2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)版第二章 第1節(jié) 直線的傾斜角、斜率與直線的方程含答案

2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)版第二章第一節(jié)直線的傾斜角、斜率與直線的方程課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式).近幾年高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查方式及題目難度變化不大，主要考查直線的方程，以常規(guī)題型常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合圓錐曲線考查．預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)繼續(xù)考查直線與其他知識(shí)的交匯融合，以運(yùn)算為主.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．直線的方向向量設(shè)A，B是直線上的兩點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，eq\x(\s\up1(01))x軸正向與直線leq\x(\s\up1(02))向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為eq\x(\s\up1(03))0°≤α<180°．3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的eq\x(\s\up1(04))正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝eq\x(\s\up1(05))tanα(α≠90°)．(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直線的方向向量同斜率的關(guān)系若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(y,x)．5．直線的截距若直線l與坐標(biāo)軸分別交于(a，0)，(0，b)，則稱a為直線l在x軸上的截距，b為直線l在y軸上的截距．截距可正、可負(fù)，也可以為零．6．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式eq\x(\s\up1(07))y－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式eq\x(\s\up1(08))y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\x(\s\up1(09))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式eq\x(\s\up1(10))Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用1．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個(gè)法向量v＝(A，B)，一個(gè)方向向量a＝(－B，A)．2．兩直線的夾角公式若直線y＝k1x＋b1與直線y＝k2x＋b2的夾角為α，則tanα＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k2－k1,1＋k1k2))).1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．()(2)若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα.()(3)斜率相等的兩條直線的傾斜角不一定相等．()答案(1)√(2)×(3)×2．小題熱身(1)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.1T3改編)若直線經(jīng)過兩點(diǎn)A(m，1)，B(2－3m，2)，且其傾斜角為135°，則m的值為()A．0 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)答案D解析經(jīng)過兩點(diǎn)A(m，1)，B(2－3m，2)的直線的斜率為k＝eq\f(2－1,2－3m－m)＝eq\f(1,2－4m)，又直線的傾斜角為135°，所以eq\f(1,2－4m)＝－1，解得m＝eq\f(3,4).故選D.(2)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.2T2改編)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，已知直線的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是這條直線上的三個(gè)點(diǎn)，則x＋y＝()A．4 B．3C．－1 D．1答案D解析因?yàn)锳(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是斜率k＝2的直線上的三個(gè)點(diǎn)，所以kAB＝kAC＝2，所以eq\f(7－5,x－3)＝eq\f(y－5,－1－3)＝2，解得x＝4，y＝－3，則x＋y＝1.故選D.(3)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.2T10改編)如果AC<0，BC>0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析因?yàn)锳C<0，且BC>0，所以A，B，C均不為零，將直線方程Ax＋By＋C＝0化為y＝－eq\f(A,B)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(C,B)))，因?yàn)锳C<0，且BC>0，可得直線的斜率k＝－eq\f(A,B)>0，在y軸上的截距為－eq\f(C,B)<0，所以直線經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限．故選B.(4)過點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為________．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x－2y＝0；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5，所以直線方程為x＋y－5＝0.綜上，直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率例1(1)直線y＝－eq\r(3)x＋3的傾斜角為()A．30° B．60°C．120° D．150°答案C解析設(shè)直線y＝－eq\r(3)x＋3的傾斜角為α，因?yàn)橹本€的斜率為k＝tanα＝－eq\r(3)，所以α＝120°.故選C.(2)已知點(diǎn)A(－1，2)，B(2，eq\r(3))，P(1，0)，點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則直線PQ的斜率的范圍為____________，直線PQ的傾斜角的范圍為____________．答案(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4)))解析如圖，kPA＝eq\f(2－0,－1－1)＝－1，kPB＝eq\f(\r(3)－0,2－1)＝eq\r(3)，則直線PQ的斜率的范圍為(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)．因?yàn)橹本€PA，PB對(duì)應(yīng)的傾斜角分別為eq\f(3π,4)，eq\f(π,3)，則直線PQ的傾斜角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4))).【通性通法】確定傾斜角與斜率范圍的常用方法數(shù)形結(jié)合法作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)圖象法根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可【鞏固遷移】1．已知直線l的方程為xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))答案B解析直線l的方程為xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，則直線l的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)sinα∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，設(shè)直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以當(dāng)k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時(shí)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))；當(dāng)k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))時(shí)，θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).