蘇科版八年級數學上冊講練第3章勾股定理章末復習培優(yōu)卷(原卷版+解析)

第3章勾股定理章末復習培優(yōu)卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共28題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1．下列條件中，一定能判定是直角三角形的是（）A． B． C． D．2．下列各組數中，不是勾股數的是（）A． B． C． D．3．如圖，ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB=5，AD=3，則BC的長為（

）A．8 B．6 C．5 D．44．如圖，△DEF為等腰三角形，EF=ED，FH⊥ED，DH=2，FH=4，則EF=（

）A．5 B．6 C．5.5 D．4.55．我國三國時期數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為（

）A．8 B．9 C．10 D．116．如圖，△ABC中，，，O為內一點，且，，則的面積為（

）A．6 B．4 C．3 D．27．如圖，是的角平分線，，，P，D分別是和上的任意一點，連接，，，．給出下列結論：①；②；③的最小值是；④若平分，則的面積為12．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④8．如圖，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且則，的值為（

）A．192 B．291 C．225 D．2589．勾股定理是人類早期發(fā)現并證明的重要數學定理之一，是數形結合的重要紐帶．數學家歐幾里得利用下圖驗證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，連接BI，CD，過點C作CJ⊥DE于點J，交AB于點K．設正方形ACHI的面積為S1，正方形BCGF的面積為S2，矩形AKJD的面積為S3，矩形KJEB的面積為S4，下列結論中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則的值為（

）A．13 B．12 C．11 D．10二、填空題（8小題，每小題2分，共16分）11．在中，已知，是邊上的高，，，則__．12．如圖所示，△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分補角∠ACD．若交AC于M，CE＝8cm，CF＝6cm，則EM的長為__cm．13．如圖，小李將升旗的繩子拉到豎直旗桿的底端繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿5m處，此時繩子末端距離地面1m，則繩子的總長度為___________m.14．如圖：已知在中，，，分別以、為直徑作半圓，面積分別記為、，則的值等于__________（結果保留）．15．如圖，，，，是四根長度均為的火柴棒，點A，C，E共線．，若，則線段的長度是___________．16．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，對角線AC與BD相交于點E，點F，G分別是AC，BD的中點，當∠CBD＝15°，EG＝EC，FG2＝3時，則線段AC的長為________．17．如圖，中，，，，利用尺規(guī)在，上分別截取，．使，分別以D，E為圓心，以大于為長的半徑作弧，兩弧在內交于點F，作射線交邊于點G，點P為邊上的一動點，則的最小值為______．18．如圖，，，，和交于點，點，為邊上的兩點，且，連接，，則下列結論：①；②；③；④只有當時，，其中正確的有____．（填序號）三、解答題（10小題，共64分）19．如圖，在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，AD⊥BC，垂足為D，(1)求BC的長；(2)求AD的長．20．等腰三角形有“三線合一”的重要性質，勾股定理是古今中外著名的定理，試用這兩個定理或其中的一個定理解答：如圖，中，，，

