2015屆中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)過關(guān)檢測(cè)題27

第27講圖形的相似及位似基礎(chǔ)過關(guān)一、精心選一選1．(2014·涼山州)如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1∶5，則它們的相似比為(D)A．1∶25B．1∶5C．1∶2.5D．1∶eq\r(5)2．(2014·玉林)△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且△ABC與△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面積是3，則△A′B′C′的面積是(D)A．3B．6C．9D3．(2014·河北)在研究相似問題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形按圖①的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是(A)A．兩人都對(duì)B．兩人都不對(duì)C．甲對(duì)，乙不對(duì)D．甲不對(duì)，乙對(duì)4．(2014·武漢)如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6，6)，B(8，2)，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的eq\f(1,2)后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(A)A．(3，3)B．(4，3)C．(3，1)D．(4，1)5．(2014·寧波)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為(C)A．2∶3B．2∶5C．4∶9D.eq\r(2)∶eq\r(3)6．(2013·上海)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A)A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．27．(2014·南通)如圖，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的頂點(diǎn)E，F(xiàn)在△ABC內(nèi)，頂點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，則點(diǎn)F到BC的距離為(D)A．1B．2C．12eq\r(2)－6D．6eq\r(2)－68．(2014·瀘州)如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分線分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則eq\f(BF,EF)的值是(C)A.eq\r(2)－1B．2＋eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D.eq\r(2)二、細(xì)心填一填9．(2014·邵陽)如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，直線DF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，BP∥DF，且與AD相交于點(diǎn)P，請(qǐng)從圖中找出一組相似的三角形：__答案不唯一，如：△ABP∽△AED__．,第9題圖),第10題圖)10．(2014·婁底)如圖，小明用長(zhǎng)為3m的竹竿CD做測(cè)量工具，測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，移動(dòng)竹竿，使竹竿與旗桿的距離DB＝12m，則旗桿AB的高為__11．(2013·烏魯木齊)如圖，AB∥GH∥CD，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，則GH的長(zhǎng)為__eq\f(6,5)__．,第11題圖),第12題圖)12．(2013·黔東南州)將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則eq\f(BE,EC)的值是__eq\f(\r(3),3)__．13．如圖，已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA＞PB，若S1表示PA為一邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)是AB，寬為PB的矩形的面積，則S1__＝__S2.(填“＞”“＜”或“＝”),第13題圖),第14題圖)14．(2013·泰州)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO關(guān)于A的位似圖形，且O′的坐標(biāo)為(－1，0)，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為__(eq\f(5,3)，－4)__．15．(2014·遵義)“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長(zhǎng)9里，南邊城墻AD長(zhǎng)7里，東門點(diǎn)E，南門點(diǎn)F分別是AB，AD的中點(diǎn)，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過A點(diǎn)，則FH＝__1.05__里．三、用心做一做16．(2013·南寧)如圖，△ABC三個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1(2)以原點(diǎn)O為位似中心，將△A1B1C1放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)诘谌笙迌?nèi)畫出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B解：(1)圖略(2)圖略，S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝eq\f(1,4)17．(2013·陜西)一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長(zhǎng)來測(cè)量一路燈D的高度．如圖，當(dāng)李明走到點(diǎn)A處時(shí)，張龍測(cè)得李明直立時(shí)身高AM與其影子長(zhǎng)AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)B處時(shí)，李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB＝1.25m．已知李明直立時(shí)的身高為1.75m，求路燈的高度CD的長(zhǎng)解：設(shè)CD長(zhǎng)為xm，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC＝CD＝x，∴△ABN∽△ACD，∴eq\f(BN,CD)＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(1.75,x)＝eq\f(1.25,x－1.75)，解得x＝6.125≈6.1，∴路燈高CD約為6.1m18．(2013·廣東)如圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點(diǎn)C.(1)設(shè)Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3,則S1__＝__S2＋S3；(用“>”“<”或“＝”填空)(2)寫出圖中的三對(duì)相似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明．解：(2)△BCF∽△DBC∽△CDE；選△BCF∽△CDE，證明：在矩形ABCD中，∠BCD＝90°且點(diǎn)C在邊EF上，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90°，∴在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠CBF＝∠DCE，∴△BCF∽△CDE19．(2013·莆田)定義：如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2＝BC·AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D.