綜上所述，直線l的傾斜角θ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).故選B.2．若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________．答案eq\f(1,3)－3解析如圖，在正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ＝2，由正方形的性質(zhì)可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OC的傾斜角為θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.考點(diǎn)二求直線的方程例2由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－eq\f(1,2)，經(jīng)過點(diǎn)A(8，－2)；(2)經(jīng)過點(diǎn)B(4，2)，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)，－3；(4)經(jīng)過兩點(diǎn)A(3，－2)，B(5，－4)；(5)在x軸上的截距是－7，傾斜角是45°；(6)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離是3.解(1)由點(diǎn)斜式得y＋2＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)因?yàn)橹本€平行于x軸，所以直線的斜率等于0，由點(diǎn)斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0.(3)因?yàn)樵趚軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)，－3，所以直線方程的截距式為eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.(4)由兩點(diǎn)式得eq\f(y＋2,－4＋2)＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.(5)直線的斜率k＝tan45°＝1，由點(diǎn)斜式得y－0＝x＋7，即x－y＋7＝0.(6)直線的斜率為tan60°＝eq\r(3)，因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離是3，所以直線在y軸上的截距為±3，所以所求直線方程為y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3，即eq\r(3)x－y＋3＝0或eq\r(3)x－y－3＝0.【通性通法】求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式．(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)．提醒：(1)應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論斜率是否存在．(2)應(yīng)用“截距式”方程時(shí)要注意討論直線是否過原點(diǎn)，截距是否為0.(3)應(yīng)用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時(shí)，注意討論B是否為0.【鞏固遷移】3．(2024·山東日照一中質(zhì)檢)過點(diǎn)A(1，4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A．x－y＋3＝0B．x＋y－5＝0C．4x－y＝0或x＋y－5＝0D．4x－y＝0或x－y＋3＝0答案D解析解法一：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為y＝4x，即4x－y＝0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1(a≠0)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)A(1，4)，所以eq\f(1,a)－eq\f(4,a)＝1，解得a＝－3，此時(shí)直線方程為x－y＋3＝0.綜上，直線方程為4x－y＝0或x－y＋3＝0.故選D.解法二：易知直線斜率不存在或直線斜率為0時(shí)，不符合題意．設(shè)直線方程為y－4＝k(x－1)(k≠0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4－k，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1－eq\f(4,k)，由題意知1－eq\f(4,k)＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1，即直線方程為4x－y＝0或x－y＋3＝0.故選D.4．求適合下列條件的直線方程．(1)經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍；(2)經(jīng)過點(diǎn)B(3，4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形；(3)已知直線l的一個(gè)方向向量為n＝(2，3)，且l過點(diǎn)A(－4，3)．解(1)設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為2α.因?yàn)閠anα＝3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)由題意，可知所求直線的斜率為±1.又過點(diǎn)B(3，4)，由點(diǎn)斜式，得所求直線方程為y－4＝±(x－3)，即x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.(3)解法一：因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為n＝(2，3)，所以直線l的斜率k＝eq\f(3,2)，故直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.解法二：設(shè)P(x，y)是直線l上的任意一點(diǎn)(不同于A)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋4，y－3)，因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為n＝(2，3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，所以直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.考點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用(多考向探究)考向1直線方程與不等式的結(jié)合例3(2024·四川成都七中診斷考試)已知直線l過點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|MA|·|MB|最小時(shí)，直線l的方程為________．答案x＋y－3＝0解析設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則a＞0，b＞0，直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.|eq\o(MA,\s\up6(→))|·|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝－eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.【通性通法】求解與直線方程有關(guān)的最值問題，一般是先根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用基本不等式(或函數(shù))解決問題．【鞏固遷移】5．若直線mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)經(jīng)過點(diǎn)(－2，－1)，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為()A．16 B．8C．4 D．2答案B解析因?yàn)橹本€mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)經(jīng)過點(diǎn)(－2，－1)，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1(m>0，n>0)．所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))·(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)且2m＋n＝1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(1,2)))時(shí)取等號(hào)，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為8.故選B.