高中數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽強(qiáng)基計劃講義數(shù)學(xué)競賽教案：第27講-三角法與向量法解平面幾何題

第八講三角法與向量法解平面幾何題

相關(guān)知識

a+b+c

在AA8C中,R為外接圓半徑，「為內(nèi)切圓半徑,p=--—，則

1,正弦定理:‘一=上一=」一=2H,

sinAsinBsinC

2,余弦定理:a*2*513=h2+c2-2/?ccosA,h2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abeosC.

3,射影定理:a=Z?cosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=6zcosB+Z?cosA.

4,面積:S=—ah=—abs\nC==rp=2R2sinAsinBsinC

20n24R

=r7?(sinA+sinj5+sinC)=y]p(p-a)(p-b)(p-c)

=；(/cotA+/?2coiB+c2cotC).

力類例題

例1.在/ABC中，已知b=asinC,c=as/n(90°-B),試判斷/ABC的形狀。

分析條件中有邊、角關(guān)系，應(yīng)利用正、余弦定理，把條件統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊或者是角的關(guān)系，從

而判定三角形的形狀。

2+<72

4./0C0a2+C2-b?

解，由條件c=asm(90-B)=acosB=a---------------=----------------

2ac2c

=><22+c2-b2=2c2no?=。2+力2nA是直角

a

c.「

sinAsinC>=>a=------=>c=asinC.

sinC

A是直角=>sin4=l，

?：b=asinC=>b=c=>/ABC是等腰宜角三角形。

53

例2.(1)在△/48。中，已知cos1=—，sinB=-,則cosC的值為()

135

A瑞56c16T56c16

Bo.—C.―或一D.-----

65656565

123

解'：C=n-(A+B),：.cosC=-cos(A+8),XVAe(0,n),：.sinA=—,ffi]sinB=-

4

顯然5/九4>5/加3,，A>8,；人為銳角，,8必為銳角，；.cosB=-

cosC=-cos(A+B)=sin.AsinB-cosAcosB=—x—--x—=—

13513565

說明ZXABC中,s譏4>sinBOA>B.根據(jù)這一充要條件可判定B必為銳角。

(2)在斤gABC中，C=90°,A=。，外接圓半徑為G,內(nèi)切圓半徑為r,

當(dāng)0為時，片的值最小。

r

a+bC

解答由題意，R=-,r=~.(其中a、b、c為放△ABC的三條邊長，c為斜邊長)

22

.￡=(=]=]

：「a+b-csinO+cos"1&sin(6+巧-J

4

sin(a+—)W1,-2---\[2+1.

4ry/2-1

.當(dāng)且僅當(dāng)0=工時，.的最小值為祀+1。

4r

例3在△ABC中，tanA-tan'=求證：從人c成等差數(shù)列。

tanA+tanBc

分析由于條件等式是關(guān)于三角形的邊、角關(guān)系，而要證的結(jié)論只有角的關(guān)系，故應(yīng)運(yùn)用正弦

定理將邊轉(zhuǎn)化為角。而B、A、C成等差數(shù)列的充要條件是A=60°,故應(yīng)證A=60°。

3ksin(A-B)sinC-sinB..,,、八

證明由條件得----------=------------..sin(A+8)=sinC,

sin(A+B)sinC

sin(A-8)=sinC-sinBf*.sinB=sin(4+8)—sin(A—B)=2cosAsinB,

Vs/nB^O,.,.cos/4=-,4=60°.B,A、C成等差數(shù)列。

2

例4AABC中，三個內(nèi)角4B、C的對邊分別為a、b、c,若a?+c?

且a:c=(G+l):2,求角C的大小。

22?2i

解由/+/=〃+ac可得a+短——=-=cosB,故8=60,A+C=\20°.

2ac2

r+，十什士m七sinAaV3+1..6+1."