(1)求的面積；(2)若D是的中點，于E，求出DE的長．21．如圖，一只螞蟻在圓柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A處發(fā)現在自己左上方距離頂端2厘米B處內壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周長為12厘米，高為8厘米，求螞蟻吃到蜂蜜的最短距離．22．若的三條邊長分別為a，b，c，滿足，試說明為直角三角形．23．如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長；(2)現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長度．24．如圖，小穎和她的同學蕩秋千，秋千AB在靜止位置時，下端離地面0.6m，當秋千蕩到AB的位置時（AB=AB/)，下端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的長．（秋千靜止時與地面垂直）25．如圖BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，過A點作AG⊥DE于G，延長GA交BC于F，(1)求證：F為BC中點；(2)若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面積．26．已知，在中，，，點是邊上的一點（不與點，重合），連接．(1)如圖1，將線段繞點逆時針方向旋轉得到線段，連接．求證：，；(2)如圖2，點，都在線段上，且．試猜想線段，，之間滿足的數量關系，并證明結論．27．在中，，，P為線段上一動點．(1)如圖1，點D、E分別在、上（點D不與點A重合），若P運動到的中點，且．①求證：．②若，，求的長．(2)如圖2，點F在上，且，過點F作，垂足為H，若，在點P運動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出的長度；若變化，請說明理由．28．我們定義：在一個圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長，我們稱這條直線為這個圖形的“等分積周線”．(1)如圖，在中，，且，請你在圖中用尺規(guī)作圖作出的一條“等分積周線”；(2)在圖中，過點能否畫出一條“等分積周線”？若能，說出確定的方法若不能，請說明理由．(3)如圖，四邊形中，，垂直平分，垂足為，交于點，已知，，求證：直線為四邊形的“等分積周線”；(4)如圖，在中，cm，cm，請你不過的頂點，畫出的一條“等分積周線”，并說明理由．第3章勾股定理章末復習培優(yōu)卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共28題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1．下列條件中，一定能判定是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角形的內角和和勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】A．當時，，此時，無法求解，故A不是直角三角形；B．當時，設，則，由勾股定理的逆定理可知B不是直角三角形；C．由勾股定理的逆定理可知C是直角三角形；D．當時，，故D不是直角三角形；故選C．【點睛】本題考查了三角形的內角和和勾股定理的逆定理，熟練掌握直角三角形各邊的關系及各角的關系是解題的關鍵．2．下列各組數中，不是勾股數的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】A、，不能構成直角三角形，符合題意；B、，能構成直角三角形，是整數，不符合題意；C、，能構成直角三角形，是整數，不符合題意；D、，能構成直角三角形，是正整數，不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股數的定義以及勾股定理的逆定理：已知的三邊滿足，則是直角三角形．3．