考向2直線方程與函數(shù)的結(jié)合例4(2023·江蘇泰州模擬)某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE(如圖)上劃出一塊長(zhǎng)方形地面(不改變方位)建一幢公寓，則公寓的最大面積為________m2(精確到1m2)．答案6017解析在線段AB上任取一點(diǎn)P，分別向CD，DE作垂線，劃出一塊長(zhǎng)方形地面，以BC，EA的交點(diǎn)為原點(diǎn)，BC，EA所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則AB的方程為eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1.設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，20－\f(2x,3)))，則長(zhǎng)方形的面積S＝(100－x)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(80－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(2x,3)))))(0≤x≤30)．化簡(jiǎn)得S＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(20,3)x＋6000(0≤x≤30)．當(dāng)x＝5，y＝eq\f(50,3)時(shí)，S最大，其最大值為eq\f(18050,3)≈6017m2.【通性通法】求解與函數(shù)相結(jié)合的問題，一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)或某一變量的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解題．【鞏固遷移】6．過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線l：(a＋2)x＋(1－a)y－6＝0的垂線，垂足為H(s，t)，則s2＋t2的取值范圍是()A．[0，2eq\r(2)] B．(0，2eq\r(2)]C．[0，8] D．(0，8]答案D解析依題意，得eq\o(OH,\s\up6(→))＝(s，t)，直線l的方向向量n＝(a－1，a＋2)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－1）s＋（a＋2）t＝0，,（a＋2）s－（a－1）t＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝\f(6（a＋2）,（a＋2）2＋（a－1）2)，,t＝－\f(6（a－1）,（a＋2）2＋（a－1）2).))因此s2＋t2＝eq\f(36,（a＋2）2＋（a－1）2)＝eq\f(36,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,2))，因?yàn)楫?dāng)a＝－eq\f(1,2)時(shí)，2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)取得最小值eq\f(9,2)，所以0<eq\f(36,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,2))≤8，即s2＋t2的取值范圍是(0，8]．故選D.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·廣西柳州模擬)過點(diǎn)(1，2)且方向向量為(－1，2)的直線的方程為()A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0答案A解析由題意可知，直線的斜率k＝eq\f(2,－1)＝－2，由點(diǎn)斜式方程，得所求直線的方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故選A.2．已知直線x＋my－3＝0的傾斜角為30°，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－eq\r(3) B．－eq\f(\r(3),3)C．1 D．eq\f(\r(3),2)答案A解析由題意可知，直線x＋my－3＝0的斜率為－eq\f(1,m)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝－eq\r(3).故選A.3.(2023·河北石家莊期末)如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1答案A解析設(shè)直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則由題圖知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，即k1<0，k2>k3>0，所以k1<k3<k2.故選A.4．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，則中位線MN所在直線的方程為()A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0答案C解析由題意知M(2，4)，N(3，2)，中位線MN所在直線的方程為eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－2,3－2)，整理得2x＋y－8＝0.故選C.5．(2023·廣東潮州模擬)已知點(diǎn)A(1，3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是()A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)答案D解析直線l：y＝k(x－2)＋1經(jīng)過定點(diǎn)P(2，1)，∵kPA＝eq\f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq\f(－1－1,－2－2)＝eq\f(1,2)，又直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，∴－2≤k≤eq\f(1,2).故選D.6．(2023·江西南昌模擬)已知直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)，則下列說法中錯(cuò)誤的是()A．當(dāng)B＝0時(shí)，直線l總與x軸相交B．當(dāng)C＝0時(shí)，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)OC．當(dāng)A＝C＝0時(shí)，直線l是x軸所在直線D．當(dāng)AB≠0時(shí)，直線l不可能與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相交答案D解析依題意，直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)．對(duì)于A，當(dāng)B＝0時(shí)，A≠0，直線方程可化為x＝－eq\f(C,A)，此時(shí)直線l總與x軸有交點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)C＝0時(shí)，直線方程為Ax＋By＝0，此時(shí)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，B正確；對(duì)于C，當(dāng)A＝C＝0時(shí)，B≠0，直線方程可化為y＝0，此時(shí)直線l是x軸所在直線，C正確；對(duì)于D，當(dāng)AB≠0時(shí)，如x－y＋1＝0，直線l過點(diǎn)(－1，0)，(0，1)，即直線l與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相交，D錯(cuò)誤．故選D.7．(2024·重慶八中校考階段練習(xí))過點(diǎn)P(1，3)作直線l，若l經(jīng)過點(diǎn)A(a，0)和B(0，b)，且a，b均為正整數(shù)，則這樣的直線l有()A．1條 B．2條C．3條 D．無(wú)數(shù)條答案B解析∵a，b均為正整數(shù)，∴可設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，將P(1，3)代入直線方程，得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，當(dāng)b＝3時(shí)，eq\f(1,a)＝0，方程無(wú)解，∴a＝eq\f(b,b－3)＝eq\f(b－3＋3,b－3)＝1＋eq\f(3,b－3)，∵a∈N*，eq\f(3,b－3)≠0，∴eq\f(3,b－3)∈N*，∴b－3＝1或b－3＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,a＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,a＝2，))即滿足題意的直線l有2條．故選B.8．(2023·福建漳州模擬)直線xcosθ＋ysinθ＝0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))的斜率的取值范圍為()A．(－∞，eq\r(3)) B．(2，＋∞)C．(－eq\r(3)，eq\r(3)) D．(－∞，2)答案A解析當(dāng)cosθ＝0時(shí)，直線xcosθ＋ysinθ＝0的斜率為k＝0；當(dāng)cosθ≠0，即θ≠eq\f(π,2)時(shí)，由xcosθ＋ysinθ＝0，得y＝－eq\f(cosθ,sinθ)x＝－eq\f(1,tanθ)x，直線xcosθ＋ysinθ＝0的斜率為k＝－eq\f(1,tanθ).易知tanθ<－eq\f(\r(3),3)或tanθ>0，所以－eq\f(1,tanθ)<0或0<－eq\f(1,tanθ)<eq\r(3).所以直線xcosθ＋ysinθ＝0的斜率的取值范圍為(－∞，0)∪(0，eq\r(3))．綜上所述，直線xcosθ＋ysinθ＝0的斜率的取值范圍為(－∞，eq\r(3))．故選A.二、多項(xiàng)選擇題9．下列說法正確的是()A．截距相等的直線都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)能表示平行于x軸的直線C．經(jīng)過點(diǎn)P(1，1)，且傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tanθ·(x－1)D．經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0答案BD解析對(duì)于A，當(dāng)截距相等且為0時(shí)，不可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)中，當(dāng)m＝0時(shí)，變?yōu)閥＋1＝0，此時(shí)與x軸平行，B正確；對(duì)于C，當(dāng)傾斜角θ＝90°時(shí)，tanθ無(wú)意義，不能用y－1＝tanθ·(x－1)表示，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)P(x，y)是經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線上任意一點(diǎn)，則eq\o(P1P2,\s\up6(→))∥eq\o(P1P,\s\up6(→))，其中eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，eq\o(P1P,\s\up6(→))＝(x－x1，y－y1)，所以(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，故經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，D正確．故選BD.10．(2023·河北衡水調(diào)研)已知直線l：eq\r(3)x＋y－2＝0，則下列說法中正確的是()A．直線l的傾斜角為eq\f(5π,6)B．直線l的斜率為eq\r(3)C．直線l不經(jīng)過第三象限D(zhuǎn)．直線l的一個(gè)方向向量為v＝(－eq\r(3)，3)答案CD解析因?yàn)橹本€l：eq\r(3)x＋y－2＝0可以表示為y＝－eq\r(3)x＋2，所以直線l的斜率k＝－eq\r(3)，傾斜角為eq\f(2π,3)，故A，B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€y＝－eq\r(3)x＋2，故斜率k<0，縱截距b>0，所以直線l不經(jīng)過第三象限，故C正確；取直線上兩點(diǎn)A(0，2)，B(eq\r(3)，－1)，所以得到方向向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3)，得到直線l的一個(gè)方向向量為v＝(－eq\r(3)，3)，故D正確．故選CD.三、填空題11．(2024·河北唐山模擬)直線l的斜率為k，且k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),3)))，則直線l的傾斜角的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析如圖，當(dāng)直線l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),3)))時(shí)，直線l的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).12．(2023·山東兗州模擬)已知直線kx－y＋2＋k＝0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則k＝________．答案－2或－1解析因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以k≠0，在kx－y＋2＋k＝0中，令x＝0，得y＝2＋k，令y＝0，得x＝－1－eq\f(2,k)，依題意，得2＋k＝－1－eq\f(2,k)，解得k＝－2或－1.13.(2024·廣東深圳中學(xué)階段考試)如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為20m的正方形ABCD區(qū)域，點(diǎn)M處有一個(gè)路燈，點(diǎn)M到AB的距離是6m，到BC的距離是8m，現(xiàn)過點(diǎn)M建一條直路交正方形區(qū)域兩邊于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若對(duì)△PBQ區(qū)域進(jìn)行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最小值為________m2.答案96解析如圖，以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則M(6，8)，根據(jù)題意可得直線PQ的斜率存在，設(shè)Q(a，0)(0<a≤20)，P(0，b)(0<b≤20)，則直線PQ的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(6,a)＋eq\f(8,b)＝1，且1＝eq\f(6,a)＋eq\f(8,b)≥2eq\r(\f(6,a)·\f(8,b))，所以ab≥192，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(6,a)＝eq\f(8,b)＝eq\f(1,2)，即a＝12，b＝16時(shí)，等號(hào)成立，所以S△PBQ＝eq\f(1,2)ab≥eq\f(1,2)×192＝96，則此綠化區(qū)域面積的最小值為96m2.14．(2023·安徽合肥模擬)經(jīng)過點(diǎn)(4，3)引l1，l2，l3三條直線，使它們的傾斜角的比依次為1∶2∶4，已知l2的方程為3x－4y＝0，則l1的方程為________，l3的方程為________．答案x－3y＋5＝024x－7y－75＝0解析設(shè)l1的傾斜角為α，則l2，l3的傾斜角分別為2α，4α，由l2的方程為3x－4y＝0，可知kl2＝eq\f(3,4)，所以tan2α＝eq\f(3,4)>0，tan4α＝eq\f(2tan2α,1－tan22α)＝eq\f(24,7)，所以l3的方程為y－3＝eq\f(24,7)(x－4)，即24x－7y－75＝0.由于4α∈(0，π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，由二倍角公式可得eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4)，解得tanα＝eq\f(1,3)或tanα＝－3(舍去)，故l1的方程為y－3＝eq\f(1,3)(x－4)，即x－3y＋5＝0.四、解答題15．已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(0，0)，B(3，0)，C(5，3)，求對(duì)角線AC，BD所在直線的方程．解因?yàn)?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(0，0)，B(3，0)，C(5，3)，設(shè)D(x，y)，因?yàn)锳C和BD的中點(diǎn)重合，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋5,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(0＋3,2)＝\f(0＋y,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以D(2，3)，所以對(duì)角線AC所在直線的斜率為eq\f(3－0,5－0)＝eq\f(3,5)，對(duì)角線BD所在直線的斜率為eq\f(3－0,2－3)＝－3，所以對(duì)角線AC所在直線的方程為y－0＝eq\f(3,5)(x－0)，即3x－5y＝0，對(duì)角線BD所在直線的方程為y－0＝－3(x－3)，即3x＋y－9＝0.16．(2024·福建寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知直線l的橫截距為m，且在x軸、y軸上的截距之和為4.(1)若直線l的斜率為2，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．解(1)依題意，直線在x，y軸上的截距都存在且不為0，設(shè)直線l的方程為eq\f(x,m)＋eq\f(y,4－m)＝1(m≠0且m≠4)，令y＝0，可得x＝m；令x＝0，可得y＝4－m，即直線l經(jīng)過點(diǎn)(m，0)，(0，4－m)，所以直線l的斜率為k＝eq\f(4－m,－m)＝2，解得m＝－4.(2)設(shè)直線l的方程為eq\f(x,m)＋eq\f(y,4－m)＝1(m≠0且m≠4)，由直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)A，B，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,4－m>0，))解得0<m<4，又由A(m，0)，B(0，4－m)，可得S△AOB＝eq\f(1,2)|m||4－m|＝eq\f(1,2)m(4－m)＝eq\f(1,2)(－m2＋4m)＝－eq\f(1,2)(m－2)2＋2，當(dāng)m＝2時(shí)，S△AOB取得最大值2，此時(shí)直線l的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1，即y＝－x＋2.17．(多選)(2024·湖南湘潭一中質(zhì)檢)已知直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1經(jīng)過第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正確的是()A．|a|>|b| B．eq\r(－a)>eq\r(b)C．(b－a)(b＋a)>0 D．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)答案AB解析因?yàn)橹本€eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1經(jīng)過第一、二、三象限，可得a<0，b>0，由直線的斜率小于1，可得0<－eq\f(b,a)<1，結(jié)合a<0，可得a<0<b<－a，由絕對(duì)值的性質(zhì)，可得|a|>|b|，所以A正確；由冪函數(shù)y＝eq\r(x)的單調(diào)性，得eq\r(－a)>eq\r(b)，所以B正確；由b－a>0，b＋a<0，得(b－a)·(b＋a)<0，所以C錯(cuò)誤；由eq\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以D錯(cuò)誤．故選AB.18．(多選)(2023·廣東湛江模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點(diǎn)分別為(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，則正方形ABCD四邊所在直線中過點(diǎn)(0，0)的直線的斜率可以是()A．2 B．eq\f(3,2) C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)答案ABD解析因?yàn)檫x項(xiàng)斜率均為正值，不妨假設(shè)AB所在的直線過點(diǎn)(0，0)，設(shè)直線AB的傾斜角為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，斜率為k.①若CD所在的直線過點(diǎn)(1，0)，如圖1，可得|BC|＝sinα，|CD|＝2cosα，因?yàn)閨BC|＝|CD|，即sinα＝2cosα，則k＝tanα＝2；②若CD所在的直線過點(diǎn)(2，0)，如圖2，可得|BC|＝2sinα，|CD|＝3cosα，因?yàn)閨BC|＝|CD|，即2sinα＝3cosα，則k＝tanα＝eq\f(3,2)；③若CD所在的直線過點(diǎn)(4，0)，如圖3，可得|BC|＝4sinα，|CD|＝cosα，因?yàn)閨BC|＝|CD|，即4sinα＝cosα，則k＝tanα＝eq\f(1,4).綜上所述，k的可能取值為2，eq\f(3,2)，eq\f(1,4).故選ABD.19.(2023·遼寧葫蘆島模擬)如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，直線AB過點(diǎn)P(1，0)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝eq\f(1,2)x上時(shí)，直線AB的方程是________．答案(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0解析由題意，可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x，設(shè)A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2))).由點(diǎn)C在直線y＝eq\f(1,2)x上，且A，P，B三點(diǎn)共線，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,（m－0）（－\r(3)n－1）＝（n－0）（m－1），))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))，又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直線AB的方程為(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系與距離公式課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.近三年高考考查了點(diǎn)到直線的距離公式，以與圓錐曲線交匯融合的形式出現(xiàn)在多選題和填空題中，兩條直線的位置關(guān)系也是?？純?nèi)容之一，難度不大．預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)繼續(xù)以多選題或填空題的形式與其他知識(shí)交匯考查.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系l1，l2方程系數(shù)滿足的條件平行eq\x(\s\up1(01))k1＝k2且b1≠b2垂直eq\x(\s\up1(02))k1k2＝－1相交eq\x(\s\up1(03))k1≠k2直線l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝eq\x(\s\up1(04))(A1，B1)，l4的法向量v2＝eq\x(\s\up1(05))(A2，B2))的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系法向量滿足的條件l3，l4方程系數(shù)滿足的條件平行v1∥v2eq\x(\s\up1(06))A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)垂直v1⊥v2eq\x(\s\up1(07))A1A2＋B1B2＝0相交v1與v2不共線eq\x(\s\up1(08))A1B2－A2B1≠02.兩條直線的交點(diǎn)直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為兩條直線的方程組成的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．相交?方程組有eq\x(\s\up1(09))唯一解；平行?方程組eq\x(\s\up1(10))無(wú)解；重合?方程組有eq\x(\s\up1(11))無(wú)數(shù)個(gè)解．注意：雖然利用方程組解的情況可以判斷兩條直線的位置關(guān)系，但是由于運(yùn)算量較大，一般較少使用．3．三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0，0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0，0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(3)直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．()答案(1)×(2)×(3)√2．小題熱身(1)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3T6改編)點(diǎn)A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為________．答案eq\r(5)解析點(diǎn)A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5).(2)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3T7改編)兩條平行線l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離為________．答案eq\f(8,15)解析依題意，將直線l1：3x＋4y－6＝0化為l1：9x＋12y－18＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以兩平行線間的距離為d＝eq\f(|－18＋10|,\r(92＋122))＝eq\f(8,15).(3)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3T1改編)兩條直線l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)是________．答案(2，3)解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)．(4)直線l1：px＋3y＋1＝0與直線l2：6x－2y－5＝0垂直，則p的值為________．答案1解析由題意，得6p＋3×(－2)＝0，解得p＝1.考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系(多考向探究)考向1判斷兩條直線的位置關(guān)系例1(1)直線2x＋y＋1＝0和直線x＋2y＋1＝0的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．重合答案B解析方程2x＋y＋1＝0可化為y＝－2x－1，因此該直線的斜率k1＝－2.方程x＋2y＋1＝0可化為y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)，因此該直線的斜率k2＝－eq\f(1,2)，因?yàn)閗1≠k2，k1·k2＝1≠－1，所以這兩條直線相交但不垂直．故選B.(2)(2024·四川宜賓敘州區(qū)第一中學(xué)期中)直線l1：2x－my＋8＝0和直線l2：mx＋2y－4＝0(m∈R)的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．重合答案B解析因?yàn)?·m＋(－m)·2＝0，所以直線l1與直線l2相互垂直．故選B.【通性通法】判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)斜率不存在的特殊情況．(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．【鞏固遷移】1．(多選)(2024·湖南郴州模擬)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為α1，α2，斜率分別為k1，k2，則下列命題正確的是()A．若斜率k1＝k2，則l1∥l2B．若k1k2＝－1，則l1⊥l2C．若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2D．若α1＋α2＝π，則l1⊥l2答案ABC解析對(duì)于A，若兩直線的斜率k1＝k2，則它們的傾斜角α1＝α2，則l1∥l2，A正確；對(duì)于B，由兩直線垂直的條件可知，若k1k2＝－1，則l1⊥l2，B正確；對(duì)于C，由兩直線平行的條件可知，若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2，C正確；對(duì)于D，若α1＋α2＝π，不妨取α1＝eq\f(π,3)，α2＝eq\f(2π,3)，則k1＝tanα1＝eq\r(3)，k2＝tanα2＝－eq\r(3)，k1k2≠－1，l1，l2不垂直，D錯(cuò)誤．故選ABC.考向2由兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù)例2(1)(2023·遼寧丹東二模)直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，則a＝()A．－2 B．1C．－2或1 D．－1或2答案A解析由題意，直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.當(dāng)a＝－2時(shí)，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2；當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1與l2重合．故選A.(2)(2024·江蘇徐州模擬)若直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，則a＝________．答案±1解析因?yàn)橹本€l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，得a2＝1，解得a＝±1.【通性通法】解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”【鞏固遷移】2．(2023·陜西安康統(tǒng)考二模)已知直線l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直線l2：(a－2)x＋y＋2＝0，則“a＝1”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)a＝1時(shí)，l1：－x＋y＋1＝0，l2：－x＋y＋2＝0，所以l1∥l2，充分性成立；當(dāng)l1∥l2時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a－2）＝a－2，,2a≠1，))解得a＝1或a＝2，必要性不成立．故選A.3．(2023·吉林統(tǒng)考二模)已知a>0，b>0，若直線l1：ax＋by－2＝0與直線l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，則a＋2b的最小值為________．答案9解析由兩直線垂直，得2a＋b(1－a)＝0，即2a＋b＝ab，整理可得eq\f(2,b)＋eq\f(1,a)＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,b)＋\f(1,a)))＝eq\f(2a,b)＋1＋4＋eq\f(2b,a)≥5＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(2b,a))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)，等號(hào)成立，因此a＋2b的最小值為9.考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)、距離公式(多考向探究)考向1兩條直線的交點(diǎn)例3過直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)，且過原點(diǎn)的直線的方程為()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0答案D解析解法一：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))可得直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，又所求直線過原點(diǎn)，所以所求直線的方程為y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.故選D.解法二：根據(jù)題意，可設(shè)所求的直線方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因?yàn)榇酥本€過原點(diǎn)，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，所以所求直線的方程為x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.故選D.【通性通法】求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法(1)直接法：先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)共點(diǎn)直線系法：分離參數(shù)，假設(shè)直線方程中含有的參數(shù)為λ，則將直線方程化為f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x，y）＝0，,g（x，y）＝0))即可得定點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到所求的直線方程．【鞏固遷移】4．(2024·山西呂梁模擬)過直線x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交點(diǎn)，且與直線x＋2y－3＝0垂直的直線方程是________．答案2x－y＋5＝0解析解法一：聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,x－2y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，1)．直線x＋2y－3＝0的斜率為－eq\f(1,2)，所以所求直線方程的斜率為－eq\f(1,－\f(1,2))＝2，由點(diǎn)斜式方程得，所求直線方程為y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.解法二：設(shè)所求直線方程為x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0，即(1＋λ)x＋(1－2λ)y＋1＋4λ＝0.因?yàn)樗笾本€與直線x＋2y－3＝0垂直，所以所求直線方程的斜率為2，易知λ≠eq\f(1,2)，則eq\f(1＋λ,2λ－1)＝2，得λ＝1，則所求直線方程為2x－y＋5＝0.考向2與距離有關(guān)的問題例4(1)(2023·陜西咸陽(yáng)模擬)已知直線l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，則點(diǎn)P(1，2)到直線l2的距離d＝()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(4\r(5),5)答案D解析由l1⊥l2，可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝eq\f(|1＋2×2－1|,\r(12＋22))＝eq\f(4\r(5),5).故選D.(2)(2024·福建廈門階段考試)若平面內(nèi)兩條平行線l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0間的距離為eq\f(3\r(5),5)，則實(shí)數(shù)a＝________．