由正弦定理有：-----=—=------,sinA=------sinC,

sinCc22

又sinA=sin(1200-C)=cosC+—sinC,于是cosC+—sinC=----sinC,

22222

...sinC=cosC,tanC=^，.二C=45°。

+

/4+C=120°,sinA=*sinC,要求C需消去Ao

2

說明解本題時首先要運(yùn)用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，從而得關(guān)于4、。的兩個方

程

鏈接

1.利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：

(1)己知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；

(2)己知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其它的邊和角)。己知兩

邊和其中一邊的對角解三角形，有一解或兩解。

2.利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：

(1)己知三邊，求三個角；

(2)己知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個角。

3.解斜三角形：要明確三角形的六個元素(三條邊、三個內(nèi)角)中己知什么，求什么。再運(yùn)用

三角形內(nèi)角和定理、正弦定理與余弦定理解題。

4.研究三角形的邊角關(guān)系和判斷三角形的形狀：運(yùn)用三角形內(nèi)角和、正弦定理與余弦定理及

三角變換公式，靈活進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換。

三角形中的邊角關(guān)系式和三角形形狀的判斷證明，都可歸入條件恒等式證明一類，常用到互

補(bǔ)、互余角的三角函數(shù)關(guān)系。

情景再現(xiàn)

1△ABC的三個內(nèi)角4、B、C的對邊分別是b、c,如果霹多(6+c),求證：A=2B.

3

2.AABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知a、b、c成等比數(shù)列，且COSB=；；

4

(1)求cotA+cotC'的值

--------3

(2)設(shè)=求Q+c的值

0sinA

3已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，尸cotA+-------竺上------.

cosA+cos(8-0

(1)若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.(2)求y的最小值.

B類例題

例5如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形

空地，AABC外的地方種草，AABC的內(nèi)接正方形PQRS

為一水池，其余的地方種花.若BC=a,NABC=6,設(shè)4

ABC的面積為Si,正方形的面積為S2.

(1)用a,。表示Si和S2；

(2)當(dāng)a固定，。變化時,求一取最小值時的角6。

S2

解（1）:AC=asinaAB=acos6S,=—a2sin^cos0=—a2sin20

24

設(shè)正方形邊長為x,piijBQ-xcot0,RC-xlandxco\.0+x+x\.ar\O-a

。sin。cos夕a2sin20

x=----------------------=--------------------=---------------

cotO+tanO+ll+sinOcos。2+sin2。

_(asin20Y_a2sin220

212+sin2，,4+sin226+4sin2。

qI(4

(2)當(dāng)4固定，。變化時，」=-.....+sin29+4

S241sin26

令sin2。=E,則3-=U/+11+4rrI

?.?0<6<],.?.0<.41.如(。=/+；,用導(dǎo)數(shù)知

S2t

Iq乃

識可以證明：函數(shù)/(7)=1+-在(0,1］是減函數(shù)，于是當(dāng)r=l時，」取最小值，此時e=—。

tS-y4

說明三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)

化為三角的符號語言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)/(/)=/+;。三角函數(shù)的應(yīng)用性問題是

歷年高考命題的一個冷點(diǎn)，但在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的關(guān)注。

例6如圖，A、B是一矩OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且/AOB=45

設(shè)NAOE=a.

(1)寫出aAOB的面積關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式f(a)；

(2)寫出函數(shù)f(x)的取值范圍。

解：⑴VOE=1,EF=V3

/?ZEOF=60°

當(dāng)aG［0,15°］時，AAOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上，

且AE=tana,BE=tan(45°+a)

.*.f(a)=SAAOB=；[tan(45°+a)—tana]

sin45°V2

2cosa-cos(450+a)2cos(2a+45。)+收

iJ3

當(dāng)2￡(15°,45°]時，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，且0A=--------，0B=———..........

cosacos(4-5°-a)

/(a)=S△AOB=-OA-OB-sin45°=—!—?—————?sin45°

22cosacos(45°-a)

V6

2cos(4—2a)+V2

V2

2cos(2a+—)+-\f^2

綜上得：f(Q)=<

n

2cos(2a-^)+V20嗚中

TT

(2)由(1)得：當(dāng)aG[0,不]時

f(a)=---------------e[y>V3—1]