(1)求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2)求出線段AD的長(zhǎng)．解：(1)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴eq\f(BD,AB)＝eq\f(CD,BC)，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(CD,AD)，∴AD2＝AC·CD，∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)(2)∵點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，∴AD＝eq\f(\r(5)－1,2)AC＝eq\f(\r(5)－1,2)20．(2013·泰安)如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)．(1)求證：AC2＝AB·AD；(2)求證：CE∥AD；(3)若AD＝4，AB＝6，求eq\f(AC,AF)的值．解：(1)由△ABC∽△ACD得AC2＝AB·AD(2)∵E點(diǎn)為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∴EC＝eq\f(1,2)AB＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，可得∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD(3)由CE∥AD得△ECF∽△DAF，∴eq\f(EC,AD)＝eq\f(CF,AF)，EC＝eq\f(1,2)AB＝3，∴eq\f(CF,AF)＝eq\f(3,4)，即eq\f(AC－AF,AF)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(AC,AF)＝eq\f(7,4)21．(2014·自貢)閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與A，B重合)，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．解決問題：(1)如圖①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；(2)如圖②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；(3)如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系．解：(1)∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠ADE＝135°，∠AED＋∠CEB＝135°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)(2)如圖，點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)(3)∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM.由折疊可知△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝eq\f(1,3)∠BCD＝30°，BE＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(1,2)AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE＝eq\f(BE,BC)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(2\r(3),3)挑戰(zhàn)技能22．(2013·東營(yíng))如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3，4及x，那么x的值(B)A．只有1個(gè)B．可以有2個(gè)C．可以有3個(gè)D．有無數(shù)個(gè)23．(2014·泰州)如圖，A，B，C，D依次為一條直線上4個(gè)點(diǎn)，BC＝2，△BCE為等邊三角形，⊙O過A，D，E三點(diǎn)，且∠AOD＝120°.設(shè)AB＝x，CD＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為__y＝eq\f(4,x)(x＞0)__．24．(2014·咸寧)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα＝eq\f(4,5).下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD＝6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或eq\f(25,2)；④0＜CE≤6.4.其中正確的是__①②③④__.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)25．(2014·玉林)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點(diǎn)P使CP＝BM，連接NP，BP.(1)求證：四邊形BMNP是平行四邊形；(2)線段MN與CD交于點(diǎn)Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，由SAS可證△ABM≌△BCP，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°，∴AM⊥BP，∵將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN，∴MN∥BP，∴BP＝MN，∴四邊形BMNP是平行四邊形(2)BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠CMQ，又∵∠ABM＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ，∴eq\f(AB,MC)＝eq\f(AM,MQ)，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴eq\f(AB,BM)＝eq\f(AM,MQ)，∴eq\f(AB,MC)＝eq\f(AB,BM)，∴BM＝MC26．(2014·黃石)AD是△ABC的中線，將BC邊所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，交邊AB于點(diǎn)M，交射線AC于點(diǎn)N，設(shè)AM＝xAB，AN＝y(tǒng)AC(x，y≠0)．(1)如圖①，當(dāng)△ABC為等邊三角形且α＝30°時(shí)證明：△AMN∽△DMA；(2)如圖②，證明：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2.解：(1)在△AMD中，∠MAD＝30°，∠ADM＝60°，∴∠AMD＝90°，在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝60°，∴△AMN∽△DMA(2)作CF∥AB交MN于點(diǎn)F，則△CFN∽△AMN，∴eq\f(NC,NA)＝eq\f(CF,AM)，又可證△CFD≌△BMD，∴BM＝CF，∴eq\f(AN－AC,AN)＝eq\f(BM,AM)＝eq\f(AB－AM,AM)，∴eq\f(yAC－AC,yAC)＝eq\f(AB－xAB,xAB)，∴x＋y＝2xy，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝227．(2014·武漢)如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm(1)若△BPQ與△ABC相似，求t的值；(2)連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．解：(1)①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，∵eq\f(BP,BA)＝eq\f(BQ,BC)，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴eq\f(5t,10)＝eq\f(8－4t,8)，∴t＝1；②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，∵eq\f(BP,BC)＝eq\f(BQ,BA)，∴eq\f(5t,8)＝eq\f(8－4t,10)，∴