答案－1解析∵l1∥l2，∴a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(3\r(2),4)，不滿足題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，d＝eq\f(|2＋1|,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，滿足題意．故a＝－1.【通性通法】求解距離問題的思路(1)點(diǎn)到直線的距離的求法：可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．(2)兩條平行直線間的距離的求法：①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩條平行直線間的距離公式．注意：(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行直線間的距離公式要求兩條直線方程中x，y的系數(shù)分別相等．【鞏固遷移】5．(多選)已知直線l過點(diǎn)P(－1，2)，且點(diǎn)A(2，3)，B(－4，5)到直線l的距離相等，則直線l的方程為()A．3x＋y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0C．x＝－1 D．y＝2答案BC解析解法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意，知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－eq\f(1,3)，所以直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，符合題意．故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，直線l的斜率k＝kAB＝－eq\f(1,3)，則直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當(dāng)直線l過AB的中點(diǎn)(－1，4)時(shí)，直線l的方程為x＝－1.故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.6．(多選)(2023·山東濟(jì)南調(diào)研)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和直線l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為()A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0答案BD解析設(shè)直線l的方程為4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題意，知d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因?yàn)閑q\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直線l的方程為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.考點(diǎn)三對(duì)稱問題(多考向探究)考向1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例5(1)過點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為()A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0答案D解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)．由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.因?yàn)辄c(diǎn)A(4，0)，P(0，1)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.故選D.(2)(2023·江蘇鎮(zhèn)江期中)直線l：y＝2x＋3關(guān)于點(diǎn)P(2，3)對(duì)稱的直線l′的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0答案A解析因?yàn)閘和l′關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則兩直線平行，可設(shè)l′的方程為2x－y＋b＝0(b≠3)，點(diǎn)P到兩直線的距離相等，則eq\f(|2×2－3＋3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(|2×2－3＋b|,\r(22＋（－1）2))，解得b＝－5或b＝3(舍去)，所以直線l′的方程是2x－y－5＝0.故選A.【通性通法】?jī)深愔行膶?duì)稱問題(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于M(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩種方法【鞏固遷移】7．直線3x－2y＝0關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))對(duì)稱的直線方程為()A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0答案B解析設(shè)所求直線上任一點(diǎn)為(x，y)，則其關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))對(duì)稱的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))，因?yàn)辄c(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))在直線3x－2y＝0上，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x))－2(－y)＝0，化簡(jiǎn)得3x－2y－2＝0，所以所求直線方程為3x－2y－2＝0.故選B.8．(2024·河北張家口質(zhì)檢)光線從點(diǎn)A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B經(jīng)過的路程為()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案C解析點(diǎn)A(－3，5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－3，－5)，則光線從A到B經(jīng)過的路程為CB的長(zhǎng)度，即|CB|＝eq\r(（－3－2）2＋（－5－10）2)＝5eq\r(10).故選C.考向2點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱例6(2024·河北張家口階段考試)點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A．(－3，5) B．(－1，－4)C．(4，1) D．(2，3)答案A解析設(shè)點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×1＝－1，,\f(a＋2,2)－\f(b,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，))所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－3，5)．故選A.【通性通法】若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)對(duì)稱，則由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,B（x2－x1）－A（y2－y1）＝0，))可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)．【鞏固遷移】9．(2023·廣東深圳模擬)已知點(diǎn)A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)關(guān)于直線4x＋3y＝11對(duì)稱，則a，b的值為()A．a(chǎn)＝－1，b＝2 B．a(chǎn)＝4，b＝－2C．a(chǎn)＝2，b＝4 D．a(chǎn)＝4，b＝2答案D解析點(diǎn)A，B關(guān)于直線4x＋3y＝11對(duì)稱，則kAB＝eq\f(3,4)，即eq\f(b＋2－（－b）,a＋2－（b－a）)＝eq\f(3,4)①，且AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2)，1))在已知直線上，代入得2(b＋2)＋3＝11②，聯(lián)立①②組成方程組，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2.))故選D.