2cos(2a+；)+&2

且當(dāng)a=o時，f(a)min=；;。=五時，f(a)max=V3—1;

當(dāng)aG華中時，一《W2a—產(chǎn)f(a)e[V6—V3

且當(dāng)Q=—時，f(a)min=V6—V3;當(dāng)。=一時,

84

所以f(x)

說明三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識有著緊密的關(guān)系，它幾乎滲透了數(shù)學(xué)的每一個分支。注意三角

函數(shù)的綜合應(yīng)用。

例7海中相距2海里的A、B兩島,分別到海岸線I(直線)的距離AC=&的海里和BD=2

海里，現(xiàn)要在海岸線上建立一個觀測站P,使/APB最大，求點(diǎn)P的位置，且求/APB的最大

值。

解如圖，過P作/的垂線PQ交AB于0,vACIKB￡)JJ,，AC||PQ||QB,設(shè)

ZAPQ=a,Z.BPQ-/3,：.ZAPB=a+/3,且NCAP=a,NZ)BP=/7,在直角梯形ABDC

中，AC=72,BD=2>/2,AB=2,.\CD=72(過A作A4'_LBZ)于A；，BA'=6)

在HKAAA'B中求出A4'=上，設(shè)CP=/(0</4加)

ta桓-t

tancif=-y=,tanp=——-j=-

\j22,2

加2t+5/2—tITt+也

."+/?)=tan"tanj=,2?--f=--->0

2

1-tana?tan04—(V2z—?)t-\l2t+4

71

：.ct+/3e(0,-),.?.tan?+￡)有最大值時，a+夕也有最大值。

令y=—>o,.\yt*2-(V2>>+l)/+4>'-V2=0

r-V2r+4

?.?y>O,fw[o,也]

/.A>0,.\(&)；+1)2-4y(4y—&)Z0,g|J14y2-6&y—140

哼又.r〉。,，。""

V2\f2y+lA/21/rr仄1

???^=yW,t=-^—=—+~!==^e^]

.,.當(dāng)f=及時，y有最大值，即tan(a+Q)有最大值，其值為1,

.,.4PB=a+4的最大值為z，A----——A，

點(diǎn)P在點(diǎn)D時，NAPB最大,最大值為7。CPDL

例8某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點(diǎn)到市中心。點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向08,現(xiàn)要修建一

條鐵路L,A在0A上設(shè)一站A,在08上設(shè)一站2,鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心

。與AB的距離為10km,問把A、8分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|48|最短?并求其

最短距離.（不要求作近似計算）

解：在△AOB中，設(shè)04=q,OB=b.

因為A0為正西方向，08為東北方向，所以NAO8=135°.

貝iJHBF=a2+62_2"cosl35°^a2+b2+41ab^2ab+41ab=(2+72)ab,當(dāng)且僅當(dāng)o=b時,

10

“=”成立.又0到AB的距離為10,設(shè)N0A8=a,貝I]NOBA=45°a.所以a-----

sina

10

h=

sin(45°-a)

10

sinasin(45°-a)

100

sinsin(45°—2)

100

sma(cosa-sina)

22

100

——sin2a------(1-cos勿)

44

2sin（勿+45。）-V2-2-V2，

當(dāng)且僅當(dāng)。=22°30'時，"=”成立.

所以■昨=4。。（?！?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)用力，a=22°30'時，"=”成立.

所以當(dāng)a=b=—^—=10亞（2+揚(yáng)時,|AB|最短，其最短距離為20（后+1）,即當(dāng)AB

sin22030,

分別在。4、OB上離。點(diǎn)1012（2+收）km處，能使以8|最短，最短距離為20（梃一1）.

鏈接

.1.一方面要體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會解三角形是重要的測量手

段，通過數(shù)值計算進(jìn)一步提高技能技巧和解決實際問題的能力.

2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.

