2019-2020學(xué)年新人教A 版 必 修二6.1.1向量的實(shí)際背景與概念教案

2019-2020學(xué)年新人教A版必修二6.1.1向量的實(shí)際背景與概念

教案

本章教材分析

1.豐富多彩的背景,引人入勝的內(nèi)容.教材首先從力、位移等量講清向量的實(shí)際背景以及研究

向量的必要性,接著介紹了平面向量的有關(guān)知識(shí).學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景,理解平面

向量及其運(yùn)算的意義,能用向量語(yǔ)言與方法表述和解決數(shù)學(xué)、物理中的一些問(wèn)題,發(fā)展運(yùn)算能

力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),從學(xué)

生熟知的功的概念出發(fā)，引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義,接著介紹了向量數(shù)量

積的性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.向量數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來(lái),這樣為解決

有關(guān)的幾何問(wèn)題提供了方便,特別能有效地解決線段的垂直問(wèn)題.最后介紹了平面向量的應(yīng)

用.

2.教學(xué)的最佳契機(jī),全新的思維視角.

向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的.

反過(guò)來(lái)，向量的理論和方法,又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)

鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過(guò)向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通

過(guò)向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問(wèn)題.這一章的內(nèi)容雖然概念多，但

大都有其物理上的來(lái)源,雖然抽象,卻與圖形有著密切的聯(lián)系，向量應(yīng)用的優(yōu)越性也是非常明

顯的.全新的思維視角，恰當(dāng)?shù)慕膛c學(xué)，使得向量不僅生動(dòng)有趣,而且是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與

能力的極佳契機(jī).

3.本章充分體現(xiàn)出新教材特點(diǎn).

以學(xué)生己有的物理知識(shí)和幾何內(nèi)容為背景,直觀介紹向量的內(nèi)容,注重向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算

的對(duì)比，特別注意知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.對(duì)概念、法則、公式、定理等的處理主要通過(guò)觀察、比較、

分析、綜合、抽象、概括得出結(jié)論.這一章中的一些例題，教科書(shū)不是先給出解法，而是先進(jìn)

行分析,探索出解題思路,再給出解法.解題后有的還總結(jié)出解決該題時(shí)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和數(shù)

學(xué)方法，有的還讓學(xué)生進(jìn)一步考慮相關(guān)的問(wèn)題.對(duì)知識(shí)的處理,都盡量設(shè)計(jì)成讓學(xué)生自己觀

察、比較、猜想、分析、歸納、類(lèi)比、想象、抽象、概括的形式,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

向量的坐標(biāo)實(shí)際上是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來(lái),進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來(lái),這樣就可用代數(shù)方

程研究幾何問(wèn)題，同時(shí)也可以用幾何的觀點(diǎn)處理某些代數(shù)問(wèn)題.

4.本章教學(xué)約需12課時(shí),具體分配如下,僅供參考.

標(biāo)題課時(shí)

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念1課時(shí)

2.2向量的線性運(yùn)算3課時(shí)

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2課時(shí)

2.4平面向量的數(shù)量積2課時(shí)

2.5平面向量的應(yīng)用舉例2課時(shí)

本章復(fù)習(xí)2課時(shí)

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)是本章的入門(mén)課,概念較多,但難度不大.學(xué)生可根據(jù)原有的位移、力等物理概念來(lái)

學(xué)習(xí)向量的概念,結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由于向量來(lái)源于

物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用，可通過(guò)幾個(gè)

具體的例子說(shuō)明它的應(yīng)用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對(duì)象.幾何中常

用點(diǎn)表示位置，研究如何由一點(diǎn)的位置確定另外一點(diǎn)的位置.位移簡(jiǎn)明地表示了點(diǎn)的位置之

間的相對(duì)關(guān)系，它是向量的重要的物理模型.力是常見(jiàn)的物理量.重力、浮力、彈力等都是既

有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學(xué)生舉出物理學(xué)中力的其他一些實(shí)例，目的是要

建立物理課中學(xué)過(guò)的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系，以此更加自然地引入向量概

念,并建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ).

三維目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)例，利用平面向量的實(shí)際背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以

及確定平面向量的兩個(gè)要素,搞清數(shù)量與向量的區(qū)別.

2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判斷向量之間的關(guān)系，并會(huì)辨

認(rèn)圖形中的相等向量或作出與某一已知向量相等的向量.

3.在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)充分根據(jù)平面向量的兩個(gè)要素加以研究向量的關(guān)系，揭示向量可以平移

這一特性.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會(huì)表示向量.