如圖，ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB=5，AD=3，則BC的長為（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】根據等腰三角形的性質得到AD⊥BC，BD=CD，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴，∴BC=2BD=8，故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．4．如圖，△DEF為等腰三角形，EF=ED，FH⊥ED，DH=2，FH=4，則EF=（

）A．5 B．6 C．5.5 D．4.5【答案】A【分析】利用等腰三角形的性質結合題干數據表示出EH和EF的關系，再利用勾股定理可以解出EF的長．【詳解】解：∵△DEF為等腰三角形，∴EF=ED，∴EH=ED-DH=EF-DH=EF-2，∵FH⊥ED，∴在Rt△EFH中，，又∵FH=4，∴，解得EF=5．故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形和勾股定理，熟練掌握勾股定理和等腰三角形的相關知識是解題的關鍵．5．我國三國時期數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根據正方形面積公式，由面積的和差關系可得8個直角三角形的面積，進一步得到1個直角三角形的面積，再由面積的和差關系可得正方形EFGH的面積，進一步求出正方形EFGH的邊長．【詳解】解：一個直角三角形的面積：（14×14?2×2）÷8＝（196?4）÷8＝192÷8＝24，正方形EFGH的面積為：24×4＋2×2＝96＋4＝100，∴正方形EFGH的邊長為10．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，關鍵是熟練掌握正方形面積公式，以及面積的和差關系，難點是得到正方形EFGH的面積．6．如圖，△ABC中，，，O為內一點，且，，則的面積為（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】延長交于點D，先證出，然后求出，再利用勾股定理得，進而求出，即可求得的面積．【詳解】解：延長交于點D，過點O作于點M，作于點N，∵，AO為與公共的底∴與的高相等，即∵，∴是的角平分線∵∴為底邊上的高線，即∴在中，利用勾股定理得∴∴的面積：故選A．【點睛】本題考查了等腰三角形和勾股定理的性質，能發(fā)現三線合一是解答此題的關鍵．7．如圖，是的角平分線，，，P，D分別是和上的任意一點，連接，，，．給出下列結論：①；②；③的最小值是；④若平分，則的面積為12．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】①正確，根據線段的垂直平分線的性質證明即可；②正確，根據兩點之間線段最短判斷即可；③正確，當CD⊥AB時，PA＋PD的值最小，求出CD的值，即可判斷；④錯誤，△PAH的面積為9．【詳解】解：∵BA＝BC，BH是角平分線，∴BH⊥AC，AH＝CH，∴PA＝PC，故①正確，∴PA＋PD＝PD＋PC≥CD，故②正確，根據垂線段最短可知，當CD⊥AB時，C，P，D共線時，PA＋PD的值最小，最小值為CD，在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝AC＝6，，∵，∴CD＝＝，∴PA＋PD的最小值為，故③正確，如圖，過點P作PT⊥AB于T，在△PAT和△PAH中，，∴△PAT≌△PAH（AAS），∴AT＝AH＝6，PT＝PH，設PT＝PH＝x,在Rt△PTB中，則有，∴x＝3，∴，故④錯誤，故選：A．【點睛】本題考查軸對稱最短問題，等腰三角形的性質，勾股定理，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是證明BH垂直平分線段AC，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．8．如圖，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且則，的值為（

）A．192 B．291 C．225 D．258【答案】D【分析】延長CO交AB于點M，過點O作OE⊥AC于E，過點O作OF⊥BC于F，利用HL證明△COE≌△COF得∠OCE=∠OCF，從而得出M是AB中點，且CM⊥AB，再根據三角形面積公式以及勾股定理分別求出的長即可求解．【詳解】解：如圖，延長CO交AB于點M，過點O作OE⊥AC于E，過點O作OF⊥BC于F，∵，AC＝BC，∴OE＝OF，在Rt△COE和Rt△COF中，∴Rt△COE≌Rt△COF（HL），∴∠OCE＝∠OCF，又∵AC＝BC，∴AM＝BM＝9，MC⊥AB，∴＝＝，∴OM＝OC，在Rt△ACM中，AC＝15，AM＝9，∴，即CM＝12（負值舍去），∴OC＝8，OM＝4，

∴，∴，∴的值為258．故本題選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握勾股定理以及等腰三角形三線合一的性質是解題的關鍵．9．勾股定理是人類早期發(fā)現并證明的重要數學定理之一，是數形結合的重要紐帶．數學家歐幾里得利用下圖驗證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，連接BI，CD，過點C作CJ⊥DE于點J，交AB于點K．設正方形ACHI的面積為S1，正方形BCGF的面積為S2，矩形AKJD的面積為S3，矩形KJEB的面積為S4，下列結論中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】利用正方形的性質證明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判斷①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面積，即可判斷②，由勾股定理和S3+S4=S?ABED，即可判斷③，由③S1-S4=S3-S2，兩邊平方，根據勾股定理可得，然后計算，即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形ACHI和四邊形ABED為正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正確；∵S△ACD=S△AIB=×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，∴S1：S△ACD=2：1，故②正確；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正確；S1-S4=S3-S2，，∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK?KJ=AK?AB，S4=BK?KJ=BK?AB，，，∵AB2=AC2+BC2，，，即，，∴S1?S4=S2?S3，故④正確，故選D．【點睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練掌握證明三角形全等的條件，勾股定理的運用，完全平方公式的變形．10．如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則的值為（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】A【分析】首先根據SAS證明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根據三角形的面積公式求出AD，根據勾股定理求出BD即可．【詳解】解：由折疊得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，設DE邊上的高線長為h，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，在Rt△BDF中，，，∴，故選：A．【點睛】本題考查翻折變換、三角形的面積、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，運用三角形的面積求出AD的長度是解答本題的關鍵．二、填空題（8小題，每小題2分，共16分）11．在中，已知，是邊上的高，，，則__．【答案】【分析】根據勾股定理求出的長，再根據三角形的面積，即可求出的長．【詳解】∵是直角三角形∴∴∴∵∴∴．故答案為：．【點睛】本題考查三角形的知識，解題的關鍵是掌握勾股定理的運用，三角形的面積公式．12．如圖所示，△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分補角∠ACD．若交AC于M，CE＝8cm，CF＝6cm，則EM的長為__cm．【答案】5【分析】先根據角平分線的定義求出∠ECF=90°，根據勾股定理求出EF的長度，再根據平行線的性質和角平分線的定義可得∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，最后根據等角對等邊，即可得EM=CM=FM，即可求解．【詳解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分補角∠ACD，∴∠MCE=∠BCE=∠ACB，∠FCM=∠FCD=∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=(∠ACD+∠ACD)=90°，根據勾股定理可得：cm，∵，∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠FCD，∴∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，∴EM=CM=FM，∴EM=EF=5cm，故答案為：5．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質以及等腰三角三角形的判定，熟練掌握相關內容是解題的關鍵．13．如圖，小李將升旗的繩子拉到豎直旗桿的底端繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿5m處，此時繩子末端距離地面1m，則繩子的總長度為___________m.【答案】13【分析】設旗桿高為，則，過點E作，則四邊形是矩形，得到，，在直角三角形中，根據勾股定理計算即可．