3.根據(jù)實際情景，選擇適當(dāng)?shù)淖兞浚⒛繕?biāo)函數(shù)，通過函數(shù)方法達(dá)到.問題的解決。

脩看壽龍

4如圖，三棱錐尸/BC的底面ABC為等腰三角形，AB=AC=a,側(cè)棱長均為2a,問8C

為何值時，三棱錐RA8C的體積V最大，最大值是多少？

5如圖，一科學(xué)考察船從港口0出發(fā)，沿北偏東。角的射線0Z方向航行，其中tana=L

3

在距離港口。為(a為正常數(shù))海里北偏東B角的A處有一個供給科學(xué)考察船物資的

2

小島，其中cos|3=1=。現(xiàn)指揮部緊急征調(diào)沿海岸線港口。正東方向m海里的B處的補(bǔ)給

船，速往小島A裝運(yùn)物資供給科學(xué)考察船，該船沿BA方向不變?nèi)僮汾s科學(xué)考察船，并在C

處相遇。經(jīng)測算，當(dāng)兩船運(yùn)行的航線0Z與海岸線0B圍成的三角形OBC面積S最小時，補(bǔ)

給最合適。

(1)求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S(m)；

(2)當(dāng)m為何值時，補(bǔ)給最合適？

C類例題

API

例9.若△48C的外接圓的直徑4E交8C于。，則tan8?tanC=C^.

DE

證如圖，作4WLECENLBC,

AMAD

于是有2c①

S^EBC~EN~~DE

1AC.ABsinA

另一方面,2

-BE.ECsin/BEC

2

ArAR

注意至Ijsin4=sin/8EC—=tanZ/4EC=tanB,—=XanZAEB=ianC.

ECBE

S

因此we.=tan8?tanC.②

S&EBC

An

由①、②得tanB*tanC=——.

DE

例10在2BC。的每個邊上取一點(diǎn)，若以所取的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于平行四邊

形面積的一半，則該四邊形至少有一條對角線平行于平行四邊形的邊.

AKB

證如圖，設(shè)N0A8=a,AD=a,AB=b.由面積公式得S,、AKN=

-AK-ANsina,S^BLK=-BL-Cb-AK).sina,S^CLM=-(a—BL)Cb-MD)?sina,S

ADMN=—(a—AN)?MOsina,SuABca=abs'ma.

2

于是SLMNK=SaABCD—(S△AKN+SABLK+SACLM+SADMN)=-abs'ma?[1—

2

(AN-BL)(AK-MD)

ah

故AN=BL,或AK=/WD,也就是說ZJV〃八8或KM〃AD.

例11在銳角三角形ABC的8c邊上有兩點(diǎn)E、F,滿足/B4E=/CA尸，作FM1AB,FN

1AC（M,N是垂足），延長AE交三角形ABC的外接圓于。點(diǎn).

證明：四邊形4WDN與△ABC面積相等.

證連結(jié)MN、BD,因為FN±AC,所以4M、F、N四點(diǎn)共

圓.所以/AMN=NAFN,ZAMN+ZBAE=ZAFN+ZCAF=90°,即MNLAD,SAMDN

=-AD*MN.

AFAC

又因為/CAF=/BAD,/ACF=/ADB,所以△力/Qs△力劭，所以工=二，AF?AD=AB?AC而

ABAD

AF*sm/BAC=MN,AF=———,所以S△腋=1力外力csinN胡。=!"?4feinN為。=

sinZ.BAC22

—AD*MN=SAVDH*

2

例12如圖，在四邊形ABC。中，對角線4c平分NBA。，在C。上取一點(diǎn)EBE與4c相

交于尸，延長。尸交于G.求證：ZGAC=ZEAC.

A

CGBHDE,卬

證連結(jié)8。交4c于H,對△8C。用塞瓦定理有:-----??=1.因

GBHDEC

為知是/射。的角平分線'由角平分線定理有：器=器.故晟?嗡等=1

設(shè)/班C=NDAC="(ae(吟)，設(shè)NGAC=N1,ZEAC=A2,由張角公式有:

CG_ACsinZlDE_ADsin(a-Z2)手月ACsinNlABAOsin(a-N2)

GB-ABsin(a-Nl)'~EC~~ACsinN2-'7GG8sin(a-N2),茄.—ACsinN2

即sin/1?sin(a—N2)=sin/2?sin(a—N1),所以sin/1?sinacosN2—sinN1?cos。

sinZ2=sinZ2*sin4cosN1—sin/2?cososinNI.所以sinZ1*cosZ2=cosZ1*sinZ2,艮|J

sin(Z1-Z2)=0,而N1,Z2e0,y,所以N1—/2=0,即NGAC=/EAC.

