2025版新教材高考數(shù)學(xué)全程一輪總復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)不等式第四節(jié)基本不等式學(xué)生用書

第四節(jié)基本不等式【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.駕馭基本不等式ab≤a+b2必備學(xué)問(wèn)·夯實(shí)雙基學(xué)問(wèn)梳理1.基本不等式：ab≤a+b(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)取等號(hào)．(3)其中，________稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，________稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．基本不等式的兩種常用變形形式(1)ab≤________(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)).(2)a＋b≥________(a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)).3．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則(1)假如積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，x＋y有最小值__________．(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)假如和x＋y是定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，xy有最大值________．(簡(jiǎn)記：和定積最大).[常用結(jié)論]1.ba＋ab≥2(ab>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2．應(yīng)用基本不等式求最值要留意“一正、二定、三相等”，忽視某個(gè)條件，就會(huì)出錯(cuò)．夯實(shí)雙基1.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)不等式a2＋b2≥2ab與a+b2(2)函數(shù)y＝x＋1x(3)x>0且y>0是xy(4)函數(shù)y＝sinx＋4sinx，x∈2．(教材改編)已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為()A．13B．C．34D．3．(教材改編)若用總長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2.4．(易錯(cuò))若函數(shù)f(x)＝x＋1xA．1＋2B．1＋3C．3D．45．(易錯(cuò))y＝2＋x＋5x關(guān)鍵實(shí)力·題型突破題型一利用基本不等式求最值角度一拼湊法求最值例1(1)(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．x＋1xB．x2+2C．x2D．2－3x－4x的最大值是2－4(2)設(shè)0＜x＜32題后師說(shuō)拼湊法求最值的策略鞏固訓(xùn)練1[2024·遼寧沈陽(yáng)三十一中月考]下列函數(shù)中，最小值為4的是()A．y＝x＋4B．y＝x＋1x+2C．y＝cos2x＋4D．y＝x2＋2x＋4角度二常值代換法求最值例2[2024·河南信陽(yáng)模擬]設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝1，則aba+4bA．110B．19C．2題后師說(shuō)常數(shù)代換法求最值的一般步驟鞏固訓(xùn)練2(1)[2024·遼寧鞍山模擬]已知正實(shí)數(shù)a、b滿意a＋b＝2，則4bA．72B．9(2)a>0，b>0，a＋b＝4ab，則a＋b的最小值為________.角度三消元法求最值例3[2024·安徽合肥八中模擬]已知x>0，y>0，滿意x2＋2xy－1＝0，則3x＋2y的最小值是()A．2B．3C．23D．22題后師說(shuō)當(dāng)已知條件是含有兩個(gè)變量的等式時(shí)，可以采納把其中一個(gè)量用另一個(gè)量表示，代入所求代數(shù)式中再結(jié)合基本不等式求解．鞏固訓(xùn)練3已知正實(shí)數(shù)a，b滿意ab－b＋1＝0，則1a題型二利用基本不等式證明不等式例4[2024·安徽壽縣一中模擬]已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2.(1)求a2＋b＋c的取值范圍；(2)求證：1a題后師說(shuō)利用基本不等式證明不等式，先視察題中是否有符合基本不等式的條件．若有，則可以干脆利用基本不等式證明；若沒(méi)有，則對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件．鞏固訓(xùn)練4[2024·江西金溪一中模擬]已知正實(shí)數(shù)m，n滿意m2＋n2＝4m2n2.證明：(1)mn≥12(2)1m題型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例5某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池，池的深度肯定，池的四周墻壁建立單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建立單價(jià)為每米100元，池底建立單價(jià)每平方米60元(池壁厚忽視不計(jì))．(1)污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低；(2)假如受地形限制，污水處理池的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)14.5米，那么此時(shí)污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低．題后師說(shuō)利用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的技巧鞏固訓(xùn)練5[2024·江西吉安模擬]春節(jié)期間，車流量較大，可以通過(guò)管控車流量，提高行車平安，在某高速馬路上的某時(shí)間段內(nèi)車流量y(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：萬(wàn)輛/小時(shí))與汽車的平均速度v(單位：千米/小時(shí))、平均車長(zhǎng)l(單位：米)之間滿意的函數(shù)關(guān)系y＝184vv2+20v+1280l(1)求該車型的平均車長(zhǎng)l；(2)該車型的汽車在該時(shí)間段內(nèi)行駛，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)車流量y達(dá)到最大值？1.[2024·全國(guó)乙卷]下列函數(shù)中最小值為4的是()A．y＝x2＋2x＋4B．y＝|sinx|＋4C．y＝2x＋22－xD．y＝lnx＋42．[2024·新高考Ⅱ卷](多選)若x，y滿意x2＋y2－xy＝1，則()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥13．[2024·新高考Ⅰ卷](多選)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則()A．a(chǎn)2＋b2≥1B．2a－b>1C．log2a＋log2b≥－2D．a(chǎn)第四節(jié)基本不等式必備學(xué)問(wèn)·夯實(shí)雙基學(xué)問(wèn)梳理1．(2)a＝b(3)a+b2．(1)a+b223．(1)x＝y(tǒng)2P(2)x＝y(tǒng)14S夯實(shí)雙基1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：因?yàn)?<x<1，所以x(3－3x)＝3x1-x≤3x+1-x22故選B.答案：B3．解析：設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xm，矩形場(chǎng)地的面積為ym2，則矩形另一邊長(zhǎng)為12×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤x+10-x22＝25(m2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x答案：254．解析：f(x)＝x＋1x-2＝x－2＋1x-2＋2≥2x-答案：C5．解析：∵x<0，∴－x>0，∴y＝2＋x＋5x＝2－-又－x－5x≥2-x·∴y＝2＋x＋5x＝2－-x-當(dāng)且僅當(dāng)－x＝－5x，且x<0，即x＝－5答案：2－25關(guān)鍵實(shí)力·題型突破例1解析：(1)對(duì)于A，由基本不等式可知，當(dāng)x>0時(shí)，x＋1x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1x，即對(duì)于B，x2+2x2+2對(duì)于C，x2+5x2+4＝x2+4+1x2因?yàn)閥＝t＋1t在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t＝2時(shí)，y取得最小值5對(duì)于D，2－3x+4x在故選AB.(2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x+3-2x當(dāng)且僅當(dāng)“2x＝3－2x，即x＝34∵34∈0∴函數(shù)y＝4x(3－2x)0<x<32答案：(1)AB(2)9鞏固訓(xùn)練1解析：對(duì)于A：當(dāng)x<0時(shí)y＝x＋4x對(duì)于B：由x＋2>0，則y＝(x＋2)＋1x+2＋2≥2x+2·1對(duì)于C：由題意0<t＝cos2x≤1，而y＝t＋4t在(0，1]上遞減，故t對(duì)于D：由y＝(x＋1)2＋3≥3，當(dāng)x＝－1時(shí)最小值為3，不滿意．故選B.答案：B例2解析：∵a＋b＝1，aba+4b＝14a+1b＝4a+1b(當(dāng)且僅當(dāng)a＝23，b＝1∴aba+4b故選B.答案：B鞏固訓(xùn)練2解析：(1)4b+1a＝124b+1a(a＋故選B.(2)∵a>0，b>0，a＋b＝4ab，∴同除以ab得1a∴a＋b＝(a＋b)·141≥12+＝1＝1.當(dāng)且僅當(dāng)ba＝ab即a＝b＝答案：(1)B(2)1例3解析：由x2＋2xy－1＝0，得y＝1-x22x，而x>0，y因此3x＋2y＝3x＋1-x2x＝2x＋1x≥22x·1x＝22，當(dāng)且僅當(dāng)2所以3x＋2y的最小值為22.故選D.答案：D鞏固訓(xùn)練3解析：∵正實(shí)數(shù)a，b滿意ab－b＋1＝0，∴a＝b-1b>0∴1a＋4b＝bb＝b-1+1b-1＋4b＝5＋1b-1＋4(b當(dāng)且僅當(dāng)b＝32，a＝13時(shí)取等號(hào)，故1a答案：9例4解析：(1)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝2，則b＋c＝2－a，a2＋b＋c＝a2＋2－a＝a-122＋故74≤a2＋b＋c<2-122＋74＝4，故a2＋(2)證明：∵a>0，b>0，c>0，1a+4b+9c＝12(a≥1214+2ba·4a即a＝13，b＝23，c＝1時(shí)等號(hào)成立．故鞏固訓(xùn)練4證明：(1)由m2＋n2＝4m2n2，得1m又1m2+1n2≥2mn，所以mn(2)1m4+1n4＝1m當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝22故1m例5解析：(1)設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米，則寬為200x米，總造價(jià)為f(x)元，則f(x)＝400×2x+2×200x＋100×200x＋60×200＝800×x+225x＋12000≥1600x·225x(2)記g(x)＝x＋225x(0<x≤14.5)，明顯g(x)是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝14.5時(shí)，g(x)有最小值，相應(yīng)總造價(jià)f(x鞏固訓(xùn)練5解析：(1)由題意：當(dāng)v＝100時(shí)，y＝1，∴1＝184×100100∴該車型的平均車長(zhǎng)為5米．(2)由(1)知，函數(shù)的表達(dá)式為y＝184vv2+20v+6400∵v>0，∴y＝184vv2+20v+6400＝184當(dāng)且僅當(dāng)v＝6400v，即v故當(dāng)汽車的平均速度為80千米/小時(shí)時(shí)車流量y達(dá)到最大值．真題展臺(tái)——知道高考考什么？1．解析：對(duì)于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?<|sinx|≤1，y＝|sinx|＋4sinx≥24＝4，當(dāng)且僅當(dāng)|sin對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽，而2x>0，y＝2x＋22－x＝2x＋42x≥24＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2，即對(duì)于D，y＝lnx＋4lnx，函數(shù)定義域?yàn)?0，1)∪1，+∞，而lnx∈R故選C.答案：C2．解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－y2)2＋(32y)2＝1.令x-y2=cosθ，32y=sinθ，則x=33sinθ+cosθ，y=233sinθ.所以x＋y＝3sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π6)∈[－2，2