高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第4知識(shí)塊第2講 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示隨堂訓(xùn)練 文 新人教A版

第2講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示一、選擇題1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c＝()A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a(chǎn)解析：設(shè)c＝λa＋μb，則(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝4，,λ＋μ＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝－1，))∴c＝3a－b.答案：B2．(·廣東)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b()A．平行于x軸B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸D．平行于第二、四象限的角平分線解析：a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y軸．答案：C3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向解析：依題知d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)．∵c∥d，∴1×1－(－1)·k＝0，∴k＝－1.又k＝－1時(shí)，c＝(－1,1)＝－d，∴c與d反向．答案：D4．(·山東淄博調(diào)研)①點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μ(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))；②點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.上述兩個(gè)點(diǎn)P中，是△ABC的重心的為()A．都不是 B．① C．② D．①②解析：①eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))說(shuō)明點(diǎn)P在BC邊上的中線所在的直線上，同理eq\o(BP,\s\up6(→))＝μ(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))說(shuō)明點(diǎn)P在AC邊上的中線所在的直線上，所以點(diǎn)P是△ABC的重心；②設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0可以得到x＝eq\f(x1＋x2＋x3,3)，y＝eq\f(y1＋y2＋y3,3)，所以點(diǎn)P是△ABC的重心．答案：D二、填空題5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，從而a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，那么2a＋3b答案：(－4，－8)6．(·遼寧)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知點(diǎn)A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：設(shè)D(x，y)，因?yàn)锳B∥DC，AD∥BC，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，而eq\o(AB,\s\up6(→))＝(8,8)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－8，y－6)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8(x－8)－8(y－6)＝0，,－2(x＋2)－2y＝0.))解之得x＝0，y＝－2，故D(0，－2)．答案：(0，－2)7．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是________．解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2－m，－7－m)，又點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形．所以點(diǎn)A、B、C不共線，即eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不共線．所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－eq\f(7,10)，故實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足m≠－eq\f(7,10).答案：m≠－eq\f(7,10)三、解答題8．向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線？解：解法一：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－k＝6λ，,－7＝λ(k－5).))解得k＝11或－2.解法二：接方法一，∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝11或－2.9．已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，問(wèn)：(1)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在第二、四象限角平分線上？點(diǎn)P在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x軸上，只需2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在第二、四象限角平分線上，則1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－eq\f(1,2)；若P在第二象限，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0,2＋3t>0))，－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－3t,3－3t)．若OABP為平行四邊形，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→)).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1,3－3t＝2))，無(wú)解．四邊形OABP不能成為平行四邊形．10．(·浙江金華調(diào)研)已知點(diǎn)A(1,0)、B(0,2)、C(－1，－2)，求以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：(1)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，若是?ABCD，則由eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))得(－1,2)=(－1-x，－2－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x=1,－2－y=2))∴x=0，y=－4.∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－4)(如圖中的D1)．(2)若是?ADBC，則由eq\o(→,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))得(x－1，y)＝(1,4)．解得x＝2，y＝4.∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)(如圖中的D2)．(3)若是?ABDC，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))得(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,0)(如圖中的D3)．綜上所述，以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．1．(·創(chuàng)新題)設(shè)a＝(sinx，eq\f(3,4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)cosx))，且a∥b，則銳角x為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(5,12)π解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(3,4)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)cosx))，且a∥b，∴eq\f(1,2)sinxcosx－eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝0，即eq\f(1,4)sin2x－eq\f(1,4)＝0，∴sin2x＝1.又∵x為銳角，∴2x＝eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,4).答案：B2.(★★★★)如右圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))=meq\o(AM,\s\up6(→))，AC=neq\o(AN,\s\up6(→))，則m+n的值為.解析：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))=a，eq\o(AC,\s\up6(→))=b，eq\o(MO,\s\up6(→))=eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(１,2)(a+b)－eq\f(１,m)a=(eq\f(１,2)－eq\f(１,m))a+eq\f(１,2)b，同理eq\o(NO,\s\up6(→))=eq\f(１,2)a+(eq\f(１,2)－eq\f(１,n)