情景再現(xiàn)

6已知在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，BC=CD.求證：AC2=AB-AD+BC2.

7在AABC中，若D是BC上一點(diǎn)，且BD=p,DC=q,AB=c,AC=b,則

.b""2p+c2'q

AD=---------pq

p+q

圖6

第八講作業(yè)

1.在△ABC中，acos8=6cos4是△48C為等腰三角形的()

A.必要但不充分條件B.充分但不必要條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

2.設(shè)A是△ABC中的最小角，那么函數(shù)cosA的值域為()

ri/Vs-15/3—1「>/3—1,

A.[—。2,v2]B.(-1,---------)C.(—1,---------)D.[-1,----------]

222

3.448C中，AB=AC,AB邊上的高為Ji,AB邊上的高與8c的夾角為60°,則/MBC

的面積是()

AV3B.2V3C.2D.3V3

8.船以32海里/時的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船北偏東30°,半小時后航行到8

處，在B處看燈塔S在船的北偏東75°,則燈塔S與8點(diǎn)的距離為海里(精確到0.1

海里)。

4.根據(jù)下列條件，判斷△力寬的形狀

(1)acosA=bcosB

(2)sin-A+sin2^=sin2C,且c=2acos/i

5.在中，若才=6(6+c),則｛與6有何關(guān)系？

.A,?a-+b--c-_tan5

6.在中，求證———5——7

a-b+ctanC

7.在中，已知2sinY=3sin28+3sin2c

①證明cos24+3cos4+3cos(B-G—1②求：a',b'.a

8.已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=28,且—L-+—!—=_H-

cosAcosCcosB

求cos4二C的值.

2

9.4ABC中，ZA,NB,NC所對的邊分別為a,b,c,若a,b,c順序成等差數(shù)列，且N

A-zC=120°,求sinA,sinC.

10.已知。。的半徑為凡，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有

2/?(sin2A-sin2C)=(fia-Z?)sinB

成立，求△ABC面積S的最大值.

11在中，a,b,c分別是的對邊長，已知a,b,c成等比數(shù)列，且

,求的大小及的值。

12.

如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一、

點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角〃的正弦成正比，角「

和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即/=2?c半inZQ，其中k是一個h

廠

和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度〃，才能使桌子邊R

緣處最亮？

13在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取。、E兩點(diǎn),使沿線段OE折疊三角形時，頂點(diǎn)A

正好落在邊8c上，在這種情況下，若要使AZ)最小，求AO：A8的值

14如圖，海島。上有一座海拔1000米高的山，山頂上設(shè)有一個觀察站A.上午11時測得一

輪船在島北偏東60°的C處，俯角為30°,11時10分又測得該船在島的北偏西60°的8處，

俯角為60°。

(1)該船的速度為每小時多少千米？

(2)若此船以不變的航速繼續(xù)前進(jìn)，則它何時到達(dá)島的正西方向？此時所在點(diǎn)E離開島

多少千米？

31

15已知銳角三角形ABC中，sin(A+B)=—,sin(A—5)=—.

(I)求證：tanA=2tanB；

(II)設(shè)AB=3,求AB邊上的高.

16

3.如圖，0、/分別為AAB球外心和內(nèi)心，AD是BC邊上的高，/在線段0。上，求證：\ABC

的外接圓半徑等于3c邊上的旁切圓半徑；

(注：AABCfi勺8c邊上的旁切圓是與邊48、4c的延長線以及邊相切的圓)

情景再現(xiàn)答

1.證明：用正弦定理，〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,4^Aa2=b(Z?+c)中，得sin2A=sinB

(sinB+sinC)=>sin2A—sin2B=sinBsinC

1-cos2A1-cos2B.一，，八、

=------------------=sinBsin(A+B)

22

n-(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)

2

=>sin(A+B)sin(A—B)=sinBsin(A+B),

因為4、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin(A+8)#0.所以sin(A-B)=sinB所以只能

有A一即A=2B.

