2025年高考數(shù)學一輪復習-第十章-第五節(jié) 古典概型與事件的相互獨立性-課時作業(yè)【含解析】

2025年高考數(shù)學一輪復習-第十章-第五節(jié)古典概型與事件的相互獨立性-課時作業(yè)（原卷版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.（多選）下列試驗是古典概型的是（）A.在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率B.口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球為白球的概率C.向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率2.（多選）下列各對事件中，M，N是相互獨立事件的有（）A.擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M＝“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件N＝“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”B.袋中有5個紅球，5個黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事件M＝“第1次摸到紅球”，事件N＝“第2次摸到紅球”C.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M＝“第1枚為正面”，事件N＝“兩枚結(jié)果相同”D.一枚硬幣擲兩次，事件M＝“第一次為正面”，事件N＝“第二次為反面”3.（2024·江蘇南京）將3名男生1名女生共4名同學分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加社會實踐，每個社區(qū)至少一名同學，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是（）A.112B.C.12D.4.（2024·浙江杭州）已知事件A，B相互獨立，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，則P（A＋B）＝（）A.0.88B.0.9C.0.7D.0.725.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A.112B.C.115D.6.（2022·新高考Ⅰ卷）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）A.16B.C.12D.7.（多選）不透明的袋子中裝有6個大小質(zhì)地相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機抽取兩次，每次取一個球.A表示事件“第二次取出的球上標有的數(shù)字大于等于3”，B表示事件“兩次取出的球上標有的數(shù)字之和為5，則（）A.PA＝2B.PB＝1C.PA＋BD.事件A與B相互獨立8.（2024·河北石家莊）大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教.若每個村小學至少分配1名大學生，則小明恰好分配到甲村小學的概率為（）A.112B.C.13D.9.（2024·上海）2023年杭州亞運會籃球比賽中，運動員甲、乙罰球時命中的概率分別是0.6和0.5，兩人各投一次，每次結(jié)果相互獨立，則兩人同時命中的概率是.10.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了“完全數(shù)”6和28，后人進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)3個“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這5個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為.11.（2022·上海卷）為了檢測學生的身體素質(zhì)指標，從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，則每一類都被抽到的概率為.12.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊訓練，已知甲命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是13，13，13，乙命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是18，1（1）求甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率；（2）現(xiàn)甲、乙兩人進行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于對方為勝，環(huán)數(shù)低于對方為負，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率.[B組能力提升練]13.（2024·江蘇蘇州）已知事件A，B，且PA＝0.4，PB＝0.5.若A與B互斥，令a＝PAB；若A與B相互獨立，令b＝PAB，則b＋aA.0.3B.0.4C.0.5D.0.614.（2024·山西太原）從1，2，3，4，5這5個數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，分別記為m，n，則mnA.25B.C.15D.15.設(shè)兩個相互獨立事件A，B都不發(fā)生的概率為19，則A與BA.89B.C.59D.16.（多選）（2024·浙江杭州）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示：“點數(shù)不大于2”，等件B表示：“點數(shù)大于2”，事件C表示：“點數(shù)為奇數(shù)”，事件D表示：“點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的有（）A.PA＋CB.PAD＝1C.事件A與D相互獨立D.事件A與B互斥不對立17.（2024·陜西西安）甲、乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨立解出的概率為.18.（2024·廣東湛江）某同學高考后參加國內(nèi)兩所名牌大學A，B的“強基計劃”招生考試，已知該同學能通過這兩所大學A，B招生考試的概率分別為x，13，該同學能否通過這兩所大學的招生考試相互獨立，且該同學恰好能通過其中1所大學招生考試的概率為12，則該同學至少通過1所大學招生考試的概率為19.