【詳解】如圖，設旗桿高為，則，過點E作，則四邊形是矩形，所以，，在直角三角形中，，解得，故繩子長為13m，故答案為：13．【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的判定和性質，熟練掌握矩形的判定，勾股定理是解題的關鍵．14．如圖：已知在中，，，分別以、為直徑作半圓，面積分別記為、，則的值等于__________（結果保留）．【答案】【分析】先由勾股定理可得：再利用，然后整體代入求解即可.【詳解】解：∵，，∴，∵，∴即：故答案為：【點睛】本題考查的是半圓的面積的計算，勾股定理的應用，掌握利用勾股定理是解題的關鍵.15．如圖，，，，是四根長度均為的火柴棒，點A，C，E共線．，若，則線段的長度是___________．【答案】##8厘米【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分別為G、H，利用AAS證明△BCG≌△CDH得到BG=CH，利用勾股定理及等腰三角形的性質求出BG=4，再根據等腰三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分別為G、H，∴∠BGC=∠DHC=90°，∴∠BCG+∠CBG=90°，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠BCG+∠DCH=90°，∴∠CBG=∠DCH，在△BCG和△CDH中，，∴△BCG≌△CDH（AAS），∴BG=CH，∵AB=BC，BG⊥AC，AC=6，∴CG=AC=3，∴BM=CN，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=，∴CH=4，∵CD=DE，DH⊥CE，∴CH=EH，∴CE=CH+EH=8，故答案為：8cm．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，勾股定理，正確作出輔助線，證得△BCM≌△CDN是解決問題的關鍵．16．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，對角線AC與BD相交于點E，點F，G分別是AC，BD的中點，當∠CBD＝15°，EG＝EC，FG2＝3時，則線段AC的長為________．【答案】6【分析】先連接AG，CG，根據直角三角形的中線性質得AG=CG=BG，再根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質得∠EGC，進而求出∠ECG，然后根據含30°角的直角三角形的性質求出，再根據勾股定理求出CF，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接AG，CG，∵△ABD與△BCD均是BD為斜邊的直角三角形，∴AG＝BD，CG＝BD，即AG＝CG=BG，∴△ACG為等腰三角形．∵∠CBD＝15°，CG＝BG，∴∠CGE＝2∠CBD＝30°．∵EC＝EG，∴∠ECG＝∠CGE＝30°．又∵F為AC的中點，∴GF為△ACG的中線，即AF＝CF，∴由“三線合一”知，即∠GFC＝90°，∴CG＝2FG．∵，∴，由勾股定理得：，即CF＝3，∴AC＝2FC＝6．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質和判定，勾股定理，三角形的外角性質等，作輔助線構造等腰三角形是解題的關鍵．17．如圖，中，，，，利用尺規(guī)在，上分別截取，．使，分別以D，E為圓心，以大于為長的半徑作弧，兩弧在內交于點F，作射線交邊于點G，點P為邊上的一動點，則的最小值為______．【答案】##【分析】根據基本作圖得到AG平分∠BAC，過G點作GH⊥AB于H，如圖，則根據角平分線的性質得到GH＝GC，利用勾股定理計算出AB＝5，再利用面積法求出GH，然后根據垂線段最短解決問題．【詳解】解：由作法得AG平分∠BAC，過G點作GH⊥AB于H，如圖，∵∠C=90°，即GC⊥AC，∴∠C=90°=∠AHG，∴GH＝GC，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴，∵，∴，∴GH＝GC，∴5GH+4GH＝12，∴，∵點P為邊AB上的一動點，當GP⊥AB時，G點到AB的距離最短，即GP最小，即為，∴GP的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了作圖—角平分線，角平分線的性質，勾股定理，垂線段最短等等，解題的關鍵在于能夠根據題意得到AG平分∠BAC．18．如圖，，，，和交于點，點，為邊上的兩點，且，連接，，則下列結論：①；②；③；④只有當時，，其中正確的有____．（填序號）【答案】①②④【分析】先由，得出，再利用證明，故①正確；由“”可證，得出，進而得出，由勾股定理得出②正確；利用特殊位置可判斷，故③錯誤；由“”可證，可得，故④正確，即可求解．【詳解】解：①，，，，在和中，，，故①正確；②由①知，，，，．，，．在與中，，，，在中，由勾股定理得：，，，，故②正確；當點是的中點時，即點與點重合，在中，，，，故③錯誤；當時，則，又，，，，故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形的三邊關系，勾股定理等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．三、解答題（10小題，共64分）19．如圖，在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，AD⊥BC，垂足為D，(1)求BC的長；(2)求AD的長．【答案】(1)5(2)【分析】（1）利用勾股定理列式計算即可得解；（2）利用的面積列式計算即可得解．（1）解：在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，∴BC=；（2）解：∵AD⊥BC，∠BAC=，AB=3，AC=4，BC=5，∴，即，∴．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，是基礎題，難點在于（2）利用同一個三角形的面積的兩種不同表示列出方程．20．等腰三角形有“三線合一”的重要性質，勾股定理是古今中外著名的定理，試用這兩個定理或其中的一個定理解答：如圖，中，，，