2(1)由cosB=-,得sin8=Jl-cos?8=——

44

由〃2=ac及正弦定理得sin?8=sinAsinC

八cosAcosCsinCeosA+cosCsinA

于cotA+cosC=------+-------=-----------------------------

sinAsinCsinAsinC

sin(A+C)_1_4yy

sinAsinCsin87

---------333

(2)由848。=不得以1858=二，由cosB=：,...以/=2即/=2

224

由余弦定理

sinAsinBsinCARc

4/?sin-2sin-sin—=R

.8+J.B.C222

sin-2sin—sin-

222

.?.即AABGJ外接圓半徑等于ec邊上旁切圓的半徑

b2=a2+c2-2accosB

cr+c~=5,，〃+c=3

2sinh-(8+C)]

解:(1)'?j=cot4+

cos^c-(^+C)]+cos(B-C)

2sin(3+C)

=cotA+

-cos(34-0+cos(B-C)

,sinBcosC4-cosBsinC

=cotA+-------------------------------

sinBsinC

=cotA+cotB4-cotC,

???任意交換兩個角的位置，y的值不變化.

(2)Vcos(B-C)Wl,

。.41—tan一

A^cot42s，nA=-----------2.CA1

++2tan—=—(cot—+3tan—)2-/3tan—cot—=舊.

1+cosA2tan42222V22

2

故當(dāng)A=B=C=y時,ymin=6.

評述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型題，y的表達(dá)式的表面不對稱性顯示了問題的

有趣之處.第（2）問實際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cot8+colC2Q.

4分析：因為三棱錐的三條側(cè)棱長均相等，因此頂點(diǎn)P在底面上的射影。是△ABC的外心,

從而想到用正弦定理，再利用三角函數(shù)來求最值.

解：作尸底面ABC,垂足為。.

由84=P8=QC=2a,知。為△4BC的外心.

AB=AC=a>

：.。落在底面ABC的高A。上.

設(shè)/ABC=6,連結(jié)8。，

則8。為△4BC外接圓的半徑.

記8O=R由正弦定理，有氏=——

2sin0

PO=YIPB2-BO2=-qJ16sm?一[

2Vsin2^

*.*BD=acos0,AD=asin

1)

=—BC?AD=a~sin^cos^.

12116sin2g-l

V=—asinOcos。一a

2Vsin20

=—a3yj(16sin2^-1)(1-sin2

6

2225

+~64

6

.?.當(dāng)sin?e=2Z時，匕=_1/

32max16

止匕時，BC-2BD=2acos0-2a-\/l-sin20-a

4

5解：(1)以。為原點(diǎn)，正北方向為軸建立直角坐標(biāo)系。

直線0Z的方程為y=3x,①

設(shè)A(xo，yO),貝ijx0=3sjn0=9a,yo=3>Jl3acos3

=6a,A(9a,6a)。

又B(m,0),則直線AB的方程為y=—(x-m)②

9a-m

,口?2am6am、

由①、②解得，C(----------,----------),

m-lam-la

13am2

/.S(m)=SAOBc=—|OB||y|=----------,

2cin—la

49a2

(2)S(m)=3a[(m-7a)+----------+14〃]284a2。

m-7a

49a2

當(dāng)且僅當(dāng)m-7a=----------,即m=14a>7a時，等號成立，

m-la

故當(dāng)m=14a為海里時，補(bǔ)給最合適。

6證設(shè)四邊形48C。的外接圓半徑為R兩條對角線的夾角為。，由面積公式得

S，ABD=-AB*AD*s\r\ZBAD.

2

SABCD=—BC，CD?sinN.BCD.