甲、乙兩人在罰球線投籃命中的概率分別為12與2（1）甲、乙兩人在罰球線各投籃一次，求恰好命中一次的概率；（2）甲、乙兩人在罰球線各投籃兩次，求這四次投籃中至少有一次命中的概率.2025年高考數(shù)學一輪復習-第十章-第五節(jié)古典概型與事件的相互獨立性-課時作業(yè)（解析版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.（多選）下列試驗是古典概型的是（）A.在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率B.口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球為白球的概率C.向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率答案：BD解析：A項，在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率，不符合等可能性；B項，從中任取一球的事件有限，且任取一球為白球或黑球的概率是等可能的；C項，向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率，不符合有限性；D項，老師從甲、乙、丙三名學生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙被選中的概率是等可能的.2.（多選）下列各對事件中，M，N是相互獨立事件的有（）A.擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M＝“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件N＝“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”B.袋中有5個紅球，5個黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事件M＝“第1次摸到紅球”，事件N＝“第2次摸到紅球”C.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M＝“第1枚為正面”，事件N＝“兩枚結(jié)果相同”D.一枚硬幣擲兩次，事件M＝“第一次為正面”，事件N＝“第二次為反面”答案：CD解析：在A中，P（MN）＝0，所以M，N不相互獨立；在B中，M，N不是相互獨立事件；在C中，P（M）＝12，P（N）＝12，P（MN）＝14，P（MN）＝P（M）·P（N），因此M，N是相互獨立事件；在D中，第一次為正面對第二次的結(jié)果沒有影響，因此M，3.（2024·江蘇南京）將3名男生1名女生共4名同學分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加社會實踐，每個社區(qū)至少一名同學，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是（）A.112B.C.12D.答案：D解析：分配方案的總數(shù)為C42A33，恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的分法有C314.（2024·浙江杭州）已知事件A，B相互獨立，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，則P（A＋B）＝（）A.0.88B.0.9C.0.7D.0.72答案：C解析：因為事件A，B相互獨立，故PAB＝PAPB＝0.5×0.4＝0.2，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－PAB＝0.5＋0.4－0.2＝0.7.5.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A.112B.C.115D.答案：C解析：不超過30的所有素數(shù)為2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C102＝45種情況，而和為30的有7＋23，11＋19，13＋17這3種情況，所以所求概率P＝3456.（2022·新高考Ⅰ卷）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）A.16B.C.12D.答案：D解析：法一（直接法）：從7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)共有C72＝21如圖，所取的2個數(shù)互質(zhì)的取法有3＋4＋2＋3＋1＋1＝14（種），所以這2個數(shù)互質(zhì)的概率為1421＝2法二（間接法）：從7個數(shù)中任取2個數(shù)共有C72＝21種取法，2個數(shù)不互質(zhì)的情況有兩種：①從4個偶數(shù)中任取2個，有C42＝6種取法；②從偶數(shù)和奇數(shù)中各取一個，有1種取法，所以2個數(shù)不互質(zhì)的取法有7種，所以取2個數(shù)互質(zhì)的概率為1－7.（多選）不透明的袋子中裝有6個大小質(zhì)地相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機抽取兩次，每次取一個球.A表示事件“第二次取出的球上標有的數(shù)字大于等于3”，B表示事件“兩次取出的球上標有的數(shù)字之和為5，則（）A.PA＝2B.PB＝1C.PA＋BD.事件A與B相互獨立答案：AC解析：對于選項A：因為第二次取出球為3，4，5，6，所以PA＝46＝23，故對于選項B：因為B＝4，所以PB＝46×6＝1對于選項C：因為AB＝2，則PAB＝26×6所以PA＋B＝PA＋PB－PAB＝23＋19－118對于選項D：因為PAB≠PA×PB，所以事件A與B不獨立，故D錯誤.8.（2024·河北石家莊）大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教.若每個村小學至少分配1名大學生，則小明恰好分配到甲村小學的概率為（）A.112B.C.13D.答案：C解析：大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教，每個村小學至少分配1名大學生，基本事件總個數(shù)n＝C42A33＝36，小明恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數(shù)m＝A33＋C32A29.