(1)求的面積；(2)若D是的中點，于E，求出DE的長．【答案】(1)的面積為12；(2)．【分析】（1）過A作于F，由勾股定理易求得此垂線的長，即可求出的面積；（2）連接，由于AD=BD，則、等底同高，它們的面積相等，由此可得到的面積；進而可根據的面積求出的長．（1）解：過A作于F，中，，，，則；中，；由勾股定理，得；∴；（2）解：連接，∵D是的中點，∴；∵，即．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質、勾股定理、三角形面積的求法等知識的綜合應用能力．21．如圖，一只螞蟻在圓柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A處發(fā)現在自己左上方距離頂端2厘米B處內壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周長為12厘米，高為8厘米，求螞蟻吃到蜂蜜的最短距離．【答案】螞蟻吃到蜂蜜的最短距離為10厘米．【分析】將圓柱體展開，作點B關于圓柱頂的對稱點，連接，與圓柱頂交于點D，然后根據勾股定理求解即可．【詳解】將圓柱體展開，作點B關于圓柱頂的對稱點，連接，與圓柱頂交于點D，根據題意可得，∵玻璃杯底面的周長為12厘米，高為8厘米，∴厘米，厘米，∵厘米，厘米，∴厘米，∵，∴厘米．∴螞蟻吃到蜂蜜的最短距離為10厘米．【點睛】此題考查了勾股定理的實際應用，解題的關鍵是根據題意正確畫出圖形，利用勾股定理求解．22．若的三條邊長分別為a，b，c，滿足，試說明為直角三角形．【答案】見解析【分析】將原式因式分解可得到，進而得出，再利用勾股定理的逆定理即可證明出是直角三角形．【詳解】證明：移項得：，變形得：，因式分解得：，，解得：．是的三條邊，且滿足，即，是直角三角形．【點睛】本題考查了配方法的應用、勾股定理的逆定理、非負數的性質，解決本題的關鍵是熟練運用勾股定理的逆定理作出證明．23．如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長；(2)現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長度．【答案】(1)475米(2)1000米，米【分析】（1）根據勾股定理列出方程，解方程即可；（2）如圖，作點A關于直線l的對稱點，連接，交直線l于點P．則AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值為B．（1）解：如圖1，此時AQ＝BQ．設CQ＝x，則DQ＝800﹣x，∴，解得x＝475，即CQ的長為475米；（2）解：如圖2，作點A關于直線l的對稱點，連接，交直線l于點P．則AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值為=1000米．∵，∴，∴，∴CP＝＝＝（米），即CP的長度為米．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，作圖﹣應用與設計作圖，坐標與圖形的性質，確定出Q、P的位置是本題的關鍵．24．如圖，小穎和她的同學蕩秋千，秋千AB在靜止位置時，下端離地面0.6m，當秋千蕩到AB的位置時（AB=AB/)，下端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的長．（秋千靜止時與地面垂直）【答案】4m【分析】設秋千AB的長為x，，可得，根據勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設秋千AB的長為x，離地面0.6m，當秋千蕩到AB的位置時距地面1.4m，，，根據勾股定理得：即，解得：，答：秋千AB的長為4m．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，根據勾股定理得出相應的方程是解本題的關鍵．25．如圖BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，過A點作AG⊥DE于G，延長GA交BC于F，(1)求證：F為BC中點；(2)若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面積．【答案】(1)見解析；(2)150．【分析】（1）證明△ADE≌△ABC（SAS），可得∠DEA＝∠BCA，再證明FC＝FA，然后根據直角三角形兩個銳角互余證明FB＝FA，進而可以解決問題；（2）由△ABC≌△ADE知：DE＝BC＝25，利用勾股定理可得AD＝20，進而可以解決問題．（1）證明：∵BE⊥CD，∴∠DAE＝∠DAB＝∠BAC＝∠CAE＝90°，在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DEA＝∠BCA，∵AG⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠AED＋∠ADE＝∠DAG＋∠ADE＝90°，∴∠AED＝∠DAG，∵∠DAG＝∠CAF，∴∠CAF＝∠FCA，∴FC＝FA，∵∠BAC＝90°，∴∠FAC＋∠BAF＝∠FCA＋∠FBA＝90°，∴∠BAF＝∠FBA，∴FB＝FA，∴FB＝FC，∴F是BC的中點；（2）解：∵F為BC的中點，∠BAC＝90°，∴AF＝BC，∴BC＝2AF＝25，由△ABC≌△ADE知：DE＝BC＝25，∵AE＝15，∠DAE＝90°，∴，∴＝×AD?AE＝×20×15＝150．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．26．已知，在中，，，點是邊上的一點（不與點，重合），連接．(1)如圖1，將線段繞點逆時針方向旋轉得到線段，連接．求證：，；(2)如圖2，點，都在線段上，且．試猜想線段，，之間滿足的數量關系，并證明結論．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據題意，結合，證明，根據全等三角形的性質，得出，，再根據直角三角形兩銳角互余，得出，再根據等量代換，得出，進而即可得出結論；（2）根據題意，結合，證明，根據全等三角形的性質，得出，再根據勾股定理，得出，再根據等量代換，即可得出結果．（1）證明：∵，將線段繞點逆時針方向旋轉得到線段，∴

，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵將線段繞點逆時針方向旋轉得到線段，，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，由勾股定理得，又∵，∴．【點睛】