考向3直線關(guān)于直線的對(duì)稱例7(2024·河南南陽(yáng)模擬)直線x－2y－1＝0關(guān)于直線y－x＝0對(duì)稱的直線方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0答案A解析在直線x－2y－1＝0上任取一點(diǎn)P(a，b)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線y－x＝0的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－b,x－a)＝－1，,\f(y＋b,2)＝\f(x＋a,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝y(tǒng)，,b＝x，))即P(y，x)，因?yàn)辄c(diǎn)P(y，x)在直線x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，所以所求直線方程是2x－y＋1＝0.故選A.【通性通法】求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的兩種方法(1)在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程．(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程．特別地，若直線l1與直線l平行，則在直線l1上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可得直線l2的方程．【鞏固遷移】10．已知直線l1：x－y＋3＝0與直線l：x－y－1＝0，若直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為l2，則直線l2的方程為________．答案x－y－5＝0解析解法一：由題意，知l1∥l2，設(shè)直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)，在直線l1上取點(diǎn)M(0，3)，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－3,a)×1＝－1，,\f(a＋0,2)－\f(b＋3,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－1，))即M′(4，－1)，將M′(4，－1)代入l2的方程，得4＋1＋m＝0，解得m＝－5.所以直線l2的方程為x－y－5＝0.解法二：易知l1∥l，所以l2∥l，設(shè)直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．因?yàn)橹本€l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱，所以l1與l，l2與l間的距離相等．由兩平行直線間的距離公式得eq\f(|3－（－1）|,\r(2))＝eq\f(|m－（－1）|,\r(2))，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直線l2的方程為x－y－5＝0.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·甘肅天水模擬)直線l1：ax＋y＋1＝0與l2：x＋ay－1＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝()A．1 B．－1C．1或－1 D．0答案A解析因?yàn)橹本€l1：ax＋y＋1＝0與l2：x＋ay－1＝0平行，所以a2－1＝0且－a－1≠0，解得a＝1.故選A.2．過點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0答案A解析由題意，可設(shè)所求直線方程為x－2y＋m＝0，將A(2，3)代入上式，得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0.故選A.3．已知直線l1：x＋2y－5＝0和直線l2：3x－y－1＝0的交點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離|AO|為()A．1 B．2C．eq\r(5) D．eq\r(3)答案C解析解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,3x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即直線l1與直線l2的交點(diǎn)A(1，2)，又O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AO|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離|AO|為eq\r(5).故選C.4．(2024·遼寧撫順模擬)直線l1：2x＋y－1＝0與直線l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0(實(shí)數(shù)a為參數(shù))的位置關(guān)系是()A．l1與l2相交B．l1與l2平行C．l1與l2重合D．l1與l2的位置關(guān)系與a的取值有關(guān)答案B解析由l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0，可得(4＋2a)x＋(2＋a)y＋3－a＝0，因?yàn)?×(2＋a)－1×(4＋2a)＝0且1×(3－a)≠－1×(2＋a)，所以l1與l2平行．故選B.5．(2023·湖北武漢模擬)已知定點(diǎn)P(－2，0)和直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為()A．2eq\r(3) B．eq\r(10)C．eq\r(14) D．2eq\r(15)答案B解析將(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ變形得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是經(jīng)過兩直線x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交點(diǎn)的直線系．設(shè)兩直線的交點(diǎn)為Q，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))得交點(diǎn)Q(1，1)，所以直線l恒過定點(diǎn)Q(1，1)，于是點(diǎn)P到直線l的距離d≤|PQ|＝eq\r(（－2－1）2＋（0－1）2)＝eq\r(10)，即點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為eq\r(10).故選B.6．(2023·山西陽(yáng)泉模擬)設(shè)直線l1：x－2y－2＝0與l2關(guān)于直線l：2x－y－4＝0對(duì)稱，則直線l2的方程是()A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0答案A解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－2＝0，,2x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))取直線l1：x－2y－2＝0上一點(diǎn)(0，－1)，設(shè)點(diǎn)(0，－1)關(guān)于直線l：2x－y－4＝0的對(duì)稱點(diǎn)為(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a)＝－\f(1,2)，,2×\f(a,2)－\f(b－1,2)－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))直線l2的斜率k＝－eq\f(11,2)，所以直線l2的方程為y＝－eq\f(11,2)(x－2)，整理得11x＋2y－22＝0.故選A.7．(2024·山東濟(jì)南質(zhì)檢)已知a>0，b>0，直線(a－1)x＋2y＋3＝0與直線x＋by－1＝0垂直，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．2＋eq\r(2) B．4C．3＋2eq\r(2) D．6答案C解析因?yàn)橹本€(a－1)x＋2y＋3＝0與直線x＋by－1＝0垂直，所以(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＝3＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥3＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\r(2)－1，b＝eq\f(2－\r(2),2)時(shí)，等號(hào)成立)．故選C.8．(2023·海南三亞二模)△ABC的頂點(diǎn)A(4，3)，AC邊上的中線所在直線的方程為4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分線所在直線的方程為x＋2y－5＝0，則AC邊所在直線的方程為()A．2x－3y＋1＝0 B．x－8y＋20＝0C．3x－5y＋3＝0 D．x－y＋1＝0答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,4x＋13y－10＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－2，))所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9，－2)，設(shè)點(diǎn)A(4，3)關(guān)于直線x＋2y－5