（2024·上海）2023年杭州亞運會籃球比賽中，運動員甲、乙罰球時命中的概率分別是0.6和0.5，兩人各投一次，每次結(jié)果相互獨立，則兩人同時命中的概率是.答案：0.3解析：運動員甲、乙罰球時命中的概率分別是0.6和0.5，兩人各投一次，每次結(jié)果相互獨立，則兩人同時命中的概率是P＝0.6×0.5＝0.3.10.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了“完全數(shù)”6和28，后人進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)3個“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這5個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為.答案：2解析：記5個“完全數(shù)”中隨機抽出2個為第一組，剩下3個為第二組，則基本事件總數(shù)為10.又6和28恰好在第一組有1種情況，6，28和其他3個數(shù)中的1個在第二組有3種情況，所以所求概率為1+310＝211.（2022·上海卷）為了檢測學生的身體素質(zhì)指標，從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，則每一類都被抽到的概率為.答案：3解析：從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，則每一類都被抽到的方法共有C11·C31·C42＋而所有的抽取方法共有C84種，故每一類都被抽到的概率為C11·12.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊訓練，已知甲命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是13，13，13，乙命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是18，1（1）求甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率；（2）現(xiàn)甲、乙兩人進行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于對方為勝，環(huán)數(shù)低于對方為負，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率.解：（1）記X表示甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和，則X＝18包含“第一次命中10環(huán)且第二次命中8環(huán)”“第一次命中8環(huán)且第二次命中10環(huán)”“第一次命中9環(huán)且第二次命中9環(huán)”這三種情況，所以甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率P＝C21×13×13＋13（2）記Ai表示甲在第i輪勝利，Bi表示甲在第i輪平局，Ci表示甲在第i輪失?。╥＝1，2，3），則P（Ai）＝13×58＋14＋13×58＝12，P（Bi）＝1①若甲獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽，則第2輪、第3輪甲連續(xù)勝利，第1輪甲沒有獲得勝利，其概率P1＝1－12×12×②若乙獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽，則第2輪、第3輪乙連續(xù)勝利，第1輪乙沒有獲得勝利，其概率P2＝1－16×16×所以經(jīng)過3輪比賽結(jié)束的概率P＝P1＋P2＝18＋5216＝[B組能力提升練]13.（2024·江蘇蘇州）已知事件A，B，且PA＝0.4，PB＝0.5.若A與B互斥，令a＝PAB；若A與B相互獨立，令b＝PAB，則b＋aA.0.3B.0.4C.0.5D.0.6答案：A解析：因為A，B互斥，所以a＝PAB＝0.因為A與B獨立，PA＝0.4，PB＝0.5，所以b＝PAB＝PAPB＝（1－0.4）×0.5＝0.3，所以b＋a＝14.（2024·山西太原）從1，2，3，4，5這5個數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，分別記為m，n，則mnA.25B.C.15D.答案：B解析：由題意得，從1，2，3，4，5這5個數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，則共有下列情況：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（3，2），（4，2），（5，2），（4，3），（5，3），（5，4），共有20種等可能的情況，其中mn為整數(shù)的有（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（4，2），5種情況，所以所求概率為520＝15.設(shè)兩個相互獨立事件A，B都不發(fā)生的概率為19，則A與BA.89B.C.59D.答案：D解析：因為A，B是相互獨立事件，設(shè)A不發(fā)生的概率為x，B不發(fā)生的概率為y，則xy＝19，0＜x，y≤1所以x＋y＝x＋19x≥2x·19x＝23，當且僅當x＝19x，即x＝y(tǒng)＝13時，等號成立，所以P＝（1－x）（1－y）＝1－（x16.（多選）（2024·浙江杭州）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示：“點數(shù)不大于2”，等件B表示：“點數(shù)大于2”，事件C表示：“點數(shù)為奇數(shù)”，事件D表示：“點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的有（）A.PA＋CB.PAD＝1C.事件A與D相互獨立D.事件A與B互斥不對立答案：AC解析：由題意事件A表示出現(xiàn)的點數(shù)是1或2；事件B表示出現(xiàn)的點數(shù)是3或4或5或6；事件C表示出現(xiàn)的點數(shù)是1或3或5；事件D表示出現(xiàn)的點數(shù)是2或4或6.所以A∪C表示出現(xiàn)的點數(shù)為1或2或3或5，則PA＋C＝46＝2A∩D表示出現(xiàn)的點數(shù)為2，則PAD＝16，故B由PAPD＝26×36＝16＝PAD，得事件A與D顯然事件A與B互斥且對立，故D錯誤.17.（2024·陜西西安）甲、乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨立