2025年高考數(shù)學一輪復習課時作業(yè)-導數(shù)的函數(shù)零點問題【含解析】

PAGE2025年高考數(shù)學一輪復習課時作業(yè)-導數(shù)的函數(shù)零點問題【原卷版】(時間:45分鐘分值:40分)1.(10分)(2023·隴南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x+1ex-a(a∈R),討論f(【解題指南】令f(x)=0,可得a=x+1ex,令g(x)=x+1【加練備選】已知函數(shù)f(x)=cosx+xsinx.(1)討論f(x)在[-2π,2π]上的單調(diào)性;(2)求函數(shù)g(x)=f(x)-14x2-1零點的個數(shù)2.(10分)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+m.(1)若m=1,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)有3個零點,求實數(shù)m的取值范圍.3.(10分)(2024·太原模擬)已知函數(shù)f(x)=x+ax+lnx,a∈R(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求實數(shù)a的值;(2)討論函數(shù)g(x)=f'(x)-x的零點個數(shù).4.(10分)(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=xaax((1)當a=2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.【加練備選】函數(shù)f(x)=ax+xlnx在x=1處取得極值.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若y=f(x)-m-1在定義域內(nèi)有兩個不同的零點,求實數(shù)m的取值范圍.2025年高考數(shù)學一輪復習課時作業(yè)-導數(shù)的函數(shù)零點問題【解析版】(時間:45分鐘分值:40分)1.(10分)(2023·隴南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x+1ex-a(a∈R),討論f(【解題指南】令f(x)=0,可得a=x+1ex,令g(x)=x+1【解析】令f(x)=x+1ex-a=0,得a設g(x)=x+1ex,則g'(x)=e當x>0時,g'(x)<0,當x<0時,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(0)=1,而當x>-1時,g(x)>0;當x<-1時,g(x)<0.當x→-∞時,g(x)→-∞;當x→+∞時,g(x)→0,所以g(x)的大致圖象如圖所示.①當a>1時,方程g(x)=a無解,即f(x)沒有零點;②當a=1時,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零點;③當0<a<1時,方程g(x)=a有兩解,即f(x)有兩個零點;④當a≤0時,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零點.綜上,當a>1時,f(x)沒有零點;當a=1或a≤0時,f(x)有唯一的零點;當0<a<1時,f(x)有兩個零點.【加練備選】已知函數(shù)f(x)=cosx+xsinx.(1)討論f(x)在[-2π,2π]上的單調(diào)性;【解析】(1)因為f(-x)=cos(-x)-xsin(-x)=cosx+xsinx=f(x),x∈R,所以f(x)是R上的偶函數(shù),也是[-2π,2π]上的偶函數(shù).f'(x)=xcosx,當x∈[0,2π]時,令f'(x)>0,得0<x<π2或3π2<x<2π;令f'(x)<0,得π2<x<3π2,所以f(x)在[0,π2]和[3π2,2π]上單調(diào)遞增,在(π2,3π2)上單調(diào)遞減.因為f(x)是偶函數(shù),所以當x∈[-2π,0)時,f(x)在[-2π,-綜上所述,f(x)在[-2π,-3π2],[-π2,0)和(π2,3π2)上單調(diào)遞減,在(-3π2,-π2(2)求函數(shù)g(x)=f(x)-14x2-1零點的個數(shù)【解析】(2)由(1)得g(-x)=f(-x)-14(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上的偶函數(shù)g'(x)=x(cosx-12①當x∈[0,2π]時,令g'(x)>0,得0<x<π3或5π3<x<2π;令g'(x)<0,得π3<x所以g(x)在(0,π3)和(5π3,2π)上單調(diào)遞增,在(π3,因為g(π3)>g(0)=0,g(5π3)=5π3×(-32)-14×(5π3)2-所以?x0∈(π3,5π3),使得g(x所以g(x)在[0,2π]上有兩個零點.②當x∈(2π,+∞)時,g(x)=cosx+xsinx-14x2-1<x-14x2<0,所以g(x由①②及g(x)是偶函數(shù)可得g(x)在R上有三個零點.2.(10分)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+m.(1)若m=1,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;【解析】(1)由題意,得f'(x)=6x2-6x-12,故f'(1)=-12,又當m=1時,f(1)=2-3-12+1=-12,故所求的切線方程為y+12=-12(x-1),即y=-12x.(2)若函數(shù)f(x)有3個零點,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(2)由題意,得f'(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2),令f'(x)=0,得x=-1或x=2,故當x∈(-∞,-1)時,f'(x)>0;當x∈(-1,2)時,f'(x)<0;當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,故當x=-1時,函數(shù)f(x)有極大值f(-1)=2×(-1)-3×1-12×(-1)+m=m+7,當x=2時,函數(shù)f(x)有極小值f(2)=2×8-3×4-12×2+m=m-20.若函數(shù)f(x)有3個零點,則實數(shù)m滿足m+7>0,m即實數(shù)m的取值范圍為(-7,20).3.(10分)(2024·太原模擬)已知函數(shù)f(x)=x+ax+lnx,a∈R(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求實數(shù)a的值;【解析】(1)因為函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,f'(x)=1-ax2+1x=x2+x-ax2,所以f'(1)=0,即12+1-a(2)討論函數(shù)g(x)=f'(x)-x的零點個數(shù).【解析】(2)因為g(x)=f'(x)-x,所以g(x)=1-ax2+1x-x,令g(x)=0得a=-x3+x2+x,令h(x)=-x3+x2+x,x>0,則h'(x)=-3x2+2x+1=-(3x+1)(x-1).當x∈(0,1)時,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當x∈(1,+∞)時,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.畫出函數(shù)h(x)的草圖,如圖所示,易得h(x)≤h(1)=1,并且圖象無限靠近于原點,且當x→+∞時,h(x)→-∞.故當a>1時,函數(shù)g(x)無零點;當a=1或a≤0時,函數(shù)g(x)只有一個零點;當0<a<1時,函數(shù)g(x)有兩個零點.4.(10分)(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=xaax((1)當a=2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;【解析】(1)當a=2時,f(x)=x22xf'(x)=x(2-令f'(x)>0,得0<x<2ln2,此時函數(shù)f(x令f'(x)<0,得x>2ln2,此時函數(shù)f(x所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2ln2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2ln2(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.【解析】(2)曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,可轉化為方程xaax=1,即xa=ax即方程lnxx=ln設g(x)=lnxx(x>0),則g'(x)=1-令g'(x)=1-lnx當0<x<e時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,當x>e時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,故g(x)max=g(e)=1e,又g(1)=0,當x>e時,g(x)∈(0,1所以0<lnaa<1e,即g(1)<g(a)<g(e),結合g(x)的單調(diào)性可知1<a即a的取值范圍為(1,e)∪(e,+∞).【加練備選】函數(shù)f(x)=ax+xlnx在x=1處取得極值.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=a+lnx+1,由f'(1)=a+1=0,解得a=-1,則f(x)=-x+xlnx,所以f'(x)=lnx,令f'(x)>0,解得x>1;令f'(x)<0,解得0<x<1,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).(2)若y=f(x)-m-1在定義域內(nèi)有兩個不同的零點,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(2)y=f(x)-m-1在(0,+∞)內(nèi)有兩個