教學(xué)難點(diǎn):平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路L（情境導(dǎo)入）如圖1,在同一時(shí)亥4老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓?jiān)贐處向正

東方向的D處追去，貓能否追到老鼠呢？學(xué)生馬上得出結(jié)論:追不上，貓的速度再快也沒(méi)用，

因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.教師適時(shí)設(shè)問(wèn)：如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)揭示這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)？由此展開(kāi)新課.

C

BAD

圖1

思路2.兩列火車(chē)先后從同一站臺(tái)沿相反方向開(kāi)出，各走了相同的路程,怎樣用數(shù)學(xué)式子

表示這兩列火車(chē)的位移？從中國(guó)象棋中規(guī)定“馬”走日，象走“田”，讓學(xué)生在圖上畫(huà)出馬、

象走過(guò)的路線引入也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

①在物理課中，我們學(xué)過(guò)力的概念.請(qǐng)回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同

樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學(xué)的數(shù)學(xué)中的知識(shí)抽象這些具有共同特

征的量呢？

②新的概念是對(duì)這些具有共同特征的量的描述，應(yīng)怎樣定義這樣的量呢？

③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？

活動(dòng):教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,思考討論并解決上述問(wèn)題,學(xué)生討論列舉與位移一樣的一

些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質(zhì)量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受

到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都

是既有大小，又有方向的量；物理中的動(dòng)量與矢量都有方向，且有大??；物理學(xué)中存在著許多

既有大小，又有方向的量.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數(shù)學(xué)學(xué)科中對(duì)這些量加以抽象，

形成一種新的量.至此時(shí)機(jī)成熟，引入向量,并把那些只有大小,沒(méi)有方向的量,如年齡、身高、

長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等稱(chēng)為數(shù)量，物理學(xué)上稱(chēng)為標(biāo)量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向

問(wèn)題.

討論結(jié)果：

①略.

②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱(chēng)為矢量.

③略.

提出問(wèn)題

①如何表示向量？

②有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？

③長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量？長(zhǎng)度為1的向量叫什么向量？

④滿(mǎn)足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？

⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關(guān)系？怎樣定義平行向量？

⑥如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)0,它們是不是平行向量？這時(shí)各向量的終點(diǎn)之

間有什么關(guān)系？

⑦數(shù)量與向量有什么區(qū)別？

⑧數(shù)學(xué)中的向量與物理中的力有什么區(qū)別？

活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,通過(guò)閱讀教材思考討論以上問(wèn)題.特別是有向線段,是學(xué)

習(xí)向量的關(guān)鍵.但不能說(shuō)“向量就是有向線段，有向線段就是向量”，有向線段只是向量的一

種幾何表示,二者有本質(zhì)的區(qū)別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，但

有向線段不僅與方向、長(zhǎng)度有關(guān),也與起點(diǎn)的位置有關(guān).如圖2,在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中,規(guī)

定一個(gè)順序，假設(shè)A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn),我們就說(shuō)線段AB具有方向,具有方向的線段叫做有向

線段,通常在有向線段的終點(diǎn)處畫(huà)上箭頭表示它的方向.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記

作靠.起點(diǎn)要寫(xiě)在終點(diǎn)的前面.

已知AB,線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段贏的長(zhǎng)度，記作|面|.有向線段包含三個(gè)

要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

8（終點(diǎn)）

A（起點(diǎn)）

圖2

知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度，它的終點(diǎn)就唯一確定.

用有向線段表示向量的方法是：

10起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B的有向線段，對(duì)應(yīng)的向量記作：荏.

這里要提醒學(xué)生注意荏的方向是由點(diǎn)A指向點(diǎn)B,點(diǎn)A是向量的起點(diǎn).

20用字母a,b,c,…表示.（一定要學(xué)生規(guī)范書(shū)寫(xiě)：刷用黑體a,書(shū)寫(xiě)用1）

30向量Q（或a）的大小，就是向量前（或a）的長(zhǎng)度（或稱(chēng)模），記作|（或|a|）.

教師要注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量與向量的模進(jìn)行比較,數(shù)量有大小而沒(méi)有方向,其大小有正、負(fù)和

0之分，可進(jìn)行運(yùn)算，并可比較大??；向量的模是正數(shù)或0,也可以比較大小.由于方向不能比

較大小，像a>b就沒(méi)有意義,而|a|〉|b|有意義.

討論結(jié)果:①向量也可用字母a,b,c,…表示（印刷用粗黑體表示），手寫(xiě)用a一來(lái)表示,或用表

示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如Q、CD.

注意:手寫(xiě)體上面的箭頭一定不能漏寫(xiě).

②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段，其有三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

向量與有向線段的區(qū)別：向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，

則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小

和方向相同,也是不同的有向線段.

③長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單

位向量的定義都只是限制了大小.長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0,規(guī)定零向量的方向是

任意的.長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量,叫做單位向量.

④長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二，我

們規(guī)定0與任一向量平行即0〃a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平

行，記作a〃b〃c.如圖3.

b,..,

C0BA

圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量，任作一條與a所在直線0平行的直線1,在1上任取一

點(diǎn)0,則可在1上分別作出6X=a,OB=b,OC=c.這就是說(shuō),任一組平行向量都可以移動(dòng)到

同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.

說(shuō)明:平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系.

⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因?yàn)槿我唤M平行向

量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩

平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

⑦數(shù)量只有大小,是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向、大小雙重性質(zhì)，

不能比較大小.

⑧力有大小、方向、作用點(diǎn)三個(gè)要素，而數(shù)學(xué)中的向量是由物理中的力抽象出來(lái)的，只有大小

與方向兩個(gè)要素,與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).

應(yīng)用示例

例1如圖5,試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C

兩地的位移.（精確到1km）

分析:本例是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，要求畫(huà)出有向線段表示位移，目的在于鞏固向量概念及其

幾何表示.

解：麗表示A地至B地的位移，且|瓦|仁232km;（AB長(zhǎng)度義80000004-100000）

於表示A地至C地的位移，且|衣|仁296km.（AC長(zhǎng)度義80000004-100000）

點(diǎn)評(píng):位置是幾何學(xué)研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點(diǎn)表示位置,研究如何由一點(diǎn)的位

置確定另外一點(diǎn)的位置.如圖5,由A點(diǎn)確定B點(diǎn)、C點(diǎn)的位置.

變式訓(xùn)練

一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北方向走了100m到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向，沿南偏東15。方向又

走了100m到達(dá)C點(diǎn),求此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移.

解:根據(jù)題意畫(huà)出示意圖,如圖6所示.

AB|=100m,|BC|=100m,ZABC=45°+15°=60°,

.'.△ABC為正三角形.

AICA|=100m,即此人從C點(diǎn)返回A點(diǎn)所走的路程為100m.

ZBAC=60°,

AZCAD=ZBAC-ZBAD=15°,即此人行走的方向?yàn)槲髌?5°

例2判斷下列命題是否正確,若不正確,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

⑴口ABCD中，與CO是共線向量；

（2）單位向量都相等.

活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出平行四邊形,如圖7.

因?yàn)锳B〃CD,所以AB〃CD.由于上面已經(jīng)明確，單位向量只限制了大小,方向不確定,

所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.

解：⑴正確；

（2）不正確.

點(diǎn)評(píng):本題考查基本概念,對(duì)于單位向量、平行向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.

例3如圖8,設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫(xiě)出圖中所示向量與OAOBQC、相等的

量.

活動(dòng):本例是結(jié)合正六邊形的一些幾何性質(zhì)，讓學(xué)生鞏固相等向量和平行向量的概念,正

六邊形是邊長(zhǎng)等于半徑并且對(duì)邊互相平行的正多邊形,它既是軸對(duì)稱(chēng)圖形,又是中心對(duì)稱(chēng)圖

形,具有豐富的幾何性質(zhì).教科書(shū)中要求判斷6N與赤，而與標(biāo)是否相等,是要通過(guò)長(zhǎng)

度相等方向相反的兩個(gè)向量的不等,讓學(xué)生從反面認(rèn)識(shí)向量相等的概念.

解:市=連=55；OB=DC=EO；0C=AB=ED=F6.

點(diǎn)評(píng)：向量相等是一個(gè)重要的概念,今后經(jīng)常用到.讓學(xué)生在訓(xùn)練中明確，向量相等不僅

大小相等,還要方向相同.

變式訓(xùn)練

本例變式一:與向量而長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）

本例變式二:是否存在與向量總長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）

例4下列命題正確的是（）

A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量

D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

活動(dòng)：由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確.由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,

所以?xún)蓚€(gè)相等的非零向量可以在同一直線上,而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個(gè)平

行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),所以B不正確.向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點(diǎn)是否相同

無(wú)關(guān),所以D不正確.對(duì)于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假若a

與b不都是非零向量,即a與b至少有一個(gè)是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a

與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,即只有C正確.

答案:C

點(diǎn)評(píng):對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念特征入手，也可以從反面進(jìn)行考慮.即

要判斷一個(gè)結(jié)論不正確，只需舉一個(gè)反例即可.要啟發(fā)學(xué)生注意這兩方面的結(jié)合.

變式訓(xùn)練

1.判斷:

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

⑷與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若兩個(gè)向量在同一直線上,則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長(zhǎng)度相等且方向相同）

（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）

2.把一切單位平面向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（）

A.一條線段B.一段圓弧C.兩個(gè)點(diǎn)D.一個(gè)圓

答案:D

3.將平行于一直線的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一始點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形

是（）

A.一個(gè)點(diǎn)