2

以上兩式相加，并注意到BC=C。，sinZBAD=sinZBCD.

可得SA88=1(AB30+BC2)sin/BCD.①

2

另一方面SABCD=-4C?8￡>sin0=-ACsin0?2RsinNBCD.

22

注意至I」0=ZABD+ZBAC=ZABD+ZBDC=ZABD+ZDBC=AABC,

2Nsin0=2Rs\nZABC=AC

于是得SABCD=-^C2?sinZBCD.②

2

由①、②得AC2=AB>AD+BC2.

7證明簡介：

在AABD和△ABC中，由余弦定理，得

99

AD2=c+p-2cpcosB

2

(p+q)+cz-bz

cosB=

2(p+q)c

第八講答案

1.B2.C3.A4.11.3

，&力/八,?,，八.。cosB.2/?sinAcosB

4.解：(X)?acosA=bcosB=--------..------------=---------,

bcosA27?sinBcosA

BPsin/cos4=sinaos5

TT

.,.sin2J=sin22?...2/=26或2/="-28."=8或/+6=一

2

/.XABC是等腰三角形或直角三角形.

(2)VsinJ/J+sin'Z7=sin';C,

A(―)2+(—)2=(￡-，.?.才+犬=1

2R2R2R

故回是直角三角形，且。=90°,

:?cosB=L代入c=2dcosE得cos6=-----.'.5=45°,4=45°

c2

綜上，△力比是等腰直角三角形.

5.解：由正弦定理得sin"/=sinO(sin8+sinC)

sin27l-sinB=sinB9sinG

(sin/+sin5)(sinJ-sin2?)=sin應(yīng)inG

sinCA+B)sin(力一E)=sin6?sinC

Vsin(4+6)=sinC,,Asin(A—B)=sin氏

:?A-B=B,A=2B,或4-8=%一水舍去)

故/與B的關(guān)系是A=2R

6.證明：由余弦定理，知

才+42￡AosC,a2—b'+ci=2cacosB,

.a1+b2-c2_2abeosC_ftcosC_sinBcosC_tan3

a2-/?2+c22cacosBccosBsinCeosBtanC

7.解：由①得2a2=34+31③

Vcos/4=-cos(B+O

由②得3cos(B—G—3cos(Z?+O=1—cos24=2sin"力=3sin‘8+3sin'C

cos(B—G—cos(6+C)=sin25+sin2C

2sinBsinC=sin2B+sinC

即(sinB—sinC)2=0,sin5=sinf,

：.2/fsinB=2/fsinC,；"=c代入③得a=百A

：.a：b：c=6b：b：b=4^>：1：1.

8.解法一：由題設(shè)條件知8=60°,4+C=120°,

設(shè)a=4---,則A—C=2a,可得A=60°+",C=60°—a,

2

1111

cosAcosCcos(60°+a)cos(60°-a)

I1cosacostz

%osa-3sinJ%sa+也sinalcos2?--sin2acos^-r

2222444

依題設(shè)條件有C°Sa

23cosB

cosa——

4

cosa

,/cosB=—,=-272.

2cos2a-3

4

整理得4y/2cos2a+2cosa—3V2=0(M)

(2cos—V2)(2V2coso+3)=0,2V2cosa+3WO,

2cos0—V2=0.從而得cos—~~—=

22

解法二：由題設(shè)條件知8=60°,A+C=120°

?/—叵=-2叵,+」—=-272①,

cos60°cosAcosC

把①式化為cosA+cosC=_2V2cosAcosC②，

利用和差化積及積化和差公式，②式可化為

A+「A—Cr~

2cos---cos---=-V2[cos0+C)+cos^4-C)]③,

將cos"+°=cos6(T=—,cos(A+Q=——代入③式得；

222

cos——-V2cos(A-C)④

22

將cos(v4—Q=2cos2(-----)—1代入④：

2

4V2cos2()+2cos上^-3后=0,(*),(2cos上工-2衣(2五cos生<+3)=0,

2222

?/2A/2COS———+3=0,/.2cos-^―=0,

2