜率存在且不為0,設直線人的方程為x=）-3,

4&，乂），8（%，%），。5，％），

x=ty-3

由V2，可得（產+2）/—6"+1=0,

---1--1—=1

84

由A=36/-4（產+2）=32/一8>0,可得f>g,或f<-g,

.,6r1

??y+M=77Pxy2=77r

由博=囂及P'A'Q'B四點共線，知止2L="L，

\QB\歸身y2-J0%

2

?_2y%1

..v%%+必-&一獷

r+2

則iPQi=a^M>i=Y^『，

?1和4相互垂直，則4的方程為x=-；y-3,令x=o,得y=-3r,

-，?夫（0,-3/）,|PR|=Jl+卜